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LibreTexts Español

1.7: Deslizamiento sobre una Curva

  • Page ID
    119008
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    Vamos a investigar el movimiento de una partícula de masa\(m\) deslizándose sobre una curva suave 1 sin fricción que se encuentra en un plano vertical. Consideraremos tres escenarios:

    • Primero, para configurar las cosas veremos una cuenta que se desliza sobre un cable rígido.
    • Entonces, imaginaremos que estamos esquiando recto cuesta abajo y preguntaremos “¿Dónde en la colina podemos llegar a ser aerotransportados?”.
    • Entonces imaginaremos que estamos patinando en una cuneta (una pipa grande) y preguntaremos “¿Cuándo es seguro?”.

    La Cuenta Deslizante

    Primero, considere una gota de masa\(m\) que se desliza, sin fricción, sobre un alambre rígido. Según la ley de movimiento de Newton

    \[ m\textbf{a} = \vecs{F} \nonumber \]

    donde\(\vecs{F} \) esta la fuerza neta que se aplica al talon. La cuenta está sujeta a dos fuerzas. La fuerza gravitacional es\(-mg\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\) Por definición, ausencia de fricción significa que el alambre es no aplica ninguna fuerza que esté en la dirección tangencial al alambre. Pero, debido a que es rígido, el cable nunca cambia de forma y en su lugar aplica la cantidad justa de fuerza, en la dirección normal al cable, que se necesita para mantener el talón en el cable 2 sin doblar el alambre. Llama a esta fuerza normal\(W\hat{\textbf{N}}\text{.}\)

    wireC.svg

    Entonces, por la ley de Newton,

    \[\begin{gather*} m\,\textbf{a}=-mg\,\hat{\pmb{\jmath}}+W\,\hat{\textbf{N}} \end{gather*}\]

    Analizaremos esta ecuación dividiéndola en sus componentes tangenciales y normales.

    Para extraer el componente tangencial de la ley de Newton, lo punteamos con\(\vecs{v} =|\vecs{v} |\hat{\textbf{T}} \text{.}\) Dado que\(\hat{\textbf{T}} \cdot\hat{\textbf{N}}=0\) esto mata a todos los componentes normales.

    \[\begin{align*} m\vecs{v} \cdot\dfrac{d\vecs{v} }{dt} &=-mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} +W\hat{\textbf{N}}\cdot\vecs{v} \\ \frac{1}{2}m\dfrac{d\ }{dt}(\vecs{v} \cdot\vecs{v} )&=-mg\dfrac{dy}{dt} \end{align*}\]

    Aquí hemos usado

    • Teorema 1.1.3.c en el lado izquierdo y
    • que\(\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} \) es solo el\(y\) componente de\(\vecs{v} \) y
    • eso\(\hat{\textbf{N}}\) y\(\vecs{v} =|\vecs{v} |\hat{\textbf{T}} \) son perpendiculares.

    Mover todo al lado izquierdo de la ecuación da

    \[\begin{align*} \dfrac{d\ }{dt}\left(\frac{1}{2}m|\vecs{v} |^2+mgy\right)&=0 \end{align*}\]

    y concluimos que la cantidad

    Ecuación 1.7.1. Conservación de Energía

    \[ E=\frac{1}{2}m|\vecs{v} |^2+mgy \nonumber \]

    es una constante, independiente del tiempo. Este es, por supuesto, el principio de conservación de la energía. Determina la velocidad\(|\vecs{v} |=\sqrt{\frac{2E}{m}-2gy}\) del talón en función de la altura\(y\) (y de la energía\(E\text{,}\) que está determinada por las condiciones iniciales).

    Para extraer el componente normal de la ley de Newton, lo punteamos con\(\hat{\textbf{N}}\text{:}\)

    \[ m\textbf{a}\cdot \hat{\textbf{N}}=-mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}}+W \nonumber \]

    Desde

    \[ \textbf{a}=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}}+\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}}+\kappa|\vecs{v} |^2\hat{\textbf{N}}\nonumber \]

    y\(\hat{\textbf{T}}\) y\(\hat{\textbf{N}}\) son perpendiculares, esto da, después de un pequeño reordenamiento,

    Ecuación 1.7.2. Fuerza Normal

    \[ W=m\kappa|\vecs{v} |^2+mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} =2\kappa(E-mgy)+mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} \nonumber \]

    El esquiador

    La diferencia entre el talón en el alambre y el esquiador en el cerro es que si bien el cerro es capaz de aplicar una fuerza normal ascendente (es decir, puede empujarte hacia arriba para evitar que caigas al centro de la Tierra), no es capaz de aplicar una fuerza normal descendente. Ese es el cerro no puede tirar hacia abajo sobre ti para mantenerte en el cerro. Solo la gravedad puede mantenerte conectado a tierra. Hay dos posibilidades principales 3.

    wireD.svgwireU.svg

    • Si el cerro es cóncavo hacia abajo como en la figura de arriba a la izquierda, entonces\(\hat{\textbf{N}}\) apunta hacia abajo y se permite que el cerro tenga\(W\le 0\) (lo que corresponde a la fuerza normal\(W\hat{\textbf{N}}\) empujando hacia arriba). Si alguna vez\(W \gt 0\text{,}\) la colina tendría que jalarte para mantenerte en la colina. No puede, entonces te vuelves en el aire. Ya que\(\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} \lt 0\text{,}\) esto sucede siempre

      \[\begin{align*} W \gt 0 &\iff m\kappa|\vecs{v} |^2+mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} \gt 0 \iff |\vecs{v} | \gt \sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}}|} \end{align*}\]

    • Si el cerro es cóncavo hacia arriba como en la figura de la derecha arriba, entonces\(\hat{\textbf{N}}\) apunta hacia arriba y se permite que el cerro tenga\(W\ge 0\) (lo que corresponde a la fuerza normal\(W\hat{\textbf{N}}\) empujando hacia arriba). Como siempre\(\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} \gt 0\) lo hemos hecho Nunca\(W=m\kappa|\vecs{v} |^2+mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} \gt 0\text{.}\) te vuelves aerotransportado. Por otro lado tus rodillas pueden quejarse.

    El Skate Boarder

    Hasta el momento, las ecuaciones 1.7.1 y 1.7.2 se aplican a cualquier “alambre” rígido sin fricción. Ahora nos especializamos en el caso especial de un skater dentro de una cunvert circular de radio\(a\text{.}\) Pongamos la parte inferior del círculo en el origen\((0,0)\text{,}\) para que el centro del círculo esté en\((0,a)\text{.}\)

    circleC2.svg

    En este caso la curvatura es\(\ \kappa=\frac{1}{a}\ \) y\(\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\hat{\textbf{N}}=\cos \phi=\frac{a-y}{a}\) así 1.7.1 y 1.7.2 simplifican a

    \[\begin{align*} |\vecs{v} |&=\sqrt{\frac{2}{m}(E-mgy)}=\sqrt{2g\Big(\frac{E}{mg}-y\Big)}\\ W&=\frac{2}{a}(E-mgy)+\frac{mg}{a}(a-y) =\frac{3mg}{a}\Big(\frac{2}{3mg}E+\frac{a}{3}-y\Big) \end{align*}\]

    Imagina ahora que comienzas por el fondo de la cuneta, es decir,\(y=0\text{,}\) con energía A\(E \gt 0\text{.}\) medida que avanza el tiempo,\(y\) aumenta\(|\vecs{v} |\) y consecuentemente y\(W\) ambos disminuyen, como, por supuesto, deberían. Esto continúa hasta que ocurra una de las tres cosas siguientes.

    1. \(|\vecs{v} |\)golpea 0, en cuyo caso dejas de subir y comienzas a descender. La velocidad\(|\vecs{v} |\) es cero cuando\(y=y_S=\frac{E}{mg}\text{.}\) (El subíndice “\(S\)” significa “stop”.) Los físicos dicen que cuando alcanzas\(y_S\) toda tu energía cinética (\(\frac{1}{2}m|\vecs{v} |^2\)) se ha convertido en energía potencial (\(mgy\)).
    2. \(W\)llega a cero. Cuando llegas más alto que esto,\(W\) se vuelve negativo y la cuneta tendría que tirar de ti para mantener los pies en la cuneta. Como la cuneta sólo te puede empujar, te vuelves en el aire. La fuerza normal\(W\) es cero cuando\(y=y_A=\frac{2}{3}\frac{E}{mg}+\frac{a}{3}\text{.}\) (El subíndice “\(A\)” significa “aerotransportado”.)
    3. \(y\)golpes\(2a\text{.}\) Esta es la cumbre de la cuneta. Desciende del otro lado.

    El caso que realmente sucede está determinado por los tamaños relativos de\(y_S,\ y_A\) y\(2a\text{.}\)

    • Comparando\(y_S=\frac{2}{3}\frac{E}{mg}+\frac{1}{3}\frac{E}{mg}\) y\(y_A=\frac{2}{3}\frac{E}{mg}+\frac{a}{3}\text{,}\) vemos que\(y_S\le y_A\iff \frac{E}{mg}\le a \text{.}\)
    • Comparando\(y_A=\frac{2}{3}\frac{E}{mg}+\frac{a}{3}\) y\(a=\frac{2}{3}a+\frac{a}{3}\text{,}\) vemos que\(y_A\le a\iff \frac{E}{mg}\le a\text{.}\)
    • Comparando\(y_A=\frac{2}{3}\frac{E}{mg}+\frac{a}{3}\) y\(2a=\frac{5}{3}a+\frac{a}{3}\text{,}\) vemos que\(y_A\le 2a\iff \frac{E}{mg}\le \frac{5}{2}a\text{.}\)

    Entonces las conclusiones son:

    • Si\(\ {\bf 0\le\frac{E}{mg}\le a}\ \) entonces\(\ 0\le y_S\le y_A\le a\ \text{.}\) En este caso solo oscilas entre alturas 0 y\(y_S\le a\) en la mitad inferior de la cuneta, como en la figura de abajo a la izquierda.
    • Si\(\ {\bf a\le\frac{E}{mg}\le \frac{5}{2}a}\ \) entonces\(\ a\le y_A\le y_S,2a\ \text{.}\) En este caso lo haces más de la mitad de camino hasta la cima. Pero te vuelves aerotransportado en\(y=y_A\) lo que está en algún lugar entre la marca a mitad de camino\(y=a\) y la parte superior\(y=2a\text{.}\) En este punto nuestro modelo se descompone porque ya no estás en contacto con la cuneta. Simplemente sigues libremente un arco parabólico hasta que vuelves a chocar contra la cuneta, como en la figura en el centro de abajo.
    • Si\(\ {\bf \frac{5}{2}a \lt \frac{E}{mg}}\ \) entonces\(\ 2a \lt y_A \lt y_S\ \text{.}\) En este caso vas con éxito todo el camino alrededor de la cuneta, haciendo un bucle en el bucle, como en la figura de la derecha de abajo. Tenga en cuenta que, ya que\(\frac{E}{mg} \gt \frac{5}{2}a \gt 2a\text{,}\) esto requiere significativamente más energía que la requerida para llegar a la cima, es decir, para alcanzar la altura\(2a\text{.}\)

    skateA.svgskateB.svgskateC.svg

    Ejercicios

    Etapa 1

    Puedes asumir que la aceleración por gravedad es\(g=9.8\) m/s También\(^2\text{.}\) puedes suponer que los sistemas descritos funcionan como lo hacen en el libro: así las pistas son sin fricción, etc., a menos que se mencione lo contrario.

    1

    La siguiente figura representa una perla que se desliza por un alambre. Vectores de boceto que representan la fuerza normal que el alambre ejerce sobre la perla y la fuerza de la gravedad.

    image-75.svg

    Supongamos que la parte superior de la página es “recta hacia arriba”.

    2

    En la definición\(E=\frac12m|\vecs{v} |^2+mgy\text{,}\)\(\vecs{v} \) ¿está la derivada de la posición respecto a qué cantidad?

    3

    Una cuenta se desliza hacia abajo por un alambre con la forma que se muestra a continuación,\(x \lt 0\text{.}\)

    image-78.svg

    Dejar\(W\hN\) ser la fuerza normal ejercida por el alambre cuando el talón está en posición\(x\text{.}\) Nota ¿\(W \gt 0\text{.}\)Es\(\dfrac{dW}{dx}\) positiva o negativa?

    4

    Un skater está rodando sobre una rampa parabólica sin fricción, muy alta con sección transversal descrita por\(y=x^2\text{.}\) Dada una frontera de masa\(m\) con energía del sistema\(E\text{,}\) ¿cuál es la elevación más alta que alcanza el patinador? ¿Cómo se compara esto con una cuneta circular?

    Etapa 2

    5

    Un skater de masa 100 kg está rodando libremente en una cuneta circular sin fricción de radio 5 m. Si el skater oscila entre alturas verticales de 0 y 3 m, ¿cuál es la energía\(E\) del sistema?

    6

    Un skater está rodando sobre una cuneta circular sin fricción de 5 m de radio. ¿Cuál debería ser su velocidad cuando están en el fondo de la cuneta (\(y=0\)) para que lo hagan todo el recorrido?

    7

    Una bola de masa 1 kg rueda por una pista con la forma\(\vecs{r} (\theta)=(3 \cos \theta, 5\sin\theta, 4+4\cos\theta)\) para Las\(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\text{.}\) coordenadas se miden en metros, y el\(z\) eje es vertical (por lo que la fuerza debida a la gravedad es\(-mg\hat{\mathbf{k}}\text{.}\))

    Cuando\(\theta=\pi/4\text{,}\) la partícula tiene velocidad instantánea\(|\vecs{v} (t)|=5\) m/s ¿Cuál es la fuerza normal ejercida por la pista en ese momento? Da tu respuesta como vector.

    8

    Una perla de masa\(\frac{1}{9.8}\) kg se desliza por un alambre en la forma de la curva\(\vecs{r} (\theta)=(\sin \theta , \sin \theta - \theta)\text{,}\)\(\theta \ge 0\text{,}\) con coordenadas medidas en metros. La perla romperá el cable cuando el cable ejerza una fuerza de 100 N sobre la cuenta.

    Si la perla rompe el cable\(\theta=\frac{13\pi}{3}\text{,}\) ¿a qué velocidad se mueve la cuenta en ese punto?

    9

    Un esquiador se desliza por una colina. El cerro se puede describir como\(\vecs{r} (t)=(\ln t, 1-t)\text{,}\)\(1/e \le t \le e\text{,}\) con coordenadas medidas en kilómetros. ¿Qué tan rápido tendría que moverse el esquiador para tomar aire?

    Etapa 3

    10

    Un cable sigue la trayectoria parametrizada arclength-parametrizada\(\vecs{r} (s)=(x(s),y(s))\text{.}\) Un talón, equipado con un paquete de chorro, se desliza hacia abajo del cable. El jet pack puede ejercer una fuerza variable en una dirección tangente al alambre,\(U\hat{\textbf{T}}\text{.}\) Suponiendo que el talón se desliza con velocidad constante\(\left|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}\right|=c\left| \dfrac{d\vecs{r} }{ds}\right|=c\text{,}\) encontrar una ecuación simplificada para\(U\text{,}\) la magnitud firmada de la fuerza ejercida por el jet pack.

    Deje que la aceleración por gravedad sea\(g\text{,}\) y deje que la masa del talón con su jet pack sea\(m\text{.}\) Dar\(U\) como una función de\(s\text{.}\)

    Observación: la mayoría de las cuentas que este autor ha visto no tenían jet packs. Sin embargo, al modelar un sistema frictionful 4, la fricción actúa como una fuerza que se opone directamente a la dirección del movimiento, al igual que nuestro jet pack.

    11

    Una máquina de nieve desciende con cautela una colina a baja velocidad. Su motor proporciona una fuerza\(M\hat{\textbf{T}}\) paralela a la dirección del movimiento. El motor proporciona cualquier fuerza que sea necesaria para mantener la máquina de nieve en movimiento a una velocidad constante,\(|\vecs{v} |\text{.}\) sus pisadas no resbalan.

    1. Dar una fórmula para\(M\) en términos de la masa\(m\) de la máquina de nieve, la aceleración por gravedad\(g\text{,}\) y el vector tangente\(\hat{\textbf{T}}\) al cerro.
    2. Deje que\(\hat{\textbf{T}}\) apunte en dirección cuesta abajo. ¿Esperas ser positivo o negativo\(M\) a medida que la máquina de nieve se mueve cuesta abajo?
    3. Encuentra\(M\) para el cerro de forma\(y=1+\cos x\) (medido en metros) en el punto\(x=\frac{3\pi}{4}\) para una maquina de nieve de masa 200 kg.
    12

    Un skater rueda a lo largo de una cuneta con sección transversal elíptica descrita por

    \[ \vecs{r} (\theta)=(4\cos\theta,3(1+\sin\theta)), 0 \le \theta \le 2\pi, \nonumber \]

    con coordenadas medidas en metros.

    1. Da la altura\(y_S\) (en términos de\(m\text{,}\)\(g\text{,}\) y\(E\)) donde la velocidad del patinador es cero.
    2. Escribe una ecuación relativa\(E\text{,}\)\(m\text{,}\)\(g\text{,}\) y\(y_A\text{,}\) dónde\(y_A\) está el\(y\) -valor donde el patinador se convertiría en el aire, es decir, dónde\(W=0\text{.}\) (No tienes que resolver para\(y_A\) explícitamente.)
    3. Supongamos que el patinador tiene velocidad 11 m/s en el fondo de la cuneta. ¿Cuál de los siguientes describe su viaje: lo hacen todo el recorrido; ruedan hacia adelante y hacia atrás en la mitad inferior; o lo hacen en el techo y luego se caen?
    13

    Una pista de montaña rusa sin fricción tiene la forma de una vuelta de la hélice circular con parametrización\(\ (a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta).\) Un automóvil sale del punto donde\(\ \theta=2\pi\ \) con velocidad cero y se mueve bajo gravedad hasta el punto donde\(\ \theta=0\text{.}\) Por la ley del movimiento de Newton, la posición\(\vecs{r} (t)\) del auto en el momento\(t\) obedece

    \[ m \vecs{r} ''(t) = \hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

    Aquí\(m\) está la masa del carro,\(g\) es una constante,\(-mg\hat{\mathbf{k}}\) es la fuerza debida a la gravedad y\(\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (t)\big)\) es la fuerza que la pista de montaña rusa aplica al carro para mantener el auto en la pista. Dado que la pista es sin fricción, siempre\(\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (t)\big)\) es perpendicular a\(\vecs{v} (t)=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\text{.}\)

    1. Demostrar que\(E(t)=\frac{1}{2} m |\vecs{v} (t)|^2 +mg \vecs{r} (t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\) es una constante, independiente de\(t\text{.}\) (Esto se llama “conservación de energía”.)
    2. Demostrar que la velocidad\(|\vecs{v} |\) en el punto\(\theta\) obedece\(\ |\vecs{v} |^2=2gb(2\pi-\theta).\)
    3. Encuentra el tiempo que se tarda en llegar\(\theta=0\text{.}\)
    1. Somos matemáticos — nos gustan las situaciones idealizadas.
    2. Esta fuerza es necesaria para evitar que la perla pase a través del cable o salga volando del cable.
    3. Asumimos que vas cuesta abajo y que la curvatura\(\kappa\gt 0\text{.}\)
    4. ¿Friccionado? ¿Fricción? ¿Befriccionado?

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