1.9: Opcional — Fuerzas Centrales

Uno de los grandes triunfos de la mecánica newtoniana fue la explicación de las leyes de Kepler ¹, que decía

1. Los planetas trazan elipses alrededor del sol como foco.
2. El vector de radio\(\vecs{r} \) barre áreas iguales en tiempos iguales.
3. El cuadrado del periodo de cada planeta es proporcional al cubo del eje mayor de la órbita del planeta.

Newton demostró que todos estos comportamientos se derivan de la suposición de que la aceleración\(\textbf{a}(t)\) de cada planeta obedece a la ley del movimiento\(m\textbf{a} =\vecs{F} \) donde\(m\) está la masa del planeta y

\[ \vecs{F} = -\frac{GMm}{r^3}\vecs{r} \nonumber \]

es la “fuerza gravitacional” aplicada sobre el planeta por el sol. Aquí\(G\) hay una constante ², llamada la “constante gravitacional” o la “constante gravitacional universal”,\(M\) es la masa del sol,\(\vecs{r} \) es el vector del sol al planeta y\(r=|\vecs{r} |\text{.}\)

En esta sección, mostraremos que algunas de estas propiedades se derivan de la suposición más débil de que la aceleración\(\textbf{a}(t)\) de cada planeta obedece a la ley del movimiento\(m\textbf{a} =\vecs{F} \) al\(\vecs{F} \) ser una fuerza central. Es decir, la suposición que\(\vecs{F} \) es paralela a\(\vecs{r} \text{.}\) La verificación de que las otras propiedades siguen de la forma específica de la fuerza gravitacional, proporcional a se\(r^{-2}\text{,}\) retrasará hasta el opcional §1.10.

Entonces, en esta sección, suponemos que tenemos una curva parametrizada\(\vecs{r} (t)\) y que esta curva obedece

\[ m\frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}(t) = \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big) \nonumber \]

donde, para todos\(\vecs{r} \in\mathbb{R}^3\text{,}\)\(\vecs{F} (\vecs{r} )\) es paralelo a\(\vecs{r} \text{.}\) Demostraremos que

1. El camino\(\vecs{r} (t)\) se encuentra en un plano a través del origen y que
2. el vector de radio\(\vecs{r} \) barre áreas iguales en tiempos iguales.

Empezaremos tratando de adivinar qué es el avión. Pretendemos que sabemos que\(\vecs{r} (t)\) se encuentra en un plano fijo por el origen. Entonces\(\vecs{v} (t)=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\) yace en el mismo plano y\(\vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t)\) es perpendicular al plano. Si nuestro camino realmente se encuentra en un plano fijo,\(\vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t)\) no puede cambiar de dirección — siempre debe ser paralelo al vector normal al plano. Así que definamos

\[ \boldsymbol{\Omega}(t) = \vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t) \nonumber \]

y comprobar cómo depende del tiempo. Por la regla del producto,

\[\begin{align*} \dfrac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt}(t) &=\dfrac{d\ }{dt}\big(\vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t)\big) =\vecs{v} (t)\times\vecs{v} (t) + \vecs{r} (t)\times\textbf{a}(t)\\ &=\frac{1}{m}\vecs{r} (t)\times\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\\ &=\vecs{0} \tag{A} \end{align*}\]

porque\(\vecs{r} (t)\) y\(\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\) son paralelos. Así\(\boldsymbol{\Omega}(t)\) es ³ de hecho independiente de\(t\text{.}\) Es un vector constante que solo vamos a denotar\(\boldsymbol{\Omega}\text{.}\)

Como\(\vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t)=\boldsymbol{\Omega}\text{,}\) tenemos que siempre\(\vecs{r} (t)\) es perpendicular a\(\boldsymbol{\Omega}\) y

\[ \vecs{r} (t)\cdot\boldsymbol{\Omega} =0 \nonumber \]

• Si\(\boldsymbol{\Omega}\ne \vecs{0}\text{,}\) esta es exactamente la afirmación que\(\vecs{r} (t)\) siempre se encuentra en el plano a través del origen con vector normal\(\boldsymbol{\Omega}\text{.}\)
• Si\(\boldsymbol{\Omega}=\vecs{0}\text{,}\) entonces siempre\(\vecs{r} (t)\) es paralelo a\(\vecs{v} (t)\) y hay alguna función\(\alpha(t)\) tal que

  \[ \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) = \vecs{v} (t) = \alpha(t)\,\vecs{r} (t) \nonumber \]

  Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal, que podemos resolver mediante el uso de un factor integrador. Set

  \[ \beta(t) = \int_0^t\alpha(t)\ \text{d}t \nonumber \]

  Entonces

  \[\begin{align*} \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) = \alpha(t)\,\vecs{r} (t) &\iff e^{-\beta(t)} \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) -\alpha(t)e^{-\beta(t)}\,\vecs{r} (t)=0\\ &\iff \dfrac{d\ }{dt}\big[e^{-\beta(t)}\vecs{r} (t)\big] = 0\\ &\iff e^{-\beta(t)}\vecs{r} (t) = \vecs{r} (0)\\ &\iff \vecs{r} (t) = e^{\beta(t)}\vecs{r} (0) \end{align*}\]

  de manera que\(\vecs{r} (t)\) se encuentra en una línea a través del origen. Esto tiene sentido: la partícula siempre se mueve paralela a su vector de radio.

Esto completa la verificación que\(\vecs{r} (t)\) yace en un plano a través del origen.

Ahora mostramos que el vector radio\(\vecs{r} (t)\) barre áreas iguales en tiempos iguales. Es decir, ahora verificamos que la tasa a la que\(\vecs{r} (t)\) barre el área es independiente del tiempo. Para ello reescribimos el enunciado que\(|\vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t)\big|\) es constante en coordenadas polares. Escribir\(\vecs{r} (t) = r(t)\hat{\textbf{r}}\big(\theta(t)\big)\) y luego aplicar Lemma 1.8.2.b da que

\[\begin{align*} \text{constant} = \big|\vecs{r} \times\vecs{v} \big| &= \Big|r\hat{\textbf{r}} \times\Big(\dfrac{dr}{dt}\ \hat{\textbf{r}} + r\ \dfrac{d\theta}{dt}\ \hat{\boldsymbol{\theta}}\Big)\Big| =r^2\dfrac{d\theta}{dt}\\ &\text{since}\quad |\hat{\textbf{r}} \times\hat{\textbf{r}} |=0,\ |\hat{\textbf{r}}\times\hat{\boldsymbol{\theta}}|=1 \end{align*}\]

es constante. Ahora basta con observar que\(r(t)^2\dfrac{d\theta}{dt}(t)\) es exactamente el doble de la velocidad a la que\(\vecs{r} (t)\) barre el área. Para ver esto, basta con mirar la figura a continuación. El área sombreada es esencialmente una cuña de un disco circular de radio\(r\text{.}\) (Si\(r(t)\) fueran independientes de\(t\text{,}\) ella sería exactamente una cuña de un disco circular.) Su área es la fracción\(\frac{\text{d}\theta}{2\pi}\) del área del disco lleno, que es

\[ \frac{\text{d}\theta}{2\pi}\ \pi r^2 = \frac{1}{2}r^2\,\text{d}\theta \nonumber \]

Ejercicios

Etapa 3

1 ✳

Dejar\(\vecs{r} (t) = x(t)\,\hat{\pmb{\imath}} + y (t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + z(t)\,\hat{\mathbf{k}}\) ser la posición de una partícula a la vez\(t\). Supongamos que el movimiento de la partícula satisface la ecuación diferencial\(\frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}} = f (r) \vecs{r} \) donde\(r = |\vecs{r} |\).

1. Supongamos que\(f(r)\) es una función arbitraria de\(r\). Demostrar o desacreditar cada una de las siguientes declaraciones.
   1. El movimiento de la partícula es plano.
   2. La trayectoria de la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales.
2. Encuentra todas las formas de\(f(r)\) para las cuales el movimiento de la partícula siempre se encuentra en línea recta.
3. Dar una forma específica de\(f(r)\) para la cual el movimiento de la partícula podría estar sobre una elipse.

2 ✳

Un objeto se mueve a lo largo de una curva en el\(xy\) plano -que tiene ecuación polar\(r=\frac{1}{\theta+\alpha }\) (donde\(\alpha \) es una constante) bajo la influencia de una fuerza central para que el objeto no tenga aceleración transversal.

1. Verifique que\(r^2\dot\theta=h\) permanezca constante a medida que el objeto se mueve.
2. Expresar la magnitud de la aceleración del objeto en función de\(r\) y\(h\text{.}\)

1. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló estas leyes en el curso de un intento de relacionar los cinco planetas extraterrestres entonces conocidos por los cinco sólidos platónicos. Basó las leyes en un gran número de medidas cuidadosas realizadas por el astrónomo danés Tycho Brahe (1546—1601). Entonces Isaac Newton (inglés, 1642—1727) proporcionó la explicación en 1687. Kepler también escribió una ponencia titulada “En el copo de nieve de las seis curvas”. Tycho Brahe perdió la nariz en duelo de espadas y a partir de entonces portó una prótesis de nariz. La historia es que Brahe murió de una vejiga reventada que resultó de su negativa a abandonar la mesa de la cena ante su anfitrión.
2. Su valor es aproximadamente\(6.67408\times10^{-11} \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{sec}^{-2}\text{.}\)
3. Los físicos llaman\(m\,\boldsymbol{\Omega}(t)\) el momento angular\(t\) y se refieren a (A) como (un ejemplo de) conservación del momento angular. La conservación del momento angular es explotada en giroscompases y por patinadores sobre hielo (para girar más rápido/más lento).