Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

1.1: Derivados, Velocidad, Etc.

  • Page ID
    118980
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)

    Siendo este un texto de Cálculo, una de nuestras principales operaciones es la diferenciación. Ahora nos interesan las parametrizaciones\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Es muy fácil y natural extender nuestra definición de derivado de la\(\vecs{r} (t)\) siguiente manera.

    Definición 1.1.1

    La derivada de la función de valor vectorial\(\vecs{r} (t)\) se define como

    \[ \vecs{r} '(t) = \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\vecs{r} (t+h)-\vecs{r} (t)}{h} \nonumber \]

    parCurveDerivA.svg

    cuando exista el límite. En particular, si\(\vecs{r} (t)=\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\text{,}\) entonces

    \[ \vecs{r} '(t)=\big(x'(t)\,,\,y'(t)\,,\,z'(t)\big) \nonumber \]

    Es decir, diferenciar una función valorada vectorial de\(t\text{,}\) solo diferenciar cada uno de sus componentes.

    Y por supuesto la diferenciación interactúa con las operaciones aritméticas, como la suma, de la manera obvia. Solo se requiere un poco más de reflexión para ver que la diferenciación interactúa bastante bien con los productos de punto y cruz también. Aquí hay algunos ejemplos.

    Ejemplo 1.1.2

    Let

    \[\begin{align*} \textbf{a}(t)&= t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + t^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \textbf{b}(t)&= e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \gamma(t)&= t^2\\ s(t)&= \sin t \end{align*}\]

    Estamos a punto de computar algunas derivadas. Para que sea más fácil seguir lo que está pasando, usaremos algo de color. Cuando aplicamos la regla del producto

    \[ \dfrac{d}{dt}\big[f(t)\,g(t)\big] ={\color{blue}{f'(t)}}\,g(t) + f(t)\,{\color{blue}{g'(t)}} \nonumber \]

    usaremos el azul para resaltar los factores\(f'(t)\) y\(g'(t)\text{.}\) Aquí vamos.

    \[\begin{align*} \gamma(t)\,\textbf{b}(t) & = t^2e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + t^2 e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

    da

    \[\begin{align*} \dfrac{d}{dt}\big[\gamma(t)\textbf{b}(t)\big] &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}}\big]\hat{\pmb{\imath}} +\big[{\color{blue}{2t}} e^{-3t}{\color{blue}{-3}}t^2{\color{blue}{e^{-3t}}}\big]\hat{\pmb{\jmath}} +\big[{\color{blue}{2t}} e^{-5t}{\color{blue}{-5}}t^2{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\hat{\mathbf{k}}\\ &={\color{blue}{2t}}\big\{e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\} + t^2{\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} -3 e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} -5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\\ &={\color{blue}{\gamma'(t)}}\textbf{b}(t)+\gamma(t){\color{blue}{\textbf{b}'(t)}} \end{align*}\]

    y

    \[\begin{align*} \textbf{a}(t)\cdot\textbf{b}(t) & = t^2e^{-t} + t^4 e^{-3t} + t^6 e^{-5t} \end{align*}\]

    da

    \[\begin{align*} \dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}(t)\cdot\textbf{b}(t)\big] &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}}\big] +\big[{\color{blue}{4t^3}} e^{-3t}{\color{blue}{-3}}t^4{\color{blue}{e^{-3t}}}\big] +\big[{\color{blue}{6t^5}} e^{-5t}{\color{blue}{-5}}t^6{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\\ &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}+{\color{blue}{4t^3}} e^{-3t}+{\color{blue}{6t^5}} e^{-5t}\big] +\big[{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}} {\color{blue}{-3}}t^4{\color{blue}{e^{-3t}}} {\color{blue}{-5}}t^6{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\\ &={\color{blue}{\big\{2t\,\hat{\pmb{\imath}}+4t^3\,\hat{\pmb{\jmath}}+6t^5\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\cdot \big\{e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\\&\hskip0.5in +\big\{t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + t^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^6\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\cdot {\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}}-3e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}}-5e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\\ &={\color{blue}{\textbf{a}'(t)}}\cdot\textbf{b}(t)+\textbf{a}(t)\cdot{\color{blue}{\textbf{b}'(t)}} \end{align*}\]

    y

    \[\begin{align*} \textbf{a}(t)\times\textbf{b}(t) &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}& \hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ t^2 & t^4 & t^6\\ e^{-t} & e^{-3t} & e^{-5t}\end{matrix}\right]\\ &=\hat{\pmb{\imath}}\big(t^4 e^{-5t}-t^6 e^{-3t}) -\hat{\pmb{\jmath}}(t^2 e^{-5t}- t^6 e^{-t}) +\hat{\mathbf{k}}(t^2 e^{-3t}-t^4 e^{-t}) \end{align*}\]

    da

    \[\begin{align*} &\dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}(t)\times\textbf{b}(t)\big]\\ &=\ \hat{\pmb{\imath}}\big(\ {\color{blue}{4t^3}} e^{-5t}\ \ -\ {\color{blue}{6t^5}} e^{-3t}) \ -\ \hat{\pmb{\jmath}}(\ {\color{blue}{2t}} e^{-5t}\ -\ {\color{blue}{6t^5}} e^{-t}) +\hat{\mathbf{k}}(\ {\color{blue}{2t}} e^{-3t}\ -\ {\color{blue}{4t^3}} e^{-t}) \\&\hskip0.1in +\hat{\pmb{\imath}}\big({\color{blue}{-5}}t^4 {\color{blue}{e^{-5t}}}{\color{blue}{+3}}t^6 {\color{blue}{e^{-3t}}}) -\hat{\pmb{\jmath}}({\color{blue}{-5}}t^2 {\color{blue}{e^{-5t}}}{\color{blue}{+}} t^6 {\color{blue}{e^{-t}}}) +\hat{\mathbf{k}}({\color{blue}{-3}}t^2 {\color{blue}{e^{-3t}}}{\color{blue}{+}}t^4 {\color{blue}{e^{-t}}})\\ &={\color{blue}{\big\{2t\,\hat{\pmb{\imath}}+4t^3\,\hat{\pmb{\jmath}}+6t^5\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\times \big\{e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\\&\hskip0.5in +\big\{t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + t^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^6\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\times {\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}}-3e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}}-5e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\\ &={\color{blue}{\textbf{a}'(t)}}\times\textbf{b}(t)+\textbf{a}(t)\times{\color{blue}{\textbf{b}'(t)}} \end{align*}\]

    y

    \[\begin{align*} \textbf{a}\big(s(t)\big) &=(\sin t)^2\,\hat{\pmb{\imath}} +(\sin t)^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + (\sin t)^6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \implies \dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}\big(s(t)\big)\big] &=2(\sin t)\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +4(\sin t)^3\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 6(\sin t)^5\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ &=\big\{2(\sin t)\,\hat{\pmb{\imath}} +4(\sin t)^3\hat{\pmb{\jmath}} + 6(\sin t)^5\hat{\mathbf{k}}\big\}\cos t \\ &=\textbf{a}'\big(s(t)\big)\,s'(t) \end{align*}\]

    Por supuesto estos ejemplos se extienden a general (diferenciables)\(\textbf{a}(t)\text{,}\)\(\textbf{b}(t)\text{,}\)\(\gamma(t)\) y\(s(t)\) y nos dan (la mayor parte de) el siguiente teorema.

    Teorema 1.1.3. Aritmética de diferenciación

    Let

    • \(\textbf{a}(t),\textbf{b}(t)\)ser vector valuado funciones diferenciables de\(t\in\mathbb{R}\) que toman valores en\(\mathbb{R}^n\) y
    • \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\)ser constantes y
    • \(\gamma(t)\)y\(s(t)\) ser reales valorizadas funciones diferenciables de\(t\in\mathbb{R}\)

    Entonces

    \[\begin{alignat*}{3} &\text{(a)}\quad &&\dfrac{d}{dt}\big[\alpha\,\textbf{a}(t)+\beta\,\textbf{b}(t)\big] =\alpha\,\textbf{a}'(t)+\beta\,\textbf{b}'(t) &&\text{(linear combination)}\\ &\text{(b)} &&\dfrac{d}{dt}\big[\gamma(t)\textbf{b}(t)\big] =\gamma'(t)\textbf{b}(t)+\gamma(t)\textbf{b}'(t) &&\text{(multiplication by scalar function)}\\ &\text{(c)} &&\dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}(t)\cdot\textbf{b}(t)\big] =\textbf{a}'(t)\cdot\textbf{b}(t)+\textbf{a}(t)\cdot\textbf{b}'(t) &&\text{(dot product)}\\ &\text{(d)} &&\dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}(t)\times\textbf{b}(t)\big] =\textbf{a}'(t)\times\textbf{b}(t)+\textbf{a}(t)\times\textbf{b}'(t) \ \ &&\text{(cross product)}\\ &\text{(e)} &&\dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}\big(s(t)\big)\big] =\textbf{a}'\big(s(t)\big)\,s'(t) &&\text{(composition)} \end{alignat*}\]

    Pensemos en el significado geométrico de\(\vecs{r} '(t)\text{.}\) En particular, pensemos en la relación entre\(\vecs{r} '(t)\) y distancias a lo largo de la curva. La derivada\(\vecs{r} '(t)\) es el límite de\(\frac{\vecs{r} (t+h)-\vecs{r} (t)}{h}\) como\(h\rightarrow 0\text{.}\) El numerador,\(\vecs{r} (t+h)-\vecs{r} (t)\text{,}\) es el vector con la cabeza en\(\vecs{r} (t+h)\) y la cola en\(\vecs{r} (t)\text{.}\)

    parCurveDeriv.svg

    Cuando\(h\) es muy pequeño este vector

    • tiene esencialmente la misma dirección que el vector tangente a la curva en\(\vecs{r} (t)\) y
    • tiene longitud que es esencialmente la longitud de la parte de la curva entre\(\vecs{r} (t)\) y\(\vecs{r} (t+h)\text{.}\)

    Tomando el límite como\(h\rightarrow 0\) rendimientos que

    • \(\vecs{r} '(t)\)es un vector tangente a la curva en\(\vecs{r} (t)\) ese punto en la dirección de aumento\(t\) y
    • si\(s(t)\) es la longitud de la parte de la curva entre\(\vecs{r} (0)\) y\(\vecs{r} (t)\text{,}\) luego\(\dfrac{ds}{dt}(t)=\big|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\big|\text{.}\)

    Esto vale la pena afirmarlo formalmente.

    Lema 1.1.4

    Dejar\(\vecs{r} (t)\) ser una curva parametrizada.

    1. Denote por\(\hat{\textbf{T}}\left ( t \right )\) el vector tangente unitario a la curva al\(\vecs{r} (t)\) apuntar en la dirección de aumentar\(t\text{.}\) If\(\vecs{r} '(t)\ne 0\) entonces

      \[ \hat{\textbf{T}}\left ( t \right ) = \frac{\vecs{r} '(t)}{|\vecs{r} '(t)|} \nonumber \]

    2. Denote por\(s(t)\) la longitud de la parte de la curva entre\(\vecs{r} (0)\) y\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Entonces

      \[\begin{align*} \dfrac{ds}{dt}(t)&=\Big|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\Big|\\ s(T)-s(T_0)&= \int_{T_0}^T \left|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\right|\,\text{d}t \end{align*}\]

      parCurveDerivB.svg
    3. En particular, si el parámetro pasa a ser la longitud del arco, es decir, si es\(t=s\text{,}\) así que\(\dfrac{ds}{ds}=1\text{,}\) entonces

      \[ \left|\dfrac{d\vecs{r} }{ds}(s)\right|=1\qquad \hat{\textbf{T}}\left ( s \right ) = \vecs{r} '(s) \nonumber \]

    Como aplicación, tenemos el

    Lema 1.1.5

    Si\(\vecs{r} (t)=\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\) es la posición de una partícula en el momento\(t\text{,}\) entonces

    \ begin {align*}\ text {posición en el tiempo} t &=\ vecs {r} (t) =\ grande (x (t)\,,\, y (t)\,,,\, z (t)\ grande)\\\ texto {velocidad en el tiempo} t &=\ vecs {v} (t) =\ vecs {r} '(t) =\ grande (x' (t)\,,\, y' (t)\,,\, z' (t)\ grande) =\ dfrac {ds} {dt} (t)\,\ hat {\ textbf {T}}\ izquierda (t\ derecha)\\ texto {velocidad en el tiempo} t &=\ dfrac {ds} {dt} (t) =|\ vecs {v} (t) = |\ vecs {r} '(t) |=\ sqrt {(x' (t) ^2+y' (t) ^2+z' (t) ^2}\\\ text {aceleración en el tiempo} t &=\ textbf {a} (t) =\ vecs {r} “(t) =\ vecs {v}' (t) =\ grande (x" (t)\,,\, y "(t)\,,\, z" (t)\ grande)\\\ final {alinear*}

    y la distancia recorrida entre tiempos\(T_0\) y\(T\) es

    \ begin {alinear*} s (T) -s (T_0) &=\ int_ {T_0} ^T\ Big|\ dfrac {d\ vecs {r}} {dt} (t)\ Big|\,\ texto {d} t =\ int_ {T_0} ^T\ sqrt {(x' (t) ^2+y' (t) ^2+z' (t) ^2}\,\ texto {d} t\ final {alinear*}

    Tenga en cuenta que la velocidad\(\vecs{v} (t) = \vecs{r} '(t)\) es una cantidad vectorial mientras que la velocidad\(\dfrac{ds}{dt}(t)=|\vecs{r} '(t)|\) es una cantidad escalar.

    Ejemplo 1.1.6. Circunferencia de un círculo

    En general puede ser bastante difícil calcular longitudes de arco. Entonces, como ejemplo de fácil calentimiento, calcularemos la circunferencia del círculo También\(x^2+y^2=a^2\text{.}\) encontraremos una unidad tangente al círculo en cualquier punto del círculo. Usaremos la parametrización

    \[ \vecs{r} (\theta) = \big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big)\qquad 0\le \theta\le 2\pi \nonumber \]

    del Ejemplo 1.0.1. Usando Lemma 1.1.4, pero con el parámetro\(t\) renombrado a\(\theta\)

    \[\begin{align*} \vecs{r} '(\theta) &= a\big(-\sin\theta\,,\cos\theta\big)\\ \hat{\textbf{T}}\left ( \theta  \right ) &= \frac{\vecs{r} '(\theta)}{|\vecs{r} '(\theta)|} = \big(-\sin\theta\,,\cos\theta\big)\\ \dfrac{ds}{d\theta}(\theta)&=\big|\vecs{r} '(\theta)\big| = a\\ s(\Theta)-s(0)&= \int_{0}^\Theta \big|\vecs{r} '(\theta)\big|\,\text{d}\theta =a\Theta \end{align*}\]

    Como 1\(s(\Theta)\) es la longitud del arco de la parte del círculo con\(0\le\theta\le\Theta\text{,}\) la circunferencia de todo el círculo es

    \[ s(2\pi) = 2\pi a \nonumber \]

    lo cual es tranquilizador, ya que esta fórmula se conoce 2 desde hace miles de años.

    parCircleT.svg

    La fórmula\(s(\Theta)-s(0)=a\Theta\) también tiene sentido — la parte del círculo con\(0\le\theta\le\Theta\) es la fracción\(\frac{\Theta}{2\pi}\) de todo el círculo, y así debería tener longitud\(\frac{\Theta}{2\pi}\times 2\pi a\text{.}\) También tenga en cuenta que

    \[ \vecs{r} (\theta)\cdot\hat{\textbf{T}}\left ( \theta  \right ) = \big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big) \cdot \big(-\sin\theta\,,\cos\theta\big) =0 \nonumber \]

    de manera que la tangente al círculo en cualquier punto sea perpendicular al vector de radio del círculo en ese punto. Este es otro hecho geométrico que se conoce 3 desde hace miles de años.

    Ejemplo 1.1.7. Longitud de arco de una hélice

    Considera la curva

    \[ \vecs{r} (t) = 6\sin(2t)\hat{\pmb{\imath}} + 6\cos(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +5t\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

    donde los vectores de base estándar\(\hat{\pmb{\imath}} = (1,0,0)\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}=(0,1,0)\) y Primero lo\(\hat{\mathbf{k}} =(0,0,1)\text{.}\) esbozaremos, observando que

    • \(x(t)=6\sin(2t)\)y\(y(t) =6\cos(2t)\) obedecer\(x(t)^2+y(t)^2 = 36 \sin^2(2t) + 36\cos^2(2t) = 36\text{.}\) Así que todos los puntos de la curva se encuentran en el cilindro\(x^2+y^2=36\) y
    • a\(t\) medida que aumenta,\(\big(x(t),y(t)\big)\) corre en sentido horario alrededor del círculo\(x^2+y^2=36\) y al mismo tiempo\(z(t) = 5t\) solo aumenta linealmente.

    Nuestra curva es la hélice

    helix4.svg

    Hemos marcado tres puntos de la curva en el boceto anterior. El primero tiene\(t=0\) y es\(0\hat{\pmb{\imath}}+6\hat{\pmb{\jmath}}+0\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) El segundo tiene\(t=\frac{\pi}{2}\) y es\(0\hat{\pmb{\imath}}-6\hat{\pmb{\jmath}}+\frac{5\pi}{2}\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) y el tercero tiene\(t=\pi\) y es Ahora\(0\hat{\pmb{\imath}}+6\hat{\pmb{\jmath}}+5\pi\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) usaremos Lemma 1.1.4 para encontrar una unidad tangente\(\hat{\textbf{T}}\left ( t  \right )\) a la curva en\(\vecs{r} (t)\) y también la longitud del arco de la parte de curva entre\(t=0\) y\(t=\pi\text{.}\)

    \[\begin{align*} \vecs{r} (t) &= 6\sin(2t)\hat{\pmb{\imath}} + 6\cos(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +5t\hat{\mathbf{k}}\\ \vecs{r} '(t) &= 12\cos(2t)\hat{\pmb{\imath}} -12\sin(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +5\hat{\mathbf{k}}\\ \dfrac{ds}{dt}(t)&=\big|\vecs{r} '(t)\big| =\sqrt{12^2\cos^2(2t) +12^2\sin^2(2t)+5^2} = \sqrt{12^2+5^2}\\ &= 13\\ \hat{\textbf{T}}\left ( t  \right ) &= \frac{\vecs{r} '(t)}{|\vecs{r} '(t))|} = \frac{12}{13}\cos(2t)\hat{\pmb{\imath}} -\frac{12}{13}\sin(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{5}{13}\hat{\mathbf{k}}\\ s(\pi)-s(0)&= \int_{0}^\pi \big|\vecs{r} '(t)\big|\,\text{d}t =13\pi \end{align*}\]

    Ejemplo 1.1.8. Velocidad y aceleración

    Imagínese que, en el momento\(t\text{,}\) una partícula está en

    \[ \vecs{r} (t) = \left[h+a\cos\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\right]\hat{\pmb{\imath}} +\left[k+a\sin\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\right]\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

    A medida que\(|\vecs{r} (t) -h\,\hat{\pmb{\imath}}-k\,\hat{\pmb{\jmath}}| = a\text{,}\) la partícula corre alrededor del círculo de radio\(a\) centrado en\((h,k)\text{.}\) Cuando\(t\) aumenta por\(T\text{,}\) el argumento,\(2\pi\frac{t}{T}\text{,}\) de\(\cos\left(2\pi\tfrac{t}{T}\right)\) y\(\sin\left(2\pi\tfrac{t}{T}\right)\) aumenta exactamente\(2\pi\) y la partícula corre exactamente una vez alrededor del círculo. En particular, recorre una distancia\(2\pi a\text{.}\) Así que se mueve a velocidad\(\frac{2\pi a}{T}\text{.}\) Según Lemma 1.1.5, tiene

    \[\begin{align*} \text{velocity } =\vecs{r} '(t) &=-\frac{2\pi a}{T}\sin\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\imath}} +\frac{2\pi a}{T}\cos\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\jmath}}\\ \text{speed} = \dfrac{ds}{dt}(t)&=|\vecs{r} '(t)|=\frac{2\pi a}{T}\\ \text{acceleration} =\vecs{r} ''(t) &=-\frac{4\pi^2 a}{T^2}\cos\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\imath}} -\frac{4\pi^2 a}{T^2}\sin\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\jmath}} \\ &= - \frac{4\pi^2}{T^2}\big[\vecs{r} (t) -h\,\hat{\pmb{\imath}}-k\,\hat{\pmb{\jmath}}\big] \end{align*}\]

    Aquí algunas observaciones.

    • La velocidad\(\vecs{r} '(t)\) tiene punto producto cero con el\(\vecs{r} (t) -h\,\hat{\pmb{\imath}}-k\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) cual es el radio vector desde el centro del círculo hasta la partícula. Entonces la velocidad es perpendicular al vector de radio, y por lo tanto paralela al vector tangente del círculo en\(\vecs{r} (t)\text{.}\)
    • La velocidad dada por Lemma 1.1.5 es exactamente la velocidad que encontramos arriba, justo antes de comenzar a aplicar Lemma 1.1.5.
    • La aceleración\(\vecs{r} ''(t)\) apunta en la dirección opuesta al vector de radio.

    circleVA.svg

    Ejemplo 1.1.9. Perímetro del astroide

    En este ejemplo, encontramos el perímetro del astroide 4

    \[ x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3} \nonumber \]

    Una construcción geométrica de esta curva, así como una derivación de su ecuación se da en la sección opcional 1.11 posterior. Empezaremos por encontrar una parametrización conveniente.

    • Para ello, note que\(x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3}\) se parece un poco a la ecuación del círculo\(x^2+y^2=a^2\text{.}\)
    • La parametrización estándar del círculo, es decir,\(x=a\cos t\text{,}\)\(y=a \sin t\) funciona por la identidad trigonométrica elemental\(\cos^2t+\sin^2t=1\text{.}\)
    • Si podemos arreglar eso\(x(t)^{2/3} = a^{2/3}\cos^2 t\) y\(y(t)^{2/3}=a^{2/3}\sin^2 t\text{,}\) entonces la misma identidad trigonométrica elemental dará\(x(t)^{2/3}+y(t)^{2/3} = a^{2/3}\text{,}\) como se desee.
    • Pero, por supuesto, es fácil de arreglar eso: solo resuelve\(x(t)^{2/3} = a^{2/3}\cos^2 t\) para\(x(t)\text{,}\) saber\(x(t) = a\cos^3t\text{,}\) y resolver\(y(t)^{2/3}=a^{2/3}\sin^2 t\) para\(y(t)\text{,}\) saber\(y(t)=a\sin^3 t\text{.}\)

    Nuestra parametrización es

    \[ \vecs{r} (t) = a\cos^3t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin^3 t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

    Por Lemma 1.1.4

    \[\begin{align*} \vecs{r} (t) &= a\cos^3t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin^3 t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \vecs{r} '(t) &= -3a\sin t\cos^2t\,\hat{\pmb{\imath}} + 3a\sin^2 t\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \dfrac{ds}{dt}(t)&=\big|\vecs{r} '(t)\big| = \sqrt{9a^2\sin^2t\cos^4t + 9a^2\sin^4t\cos^2t}\\ & = 3a \sqrt{\sin^2t\cos^2t(\cos^2t+\sin^2t)}\\ &=3a\big|\sin t\cos t\big|\\ \hat{\textbf{T}}\left ( t  \right ) &= \frac{\vecs{r} '(t)}{|\vecs{r} '(t))|} = \frac{\sin t\cos t}{|\sin t\cos t|}\ \big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\\ &= \mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) \end{align*}\]

    Aquí\(\mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\) significa “el signo de\(\sin t\cos t\)”, es decir,\(+1\) cuándo\(\sin t\cos t \gt 0\) y\(-1\) cuándo\(\sin t\cos t \lt 0\text{.}\) Así

    \[\begin{align*} &\hat{\textbf{T}}\left ( t  \right )\\ &=\left.\begin{cases}1&\text{if } \sin t \gt 0,\ \cos t \gt 0 \text{ or } \sin t \lt 0,\ \cos t \lt 0\\ -1&\text{if } \sin t \gt 0,\ \cos t \lt 0 \text{ or } \sin t \lt 0,\ \cos t \gt 0 \end{cases}\right\}\big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\\ &=\left.\begin{cases}1&\text{if } 0 \lt t \lt \frac{\pi}{2} \text{ or } \pi \lt t \lt \frac{3\pi}{2}\\ -1&\text{if } \frac{\pi}{2} \lt t \lt \pi \text{ or } \frac{3\pi}{2} \lt t \lt 2\pi \end{cases}\right\}\big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) \end{align*}\]

    Antes de pasar a bosquejar el astroide y calcular su perímetro, podemos hacer algunas observaciones que simplificarán nuestras vidas.

    • Los signos de ambos componentes de\(\vecs{r} (t)\) son los mismos que los signos de los componentes de\(\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{;}\) y los signos de ambos componentes de\(\vecs{r} '(t)\) son los mismos que los signos de los componentes de\(-\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\) Consecuentemente el astroide se parece algo a un círculo en ese
      • cuando\(0\le t\le \frac{\pi}{2}\text{,}\)\(\vecs{r} (t)\) se encuentra en el primer cuadrante y se mueve hacia arriba y hacia la izquierda a medida que\(t\) aumenta y
      • cuando\(\frac{\pi}{2}\le t\le \pi\text{,}\)\(\vecs{r} (t)\) se encuentra en el segundo cuadrante y se mueve hacia abajo y hacia la izquierda a medida que\(t\) aumenta y
      • cuando\(\pi\le t\le \frac{3\pi}{2}\text{,}\)\(\vecs{r} (t)\) se encuentra en el tercer cuadrante y se mueve hacia abajo y hacia la derecha a medida que\(t\) aumenta y
      • cuando\(\frac{3\pi}{2}\le t\le 2\pi\text{,}\)\(\vecs{r} (t)\) se encuentra en el cuarto cuadrante y se mueve hacia arriba y hacia la derecha a medida que\(t\) aumenta y
      • \(\vecs{r} (2\pi)=\vecs{r} (0)\)para que el astroide sea una curva cerrada que circunnavega el origen exactamente una vez como\(t\) va de\(0\) a\(2\pi\text{.}\)
    • Algo raro sucede en esos valores de\(t\) donde los\(\sin t\cos t\) cambios signo 5, es decir, en\(t=0\text{,}\)\(\frac{\pi}{2}\text{,}\)\(\pi\text{,}\)\(\frac{3\pi}{2}\text{,}\) etc. Es decir,\(\hat T(t)\) voltea. Para ser precisos

      \[\begin{align*} \lim_{t\rightarrow 0-}\hat T(t) &= \lim_{t\rightarrow 0-} \mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow 0-} \big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) =\hat{\pmb{\imath}} \\ \lim_{t\rightarrow 0+}\hat T(t) &= \lim_{t\rightarrow 0+}\mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow 0+}\big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) =-\hat{\pmb{\imath}} \end{align*}\]

      y

      \[\begin{align*} \lim_{t\rightarrow \pi/2-}\hat T(t) &= \lim_{t\rightarrow \pi/2-}\mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow \pi/2-}\big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) =\hat{\pmb{\jmath}} \\ \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\hat T(t) &= \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) =-\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]

      y así sucesivamente. Esto señala las cúspides en la curva en\(t=0\text{,}\), es decir, en\(\vecs{r} (0) = a\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\) y en\(t=\frac{\pi}{2}\text{,}\), es decir, en\(\vecs{r} (\frac{\pi}{2}) = a\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) y así sucesivamente. Entonces, si bien el astroide se parece un poco a un círculo, tiene cúspides en\(\pm a\hat{\pmb{\imath}}\) y\(\pm a\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\) Aquí está el boceto.

      astroid4 (1) .svg
    • El astroide es invariante bajo reflexiones en el\(x\) eje y en el\(y\) eje. Es decir,\(x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3}\) es invariante debajo\(x\rightarrow -x\) y también debajo\(y\rightarrow -y\text{.}\) Así para encontrar todo el perímetro, basta con encontrar la longitud del arco de la parte del astroide en el primer cuadrante, y luego multiplicarse por\(4\text{.}\)

      \[\begin{align*} \text{perimeter} &=4\int_0^{\pi/2}\dfrac{ds}{dt}\ \text{d}t = 4\int_0^{\pi/2}3a\sin t\cos t\ \text{d}t\\ & = 6a\int_0^{\pi/2}\sin(2t)\ \text{d}t =6a\Big[-\frac{\cos(2t)}{2}\Big]_0^{\pi/2}\\ &=6a \end{align*}\]

    Ejemplo 1.1.10. \(\vecs{r} '(t)=\vecs{0}\)

    En el último ejemplo, encontramos que el astroide tenía cúspides en esos puntos\(\vecs{r} (t)\) donde la velocidad\(\vecs{r} '(t)\) desapareció. En este ejemplo, exploraremos un poco más lo que puede suceder cuando\(\vecs{r} '(t)=\vecs{0}\text{.}\)

    Supongamos que estás fuera a caminar y que tu posición en el momento\(t\) es\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Si en algún momento tienes una velocidad distinta de cero, es muy difícil para ti cambiar tu dirección de movimiento de manera discontinua 6. Por otro lado, cuando no\(\vecs{r} '(t)=0\text{,}\) te estás moviendo en absoluto y es fácil para ti dar la vuelta y salir en cualquier dirección que elijas. Podrías invertir completamente la dirección, o hacer un giro brusco a la izquierda, o no cambiar de dirección en absoluto. Aquí hay ejemplos de todos estos. Todos ellos tienen\(\vecs{r} '(t)=0\text{.}\) Se esbozan a continuación.

    \[\begin{alignat*}{4} \vecs{r} _1(t) &= (t^5, t^2) & \vecs{r} _1'(t)&= (5t^4, 2t)\\ \vecs{r} _2(t) &= \left.\begin{cases} (t^2, 0) & \text{if } t\ge 0 \\ (0 , t^2) & \text{if } t\le 0 \end{cases}\right\}\qquad & \vecs{r} _2'(t)&= \left.\begin{cases} (2t, 0) & \text{if } t\ge 0 \\ (0 , 2t) & \text{if } t\le 0 \end{cases} \right\}\\ \vecs{r} _3(t) &= (t^3, 0) & \vecs{r} _3'(t) &= (3t^2, 0) \end{alignat*}\]

    cuspA.svgcuspB.svgnocusp.svg

    Ejemplo 1.1.11. Sacacorchos

    Encontraremos la longitud del arco de

    \[ \vecs{r} (t) = t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}\qquad 0\le t\le\sqrt{2} \nonumber \]

    Primero lo esbozaremos, observando que

    • \(x(t)=t\cos t \text{,}\)\(y(t) =t\sin t \)y\(z(t)=t\) obedecer\(x(t)^2+y(t)^2 = t^2 = z(t)^2\text{.}\) Así que todos los puntos de la curva se encuentran en el cono\(x^2+y^2=z^2\) y
    • a\(t\) medida que aumenta,\(\big(x(t),y(t)\big)\) corre en sentido antihorario alrededor de un “círculo” cuyo radio aumenta linealmente con\(t\) y al mismo tiempo\(z(t)\) también aumenta linealmente.

    Nuestra curva es el “sacacorchos”

    corkscrew.svg

    Por Lemma 1.1.4

    \[\begin{align*} \vecs{r} (t) &= t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \vecs{r} '(t) &= [\cos t -t\sin t ]\hat{\pmb{\imath}} +[\sin t+t\cos t]\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

    para que

    \[\begin{align*} &\dfrac{ds}{dt}(t)=\big|\vecs{r} '(t)\big|\\ &= \sqrt{\big(\cos^2t\!-\!2 t\sin t\cos t\!+\!t^2\sin^2 t\big) \!+\!\big(\sin^2t\!+\!2 t\sin t\cos t \!+\!t^2\cos^2 t\big)\!+\!1}\\ &=\sqrt{2+t^2} \end{align*}\]

    Nuestro objetivo, declarado al inicio de este ejemplo, era calcular

    \[ s(\sqrt{2})-s(0)= \int_{0}^{\sqrt{2}} \big|\vecs{r} '(t)\big|\,\text{d}t = \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{2+t^2}\,\text{d}t \nonumber \]

    Para evaluar la integral, utilizaremos tres técnicas que aprendiste en tu primer curso de cálculo integral. Primero, motivado por el\(\sqrt{2+t^2}\text{,}\) usaremos la sustitución trigonométrica

    \[ t=\sqrt{2}\tan u\qquad \text{d}t =\sqrt{2}\sec^2 u\,\text{d}u\qquad 2+t^2=2\big[1+\tan^2u\big]=2\sec^2 u \nonumber \]

    Cuándo\(t=0\text{,}\)\(u=0\) y cuándo\(t=\sqrt{2}\text{,}\)\(\tan u=1\) así que\(u=\frac{\pi}{4}\) y

    \[\begin{align*} s(\sqrt{2})-s(0)&= \int_{0}^{\pi/4} \sqrt{2\sec^2u}\,\sqrt{2}\sec^2 u\,\text{d}u = 2\int_{0}^{\pi/4} \sec^3 u\,\text{d}u \end{align*}\]

    Es posible que hayas evaluado esta integral en primer año. Hay varias formas de hacerlo. Quizás el método más directo, pero también el más tedioso, es reescribir la integral como

    \[ s(\sqrt{2})-s(0)= 2\int_{0}^{\pi/4} \frac{\cos u}{\cos^4 u}\,\text{d}u \nonumber \]

    Reconocemos que esta es una integral trigonométrica que contiene un poder impar de\(\cos u\text{,}\) por lo que sustituimos\(w=\sin u\text{,}\)\(\text{d}w=\cos u\,\text{d}u\text{,}\)\(\cos^2 u= 1-w^2\text{.}\) cuando\(u=0\text{,}\)\(w=0\) y cuando\(u=\frac{\pi}{4}\text{,}\)\(w=\frac{1}{\sqrt{2}}\) para que

    \[ s(\sqrt{2})-s(0)= 2\int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{\text{d}w}{{(1-w^2)}^2} \nonumber \]

    El integrando es ahora una función racional, es decir, una relación de polinomios. Entonces aplicamos fracciones parciales.

    \ begin {align*}
    s (\ sqrt {2}) -s (0)
    &= 2\ int_ {0} ^ {1/\ sqrt {2}}\ frac {\ mathrm {d} {w}} {[(1-w) (1+w)] ^2}\\
    &=\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {1/\ sqrt {2}}
    \ Grande [\ frac {1} {1-w} +\ frac {1} {1+w}\ Grande] ^2\ mathrm {d} {w}\\
    &=\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {1/\ sqrt {2}}
    \ Grande [\ frac {1} {(1-w) ^2} +\ frac {2} {(1-w) (1+w)} +\ frac {1} {(1+w) ^2}\ Grande]
    \ mathrm {d} {w}\\
    &=\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {1/\ sqrt {2}}
    \ Grande [\ frac {1} {(1-w) ^2} +\ frac {1} {1-w} +\ frac {1} {1+w}
    +\ frac {1} {(1+w) ^2}\ Grande]\ mathrm {d} {w}\\
    &= \ frac {1} {2}
    \ Grande [\ frac {1} {1-w} -\ ln|1-w|+\ ln|1+w|
    -\ frac {1} {1+w}\ Grande] _ {0} ^ {1/\ sqrt {2}}\\
    &=\ frac {1} {2}
    \ grande [\ frac {2w} {1-w^2} +\ ln\ frac {1+w} {1-w}\ Grande] _ {0} ^ {1/\ sqrt {2}}
    =\ frac {1} {2}
    \ Grande [2\ sqrt {2} +\ ln\ frac {\ sqrt {2} +1 } {\ sqrt {2} -1}\ Grande]\\
    &\ aprox 2.2956
    \ final {alinear*}

    ¡Oooof!

    Ejercicios

    Etapa 1

    Las preguntas 1.1.1.1 a 1.1.1.5 proporcionan práctica con parametrización de curvas. Estar cómodo con el álgebra y la interpretación de estas descripciones son ingredientes esenciales para trabajar eficazmente con parametrizaciones.

    1

    Encuentra la parametrización especificada de la parte del primer cuadrante del círculo\(x^2+y^2=a^2\text{.}\)

    1. En cuanto a la\(y\) coordenada.
    2. En cuanto al ángulo entre la línea tangente y el\(x\) eje positivo.
    3. En términos de la longitud del arco desde\((0,a)\text{.}\)
    2

    Considere la siguiente curva parametrizada en el tiempo:

    \[ \vecs{r} (t)=\left( \cos\left(\frac{\pi}{4}t\right), (t-5)^2\right) \nonumber \]

    Enumerar los tres puntos\((-1/\sqrt{2},0)\text{,}\)\((1,25)\text{,}\) y\((0,25)\) en orden cronológico.

    3

    ¿En qué puntos del\(xy\) plano se\((\sin t, t^2)\) cruza la curva? ¿Cuál es la diferencia\(t\) entre la primera vez que la curva cruza un punto y la última?

    4

    image-20.svg

    Un círculo de radio\(a\) rueda a lo largo del\(x\) eje -en la dirección positiva, comenzando por su centro\((a,a)\text{.}\) en En esa posición, marcamos el punto más alto del círculo\(P\text{.}\) A medida que el círculo se mueve,\(P\) se mueve con él. \(\theta\)Sea el ángulo que el círculo ha rodado — vea el diagrama a continuación.

    1. Dar la posición del centro del círculo en función de\(\theta\text{.}\)
    2. Dar la posición de\(P\) como una función de\(\theta\text{.}\)

    image-21.svg

    5

    La curva\(C\) se define como la intersección del hiperboloide

    \[ x^2-\frac{1}{4}y^2+3z^2=1 \nonumber \]

    y el avión

    \[ x+y+z=0. \nonumber \]

    Cuando\(y\) está muy cerca de 0, y\(z\) es negativo, encuentra una expresión dando\(z\) en términos de\(y\text{.}\)

    6

    Una partícula traza una curva en el espacio, de modo que su posición en el tiempo\(t\) es

    \[ \vecs{r} (t)=e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}}+\frac{1}{t}\,\hat{\pmb{\jmath}}+(t-1)^2(t-3)^2\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

    para\(t \gt 0\text{.}\)

    Dejar que el\(z\) eje positivo apunte verticalmente hacia arriba, como es habitual. ¿Cuándo se mueve la partícula hacia arriba y cuándo se mueve hacia abajo? ¿Se mueve más rápido en el momento\(t=1\) o en el momento?\(t=3\text{?}\)

    7

    A continuación se muestra la gráfica de la función parametrizada\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Let\(s(t)\) be la longitud de arco a lo largo de la curva de\(\vecs{r} (0)\) a\(\vecs{r} (t)\text{.}\)

    Indicar en la gráfica\(s(t+h)-s(t)\) y\(\vecs{r} (t+h)-\vecs{r} (t)\text{.}\) ¿Las cantidades son escalares o vectores?

    8

    ¿Cuál es la relación entre velocidad y velocidad en una función del tiempo valorada por vector?

    9

    Let\(\vecs{r} (t)\) Ser una función valorada vectorial. Dejar\(\vecs{r} '\text{,}\)\(\vecs{r} ''\), y\(\vecs{r} '''\) denotar\(\dfrac{\mathrm{d}\vecs{r} }{\mathrm{d}t}\text{,}\)\(\frac{\mathrm{d^2} \vecs{r} }{\mathrm{d}{t}^2}\) y\(\frac{\mathrm{d^3} \vecs{r} }{\mathrm{d}{t}^3}\text{,}\) respectivamente. Express

    \[ \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\big[ (\vecs{r} \times \vecs{r} ')\cdot\vecs{r} '' \big] \nonumber \]

    en términos de\(\vecs{r} \text{,}\)\(\vecs{r} '\),\(\vecs{r} ''\), y\(\vecs{r} '''\text{.}\) Seleccione la respuesta correcta.

    1. \(\displaystyle (\vecs{r} '\times\vecs{r} '' )\cdot\vecs{r} '''\)
    2. \(\displaystyle (\vecs{r} '\times\vecs{r} '' )\cdot\vecs{r} + (\vecs{r} \times\vecs{r} ' )\cdot\vecs{r} '''\)
    3. \(\displaystyle (\vecs{r} \times\vecs{r} ' )\cdot\vecs{r} '''\)
    4. \(\displaystyle 0\)
    5. Ninguna de las anteriores.
    10

    Mostrar que, si los vectores de posición y velocidad de una partícula en movimiento son siempre perpendiculares, entonces la trayectoria de la partícula se encuentra sobre una esfera.

    Etapa 2

    11

    Encuentra la velocidad de una partícula con la función de posición dada

    \[ \vecs{r} (t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\pmb{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

    Selecciona la respuesta correcta:

    1. \(\displaystyle |\vecs{v} (t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big)\)
    2. \(\displaystyle |\vecs{v} (t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}}\)
    3. \(\displaystyle |\vecs{v} (t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}}\)
    4. \(\displaystyle |\vecs{v} (t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big)\)
    5. \(\displaystyle |\vecs{v} (t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)\)
    12

    Encuentra la velocidad, velocidad y aceleración en el momento\(t\) de la partícula cuya posición es

    \[ \vecs{r} (t)= a \cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

    Describir la trayectoria de la partícula.

    13
    1. Let

      \[ \vecs{r} (t) = \left(t^2 , 3, \tfrac{1}{3} t^3 \right) \nonumber \]

      Encuentra el vector tangente unitario a esta curva parametrizada\(t = 1\text{,}\) apuntando en la dirección de aumento\(t\text{.}\)
    2. Encuentra la longitud del arco de la curva desde (a) entre los puntos\((0, 3, 0)\) y\((1, 3, -\frac{1}{3})\text{.}\)
    14

    Usando Lemma 1.1.4, encuentra la longitud del arco de\(\vecs{r} (t)=\left(t,\sqrt{\frac{3}{2}}t^2,t^3\right)\) desde\(t=0\) a\(t=1\text{.}\)

    15

    Encuentra la longitud de la curva paramétrica

    \[ x=a\cos t\sin t\qquad y=a\sin^2 t\qquad z=bt \nonumber \]

    entre\(t=0\) y\(t=T \gt 0\text{.}\)

    16

    La posición de una partícula en el tiempo\(t\) viene dada por\(\vecs{r} (t)=(t+\sin t, \cos t)\) 7. Cuál es la magnitud de la aceleración de la partícula en el momento\(t\text{?}\)

    17

    Una curva en\(\mathbb{R}^3\) viene dada por la ecuación vectorial\(\vecs{r} (t) = \left(2t \cos t, 2t \sin t,\frac{t^3}{3}\right)\)

    1. Encuentra la longitud de la curva entre\(t = 0\) y\(t = 2\text{.}\)
    2. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la línea tangente a la curva en\(t = \pi\text{.}\)
    18

    Dejar\(\vecs{r} (t) = \big(3 \cos t, 3 \sin t, 4t\big)\) ser el vector de posición de una partícula en función del tiempo\(t \ge 0\text{.}\)

    1. Encuentra la velocidad de la partícula en función del tiempo\(t\text{.}\)
    2. Encuentra la longitud del arco de su camino entre\(t = 1\) y\(t = 2\text{.}\)
    19

    El plano\(\ z=2x+3y\ \) cruza el cilindro\(\ x^2+y^2=9\ \) en una elipse.

    1. Encuentra una parametrización de la elipse.
    2. Expresa la circunferencia de esta elipse como una integral. No es necesario evaluar la integral 8.
    20

    Considera la curva

    \[ \vecs{r} (t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\pmb{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\pmb{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

    1. Calcular la longitud del arco de la curva de\(t = 0\) a\(t = \frac{\pi}{2}\text{.}\)
    2. Calcular la longitud del arco de la curva de\(t = 0\) a\(t = \pi\text{.}\)
    21

    Let\(\vecs{r} (t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big)\text{,}\)\(t\ge 0\text{.}\) Compute\(s(t\)), la longitud de arco de la curva en el momento\(t\text{.}\)

    22

    Encuentra la longitud del arco de la curva\(\vecs{r} (t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big)\) para\(0 \le a \le t \le b\text{,}\) y dónde\(m \gt 0\text{.}\) Expresa tu resultado en términos de\(m\text{,}\)\(a\text{,}\) y\(b\text{.}\)

    23

    Dejar\(C\) ser la parte de la curva de intersección del cilindro parabólico\(x = y^2\) y el paraboloide hiperbólico\(3z = 2xy\) con\(y\ge 0\text{.}\)

    1. Escribe una ecuación paramétrica vectorial para\(C\) usarla\(x\) como parámetro.
    2. Encuentra la longitud de la parte de\(C\) entre el origen y el punto\((9, 3, 18)\text{.}\)
    3. Una partícula se mueve a lo largo\(C\) en la dirección para la cual\(x\) va en aumento. Si la partícula se mueve con velocidad constante 9, encuentra su vector de velocidad cuando está en el punto\((1, 1, \frac{2}{3})\text{.}\)
    4. Encuentra el vector de aceleración de la partícula de la parte (c) cuando está en el punto\((1, 1, \frac{2}{3})\text{.}\)
    24

    Si una partícula tiene una\(m\text{,}\) posición de masa constante\(\vecs{r} \text{,}\) y se mueve con velocidad\(\vecs{v} \text{,}\), entonces su momento angular es\(\textbf{L}=m(\vecs{r} \times\vecs{v} )\text{.}\)

    Para una partícula con función de masa\(m=1\) y posición\(\vecs{r} =(\sin t, \cos t, t)\text{,}\) encontrar\(\left|\dfrac{d\textbf{L}}{dt} \right|\text{.}\)

    Etapa 3

    25

    Una partícula se mueve a lo largo\(\mathcal{C}\) de la curva de intersección de las superficies\(z^2=12y\) y\(18x=yz\) en dirección ascendente. Cuando la partícula está a\((1,3,6)\) su velocidad\(\vecs{v} \) y la aceleración\(\textbf{a}\) están dadas por

    \[ \vecs{v} =6\,\hat{\pmb{\imath}}+12\,\hat{\pmb{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \textbf{a} = 27\,\hat{\pmb{\imath}}+30\,\hat{\pmb{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

    1. Escribe una ecuación paramétrica vectorial para\(\mathcal{C}\) usarla\(u=\frac{z}{6}\) como parámetro.
    2. Encuentra la longitud de\(\mathcal{C}\) desde\((0,0,0)\) hasta\((1,3,6)\text{.}\)
    3. Si\(u=u(t)\) es el valor del parámetro para la posición de la partícula en el momento\(t\text{,}\) encontrar\(\dfrac{du}{dt}\) cuando la partícula está en\((1,3,6)\text{.}\)
    4. \(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}t^{2}}\)Averiguar cuando la partícula está en\((1,3,6)\text{.}\)
    26

    Una partícula de masa\(m = 1\) tiene posición\(\vecs{r} _0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\) y velocidad\(\vecs{v} _0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\pmb{\imath}}\) a la vez\(0\text{.}\) Se mueve bajo una fuerza

    \[ \vecs{F} (t) = -3t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}. \nonumber \]

    1. Determinar la posición\(\vecs{r} (t)\) de la partícula en función de\(t\text{.}\)
    2. ¿En qué momento y tiempo\(t = 0\) la partícula cruza el avión\(x = 0\) por primera vez?
    3. ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando cruza el plano\(x = 0\) en la parte (b)?
    27

    Dejar\(C\) ser la curva de intersección de las superficies\(y=x^2\) y\(z=\frac{2}{3}x^3\text{.}\) una partícula se mueve junto\(C\) con velocidad constante de tal manera que\(\dfrac{dx}{dt} \gt 0\text{.}\) La partícula está\((0,0,0)\) a la vez\(t=0\) y está\((3,9,18)\) a la vez\(t=\frac{7}{2}\text{.}\)

    1. Encuentra la longitud de la parte de\(C\) entre\((0,0,0)\) y\((3,9,18)\text{.}\)
    2. Encuentra la velocidad constante de la partícula.
    3. Encuentra la velocidad de la partícula cuando está en\(\big(1,1,\frac{2}{3}\big)\text{.}\)
    4. Encuentra la aceleración de la partícula cuando está en\(\big(1,1,\frac{2}{3}\big)\text{.}\)
    28

    Una cámara montada en un poste puede girar alrededor en un círculo completo. Se trata de rastrear un objeto cuya posición en el tiempo\(t\) segundos es\(x(t)\) metros al este del polo, y\(y(t)\) metros al norte del polo.

    Para estar siempre apuntando directamente al objeto, qué tan rápido debe programarse la cámara para que gire en el momento\(t\text{?}\) (Da tu respuesta en términos de\(x(t)\) y\(y(t)\) y sus derivadas, en las unidades rad/seg.)

    29

    Una tubería de radio 3 sigue la trayectoria de la curva\(\vecs{r} (t)=(\frac{2\sqrt2}{3}t^{3/2} , \frac12t^2 , t+2)\text{,}\) para\(0 \le t \le 10\text{.}\)

    ¿Cuál es el volumen dentro de la tubería? ¿Cuál es la superficie de la tubería?

    30

    Un alambre de 1000 cm de longitud total se forma en una bobina flexible que es una hélice circular. Si hay 10 vueltas a cada centímetro de altura y el radio de la hélice es de 3 cm, ¿qué tan alta es la bobina?

    31

    Un proyectil que cae bajo la influencia de la gravedad y ralentizado por la resistencia del aire proporcional a su velocidad tiene posición satisfactoria

    \[ \frac{\mathrm{d}^{2}\textbf{r}}{\mathrm{d}t^{2}}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\dfrac{d\vecs{r} }{dt} \nonumber \]

    donde\(\alpha\) es una constante positiva. Si\(\vecs{r} =\vecs{r} _0\) y\(\dfrac{d\vecs{r} }{dt}=\vecs{v} _0\) en el momento\(t=0\text{,}\) encontrar\(\vecs{r} (t)\text{.}\)

    1. Se podría adivinar que\(\Theta\) es una theta griega mayúscula. Tendrías razón.
    2. Las primeras aproximaciones escritas conocidas de\(\pi\text{,}\) Egipto y Babilonia, datan de 1900 a 1600 a.C. El primer algoritmo registrado para evaluar rigurosamente\(\pi\) fue desarrollado por Arquímedes alrededor del 250 a.C. El primer uso del símbolo\(\pi\text{,}\) para la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, en impresión fue en 1706 por William Jones.
    3. Se trata de la Proposición 18 en el Libro 3 de los Elementos de Euclides. Fue publicado alrededor del 300a.C.
    4. Astroide no debe confundirse con asteroide, aunque ambas palabras derivan de la palabra griega para estrella.
    5. Como una señal de cruce.
    6. Para que tu velocidad salte discontinuamente, tu aceleración tiene que ser infinita, lo que requiere de una fuerza infinita. Puede que no te veas tan saludable después
    7. La partícula traza un cicloide — ver Pregunta 1.1.1.4
    8. La integral indefinida involucrada es una de una clase de integrales llamadas integrales elípticas debido a sus conexiones a longitudes de arco de elipses. En general, las integrales elípticas no pueden expresarse en términos de funciones elementales. Puedes encontrar fácilmente discusiones de integrales elípticas usando tu motor de búsqueda favorito.

    This page titled 1.1: Derivados, Velocidad, Etc. is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Joel Feldman, Andrew Rechnitzer and Elyse Yeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.