1.4: Curvas en Tres Dimensiones
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Hasta el momento, hemos desarrollado fórmulas para la curvatura, vector tangente unitario, etc., en un punto\(\vecs{r} (t)\) de una curva que se encuentra en el\(xy\) plano. Ahora extendemos nuestra discusión a curvas en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Fix any\(t\text{.}\) Por\(t'\) muy cerca de la\(t\text{,}\)\(\vecs{r} (t')\text{,}\) voluntad, por la expansión Taylor a segundo orden, estar muy cerca de\(\vecs{r} (t) + \vecs{r} '(t)\,(t'-t) +\frac{1}{2}\vecs{r} '(t)\,(t'-t)^2\text{,}\) así que\(\vecs{r} (t')\) casi se encuentra en el plano a través de\(\vecs{r} (t)\) eso está determinado por los dos vectores \(\vecs{r} '(t)\)y\(\vecs{r} '(t)\text{.}\) así, si restringimos nuestra atención a una parte muy pequeña de la curva cerca del punto de interés\(\vecs{r} (t)\text{,}\) la curva, a una muy buena aproximación se encontrará en algún plano. Así que todavía podemos definir, por ejemplo, el círculo osculante a la curva en\(\vecs{r} (t)\) para ser el círculo en ese plano que mejor se ajuste a la curva cerca\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Y todavía tenemos las fórmulas 1
\[ \begin{align*} \vecs{v} &=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}=\dfrac{ds}{dt}\,\hat{\textbf{T}} \\ \dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{ds} &= \kappa\hat{\textbf{N}}\\ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt} &= \kappa\dfrac{ds}{dt}\hat{\textbf{N}}\\ \textbf{a}&=\frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}} +\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}\\ \vecs{v} \times\textbf{a} &= \kappa \Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^3\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}} \end{align*} \]
La única diferencia de 2 es eso\(\vecs{v} , \textbf{a}, \hat{\textbf{T}} \) y ahora\(\hat{\textbf{N}}\) son tres vectores componentes en lugar de dos vectores componentes.
Si tenemos suerte y nuestra curva pasa a estar completamente en un solo plano, los vectores\(\hat{\textbf{T}}(s)\) y\(\hat{\textbf{N}}(s)\) son vectores unitarios mutuamente perpendiculares que se encuentran en el mismo plano, de manera que su producto cruzado\(\hat{\textbf{B}}(s) =\hat{\textbf{T}} (s)\times\hat{\textbf{N}}(s)\) es un vector unitario que es perpendicular al plano. Por continuidad,\(\hat{\textbf{B}}(s)\) tiene que ser un vector constante, es decir, ser independiente de\(s\text{.}\)
Si, por otro lado, no\(\hat{\textbf{B}}(s)\) es constante, entonces nuestra curva no se encuentra en un solo plano, y podemos usar la derivada
\[\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds} &=\dfrac{d}{ds}\big(\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}}\big) =\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}\times\hat{\textbf{N}} +\hat{\textbf{T}} \times \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}\\ &=\hat{\textbf{T}}\times \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}\qquad \Big( \text{since } \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} \text{ is parallel to } \hat{\textbf{N}} \Big) \end{align*}\]
como medida
- de lo mal que la curva no logra estar en un plano,
- es decir, cuánto\(s\) aumenta el plano que mejor se ajusta a la curva cerca de\(\vecs{r} (s)\) los giros,
El producto cruzado en\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}=\hat{\textbf{T}} \times \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}\) implica que\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}\) es perpendicular a\(\hat{\textbf{T}}\text{.}\) Además,\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}\) debe ser perpendicular a\(\hat{\textbf{B}}\) porque
\[ |\hat{\textbf{B}}|=1 \implies 1=\hat{\textbf{B}}\cdot\hat{\textbf{B}} \implies 0 = \dfrac{d}{ds}\left[\hat{\textbf{B}}\cdot\hat{\textbf{B}}\right] = 2 \hat{\textbf{B}}\cdot\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds} \nonumber \]
Así que\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s)\) debe ser paralelo a\(\hat{\textbf{N}}(s)\text{.}\)
- El vector binormal at\(\vecs{r} (s)\) es\(\hat{\textbf{B}}(s) = \hat{\textbf{T}} (s)\times \hat{\textbf{N}}(s)\text{.}\) El vector normal a veces\(\hat{\textbf{N}}(s)\) se llama el vector normal principal de la unidad para distinguirlo del vector binormal.
- Definimos la torsión\(\tau(s)\) por
\[ \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s) = -\tau(s)\hat{\textbf{N}}(s) \nonumber \]
Se incluye el signo negativo para que\(\tau(s) \gt 0\) indique “torsión diestra”. Habrá una explicación de lo que esto significa en el Ejemplo 1.4.4 a continuación. - El plano osculante en\(\vecs{r} (s)\) (el plano que mejor se ajusta a la curva\(\vecs{r} (s)\)) es el plano pasante\(\vecs{r} (s)\) con vector normal\(\hat{\textbf{B}}(s)\text{.}\) La ecuación del plano es
\[ \hat{\textbf{B}}(s)\cdot\big\{(x,y,z)-\vecs{r} (s)\big\}=0 \nonumber \]
Para cada uno\(s\text{,}\)\(\hat{\textbf{T}} (s)\text{,}\)\(\hat{\textbf{N}}(s)\) y\(\hat{\textbf{B}}(s)\) son vectores unitarios mutuamente perpendiculares. Forman una base ortonormal para\(\mathbb{R}^3\text{,}\) así como\(\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}\) y\(\hat{\mathbf{k}}\) forman una base ortonormal para\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Además ambos\((\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))\) y\((\hat{\pmb{\imath}}\,,\,\hat{\pmb{\jmath}}\,,\,\hat{\mathbf{k}})\) son “triples diestros” 3, lo que significa que\(\hat{\textbf{B}}(s) = \hat{\textbf{T}} (s)\times\hat{\textbf{N}}(s)\) y\(\hat{\mathbf{k}}=\hat{\pmb{\imath}}\times\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\)
Ya hemos calculado\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{ds}\) y ahora\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}\text{.}\) es un asunto fácil de calcular
\[\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds} &= \dfrac{d}{ds}\big(\hat{\textbf{B}}(s)\times\hat{\textbf{T}}(s)\big)\\ &= -\tau(s)\hat{\textbf{N}}(s)\times\hat{\textbf{T}}(s) +\hat{\textbf{B}}(s)\times\big(\kappa(s)\hat{\textbf{N}}(s)\big)\\ &=\tau(s)\hat{\textbf{B}}(s)-\kappa(s)\hat{\textbf{T}}(s) \end{align*}\]
Para ver eso\(\hat{\textbf{N}}(s)\times\hat{\textbf{T}}(s)=-\hat{\textbf{B}}(s)\) y\(\hat{\textbf{B}}(s)\times\hat{\textbf{N}}(s)=-\hat{\textbf{T}}(s)\text{,}\) basta con mirar la figura de la derecha arriba.
Ahora supongamos que tenemos una curva que está parametrizada por\(t\) en lugar de\(s\text{.}\) cómo encontramos la torsión\(\tau\text{?}\) El método más obvio es
- recordar eso\(\vecs{v} \times\textbf{a} = \kappa \big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}} = \kappa \big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\hat{\textbf{B}}\) y que\(\hat{\textbf{B}}(t)\) es un vector de unidad. Entonces
\[ \hat{\textbf{B}}(t) = \frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|} \nonumber \]
- Habiendo encontrado\(\textbf{B}(t)\) podemos diferenciarlo y usarlo\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s) = -\tau(s)\hat{\textbf{N}}(s)\) y la regla de la cadena para dar
\[ \dfrac{d\textbf{B}}{dt} = \dfrac{d\textbf{B}}{ds}\dfrac{ds}{dt} = -\tau\dfrac{ds}{dt} \hat{\textbf{B}} \nonumber \]
de la que podemos leer\(\tau\text{,}\) siempre que sepamos\(\dfrac{ds}{dt}\) y\(\hat{\textbf{N}}\text{.}\)
Existe otro método, a menudo más eficiente, para encontrar la torsión\(\tau\) que utiliza
\[\begin{align*} \dfrac{d\textbf{a}}{dt} &= \dfrac{d}{dt}\Big(\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}} +\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}\Big)\\ &= \frac{\mathrm{d}^{3}s}{\mathrm{d}t^{3}}\,\hat{\textbf{T}} +\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\dfrac{ds}{dt}\,\kappa\hat{\textbf{N}} +\dfrac{d}{dt}\Big(\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\Big)\hat{\textbf{N}} +\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^3 \big(\tau\hat{\textbf{B}}-\kappa\hat{\textbf{T}} \big) \end{align*}\]
Si bien esto parece un poco complicado, fíjese que, con una sola excepción, es decir,\(\kappa\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\tau(s)\hat{\textbf{B}}(s)\text{,}\) cada término del lado derecho está en la dirección\(\hat{\textbf{T}}\) o en la dirección\(\hat{\textbf{N}}\) y así es perpendicular a\(\hat{\textbf{B}}\text{.}\) Así, punteando con\(\vecs{v} \times\textbf{a} = \kappa \big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\hat{\textbf{B}}\) da
\[\begin{gather*} \big(\vecs{v} \times\textbf{a}\big)\cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt} = \kappa^2 \Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^6\,\tau = |\vecs{v} \times\textbf{a}|^2\,\tau \end{gather*}\]
y por lo tanto
\[\begin{gather*} \tau = \frac{\big(\vecs{v} \times\textbf{a}\big)\cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt} }{|\vecs{v} \times\textbf{a}|^2} \end{gather*}\]
Si se\(\tau(s)\) conocen la curvatura 4\(\kappa(s) \gt 0\) y la torsión, entonces el sistema de ecuaciones 5
\[\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\kappa(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\tau(s)\ \hat{\textbf{B}}(s)-\kappa(s)\ \hat{\textbf{T}} (s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s)&=-\tau(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \end{align*}\]
es un sistema lineal de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias
\[\begin{align*} \dfrac{d}{ds} \left[ \begin{matrix}\hat{\textbf{T}}(s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} 0 & \kappa(s) & 0 \\ -\kappa(s) & 0 &\tau(s) \\ 0 &-\tau(s) & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\hat{\textbf{T}}(s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix}\right] \end{align*}\]
para la función de valor de vector\(9\) componente\((\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))\text{.}\)
Cualquier problema de valor inicial lineal de primer orden
\[ \dfrac{d}{ds}\textbf{x}(s) = M(s) \textbf{x}(s)\qquad \textbf{x}(0)=\textbf{x}_0 \nonumber \]
donde\(\textbf{x}\) es un vector\(n\) -componente y\(M(s)\) es una\(n\times n\) matriz con entradas continuas, tiene exactamente una solución. Si es\(n=1\text{,}\) así eso\(\textbf{x}(s)\) y\(M(s)\) son solo funciones, esto es fácil de ver. Solo deja que\(\mathcal{M}(s)\) sea el antiderivado de\(M(s)\) eso obedece\(\mathcal{M}(0)=0\text{.}\) Entonces
\[\begin{align*} \dfrac{d}{ds}\textbf{x}(s) = M(s) \textbf{x}(s) &\iff e^{-\mathcal{M}(s)}\dfrac{d}{ds}\textbf{x}(s) - M(s) e^{-\mathcal{M}(s)} \textbf{x}(s)=0\\ &\iff \dfrac{d}{ds}\Big(e^{-\mathcal{M}(s)}\textbf{x}(s)\Big) = 0 \end{align*}\]
según la regla del producto. Así\(e^{-\mathcal{M}(s)}\textbf{x}(s)\) es una constante independiente de\(s\text{.}\) En particular\(e^{-\mathcal{M}(s)}\textbf{x}(s)=e^{-\mathcal{M}(0)}\textbf{x}(0)= \textbf{x}_0\) para que\(\textbf{x}(s) = \textbf{x}_0 e^{\mathcal{M}(s)}\text{.}\) Este argumento pueda generalizarse a cualquier número natural\(n\text{.}\) Pero eso está más allá del alcance de este libro.
Dado que las fórmulas de Frenet-Serret constituyen un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias para el vector\((\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))\) y dado que cualquier problema de valor inicial lineal de primer orden tiene exactamente una solución,
- la función de valor vectorial\((\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))\) está determinada por las funciones\(\kappa(s)\) y\(\tau(s)\) (asumiendo que son continuas) junto con la condición inicial\((\hat{\textbf{T}}(0)\,,\,\hat{\textbf{N}}(0)\,,\,\hat{\textbf{B}}(0))\text{.}\)
- Además, una vez que sabes\(\hat{\textbf{T}}(s)\text{,}\), entonces\(\vecs{r} (s)\) está determinado por\(\vecs{r} (0)\) y\(\dfrac{d\vecs{r} }{ds}(s)=\hat{\textbf{T}}(s)\text{.}\)
- Entonces, cualquier curva suave\(\vecs{r} (s)\) está completamente determinada por\(\vecs{r} (0)\text{,}\)\((\hat{\textbf{T}}(0)\,,\,\hat{\textbf{N}}(0)\,,\,\hat{\textbf{B}}(0))\text{,}\)\(\kappa(s)\) y\(\tau(s)\text{.}\)
- Es decir, hasta traslaciones (puedes moverte entre dos posibles opciones cualesquiera de\(\vecs{r} (0)\) por una traslación) y rotaciones (puedes moverte entre dos posibles opciones cualquiera de\((\hat{\textbf{T}}(0)\,,\,\hat{\textbf{N}}(0)\,,\,\hat{\textbf{B}}(0))\) por una rotación) una curva está completamente determinada por la curvatura\(\kappa(s) \gt 0\) y la torsión\(\tau(s)\text{.}\) Este resultado se llama” El teorema fundamental de las curvas espaciales”.
Dejar\(\kappa(s) \gt 0\) y\(\tau(s)\) ser continuo. Luego, hasta traslaciones y rotaciones, hay una curva única con curvatura\(\kappa(s)\) y torsión\(\tau(s)\text{.}\)
La hélice circular derecha es la curva
\[\begin{gather*} \vecs{r} (t)= a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + bt\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]
con\(a,b \gt 0\) como en la figura de abajo a la izquierda.
He aquí por qué se le llama hélice derecha en lugar de hélice izquierda. Si la hélice es la rosca de un perno que estás atornillando en una tuerca, y giras el perno en la dirección de los dedos (rizados) de tu mano derecha (como en la figura 6 de la derecha arriba), entonces se mueve en la dirección de tu pulgar (como en la flecha recta larga de la figura a la derecha arriba).
Para determinar la curvatura y torsión de esta curva calculamos
\[\begin{align*} \vecs{v} (t)&= -a\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +a\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} + b\,\hat{\mathbf{k}}\\ \textbf{a}(t)&= -a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \dfrac{d\textbf{a}}{dt}(t)&= a\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} -a\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]
De\(\vecs{v} (t)\) leemos
\[\begin{align*} \dfrac{ds}{dt}&=\sqrt{a^2+b^2}\\ \hat{\textbf{T}}(t)&= -\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]
De\(\textbf{a}=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}}+\kappa\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^2\hat{\textbf{N}} =\kappa(a^2+b^2)\hat{\textbf{N}}\text{,}\) leemos eso
\[\begin{gather*} \kappa(t)=\frac{a}{a^2+b^2}\qquad \hat{\textbf{N}}(t) = -\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}-\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]
Desde
\[\begin{align*} \vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t) &= \det\left[ \begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}}\\ -a\sin t & a\cos t & b\\ -a\cos t &-a\sin t & 0\end{matrix} \right] = ab\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} -ab\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} +a^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ |\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|^2 &=a^2b^2+a^4 = a^2(a^2+b^2) \end{align*}\]
leemos
\[\begin{align*} \hat{\textbf{B}}(t) &= \frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]
y
\[\begin{align*} \tau(t) & = \frac{\big(\vecs{v} \times\textbf{a}\big)\cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt} }{|\vecs{v} \times\textbf{a}|^2} =\frac{a^2b}{a^2(a^2+b^2)} =\frac{b}{a^2+b^2} \end{align*}\]
Tenga en cuenta que, para la hélice diestra,\(\tau \gt 0\text{.}\) Finalmente el centro de curvatura es
\[\begin{align*} \vecs{r} (t) +\frac{1}{\kappa(t)}\hat{\textbf{N}}(t) &=\Big(a-\frac{a^2+b^2}{a}\Big)\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +\Big(a-\frac{a^2+b^2}{a}\Big)\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +bt\,\hat{\mathbf{k}}\\ &=-\frac{b^2}{a}\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\frac{b^2}{a}\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +bt\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]
que es otra hélice. En la siguiente figura, la curva roja es la hélice original y la curva azul es la hélice trazada por el centro de curvatura.
Ejercicios
Etapa 1
En el boceto de abajo de una curva tridimensional y su círculo osculante en un punto, etiqueta\(\hat{\textbf{T}}\) y\(\hat{\textbf{N}}\text{.}\) ¿\(\hat{\textbf{B}}\)Estará apuntando fuera del papel hacia el lector, o en el papel lejos del lector?
En la fórmula
\[ \dfrac{ds}{dt}(t)=|\vecs{v} (t)|=|\vecs{r} '(t)| \nonumber \]
¿\(s\)significa velocidad, o para arclength?
¿Qué curva (o curvas) de abajo tienen torsión positiva, cuáles tienen torsión negativa y cuáles tienen torsión cero? Las flechas indican la dirección del aumento\(t\text{.}\)
Considere una curva parametrizada por la longitud del arco\(s\text{.}\)
- Mostrar que si la curva tiene curvatura\(\kappa(s)=0\) para todos\(s\text{,}\) entonces la curva es una línea recta.
- Mostrar que si la curva tiene curvatura\(\kappa(s) \gt 0\) y torsión\(\tau(s)=0\) para todos\(s\text{,}\) entonces la curva se encuentra en un plano.
- Mostrar que si la curva tiene curvatura\(\kappa(s)=\kappa_0\text{,}\) una constante estrictamente positiva, y torsión\(\tau(s)=0\) para todos\(s\text{,}\) entonces la curva es un círculo.
La superficie\(z=x^2+y^2\) es cortada por el plano\(x=y\text{.}\) La curva resultante se orienta de\((0,0,0)\) a\((1,1,2)\text{.}\)
- Croquis de la curva de\((0,0,0)\) a\((1,1,2)\text{.}\)
- Sketch\(\hat{\textbf{T}} \text{,}\)\(\hat{\textbf{N}}\) y\(\hat{\textbf{B}}\) en\(\big(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big)\text{.}\)
- Encuentra la torsión en\(\big(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big)\text{.}\)
Etapa 2
Dejar\(C\) ser la curva de espacio
\[\begin{gather*} \vecs{r} (t) = \big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\pmb{\imath}} + \big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +2t\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]
- Encuentra\(\vecs{r} '\text{,}\)\(\vecs{r} ''\) y la curvatura de\(C\text{.}\)
- Encuentra la longitud de la curva entre\(\vecs{r} (0)\) y\(\vecs{r} (1)\text{.}\)
Encuentra la torsión de\(\vecs{r} (t)=(t,t^2,t^3)\) en el punto\((2,4,8)\text{.}\)
Encuentra la tangente unitaria, los vectores normales y binormales unitarios y la curvatura y torsión de la curva
\[ \vecs{r} (t)=t\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\pmb{\jmath}} + \frac{t^3}{3}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Para alguna constante\(c\text{,}\) definir\(\vecs{r} (t)=(t^3,t,e^{ct})\text{.}\) Para cual valor (s) de\(c\) es\(\tau(5)=0\text{?}\) Para cada uno de esos valores de\(c\text{,}\) encontrar una ecuación para el plano que contiene el círculo osculante a la curva en\(t=5\text{.}\)
- Considere la curva de espacio parametrizada
\[ \vecs{r} (t) = \big(t^2 , t, t^3\big) \nonumber \]
Encuentra una ecuación para el plano que pasa a través\((1,1,1)\) con vector normal tangente a\(\vecs{r} \) en ese punto. - Encontrar la curvatura de la curva a partir de (a) en función del parámetro\(t\text{.}\)
Deja\(C\) ser el círculo osculante a la hélice\(\vecs{r} (t) =\big(\cos t\,,\,\sin t\,,\,t\big)\) en el punto donde\(t=\pi/6\text{.}\) Encuentra:
- el radio de curvatura de\(C\)
- el centro de\(C\)
- la unidad normal al plano de\(C\)
- Considere la curva de espacio parametrizada
\[ \vecs{r} (t) = (\cos(t), \sin(t), t^2) \nonumber \]
Buscar una forma paramétrica para la línea tangente en el punto correspondiente a\(t = \pi\text{.}\) - Encontrar el componente tangencial\(a_T(t)\) de la aceleración, en función de\(t\text{,}\) para la curva espacial parametrizada\(\vecs{r} (t)\text{.}\)
Supongamos que, en términos del parámetro de tiempo\(t\), una partícula se mueve a lo largo del camino\(\vecs{r} (t) = (\sin t - t \cos t )\,\hat{\pmb{\imath}} + (\cos t + t \sin t )\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)\(1 \le t \lt \infty\text{.}\)
- Encuentra la velocidad de la partícula a la vez\(t\text{.}\)
- Encontrar el componente tangencial de la aceleración en el momento\(t\text{.}\)
- Encuentra el componente normal de aceleración en el momento\(t\text{.}\)
- Encuentra la curvatura del camino a la vez\(t\text{.}\)
Supongamos que el paraboloide\(z = x^2 + y^2\) y el plano se\(2x + z = 8\) cruzan en una curva\(C\text{.}\)\(C\) que se recorre en sentido antihorario si se ve desde el\(z\) eje positivo.
- Parametrizar la curva\(C\text{.}\)
- Encuentra el vector tangente unitario\(\hat{\textbf{T}}\text{,}\) el vector normal principal\(\hat{\textbf{N}}\text{,}\) el vector binormal\(\hat{\textbf{B}}\) y la curvatura\(\kappa\) todo en el punto\((2, 0, 4)\text{.}\)
Considera la curva\(C\) dada por
\[ \vecs{r} (t) = \frac{1}{3} t^3\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{1}{\sqrt{2}} t^2\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty. \nonumber \]
- Encuentra la tangente\(\hat{\textbf{T}} (t)\) unitaria en función de\(t\text{.}\)
- Encuentra la curvatura\(\kappa(t)\) en función de\(t\text{.}\)
- Determinar el vector normal principal\(\hat{\textbf{N}}\) en el punto\(\big(\frac{8}{3} , 2\sqrt{2}, 2\big)\text{.}\)
Supongamos que la curva\(C\) es la intersección del cilindro\(x^2 +y^2 = 1\) con el plano\(x+y+z = 1\text{.}\)
- Encuentra una parametrización de\(C\text{.}\)
- Determinar la curvatura de\(C\text{.}\)
- Encuentra los puntos en los que la curvatura es máxima y determina el valor de la curvatura en estos puntos.
Let
\[\begin{gather*} \vecs{r} (t) = t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + 2t\,\hat{\pmb{\jmath}} + \ln t\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]
Calcular la tangente unitaria y los vectores normales unitarios\(\hat{\textbf{T}}(t)\) y\(\hat{\textbf{N}}\text{.}\) Calcular la curvatura ¡\(\kappa(t)\text{.}\)Simplifique siempre que sea posible
- Encuentra la longitud de la curva\(\vecs{r} (t)=\big(1,\frac{t^2}{2},\frac{t^3}{3}\big)\) para\(0\le t\le 1\text{.}\)
- Encuentra el vector normal de la unidad principal\(\hat{\textbf{N}}\)\(\vecs{r} (t) = \cos(t)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}}\) a\(t =\pi/4\text{.}\)
- Encuentra la curvatura de\(\vecs{r} (t) = \cos(t)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}}\) al\(t = \pi/4\text{.}\)
Una partícula se mueve a lo largo de una curva con el vector de posición dado por
\[ \vecs{r} (t) = \big(t + 2\,,\, 1 - t\,,\, t^2 /2\big) \nonumber \]
para\(-\infty \lt t \lt \infty\text{.}\)
- Encuentra la velocidad en función de\(t\text{.}\)
- Encuentra la velocidad en función de\(t\text{.}\)
- Encuentra la aceleración en función de\(t\text{.}\)
- Encuentra la curvatura en función de\(t\text{.}\)
- Recordemos que la descomposición de la aceleración en componentes tangenciales y normales viene dada por la fórmula
\[ \vecs{r} ''(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}}(t) + \kappa(t)\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}(t) \nonumber \]
Utilice esta fórmula y sus respuestas a las partes anteriores de esta pregunta para encontrar\(\hat{\textbf{N}}(t)\text{,}\) el vector normal de la unidad principal, en función de\(t\text{.}\) - Encuentre una ecuación para el plano osculante (el plano que mejor se ajuste a la curva) en el punto correspondiente a\(t = 0\text{.}\)
- Encuentra el centro del círculo osculante en el punto correspondiente a\(t = 0\text{.}\)
Considera la curva\(C\) dada por
\[ \vecs{r} (t) =\frac{t^3}{3}\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{t^2}{\sqrt{2}}\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}} \qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]
- Encuentra la tangente\(\hat{\textbf{T}}(t)\) unitaria en función de\(t\text{.}\)
- Encuentra la curvatura\(\kappa(t)\) en función de\(t\text{.}\)
- Evaluar\(\kappa(t)\) en\(t = 0\text{.}\)
- Determinar el vector normal principal\(\hat{\textbf{N}}(t)\) en\(t = 0\text{.}\)
- Calcular el vector binormal\(\hat{\textbf{B}}(t)\) en\(t = 0\text{.}\)
Una curva en\(\mathbb{R} ^3\) viene dada por\(\vecs{r} (t) = (t^2\,,\, t\,,\, t^3)\text{.}\)
- Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea tangente a la curva en el punto\((1, -1, -1)\text{.}\)
- Encontrar una ecuación para el plano osculante de la curva en el punto\((1, 1, 1)\text{.}\)
Una curva en\(\mathbb{R}^3\) viene dada por
\[ \vecs{r} (t) = (\sin t - t \cos t)\,\hat{\pmb{\imath}} + (\cos t + t \sin t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}}, \qquad 0 \le t \lt \infty \nonumber \]
- Encuentra la longitud de la curva\(\vecs{r} (t)\) de\(\vecs{r} (0) = (0, 1, 0)\) a\(\vecs{r} (\pi) = (\pi, -1, \pi^2)\text{.}\)
- Encuentra la curvatura de la curva en el momento\(t \gt 0\text{.}\)
En el momento\(t=0\text{,}\) NASA lanza un cohete que sigue una trayectoria para que su posición en cualquier momento\(t\) sea
\[ x=\frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3/2},\ y=\frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3/2},\ z=t(2-t) \nonumber \]
- Asumiendo que el vuelo termina cuando\(z=0\text{,}\) averiguas hasta dónde viaja el cohete.
- Encuentra la unidad tangente y la unidad normal a la trayectoria en su punto más alto.
- También, computar la curvatura de la trayectoria en su punto más alto.
Considere una partícula viajando en el espacio a lo largo de la trayectoria parametrizada por
\[ x=\cos^3t,\ y=\sin ^3t,\ z=2\sin^2 t \nonumber \]
- Calcular la longitud del arco de esta trayectoria para\(0\le t\le \pi/2\text{.}\)
- Encuentra los vectores\(\hat{\textbf{T}}\text{,}\)\(\hat{\textbf{N}}\text{,}\)\(\hat{\textbf{B}}\) para la partícula en\(t=\pi/6\text{.}\)
Supongamos que la curva\(C\) es la intersección del cilindro\(x^2 +y^2 = 1\) con la superficie\(z =x^2 - y^2\text{.}\)
- Encuentra una parametrización de\(C\text{.}\)
- Determinar la curvatura de\(C\) en el punto\(\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.}\)
- Encuentra el plano osculante a\(C\) en el punto\(\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.}\) En general, el plano osculante a una curva\(\vecs{r} (t)\) en el punto\(\vecs{r} (t_0)\) es el plano que mejor se ajusta a la curva en\(\vecs{r} (t_0)\text{.}\) Pasa a través\(\vecs{r} (t_0)\) y tiene vector normal\(\hat{\textbf{B}}(t_0)\text{.}\)
- Encuentra el radio y el centro del círculo osculante hasta\(C\) en el punto\(\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.}\)
Etapa 3
Bajo la influencia de un campo de fuerza\(\vecs{F} \text{,}\) una partícula de masa 2 kg se mueve con velocidad constante 3 m/s a lo largo de la trayectoria dada como la intersección del plano\(z = x\) y el cilindro parabólico\(z = y^2\text{,}\) en la dirección de incrementar\(y\text{.}\) Find\(\vecs{F} \) en el punto\((1, 1, 1)\text{.}\) (La longitud es medido en m a lo largo de los tres ejes de coordenadas.)
Considera la curva\(C\) en 3 dimensiones dadas por
\[ \vecs{r} (t) = 2t\hat{\pmb{\imath}} + t^2\hat{\pmb{\jmath}} + \sqrt{3} t^2\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
para\(t \in\mathbb{R} \text{.}\)
- Calcular el vector tangente unitario\(\vecs{T} (t)\text{.}\)
- Calcular el vector normal de la unidad\(\hat{\textbf{N}}(t)\text{.}\)
- Mostrar que el vector binormal\(\hat{\textbf{B}}\) a esta curva no depende de\(t\) y es uno de los siguientes vectores:
\[ \text{(1)}\ \left[\begin{matrix} 1/2 \\ -\sqrt{3}/2 \\ 0 \end{matrix}\right]\qquad \text{(2)}\ \left[\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{matrix}\right]\qquad \text{(3)}\ \left[\begin{matrix} 0 \\ -\sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{matrix}\right]\qquad \text{(4)}\ \left[\begin{matrix} 0\\ -1/2 \\ \sqrt{3}/2 \end{matrix}\right]\qquad \nonumber \]
Esto implica que\(C\) es una curva plana. - Según su elección del vector (1), (2), (3) o (4), dé la ecuación del plano que contiene\(C\text{.}\)
- Calcular la curvatura\(\kappa(t)\) de la curva.
- ¿Hay punto (s) donde la curvatura es máxima? En caso afirmativo, dé las coordenadas del punto (s). Si no, justifica tu respuesta.
- ¿Hay punto (s) donde la curvatura es mínima? En caso afirmativo, dé las coordenadas del punto (s). Si no, justifica tu respuesta.
- Let
\[ \textbf{u} := 2\,\hat{\pmb{\imath}},\quad \vecs{v} := \hat{\pmb{\jmath}} + \sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}\quad \textbf{w} := -\sqrt{3}\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
- Expresar\(\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\)\(\hat{\mathbf{k}}\) en términos de\(\textbf{u}\text{,}\)\(\vecs{v} \text{,}\)\(\textbf{w}\text{.}\)
- Usando (i), escribe\(\vecs{r} (t)\) en el formulario
\[ a(t)\textbf{u} + b(t)\vecs{v} + c(t)\textbf{w} \nonumber \]
donde\(a(t)\text{,}\)\(b(t)\) y\(c(t)\) son funciones que tienes que determinar. Deberías encontrar que una de estas funciones es cero. - Dibuja la curva dada por\(\big(a(t), b(t)\big)\) en el\(xy\) plano.
- ¿El dibujo es consistente con las partes (f) y (g)? Explique.
Recordemos que si\(\hat{\textbf{T}}\) es el vector tangente unitario a una curva orientada con parámetro de longitud de arco\(s\text{,}\), entonces la curvatura\(\kappa\) y el vector normal de principio se\(\hat{\textbf{N}}\) definen por la ecuación
\[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \kappa\,\hat{\textbf{N}}\nonumber \]
Además, la torsión\(\tau\) y el vector binormal\(\hat{\textbf{B}}\) están definidos por las ecuaciones
\[ \hat{\textbf{B}} = \hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}},\qquad \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds} = -\tau\,\hat{\textbf{N}}\nonumber \]
Demostrar que
\[ \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds} = -\kappa\,\hat{\textbf{T}}+ \tau\,\hat{\textbf{B}} \nonumber \]
Un esquiador desciende el cerro\(z =\sqrt{4-x^2-y^2}\) por un sendero con parametrización
\[ x=\sin(2\theta),\qquad y=1-\cos(2\theta),\qquad z=2\cos\theta,\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} \nonumber \]
Vamos a\(P\) denotar el punto en el sendero donde\(x = 1\text{.}\)
- Encuentra los vectores\(\hat{\textbf{T}},\hat{\textbf{N}},\hat{\textbf{B}}\) y la curvatura\(\kappa\) de la pista de esquí en el punto\(P\text{.}\)
- La aceleración del esquiador en\(P\) es\(\textbf{a}= (-2, 3, -2\sqrt{2})\text{.}\) Find, at\(P\text{,}\)
- la tasa de cambio de la velocidad del esquiador y
- la velocidad del esquiador (un vector).
Una partícula se mueve de manera que su vector de posición viene dado por\(\vecs{r} (t) = \big(\cos t\,,\, \sin t\,,\, c \sin t\big)\text{,}\) donde\(t \gt 0\) y\(c\) es una constante.
- Encuentra la velocidad\(\vecs{v} (t)\) y la aceleración\(\textbf{a}(t)\) de la partícula.
- Encuentra la velocidad\(v(t)=|\vecs{v} (t)|\) de la partícula.
- Encuentra el componente tangencial de la aceleración de la partícula.
- Demostrar que la trayectoria de esta partícula se encuentra en un plano.
Una pista de carreras entre dos colinas se describe por la curva paramétrica
\[ \vecs{r} (\theta) = \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \frac{1}{4}\cos(2\theta)\Big),\qquad 0 \le \theta \le 2\pi \nonumber \]
- Calcular la curvatura de la pista en el punto\(\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}\)
- Calcular el radio del círculo que mejor se aproxime a la curva en el punto\(\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\) (es decir, el radio del círculo osculante en ese punto).
- Un automóvil conduce por la vía para que su posición en el momento\(t\) esté dada por\(\vecs{r} (t^2)\text{.}\) (Tenga en cuenta la relación entre\(t\) y\(\theta\) es\(\theta = t^2\)). Compute las siguientes cantidades.
- La velocidad en el punto\(\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}\)
- La aceleración en el punto\(\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}\)
- La magnitud del componente normal de la aceleración en el punto
\[ \big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.} \nonumber \]
- Los argumentos en la prueba del Teorema 1.3.3 que utilizamos para verificar estas fórmulas funcionan en cualquier plano, no solo en el\(xy\) plano -plano. Simplemente elige\(\hat{\pmb{\imath}}\) y\(\hat{\pmb{\jmath}}\) ser dos vectores unitarios mutuamente perpendiculares en el plano.
- Sin embargo, esto puede ser una diferencia significativa.
- Nos apegaremos a los “triples diestros” para que sea más fácil obtener bien diversos letreros.
- Como en dos dimensiones, si\(\kappa(s)=0\text{,}\) entonces no\(\hat{\textbf{N}}(s)\) se define. Esto tiene aún más sentido en tres dimensiones que en dos dimensiones: si la curva es una línea recta, hay infinitamente muchos vectores unitarios perpendiculares a ella y no hay forma de distinguirlos.
- Las ecuaciones llevan el nombre de los dos matemáticos franceses que las descubrieron de forma independiente: Jean Frédéric Frenet (1816-1900, hijo de un fabricante de pelucas), en su tesis de 1847 (en realidad solo dio dos de las tres ecuaciones), y Joseph Alfred Serret (1819-1885) en 1851.
- Esta cifra es una variante de esta imagen.