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1.11: Opcional — El Astroide

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Imagina una bola de radio\(a/4\) rodando alrededor del interior de un círculo de radio\(a\text{.}\) La curva trazada por un punto\(P\) pintado en el círculo interno (esa es la curva azul en las figuras de abajo) se llama astroide 1. Encontraremos su ecuación.

    astroid1AA.svgastroid1BB.svgastroid1CC.svg

    astroid1DD.svgastroid1EE.svgastroid1FF.svg

    Define los ángulos\(\theta\) y\(\phi\) como en la figura de abajo a la izquierda.

    astroid.svgastroid3.svg

    Eso es

    • el vector desde el centro,\(O\text{,}\) del círculo de radio\(a\) al centro,\(Q\text{,}\) de la bola de radio\(a/4\) es\(\frac{3}{4}a\big(\cos\theta,\sin\theta\big)\) y
    • el vector desde el centro,\(Q\text{,}\) de la bola de radio\(a/4\) hasta el punto\(P\) es\(\frac{1}{4}a\big(\cos\phi,-\sin\phi\big)\)

    Como\(\theta\) corre desde 0 hasta\(\frac{\pi}{2}\text{,}\) el punto de contacto entre los dos círculos se desplaza a través de un cuarto de la circunferencia del círculo de radio\(a\text{,}\) que es una distancia\(\frac{1}{4}(2\pi a)\text{,}\) que, a su vez, es exactamente la circunferencia del círculo interno. Por lo tanto, si\(\phi=0\) for\(\theta=0\) (es decir, si\(P\) comienza en el\(x\) eje -eje), entonces for\(\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}\)\(P\) vuelve a estar en contacto con el círculo grande en el polo norte tanto de los círculos internos como externos. Es decir,\(\phi=\frac{3\pi}{2}\) cuando\(\theta=\frac{\pi}{2}\text{.}\) (Ver la figura de la derecha arriba.) Así\(\phi=3\theta\) y\(P\) tiene coordenadas

    \[ \frac{3}{4}a\big(\cos\theta,\sin\theta\big) +\frac{1}{4}a\big(\cos\phi,-\sin\phi\big) =\frac{a}{4}\big(3\cos\theta+\cos 3\theta,3\sin\theta-\sin 3\theta\big) \nonumber \]

    Como, recordando su doble ángulo, o incluso mejor su triple ángulo, identidades trig,

    \[\begin{align*} \cos3\theta&=\cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin 2\theta\\ &=\cos\theta[\cos^2\theta-\sin^2\theta]-2\sin^2\theta\cos\theta\\ &=\cos\theta[\cos^2\theta-3\sin^2\theta]\\ \sin3\theta&=\sin\theta\cos2\theta+\cos\theta\sin 2\theta\\ &=\sin\theta[\cos^2\theta-\sin^2\theta]+2\sin\theta\cos^2\theta\\ &=\sin\theta[3\cos^2\theta-\sin^2\theta] \end{align*}\]

    tenemos

    \[\begin{alignat*}{2} 3\cos\theta+\cos 3\theta &=\cos\theta[3+\cos^2\theta-3\sin^2\theta] & &=\cos\theta[3+\cos^2\theta-3(1-\cos^2\theta)] \\ &=4\cos^3\theta\\ 3\sin\theta-\sin 3\theta &=\sin\theta[3-3\cos^2\theta+\sin^2\theta] & &=\sin\theta[3-3(1-\sin^2\theta)+\sin^2\theta] \\ &=4\sin^3\theta \end{alignat*}\]

    y las coordenadas de\(P\) simplificar

    \[ x(\theta)= a\cos^3\theta\qquad y(\theta)=a\sin^3\theta \nonumber \]

    ¡Oof! A medida\(\ x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\cos^2\theta+a^{2/3}\sin^2\theta \ ,\) que el camino trazado por\(P\) obedece a la ecuación

    \[ x^{2/3}+y^{2/3} =a^{2/3} \nonumber \]

    lo cual es sorprendentemente sencillo, considerando lo que pasamos para llegar hasta aquí.

    Queda el peligro de que puedan existir puntos\((x,y)\) obedeciendo la ecuación\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\) que no sean de la forma\(x= a\cos^3\theta,\ y=a\sin^3\theta\) para ninguna Es\(\theta\text{.}\) decir, existe el peligro de que la curva parametrizada\(x= a\cos^3\theta,\ y=a\sin^3\theta\) cubra solo una porción de Ahora\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{.}\) mostramos que la curva parametrizada\(x= a\cos^3\theta,\ y=a\sin^3\theta\) de hecho cubre todo\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\) lo que\(\theta\) va de\(0\) a\(2\pi\text{.}\)

    Primero, observe eso\(x^{2/3}=\big(\root 3\of x\big)^2\ge 0\) y\(y^{2/3}=\big(\root 3\of y\big)^2\ge 0\text{.}\) por lo tanto, si\((x,y)\) obedece\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{,}\) entonces necesariamente\(0\le x^{2/3}\le a^{2/3} \) y así\(-a\le x\le a\text{.}\) Como\(\theta\) va de\(0\) a\(2\pi\text{,}\)\(a\cos^3\theta\) toma todos los valores entre\(-a\) y\(a\) y por lo tanto toma todos los valores posibles de\(x\text{.}\) For cada uno\(x\in[-a,a]\text{,}\)\(y\) toma dos valores, a saber\(\pm{[a^{2/3}-x^{2/3}]}^{3/2}\text{.}\) Si\(x=a\cos^3\theta_0=a\cos^3(2\pi-\theta_0)\text{,}\) los dos valores correspondientes de\(y\) son precisamente\(a\sin^3\theta_0\) y\(-a\sin^3\theta_0=a\sin^3(2\pi-\theta_0)\text{.}\)

    1. El nombre “astroide” proviene de la palabra griega “aster”, que significa estrella, con el sufijo “oid” que significa “tener la forma de”. La curva fue discutida por primera vez por Johann Bernoulli en 1691—92.

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