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# 1.8: Opcional — Coordenadas polares

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Hasta ahora siempre hemos escrito vectores en dos dimensiones en cuanto a los vectores base$$\hat{\pmb{\imath}}$$ y$$\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}$$ Esto no siempre es conveniente. Por ejemplo, cuando se trabaja en coordenadas polares, a menudo es conveniente usar vectores base$$\hat{\textbf{r}} (\theta)\text{,}$$$$\hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)$$ que dependen del valor de la coordenada$$\theta$$ polar actual, aunque normalmente uno solo escribe$$\hat{\textbf{r}} \text{,}$$$$\hat{\boldsymbol{\theta}}\text{,}$$ suprimiendo la dependencia$$\theta$$ de la notación. Cuando uno está en el punto con coordenadas polares,$$(r,\theta)\text{,}$$ estos vectores de base se definen por

##### Ecuación 1.8.1

\begin{align*} \hat{\textbf{r}} (\theta) &= \cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta) &= -\sin\theta\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}

Tenga en cuenta que esta base cuenta con dos propiedades muy bonitas.

1. $$|\hat{\textbf{r}}(\theta)| = |\hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)| = 1\text{,}$$$$\hat{\textbf{r}}(\theta) \perp \hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)$$(ortonormalidad)
2. $$\dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}(\theta)= \hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)\text{,}$$$$\dfrac{d\hat{\boldsymbol{\theta}}}{d\theta}(\theta) = -\hat{\textbf{r}}(\theta)$$

Eso$$\dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}(\theta)$$ es algún múltiplo escalar de$$\hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)$$ sigue solo por el hecho de que$$|\hat{\textbf{r}}(\theta)| = 1\text{.}$$

\begin{align*} |\hat{\textbf{r}}(\theta)| = 1 &\implies \hat{\textbf{r}} (\theta)\cdot\hat{\textbf{r}} (\theta)=1\\ &\implies \hat{\textbf{r}}(\theta)\cdot \dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}(\theta) =\frac{1}{2}\dfrac{d}{dt}\big( \hat{\textbf{r}} (\theta)\cdot\hat{\textbf{r}}(\theta)\big) =0\\ &\implies \dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}(\theta)\perp \hat{\textbf{r}} (\theta) \implies \dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}(\theta)\parallel \hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta) \end{align*}

Del mismo modo, eso$$\dfrac{d\hat{\boldsymbol{\theta}}}{d\theta}(\theta)$$ es algún múltiplo escalar de$$\hat{\textbf{r}}(\theta)$$ sigue solo por el hecho de que$$|\hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)| = 1\text{.}$$

##### Lema 1.8.2

Si parametrizamos una curva dando sus coordenadas polares 1$$\big(r(t)\,,\,\theta(t)\big)\text{,}$$ entonces

1. el vector de posición del punto en el tiempo$$t$$ es

$\begin{gather*} \vecs{r} (t) = r(t)\ \hat{\textbf{r}} \big(\theta(t)\big) \end{gather*}$

2. y el vector de velocidad del punto en el tiempo$$t$$ es

$\begin{gather*} \vecs{v} (t) = \dfrac{dr}{dt}(t)\ \hat{\textbf{r}} \big(\theta(t)\big) + r(t)\ \dfrac{d\theta}{dt}(t)\ \hat{\boldsymbol{\theta}}\big(\theta(t)\big) \end{gather*}$

3. y el vector de aceleración del punto en el tiempo$$t$$ es

\begin{align*} \textbf{a}(t) &= \left[\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}(t)\!-\!r(t)\Big(\dfrac{d\theta}{dt}(t)\Big)^2\right] \hat{\textbf{r}}{r} \big(\theta(t)\big)\\ &\hskip1in +\left[r(t)\ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta }{\mathrm{d}t^{2}}(t) \!+\! 2 \dfrac{dr}{dt}(t)\dfrac{d\theta}{dt}(t)\right] \hat{\boldsymbol{\theta}}\big(\theta(t)\big) \end{align*}

Es estándar suprimir los argumentos$$t$$ y$$\theta(t)$$ y escribir, por ejemplo,

$\vecs{v} = \dfrac{dr}{dt}\ \hat{\textbf{r}} + r\ \dfrac{d\theta}{dt}\ \hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber$

Pero es importante recordar que los argumentos realmente están ahí.

Prueba

El vector desde el origen hasta el punto cuyas coordenadas polares son$$(r,\theta)$$ es$$\vecs{r} = r\,\hat{\textbf{r}} (\theta)\text{.}$$ Así que si parametrizamos una curva dando las coordenadas polares en el momento$$t\text{,}$$

\begin{align*} \vecs{r} (t) &= r(t)\ \hat{\textbf{r}} \big(\theta(t)\big)\\ \vecs{v} (t) &= \dfrac{dr}{dt}(t)\ \hat{\textbf{r}} \big(\theta(t)\big) + r(t)\ \dfrac{d\hat{\textbf{r}} }{d\theta}\big(\theta(t)\big)\ \dfrac{d\theta}{dt}(t) \notag\\ &= \dfrac{dr}{dt}(t)\ \hat{\textbf{r}} \big(\theta(t)\big) + r(t)\ \dfrac{d\theta}{dt}(t)\ \hat{\boldsymbol{\theta}}\big(\theta(t)\big)\\ \textbf{a}(t) & = \frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}\ \hat{\textbf{r}} + \dfrac{dr}{dt}\ \dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}\ \dfrac{d\theta}{dt} + \dfrac{dr}{dt}\ \dfrac{d\theta}{dt}\ \hat{\boldsymbol{\theta}} + r\ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta }{\mathrm{d}t^{2}}\ \hat{\boldsymbol{\theta}} + r\ \Big(\dfrac{d\theta}{dt}\Big)^2\ \dfrac{d\hat{\boldsymbol{\theta}}}{d\theta}\\ &=\Big[\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}-r\ \Big(\dfrac{d\theta}{dt}\Big)^2\Big] \hat{\textbf{r}} +\Big[r\ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta }{\mathrm{d}t^{2}} + 2 \dfrac{dr}{dt}\ \dfrac{d\theta}{dt}\Big]\hat{\boldsymbol{\theta}} \end{align*}

##### Ejemplo 1.8.3

A modo de ejemplo, considere una perla que se desliza sobre una varilla sin fricción que tiene un extremo fijo en el origen y que está girando alrededor del origen a una constante$$\Omega\,$$ rad/seg.

Debido a que la varilla no tiene fricción, es incapaz de aplicar a la cuenta ninguna fuerza paralela a la varilla. Entonces, bajo la ley de Newton,$$m\textbf{a}=\vecs{F} \text{,}$$ el componente radial 2 de la aceleración de la partícula es exactamente cero. Entonces, si las coordenadas polares de la perla en el momento$$t$$ son$$\big(r(t),\theta(t)\big)\text{,}$$ entonces, por Lemma 1.8.2.c,

$\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}-r\ \Big(\dfrac{d\theta}{dt}\Big)^2 = 0 \nonumber$

A medida que la varilla gira a$$\Omega\,$$ rad/seg,$$\dfrac{d\theta}{dt}=\Omega$$ y

$\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}-\Omega^2\ r = 0 \nonumber$

La solución general a esta ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de coeficiente constante es 3

$r(t) = A e^{\Omega\,t} + B e^{-\Omega\,t} \nonumber$

donde$$A$$ y$$B$$ son constantes arbitrarias que están determinadas por condiciones iniciales. Sólo como ejemplo, si$$r(0)= 1$$ y$$r'(0)= 0\text{,}$$ entonces$$A+B=1$$ y$$A\Omega-B\Omega=0\text{,}$$ para que$$A=B=\frac{1}{2}$$ y

$r(t) = \frac{1}{2}\big(e^{\Omega\,t}+e^{-\Omega\,t}\big)\qquad \nonumber$

Si, de nuevo por ejemplo,$$\theta(0) = 0\text{,}$$ entonces$$\theta(t) = \Omega t$$ y la perla sigue la curva de coordenadas polares

$r(\theta) = \frac{1}{2}\big(e^{\theta}+e^{-\theta}\big) \nonumber$

Observe que$$r(\theta)$$ es$$1$$ cuando$$\theta=0\text{,}$$ aumenta a medida que$$\theta$$ aumenta, y tiende a$$\infty$$ como$$\theta\rightarrow+\infty\text{.}$$ La curva es una espiral.

##### Ejemplo 1.8.4. Secciones cónicas en coordenadas polares

En este ejemplo, derivamos la ecuación de una sección cónica general en coordenadas polares. Una sección cónica es la intersección de un plano con un cono. Esto se ilustra en las siguientes figuras.

Para nuestros propósitos actuales, es conveniente usar la definición equivalente 4 (y de uso frecuente) de que una sección cónica es el conjunto de puntos$$P$$ en el$$xy$$ plano -

• cuya distancia desde un punto fijo$$F$$ (llamado foco de la cónica)
• es un múltiplo constante$$\varepsilon \ge 0$$ (llamado la excentricidad de la cónica)
• de la distancia desde$$P$$ hasta una línea fija$$L$$ (llamada directrix de la cónica).

Elija un sistema de coordenadas con el foco$$F$$ de la cónica siendo el origen y con la directrix$$L$$ siendo$$x=p$$ para algunos$$p \gt 0\text{.}$$

Si$$P$$ tiene coordenadas polares$$(r,\theta)\text{,}$$ entonces$$P$$ tiene$$x$$ -coordenada$$r\cos\theta\text{.}$$ El punto$$Q$$ en la línea$$L$$ en la figura anterior tiene$$x$$ -coordenada$$p\text{.}$$ Entonces la distancia desde$$P$$ la$$L\text{,}$$ cual es también la distancia de$$P$$ a $$Q\text{,}$$es$$p-r\cos\theta\text{.}$$ La distancia de$$P$$ a$$F$$ es$$r\text{.}$$ Requerimos que la distancia de$$P$$ a$$F$$ es$$\varepsilon$$ veces la distancia de$$P$$ a$$L\text{.}$$ So

$r=\varepsilon \big(p-r\cos\theta\big) \iff r=\frac{\varepsilon p}{1+\varepsilon \cos\theta} \nonumber$

El numerador$$\varepsilon p$$ suele renombrarse para$$\ell$$ dar la ecuación

$r=\frac{\ell}{1+\varepsilon \cos\theta} \nonumber$

##### Ejemplo 1.8.5. Secciones cónicas en coordenadas polares, de nuevo

Ahora tomaremos la ecuación$$r=\frac{\ell}{1+\varepsilon \cos\theta}$$ para una sección cónica en coordenadas polares, del último ejemplo, y la convertiremos a las coordenadas cartesianas más familiares. Solo por la definición de coordenadas polares

\begin{align*} r\big(1+\varepsilon \cos\theta\big)=\ell &\iff r = \ell -\varepsilon x\\ &\iff x^2+y^2 = \ell^2-2\varepsilon \ell x+\varepsilon ^2 x^2\\ &\iff (1-\varepsilon ^2) x^2 + 2\varepsilon \ell x + y^2 = \ell^2 \tag{C} \end{align*}

Ahora considere por separado cuatro casos diferentes, dependiendo del valor de$$\varepsilon \ge 0\text{.}$$

• Si$$\varepsilon =0\text{,}$$ (C) se reduce a

$x^2+y^2 = \ell^2 \nonumber$

que es, por supuesto, un círculo de radio$$\ell\text{.}$$

• Si$$0 \lt \varepsilon \lt 1\text{,}$$ completar el cuadrado en (C) da

$(1-\varepsilon ^2)\Big(x+\frac{\varepsilon \ell}{1-\varepsilon^2}\Big)^2 + y^2 = \ell^2 + \frac{\varepsilon ^2\ell^2}{1-\varepsilon ^2} = \frac{\ell^2}{1-\varepsilon ^2} \nonumber$

que es equivalente a

$\frac{\big(x+\frac{\varepsilon \ell}{1-\varepsilon ^2}\big)^2} { \frac{\ell^2}{(1-\varepsilon ^2)^2}} +\frac{y^2}{\frac{\ell^2}{1-\varepsilon ^2}} =1 \nonumber$

y es, por supuesto, una elipse con semieje mayor$$r_M=\frac{\ell}{1-\varepsilon ^2}$$ y semieje menor$$r_m=\frac{\ell}{\sqrt{1-\varepsilon ^2}}\text{.}$$

• Si$$\varepsilon =1\text{,}$$ (C) se reduce a

$y^2 = \ell^2-2\ell x \nonumber$

que por supuesto es una parábola.

• Si$$\varepsilon\gt 1\text{,}$$ el mismo cómputo que en el$$0 \lt \varepsilon \lt 1$$ caso da

$\frac{\big(x-\frac{\varepsilon \ell}{\varepsilon^2-1}\big)^2} { \frac{\ell^2}{(\varepsilon ^2-1)^2}} -\frac{y^2}{\frac{\ell^2}{\varepsilon ^2-1}} =1 \nonumber$

y por supuesto es una hipérbola.

## Ejercicios

### Etapa 1

##### 1

Considerar los puntos

\begin{align*} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1)\\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{align*}

Para cada$$1\le i\le 5\text{,}$$

• bosquejo, en el$$xy$$ plano -plano, el punto$$(x_i,y_i)$$ y
• encontrar las coordenadas polares$$r_i$$ y$$\theta_i\text{,}$$ con$$0\le\theta_i \lt 2\pi\text{,}$$ para el punto$$(x_i,y_i)\text{.}$$
##### 2
1. Encuentra todos los pares de$$(r,\theta)$$ tal manera que

$(-2,0) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber$

2. Encuentra todos los pares de$$(r,\theta)$$ tal manera que

$(1,1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber$

3. Encuentra todos los pares de$$(r,\theta)$$ tal manera que

$(-1,-1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber$

##### 3

Considerar los puntos

\begin{align*} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1)\\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{align*}

También definir, para cada ángulo$$\theta\text{,}$$ los vectores

$\begin{gather*} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\pmb{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\pmb{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\pmb{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}$

1. Determinar, para cada ángulo$$\theta\text{,}$$ las longitudes de los vectores$$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$$ y$$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$$ y el ángulo entre los vectores$$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$$ y$$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)\text{.}$$ Calcular$$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$$ (visualización$$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$$ y$$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$$ como vectores en tres dimensiones con cero$$\hat{\mathbf{k}}$$ componentes).
2. Para cada$$1\le i\le 5\text{,}$$ boceto, en el$$xy$$ plano -plano, el punto$$(x_i,y_i)$$ y los vectores$$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$$ y$$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)\text{.}$$ En tu boceto de los vectores, coloca las colas de los vectores$$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$$ y$$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$$ en$$(x_i,y_i)\text{.}$$
##### 4 ✳

Coincidir las siguientes ecuaciones con las imágenes correspondientes. Las coordenadas cartesianas son$$(x, y)$$ y las coordenadas polares son$$(r, \theta)\text{.}$$

\begin{alignat*}{5} &\text{(a)}\quad& r&=2+\sin(4\theta) \qquad\qquad & &\text{(b)}\quad& r&=1+2\sin(4\theta)\\ &\text{(c)}\quad& r&=1\qquad\qquad & &\text{(d)}& r&=2\cos(\theta),\ -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\\ &\text{(e)}& r&=e^{\theta/10}+e^{-\theta/10}\qquad\qquad & &\text{(f)}& r&=\theta & \end{alignat*}

### Etapa 2

##### 5

Recordemos que un punto con coordenadas polares$$r$$ y$$\theta$$ tiene$$x=r\cos\theta$$ y$$y=r\sin\theta\text{.}$$ Let$$r=f(\theta)$$ be la ecuación de una curva plana en coordenadas polares. Encuentra la curvatura de esta curva en un punto general$$\theta\text{.}$$

##### 6

Encuentra la curvatura del cardioide$$r=a(1-\cos\theta)\text{.}$$

1. Como$$r$$ es habitual es la distancia desde el origen hasta el punto y$$\theta$$ es ángulo entre el$$x$$ eje -eje y el vector desde el origen hasta el punto. Los símbolos$$r\text{,}$$$$\theta$$ son los símbolos matemáticos estándar para las coordenadas polares. El Apéndice A.7 da otro conjunto de símbolos que se utiliza comúnmente en las ciencias físicas y la ingeniería.
2. El$$\hat{\boldsymbol{\theta}}$$ componente de la aceleración solo nos dice cuánta fuerza normal está aplicando la varilla a la cuenta para mantenerla en la varilla.
3. Una revisión de la técnica utilizada para encontrar esta solución se da en el Apéndice A.9. En cualquier caso, es fácil verificar que$$r(t)=A e^{\Omega\,t} + B e^{-\Omega\,t}$$ realmente obedezca$$\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}-\Omega^2\ r = 0\text{.}$$
4. Está fuera de nuestro alcance probar esta equivalencia.

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