2.4: Integrales de línea

Ya hemos visto, en §1.6, un tipo de integral a lo largo de curvas. Ahora vamos a ver un segundo, que resulta tener conexiones significativas con campos vectoriales conservadores. Surgió del concepto de “trabajo” en la mecánica clásica.

Supongamos que deseamos encontrar el trabajo realizado por una fuerza que\(\vecs{F} (\vecs{r} )\) mueve una partícula a lo largo de un camino\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Durante el “intervalo de tiempo infinitesimal” ¹ de\(t\) a\(t+\text{d}t\) la partícula se mueve de\(\vecs{r} (t)\) a\(\vecs{r} (t)+\text{d}\vecs{r} \) con\(\text{d}\vecs{r} =\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\,\text{d}t\text{.}\) Por definición, el trabajo realizado durante ese intervalo de tiempo infinitesimal es

\[ \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\text{d}\vecs{r} = \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\,\text{d}t \nonumber \]

El trabajo total realizado durante el intervalo de tiempo de\(t_0\) a\(t_1\) es entonces

\[ \text{Work} = \int_{t_0}^{t_1}\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\,\text{d}t \nonumber \]

Hay algunas anotaciones taquigrafía útiles para este trabajo.

Definición 2.4.1

Denote por\(\mathcal{C}\) el camino parametrizado\(\vecs{r} (t)\) con\(t_0\le t\le t_1\text{.}\) Then

\[ \int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =\int_\mathcal{C}\big(\vecs{F} _1\text{d}x+\vecs{F} _2\text{d}y+\vecs{F} _3\text{d}z\big) =\int_{t_0}^{t_1}\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\,\text{d}t \nonumber \]

Si\(\mathcal{C}\) es un trazado cerrado, también\(\oint_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) se utiliza la notación.

En el caso de que\(\vecs{F} \) sea conservador, y conocemos el potencial\(\varphi\text{,}\) el siguiente teorema proporciona una manera realmente fácil de calcular “integrales de trabajo”. El teorema es una generalización del teorema fundamental del cálculo, y de hecho algunas personas lo llaman el teorema fundamental de las integrales de línea.

Teorema 2.4.2

Dejar\(\vecs{F} =\nabla\varphi\) ser un campo vectorial conservador. Entonces si\(\mathcal{C}\) hay alguna curva que comience en\(P_0\) y termine en\(P_1\text{,}\) tenemos ²

\[ \int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =\varphi(P_1)-\varphi(P_0) \nonumber \]

Prueba

\(\vecs{r} (t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)\text{,}\)\(t_0\le t\le t_1\text{,}\)Sea cualquier parametrización de\(\mathcal{C}\) con\(\vecs{r} (t_0)=P_0\) y\(\vecs{r} (t_1)=P_1\text{.}\) Entonces, por definición,

\[\begin{align*} \int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} &=\int_{t_0}^{t_1}\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\,\text{d}t =\int_{t_0}^{t_1}\vecs{ \nabla} \varphi\big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\,\text{d}t\\ &=\int_{t_0}^{t_1}\Big[ \frac{\partial\varphi}{\partial x}\big(x(t),y(t),z(t)\big) \dfrac{dx}{dt}(t) +\frac{\partial\varphi}{\partial y}\big(x(t),y(t),z(t)\big) \dfrac{dy}{dt}(t)\\ &\hskip2.7in +\frac{\partial\varphi}{\partial z}\big(x(t),y(t),z(t)\big) \dfrac{dz}{dt}(t) \Big]\text{d}t\\ &=\int_{t_0}^{t_1}\dfrac{d\ }{dt}\Big[\varphi\big(x(t),y(t),z(t)\big) \Big]\text{d}t \qquad\text{by the chain rule in reverse}\\ &=\varphi\big(\vecs{r} (t_1)\big) - \varphi\big(\vecs{r} (t_0)\big) =\varphi(P_1) - \varphi(P_0) \end{align*}\]

por el teorema fundamental del cálculo.

Obsérvese que, en el Teorema 2.4.2, el valor,\(\varphi(P_1)-\varphi(P_0)\text{,}\) de la integral\(\int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) dependía únicamente\(P_1\) de los puntos finales\(P_0\) y de la curva, no del camino que siguió la curva para llegar a\(P_0\) partir de\(P_1\text{.}\) Veremos, en el Teorema 2.4.7, a continuación, que esto sucede sólo para conservadores campos vectoriales. Aquí hay varios ejemplos de integrales de línea de campos vectoriales que no son conservadores.

Ejemplo 2.4.3

Set\(P_0=(0,0)\text{,}\)\(P_1=(1,1)\) y ³

\[ \vecs{F} (x,y) = xy\,\hat{\pmb{\imath}} + (y^2+1)\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

Consideraremos tres curvas, todas comenzando en\(P_0\) y terminando en\(P_1\text{.}\)

1. Dejar\(\mathcal{C}_1\) ser la línea recta de\(P_0\) a\(P_1\text{.}\)
2. Dejar\(\mathcal{C}_2\) ser el camino, hecho a partir de dos líneas rectas, que sigue el\(x\) eje -de\(P_0\) a\((1,0)\) y luego sigue la línea\(x=1\) de\((1,0)\) a\(P_1\text{.}\)
3. Que\(\mathcal{C}_3\) sea la parte de la parábola\(x=y^2\) desde\(P_0\) hasta\(P_1\text{.}\)

Calcularemos el trabajo\(\int_{\mathcal{C}_i}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) para cada una de las curvas.

1. Parametrizamos\(\mathcal{C}_1\)\(\vecs{r} (t) = t\,\hat{\pmb{\imath}}+t\,\hat{\pmb{\jmath}}\) con\(t\) correr de\(0\) a\(1\text{.}\)\(y(t)=t\) Entonces\(x(t)=t\) y para que

   \[ \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big) = t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + (t^2+1)\,\hat{\pmb{\jmath}}\qquad\text{and}\qquad \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) = \hat{\pmb{\imath}} + \hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

   para que

   \[\begin{align*} \int_{\mathcal{C}_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} &=\int_{0}^{1}\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\,\text{d}t =\int_{0}^{1}\big[t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + (t^2+1)\,\hat{\pmb{\jmath}}\big]\cdot[\hat{\pmb{\imath}} + \hat{\pmb{\jmath}}]\,\text{d}t\\ &=\int_{0}^{1}\big[2t^2+1\big]\,\text{d}t\\ &=\frac{5}{3} \end{align*}\]

2. Nos\(\mathcal{C}_2\) dividimos en dos partes,\(\mathcal{C}_{2,x}\) corriendo de\(P_0\) a\((1,0)\) lo largo del\(x\) eje -y luego\(\mathcal{C}_{2,y}\) corriendo de\((1,0)\) a\(P_1\) lo largo de la línea\(x=1\text{.}\) Parametrizamos\(\mathcal{C}_{2,x}\) por\(\vecs{r} (x) = x\,\hat{\pmb{\imath}}\) con\(x\) correr de\(0\) a\(1\) y \(\mathcal{C}_{2,y}\)por\(\vecs{r} (y) = \hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}\) con\(y\) correr de\(0\) a\(1\text{.}\) Entonces ⁴

   \[\begin{align*} &\int_{\mathcal{C}_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =\int_{\mathcal{C}_{2,x}}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} + \int_{\mathcal{C}_{2,y}}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \\ &\hskip0.25in=\int_{0}^{1}\big[(x) (0)\,\hat{\pmb{\imath}} + (0^2+1)\,\hat{\pmb{\jmath}}\big]\cdot \overbrace{\dfrac{d\ }{dx}\big(x\,\hat{\pmb{\imath}}\big)}^{\hat{\pmb{\imath}}}\,\text{d}x\\ &\hskip1.25in + \int_{0}^{1}\big[(1) (y)\,\hat{\pmb{\imath}} + (y^2+1)\,\hat{\pmb{\jmath}}\big]\cdot \overbrace{\dfrac{d\ }{dy}\big(\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)}^{\hat{\pmb{\jmath}}}\,\text{d}y\\ &\hskip0.25in=\int_{0}^{1}0\,\text{d}x + \int_{0}^{1}\big(y^2+1\big)\,\text{d}y\\ &\hskip0.25in=\frac{4}{3} \end{align*}\]

3. Parametrizamos\(\mathcal{C}_3\)\(\vecs{r} (t) = t^2\,\hat{\pmb{\imath}}+t\,\hat{\pmb{\jmath}}\) con\(t\) correr de\(0\) a\(1\text{.}\)\(y(t)=t\) Entonces\(x(t)=t^2\) y para que

   \[ \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big) = t^3\,\hat{\pmb{\imath}} + (t^2+1)\,\hat{\pmb{\jmath}}\qquad\text{and}\qquad \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) = 2t\,\hat{\pmb{\imath}} + \hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

   para que

   \[\begin{align*} \int_{\mathcal{C}_3}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} & =\int_{0}^{1}\big[t^3\,\hat{\pmb{\imath}} + (t^2+1)\,\hat{\pmb{\jmath}}\big]\cdot[2t\,\hat{\pmb{\imath}} + \hat{\pmb{\jmath}}]\,\text{d}t\\ &=\int_{0}^{1}\big[2t^4+t^2+1\big]\,\text{d}t\\ &=\frac{2}{5}+\frac{1}{3}+1 = \frac{26}{15} \end{align*}\]

Tenga en cuenta que, a pesar de que\(\mathcal{C}_1\text{,}\)\(\mathcal{C}_2\) y\(\mathcal{C}_3\) todos comienzan en\(P_0\) y todos terminan en\(P_1\text{,}\) las tres integrales\(\int_{\mathcal{C}_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{,}\)\(\int_{\mathcal{C}_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) y\(\int_{\mathcal{C}_3}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) todos tienen valores diferentes.

Ejemplo 2.4.4

Set ⁵

\[ \vecs{F} (x,y) = 2y\,\hat{\pmb{\imath}} + 3x\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

Esta vez consideramos dos curvas.

1. Dejar que\(\mathcal{C}_1\) el círculo sea\(x^2+y^2=1\text{,}\) atravesado una vez en sentido antihorario, comenzando en\((1,0)\text{.}\)
2. Dejar\(\mathcal{C}_2\) ser curva (trivial) que solo consiste en el punto único\((1,0)\text{.}\)

Calcularemos el trabajo\(\int_{\mathcal{C}_i}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) para cada curva.

1. Parametrizamos\(\mathcal{C}_1\)\(\vecs{r} (t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\) con\(t\) correr de\(0\) a\(2\pi\text{,}\) tal como hicimos en el Ejemplo 1.0.1. Entonces

   \[\begin{align*} \oint_{\mathcal{C}_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} &=\int_{0}^{2\pi}\big[2\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + 3\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big] \cdot[-\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}]\,\text{d}t\\ &=\int_{0}^{2\pi}\big[-2\sin^2 t+3\cos^2 t\big]\,\text{d}t \end{align*}\]

   Podrías evaluar estas integrales usando identidades trigonométricas de doble ángulo como lo hiciste en el cálculo del primer año. Pero hay una manera astuta, mucho más fácil. Porque\(\sin^2 t\) y\(\cos^2 t\) son traduce el uno del otro, y ambos son periódicos de periodo\(\pi\text{,}\) las dos integrales\(\int_0^{2\pi}\sin ^2 t\,\text{d}t\) y\(\int_0^{2\pi}\cos ^2 t\,\text{d}t\) representan la misma área y así son iguales. Consulte la figura a continuación.

   

   

   Así

   \[\begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sin^2 t\,\text{d}t &=\int_{0}^{2\pi} \cos^2 t\,\text{d}t =\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\big[\sin^2 t+\cos^2t\big]\,\text{d}t\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \text{d}t =\pi \end{align*}\]

   y

   \[\begin{gather*} \oint_{\mathcal{C}_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =-2\int_{0}^{2\pi} \sin^2 t\,\text{d}t +3\int_{0}^{2\pi} \cos^2 t\,\text{d}t =\pi \end{gather*}\]

2. Parametrizamos\(\mathcal{C}_2\) por\(\vecs{r} (t) = \hat{\pmb{\imath}}\) para todos\(t\text{.}\) Entonces\(\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) = \vecs{0}\) y\(\int_{\mathcal{C}_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =0\text{.}\)

Nuevamente, a pesar de que\(\mathcal{C}_1\) y\(\mathcal{C}_2\) ambos comienzan en\((1,0)\) y terminan en\((1,0)\text{,}\) las dos integrales\(\int_{\mathcal{C}_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) y\(\int_{\mathcal{C}_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) son diferentes.

Ejemplo 2.4.5. Ejemplo 2.3.14, de nuevo

En el Ejemplo 2.3.14, vimos que el campo vectorial

\[\begin{align*} &\vecs{F} (x,y) = -\frac{y}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\imath}} + \frac{x}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\jmath}}\\ &\qquad \text{defined for all $(x,y)$ in $\mathbb{R}^2$ except $(x,y)=(0,0)$} \end{align*}\]

pasó la prueba de tamizaje del Teorema 2.3.9.a, y sin embargo no fue conservadora. En este ejemplo, veremos que esto\(\vecs{F} \) viola la conclusión del Teorema 2.4.2, proporcionando con ello una segunda prueba que no\(\vecs{F} (x,y)\) es conservadora\(\mathbb{R}^2\) con\((0,0)\) removido. Para la curva\(\mathcal{C}\text{,}\) del Teorema 2.4.2, usamos el círculo parametrizado por\(x=a\cos\theta,\ y=a\sin\theta\text{,}\)\(0\le\theta\le 2\pi\text{.}\)\(\text{d}y=a\cos\theta\,\text{d}\theta\) Entonces\(\text{d}x=-a\sin\theta\,\text{d}\theta\) y para que

\[\begin{align*} \frac{1}{2\pi}\int_\mathcal{C} \frac{x\,\text{d}y-y\,\text{d}x}{x^2+y^2} &=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{a^2\cos^2\theta\,\text{d}\theta+a^2\sin^2\theta\,\text{d}\theta} {a^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta} =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\text{d}\theta\\ &=1 \end{align*}\]

La curva\(\mathcal{C}\) tiene punto inicial

\ begin {align*} P_0&= (a\ cos\ theta,\ a\ sin\ theta)\ big|_ {\ theta=0} = (a,0)\\\ end {alinear*}

y punto final

\ begin {align*} P_1&= (a\ cos\ theta,\ a\ sin\ theta)\ big|_ {\ theta=2\ pi} = (a,0) =P_0\ end {alinear*}

Entonces, si\(\vecs{F} \) fueran conservadores con potencial\(\varphi\text{,}\) Teorema 2.4.2 daría que

\[ \frac{1}{2\pi}\int_\mathcal{C} \frac{x\,\text{d}y-y\,\text{d}x}{x^2+y^2} =\varphi(P_1) - \varphi(P_0)=0 \nonumber \]

En consecuencia, no\(\vecs{F} \) puede ser conservador.

Independencia del Camino

Esto nos lleva a la siguiente pregunta. Dejar\(\vecs{F} \) ser cualquier campo vectorial fijo. Cuando es cierto que, dados dos puntos fijos cualesquiera\(P_0\) y\(P_1\text{,}\) las integrales

\[ \int_{\mathcal{C}}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_{\mathcal{C}'}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

para todas las curvas\(\mathcal{C}\text{,}\)\(\mathcal{C}'\) que comienzan\(P_0\) y terminan en ¿\(P_1\text{?}\)Cuándo podemos ignorar el camino tomado? Si este es el caso decimos que “\(\int_{\mathcal{C}}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \)es independiente del camino elegido” y escribimos

\[ \int_{P_0}^{P_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =\int_{\mathcal{C}}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

para cualquier camino\(\mathcal{C}\) desde\(P_0\) hasta\(P_1\text{.}\) El punto de esta sección es que existe una relación íntima entre la independencia del camino y la conservatividad de los campos vectoriales, a la que llegaremos en el Teorema 2.4.7.

Para simplificar, consideraremos solo campos vectoriales que son definidos y continuos en todos\(\mathbb{R}^2\) (es decir, el\(xy\) -plano) o\(\mathbb{R}^3\) (es decir, el mundo tridimensional habitual). Alguna discusión sobre lo que sucede para los campos vectoriales que se definen solo en parte\(\mathbb{R}^2\) o\(\mathbb{R}^3\) se da en la opcional §4.5.

Primero mostramos que si hay un par de puntos (no necesariamente distintos)\(P_0\text{,}\)\(P_1\) tales que

\[ \int_{\mathcal{C}_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_{\mathcal{C}_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

para todas las curvas\(\mathcal{C}_1\text{,}\)\(\mathcal{C}_2\) que comienzan en\(P_0\) y terminan en ese\(P_1\text{,}\) entonces también es cierto que, para cualquier otro par de puntos\(P_0'\text{,}\)\(P_1'\)

\[ \int_{\mathcal{C}'_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_{\mathcal{C}'_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

para todas las curvas\(\mathcal{C}'_1\text{,}\)\(\mathcal{C}'_2\) que comienzan\(P'_0\) y terminan en\(P'_1\text{.}\) Esto puede parecer poco probable al principio, pero la idea de la prueba es realmente intuitiva.

Teorema 2.4.6

Let\(\vecs{F} \) Ser un campo vectorial que se define y es continuo en todos\(\mathbb{R}^2\) (o\(\mathbb{R}^3\)). Que\(P_0\text{,}\)\(P_1\text{,}\)\(P'_0\text{,}\)\(P'_1\) sean cuatro puntos cualesquiera en\(\mathbb{R}^2\) (o\(\mathbb{R}^3\)). Supongamos que

\[ \int_{\mathcal{C}_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_{\mathcal{C}_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

para todas las curvas\(\mathcal{C}_1\text{,}\)\(\mathcal{C}_2\) que comienzan\(P_0\) y terminan en\(P_1\text{.}\) Entonces

\[ \int_{\mathcal{C}'_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_{\mathcal{C}'_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

para todas las curvas\(\mathcal{C}'_1\text{,}\)\(\mathcal{C}'_2\) que comienzan\(P'_0\) y terminan en\(P'_1\text{.}\)

Prueba

Dejar\(\mathcal{C}'_1\) y\(\mathcal{C}'_2\) ser cualesquiera dos curvas que comiencen\(P'_0\) y terminen en\(P'_1\text{.}\)

Comenzamos eligiendo cualquiera de dos curvas (auxiliares)

• \(\mathcal{C}_\ell\)que comienza en\(P_0\) y termina en\(P'_0\) y
• \(\mathcal{C}_r\)que comienza en\(P'_1\) y termina en\(P_1\text{.}\)

y luego definimos las curvas

• \(\mathcal{C}_1\)para ser\(\mathcal{C}_\ell\text{,}\)\(C'_1\text{,}\) seguido por\(\mathcal{C}_r\) y
• \(\mathcal{C}_2\)para ser\(\mathcal{C}_\ell\text{,}\)\(C'_2\text{,}\) seguido por\(\mathcal{C}_r\text{.}\)

Entonces ambos\(\mathcal{C}_1\) y\(\mathcal{C}_2\) comenzar\(P_0\) y terminar en\(P_1\text{,}\) para que, por hipótesis,

\[ \int_{\mathcal{C}_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_{\mathcal{C}_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

y, a partir de la construcción de\(\mathcal{C}_1\) y\(\mathcal{C}_2\text{,}\)

\[\begin{align*} &\int_{\mathcal{C}_\ell}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} +\int_{\mathcal{C}'_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} +\int_{\mathcal{C}_r}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_{\mathcal{C}_\ell}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} +\int_{\mathcal{C}'_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} +\int_{\mathcal{C}_r}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \\ \implies & \int_{\mathcal{C}'_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_{\mathcal{C}'_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \end{align*}\]

según se desee.

Ahora estamos listos para nuestro teorema principal sobre los campos conservadores.

Teorema 2.4.7

Let\(\vecs{F} \) Ser un campo vectorial que se define y es continuo en todos\(\mathbb{R}^2\) (o\(\mathbb{R}^3\)). Entonces las siguientes tres declaraciones son equivalentes.

1. \(\vecs{F} \)es conservadora. Es decir, existe una función\(\varphi\) tal que\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{.}\)
2. La integral\(\oint_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =0\) para cualquier curva cerrada\(\mathcal{C}\text{.}\)
3. La integral\(\int\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) es camino independiente. Es decir, para cualquier punto que\(P_0\text{,}\)\(P_1\) tengamos\(\int_{\mathcal{C}_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_{\mathcal{C}_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) para todas las curvas\(\mathcal{C}_1\text{,}\)\(\mathcal{C}_2\) que comiencen\(P_0\) y terminen en\(P_1\text{.}\)

Es decir, si alguna de las tres afirmaciones es cierta, entonces las tres son verdaderas.

Prueba

Baste para nosotros probar ⁶ que

• la verdad de (a) implica la verdad de (b) y
• la verdad de (b) implica la verdad de (c) y
• la verdad de (c) implica la verdad de (a).

Eso es exactamente lo que vamos a hacer.

(a)\(\implies\) (b): Dejar\(\mathcal{C}\) ser una curva cerrada que comienza en\(P_0\) y luego termina de nuevo en\(P_0\text{.}\) Entonces, por Teorema 2.4.2 con\(P_1=P_0\text{,}\)

\[ \oint_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =\varphi(P_0) - \varphi(P_0)=0 \nonumber \]

(b)\(\implies\) (c): Escoge cualquier punto\(P_0\) y establece\(P_1=P_0\text{.}\) Entonces estamos asumiendo que\(\oint_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =0\) para todas las curvas que comienzan en\(P_0\) y terminan\(P_1\text{.}\) en En particular\(\int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) toma el mismo valor para todas las curvas que comienzan en\(P_0\) y terminan en\(P_1\text{.}\) Así Teorema 2.4.6 inmediatamente rinde propiedad (c).

(c)\(\implies\) (a): Estamos para demostrar que\(\vecs{F} \) es conservador. Empezaremos por adivinar\(\varphi\) y luego verificaremos eso, para nuestro elegido realmente\(\varphi\text{,}\) tenemos\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{.}\) Nuestra conjetura para\(\varphi\) está motivada por el Teorema 2.4.2. Si nuestro\(\vecs{F} \) realmente es conservador, su potencial va a tener que obedecer\(\int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =\varphi(P_1) - \varphi(P_0)\) para cualquier curva\(\mathcal{C}\) que comience en\(P_0\) y termine en\(P_1\text{.}\) Vamos a elegir\(P_0=\vecs{0}\text{.}\) Recordando, de la Definición 2.3.1.a, que sumar una constante a un potencial siempre arroja otro potencial, podemos siempre elija\(\varphi(\vecs{0})=0\text{.}\) Entonces\(\varphi(P_1)=\int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) para cualquier curva\(\mathcal{C}\) que comience en\(\vecs{0}\) y termine en\(P_1\text{.}\) Así definir, para cada punto\(\textbf{x}\text{,}\)\(\varphi(\textbf{x})=\int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) para cualquier curva\(\mathcal{C}\) que comience en\(\vecs{0}\) y termine en\(\textbf{x}\text{.}\) Tenga en cuenta que, ya que estamos asumiendo que (c) es cierto, la integral\(\int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) toma el mismo valor para todas las curvas\(\mathcal{C}\) que comienzan\(\vecs{0}\) y terminan en\(\textbf{x}\text{.}\)

Ahora verificamos que, para este elegido realmente\(\varphi\text{,}\) tenemos\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{.}\) Fijar cualquier punto\(\textbf{x}\) y cualquier curva\(\mathcal{C}_{\textbf{x}}\) que comience en el origen y termine en\(\textbf{x}\text{.}\) Para cualquier vector\(\textbf{u}\text{,}\) deja\(\mathcal{D}_{\textbf{u}}\) ser la curva con parametrización

\[ \vecs{r} _{\textbf{u}}(t)=\textbf{x}+t\textbf{u}\qquad 0\le t\le 1 \nonumber \]

Esta curva es un segmento de línea que comienza en\(t=0\) y\(\textbf{x}\)\(\textbf{x}+\textbf{u}\) termina en en\(t=1\text{.}\) Observe que\({\vecs{r} \,}'_{\textbf{u}}(t)=\textbf{u}\text{.}\) Recordemos eso, por suposición,\(\varphi(\textbf{x}+s\textbf{u})=\int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) para cualquier curva\(\mathcal{C}\) que comience en\(\vecs{0}\) y termine en\(\textbf{x}+s\textbf{u}\text{.}\) So

\[ \varphi(\textbf{x}+s\textbf{u}) =\int_{\mathcal{C}_{\textbf{x}}+\mathcal{D}_{s\textbf{u}}}\vecs{F} \cdot d\vecs{r} \nonumber \]

donde\(C_{\textbf{x}}+D_{s\textbf{u}}\) esta la curva que primero sigue\(C_{\textbf{x}}\) desde el origen hasta\(\textbf{x}\) y luego sigue\(D_{s\textbf{u}}\) de\(x\) a\(\textbf{x}+s\textbf{u}\text{.}\) Tenemos

\[\begin{align*} \int_{C_{\textbf{x}}+D_{s\textbf{u}}}\vecs{F} \cdot d\vecs{r} &=\int_{C_{\textbf{x}}}\vecs{F} \cdot d\vecs{r} +\int_{D_{s\textbf{u}}}\vecs{F} \cdot d\vecs{r} \\ &=\int_{C_{\textbf{x}}}\vecs{F} \cdot d\vecs{r} +\int_0^1 \vecs{F} (\textbf{x}+ts\textbf{u})\cdot (s\textbf{u})\,dt \end{align*}\]

En la segunda integral, hacer el cambio de variables\(\tau=ts\text{,}\)\(\text{d}\tau=s\text{d}t\text{.}\) Esto da

\[ \varphi(\textbf{x}+s\textbf{u})=\int_{C_{\textbf{x}}}\vecs{F} \cdot d\vecs{r} +\int_0^s \vecs{F} (\textbf{x}+\tau\textbf{u})\cdot \textbf{u}\,d\tau \nonumber \]

Por el teorema fundamental del cálculo, aplicado a la segunda integral,

\[ \dfrac{d\ }{ds}\varphi(\textbf{x}+s\textbf{u})\Big|_{s=0} =\vecs{F} (\textbf{x}+s\textbf{u})\cdot \textbf{u}\Big|_{s=0}=\vecs{F} (\textbf{x})\cdot \textbf{u} \nonumber \]

Aplicar esto con nos\(\textbf{u}=\hat{\pmb{\imath}},\ \hat{\pmb{\jmath}},\ \hat{\mathbf{k}}\) da

\[ \Big(\frac{\partial\varphi}{\partial x}(\textbf{x})\,,\, \frac{\partial\varphi}{\partial y}(\textbf{x})\,,\, \frac{\partial\varphi}{\partial z}(\textbf{x})\Big) =\big(\vecs{F} (\textbf{x})\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,,\,\vecs{F} (\textbf{x})\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,,\,\vecs{F} (\textbf{x})\cdot\hat{\mathbf{k}}\big) \nonumber \]

que es

\[ \nabla\varphi(\textbf{x})=\vecs{F} (\textbf{x}) \nonumber \]

según se desee.

Usando este resultado, podemos caracterizar completamente los campos conservadores en\(\mathbb{R}^2\) y\(\mathbb{R}^3\text{.}\)

Teorema 2.4.8

Let\(\vecs{F} \) Ser un campo vectorial que se define y tiene derivadas parciales continuas de primer orden en todos\(\mathbb{R} ^2\) (o\(\mathbb{R}^3\)). Entonces\(\vecs{F} \) es conservador si y solo si pasa la prueba de cribado\(\vecs{\nabla} \times\vecs{F} =\vecs{0}\text{,}\) es decir, está libre de rizo.

Advertencia 2.4.9

Obsérvese que en el Teorema 2.4.8 estamos asumiendo que\(\vecs{F} \) pasa la prueba de cribado en todos\(\mathbb{R}^2\) o Ya\(\mathbb{R}^3\text{.}\) hemos visto, en el Ejemplo 2.3.14, que si la prueba de cribado falla en un solo punto, por ejemplo porque el campo vectorial no está definido en ese punto, entonces \(\vecs{F} \)no necesita ser conservador. Exploraremos lo que sucede en tales casos en el (opcional) §4.5. Veremos que se puede rescatar algo.

Prueba de Teorema 2.4.8.

Daremos la prueba del\(\mathbb{R}^2\) caso. La prueba para el\(\mathbb{R}^3\) caso es muy similar. Ya hemos visto, en el Teorema 2.3.9, que si\(\vecs{F} \) es conservador, entonces pasa la prueba de tamizaje y no hay nada más que hacer.

Entonces ahora tenemos que asumir que\(\vecs{F} \) obedece\(\frac{\partial F_1}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial F_2}{\partial x}(x,y)\) a todos\(\mathbb{R}^2\) y demostrar que es conservador. Lo haremos usando la estrategia del Ejemplo 2.3.13 para encontrar una función\(\varphi(x,y)\text{,}\) que obedezca

\[ \begin{split} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y) &= F_1(x,y) \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y) &= F_2(x,y) \end{split} \nonumber \]

La derivada parcial\(\frac{\partial \ }{\partial x}\) trata\(y\) como una constante. Entonces\(\varphi(x,y)\) obedece la primera ecuación si y solo si hay una función\(\psi(y)\) con

\[ \varphi(x,y) =\int_0^x F_1(X,y)\,\text{d}X \ +\ \psi(y) \nonumber \]

Esto\(\varphi(x,y)\) también obedecerá la segunda ecuación si y solo si

\[\begin{align*} F_2(x,y)&= \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y)\\ &=\frac{\partial \ }{\partial y}\Big(\int_0^x F_1(X,y)\,\text{d}X\ +\ \psi(y)\Big)\\ &=\int_0^x \frac{\partial F_1}{\partial y}(X,y)\,\text{d}X\ +\ \psi'(y) \end{align*}\]

Entonces tenemos que encontrar un\(\psi(y)\) que obedezca

\[ \psi'(y) = F_2(x,y) - \int_0^x \frac{\partial F_1}{\partial y}(X,y)\,\text{d}X \nonumber \]

Esto se ve mal — no importa lo que\(\psi(y)\) sea, el lado izquierdo es independiente de\(x\text{,}\) mientras que parece que el lado derecho depende de\(x\text{.}\) Afortunadamente nuestra hipótesis de prueba de detección ahora cabalga al rescate ⁷. (Aún no lo hemos usado, y tiene que entrar en alguna parte.)

\[\begin{align*} F_2(x,y) - \int_0^x \frac{\partial F_1}{\partial y}(X,y)\,\text{d}X &=F_2(x,y) - \int_0^x \frac{\partial F_2}{\partial x}(X,y)\,\text{d}X\\ &= F_2(x,y) - F_2(X,y)\Big|_{X=0}^{X=x}\\ &=F_2(0,y) \end{align*}\]

Al pasar de la primera línea a la segunda línea se utilizó el teorema fundamental del cálculo. Así que elegir

\[ \psi(y) = \int_0^y F_2(0,Y)\,\text{d}Y +C \nonumber \]

para cualquier constante\(C\text{,}\) hace el truco.

Ejercicios

Etapa 1

1

Evaluar\(\int_\mathcal{C} x^2y^2\,\text{d}x+x^3y\,\text{d}y\) en sentido antihorario alrededor del cuadrado con vértices\((0,0)\text{,}\)\((1,0)\text{,}\)\((1,1)\) y\((0,1)\text{.}\)

2

Para cada uno de los siguientes campos, decida cuál de las siguientes detenciones:

1. La caracterización de campos vectoriales conservadores, Teorema 2.4.8 (con Teorema 2.3.9), nos dice que\(\vecs{F} \) es conservadora.
2. La caracterización de campos vectoriales conservadores, Teorema 2.4.8 (con Teorema 2.3.9), nos dice que no\(\vecs{F} \) es conservadora.
3. La caracterización de campos vectoriales conservadores, Teorema 2.4.8 (con Teorema 2.3.9), no nos dice si\(\vecs{F} \) es conservador o no.

1. \(\displaystyle \vecs{F} =x\hat{\pmb{\imath}} + z\hat{\pmb{\jmath}} + y\hat{\mathbf{k}}\)
2. \(\displaystyle \vecs{F} =y^2z\hat{\pmb{\imath}} + x^2z\hat{\pmb{\jmath}} + x^2y\hat{\mathbf{k}}\)
3. \(\displaystyle \vecs{F} =(ye^{xy}+1)\hat{\pmb{\imath}} + (xe^{xy}+z)\hat{\pmb{\jmath}} + \left( \frac1z+y\right)\hat{\mathbf{k}}\)
4. \(\displaystyle \vecs{F} =y\cos(xy)\hat{\pmb{\imath}} + x\sin(xy)\hat{\pmb{\jmath}} \)

3

Dejar\(\varphi(x,y,z)=e^{x^2+y^2}+\cos(z^2)\text{,}\) y definir\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \varphi\text{.}\) Evaluar\(\int_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) sobre la curva cerrada\(C\) que es una elipse atravesada en el sentido de las agujas del reloj, centrada al\((1,2,3)\text{,}\) pasar por los puntos\((\sqrt5-1,-2,\sqrt5-3)\text{,}\)\(((\sqrt5-2)/2,-1/2,(\sqrt5-6)/2)\text{,}\) y\((-2,\sqrt 3-2,\sqrt3-3)\text{.}\)

4

Dejar\(P_1\) y\(P_2\) ser puntos en\(\mathbb R^2\text{.}\) Let\(A\) y\(B\) ser caminos de\(P_1\) a\(P_2\text{,}\) como se muestra a continuación.

Supongamos que\(\vecs{F} \) es un campo vectorial conservador en\(\mathbb R^2\) con\(\int_A \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =5\text{.}\) What is\(\int_B \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} ?\)

5 ✳

Let\(\vecs{F} (x, y, z) = e^x \sin y\,\hat{\pmb{\imath}} + \big[ ae^x \cos y + bz\big]\,\hat{\pmb{\jmath}} + cx\, \hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Para qué valores de las constantes\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\) es\(\int_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =0\) para todos los caminos cerrados\(C\text{?}\)

6

Considera los cuatro campos vectoriales que se esbozan a continuación. Exactamente uno de esos campos vectoriales es conservador. Determinar qué tres campos vectoriales no son conservadores y explicar por qué.

a)

b)

c)

d)

7 ✳

Considere el campo vectorial

\[ \vecs{F} (x, y, z) = \frac{x-2y}{x^2+y^2}\,\hat{\pmb{\imath}} +\frac{2x + y}{x^2+y^2}\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

1. Determinar el dominio de\(\vecs{F} \text{.}\)
2. Computación\(\vecs{ \nabla} \times \vecs{F} \text{.}\) Simplifica el resultado.
3. Evaluar la integral de línea

   \[ \int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]

   donde\(C\) está el círculo de radio\(2\) en el plano\(z = 3\text{,}\) centrado\((0, 0, 3)\) y atravesado en sentido antihorario si se ve desde el\(z\) eje positivo, es decir, visto “desde arriba”.
4. ¿Es\(\vecs{F} \) conservador?

8

Encuentra el trabajo,\(\int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \text{,}\) realizado por el campo\(\vecs{F} =(x+y)\hat{\pmb{\imath}}+(x-z)\hat{\pmb{\jmath}}+(z-y)\hat{\mathbf{k}}\) de fuerza al mover un objeto de\((1,0,-1)\) a\((0,-2,3)\text{.}\) ¿El trabajo realizado depende del camino utilizado para llegar de\((1,0,-1)\) a\((0,-2,3)\text{?}\)

Etapa 2

9

Considere el campo vectorial

\[ \textbf{V}(x, y) = (e^x \cos y + x^2, x^2y + 3) \nonumber \]

Evaluar la integral de línea\(\int_C\textbf{V}\cdot \text{d}\vecs{r} \) a lo largo de la curva orientada\(C\) obtenida al pasar de\((0, 0)\)\((1,0)\) a\((1, \pi)\) y finalmente a\((0, \pi)\) lo largo de segmentos de línea recta.

10

Evaluar\(\int_\mathcal{C}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) para

1. \(\vecs{F} (x,y)=xy\,\hat{\pmb{\imath}}-x^2\,\hat{\pmb{\jmath}}\)a lo largo\(y=x^2\) de\((0,0)\) a\((1,1)\text{.}\)
2. \(\vecs{F} (x,y,z)=(x-z)\,\hat{\pmb{\imath}}+(y-z)\,\hat{\pmb{\jmath}}-(x+y)\,\hat{\mathbf{k}}\)a lo largo de la trayectoria poligonal de\((0,0,0)\)\((1,0,0)\) a\((1,1,0)\) a\((1,1,1)\text{.}\)

11 ✳

Dejar\(\mathcal{C}\) ser la parte de la curva de intersección de\(xyz=8\) y\(x=2y\) que se encuentra entre los puntos\((2,1,4)\) y\((4,2,1)\text{.}\) Calcular

\[ \int_\mathcal{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]

donde

\[ \vecs{F} = x^2\,\hat{\pmb{\imath}}+(x-2y)\,\hat{\pmb{\jmath}}+x^2 y\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

12 ✳

Let\(\ \vecs{F} = e^x\sin y\,\hat{\pmb{\imath}}+[ae^x\cos y+bz]\,\hat{\pmb{\jmath}}+cx\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Para qué valores de las constantes\(a,\ b,\ c\) es\(\ \int_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =0\ \) para todos los caminos cerrados\(C\text{?}\)

13

Dejar\(\vecs{F} = 6x^2yz^2\,\hat{\pmb{\imath}} + (2x^3z^2 + 2y - xz)\,\hat{\pmb{\jmath}} + 4x^3yz\,\hat{\mathbf{k}}\) y dejar\(\textbf{G} = yz\,\hat{\pmb{\imath}} + xy\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

1. ¿Para qué valor de la constante\(\lambda\) es\(\textbf{H} = \vecs{F} + \lambda\textbf{G}\) conservador el campo vectorial en el espacio 3?
2. Encontrar un potencial escalar\(\phi(x,y,z)\) para el campo conservador al que\(\textbf{H}\) se hace referencia en la parte (a).
3. Buscar\(\int_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) si\(C\) es la curva de intersección de las dos superficies\(z = x\) y\(y = e^{xz}\) del punto\((0, 1, 0)\) al punto\((1, e, 1)\text{.}\)

14 ✳

Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerza\(\vecs{F} (x,y,z) = (x - y^2\,,\, y - z^2\,,\, z - x^2)\) en una partícula que se mueve a lo largo del segmento de línea de\((0, 0, 1)\) a\((2, 1, 0)\text{.}\)

15 ✳

\(\ \vecs{F} = \frac{x}{x^2+y^2}\,\hat{\pmb{\imath}}+\frac{y}{x^2+y^2}\,\hat{\pmb{\jmath}}+x^3\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)Let\(P\) Sea el camino que comienza en\((1,0,0)\text{,}\) termina en\(\big(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}\ln 2\big)\) y sigue

\[ x^2+y^2=1\qquad xe^z=1 \nonumber \]

Encuentra el trabajo realizado para mover una partícula\(P\) en el campo\(\vecs{F} \text{.}\)

16 ✳

Dejar\(\vecs{F} = \big(yz\cos x\,,\,z\sin x+2yz\,,\,y\sin x+y^2-\sin z\big)\) y dejar\(C\) ser el segmento de línea\(\vecs{r} (t) = (t,t,t)\text{,}\) para\(0\le t\le\pi/2\text{.}\) Evaluar\(\displaystyle\int_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{.}\)

17 ✳

Dejar\(C\) ser la mitad superior del círculo unitario centrada en\((1, 0)\) (es decir, aquella parte del círculo que se encuentra por encima del\(x\) eje), orientada hacia la derecha. Calcular la integral de línea\(\int_C xy\,\text{d}y\text{.}\)

18 ✳

Demostrar que la siguiente línea integral es independiente del camino y evaluar la integral.

\[\begin{gather*} \int_C (ye^x + \sin y)\,\text{d}x + (e^x + \sin y + x \cos y)\,\text{d}y \end{gather*}\]

donde\(C\) hay algún camino desde\((1, 0)\) hasta\((0, \pi/2)\text{.}\)

19 ✳

Evaluar la integral

\[\begin{gather*} \int_C xy \,\text{d}x + yz \,\text{d}y + zx \,\text{d}z \end{gather*}\]

alrededor del triángulo con vértices\((1, 0, 0)\text{,}\)\((0, 1, 0)\text{,}\) y\((0, 0, 1)\text{,}\) orientado hacia la derecha como se ve desde el punto\((1, 1, 1)\text{.}\)

20 ✳

Evaluar la integral de línea\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \text{,}\) donde\(\vecs{F} \) está el campo vectorial conservador

\[ \vecs{F} (x, y, z) = \big(y + ze^x , x + e^y \sin z, z + e^x + e^y \cos z\big) \nonumber \]

y\(C\) es la curva dada por la parametrización

\[ \vecs{r} (t) = (t, e^t , \sin t),\qquad t \text{ from } 0 \text{ to } \pi. \nonumber \]

21 ✳

1. Para qué valores de las constantes\(\alpha\text{,}\)\(\beta\) y\(\gamma\) es el campo vectorial

   \[ \vecs{F} (x,y,z) = \alpha e^y\,\hat{\pmb{\imath}}+(xe^y+\beta\cos z)\,\hat{\pmb{\jmath}}-\gamma y\sin z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

   ¿conservadora?
2. Para aquellos valores de\(\alpha\text{,}\)\(\beta\) y\(\gamma\) encontrados en la parte (a), calcule\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \text{,}\) dónde\(C\) está la curva parametrizada por\(x=t^2\text{,}\)\(y=e^t\text{,}\)\(z=\pi t\text{,}\)\(0\le t\le 1\text{.}\)

22 ✳

Considere el campo vectorial\(\vecs{F} (x,y,z) = (\cos x, 2 + \sin y, e^z)\text{.}\)

1. Compute el rizo de\(\vecs{F} \text{.}\)
2. ¿Hay alguna función\(f\) tal que\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} f\text{?}\) Justifica tu respuesta?
3. Calcular la integral\(\int_C \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) a lo largo de la curva\(C\) parametrizada por\(\vecs{r} (t) = (t, \cos t, \sin t)\) con\(0 \le t \le 3\pi\text{.}\)

23 ✳

1. Considere el campo vectorial

   \[ \vecs{F} (x, y, z) = \left(z + e^y , xe^y - e^z \sin y, 1 + x + e^z \cos y\right) \nonumber \]

   Encuentra el rizo de\(\vecs{F} \text{.}\) ¿Es\(\vecs{F} \) conservador?
2. Encontrar la integral\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) del campo\(\vecs{F} \) desde (a) donde\(C\) está la curva con parametrización

   \[ \vecs{r} (t) = (t^2 , \sin t, \cos^2 t) \nonumber \]

   donde\(t\) va desde\(0\) hasta\(\pi\text{.}\)

24 ✳

Un físico estudia un campo vectorial A\(\vecs{F} \text{.}\) partir de experimentos, se sabe que\(\vecs{F} \) es de la forma

\[ \vecs{F} = (x - a)ye^x\,\hat{\pmb{\imath}} + (xe^x + z^3 )\,\hat{\pmb{\jmath}} + byz^2\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

donde\(a\) y\(b\) son algunos números reales. A partir de consideraciones teóricas, se sabe que\(\vecs{F} \) es conservador.

1. Determinar\(a\) y\(b\text{.}\)
2. Encuentra un potencial\(f(x,y,z)\) tal que\(\vecs{ \nabla} f = \vecs{F} \text{.}\)
3. Evaluar la línea intgeral\(\int_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) donde\(C\) está la curva definida por

   \[ \vecs{r} (t) = \big(t\,,\, \cos 2t\,,\, \cos t\big), \qquad 0 \le t \le \pi \nonumber \]

4. Evaluar la integral de línea

   \[ I = \int_C (x + 1)ye^x \,\text{d}x + (xe^x + z^3 ) \,\text{d}y + 4yz^2 \,\text{d}z, \nonumber \]

   donde\(C\) es la misma curva que en la parte (c). [Nota: ¡el “4” en el último término no es una errata!].

Las preguntas 2.4.2.25 y 2.4.2.26 le piden evaluar integrales de línea de campos vectoriales que no son conservadores, pero que pueden expresarse como una suma de un campo vectorial conservador y otro campo vectorial que se puede escribir de manera concisa.

25 ✳

Let

\[ \vecs{F} = \big(y^2 e^{3z} +Axy^3\big)\,\hat{\pmb{\imath}} +(2xye^{3z}+3x^2y^2\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +Bxy^2e^{3z}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

1. Encuentra todos los valores de\(A\) y\(B\) para los cuales el campo vectorial\(\vecs{F} \) es conservador.
2. Si\(A\) y\(B\) tienen valores encontrados en (a), encuentre una función potencial para\(\vecs{F} \text{.}\)
3. Dejar\(C\) ser la curva con parametrización\(\vecs{r} (t) = e^{2t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + \ln(1 + t) \,\hat{\mathbf{k}}\) de\((1, 1, 0)\) a\(\big(e^2\,,\,\frac{1}{e}\,,\,\ln 2\big)\text{.}\) Evaluar

   \[ \int_C (y^2 e^{3z} + xy^3)\,\text{d}x + (2xye^{3z} + 3x^2 y^2 )\,\text{d}y + 3xy^2 e^{3z}\,\text{d}z. \nonumber \]

26 ✳

1. Para qué valor (s) de las constantes\(a,b\) es el campo vectorial

   \[ \vecs{F} =\big(2x\sin(\pi y)-e^z\big)\hat{\pmb{\imath}} +\big(ax^2\cos(\pi y)-3e^z\big)\hat{\pmb{\jmath}} -\big(x+by\big)e^z\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

   ¿conservadora?
2. Dejar\(\vecs{F} \) ser un campo conservador a partir de la parte (a). Encuentra todas las funciones\(\varphi\) para las cuales\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{.}\)
3. Dejar\(\vecs{F} \) ser un campo conservador a partir de la parte (a). Evaluar\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) dónde\(C\) está la intersección de\(y=x\) y\(z=\ln(1+x)\) de\((0,0,0)\) a\((1,1,\ln 2)\text{.}\)
4. Evaluar\(\int_C \textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} \) dónde

   \[ \textbf{G}=\left(2x\sin(\pi y)-e^z\right)\,\hat{\pmb{\imath}} +\left(\pi x^2\cos(\pi y)-3e^z\right)\,\hat{\pmb{\jmath}} -xe^z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

   y\(C\) es la intersección de\(y=x\) y\(z=\ln(1+x)\) de\((0,0,0)\) a\((1,1,\ln 2)\text{.}\)

27 ✳

Considere el campo vectorial

\[ \vecs{F} (x, y, z) = -2y \cos x \sin x\,\hat{\pmb{\imath}} + (\cos^2 x + (1 + yz) e^{yz} )\,\hat{\pmb{\jmath}} + y^2 e^{yz}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

1. Encuentra una función real valorada de\(f (x, y, z)\) tal manera que\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} f\text{.}\)
2. Evaluar la integral de línea

   \[ \int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]

   donde\(C\) está el arco de la curva\(\vecs{r} (t) = \big(t, e^t , t^2 - \pi^2\big)\),\(0 \le t \le \pi\text{,}\) atravesado de\((0, 1, -\pi^2 )\) a\((\pi, e^\pi , 0)\text{.}\)

28 ✳

Considere el campo vectorial\(\vecs{F} (x, y, z) = 2x\,\hat{\pmb{\imath}} + 2y\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2z\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

1. Compute\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \text{.}\)
2. Si\(C\) hay algún camino de\((0, 0, 0)\) a\((a_1 , a_2 , a_3)\) y\(\textbf{a} = a_1\,\hat{\pmb{\imath}} + a_2\,\hat{\pmb{\jmath}} + a_3\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) mostrar que\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} = \textbf{a}\cdot\textbf{a}\text{.}\)

29 ✳

Dejar\(C\) ser la curva parametrizada dada por

\[ \vecs{r} (t) = \big(\cos t, \sin t, t\big),\qquad 0 \le t \le \frac{\pi}{2} \nonumber \]

y dejar

\[ \vecs{F} = \big(e^{yz}\,,\, xze^{yz} + ze^y\,,\, xye^{yz} + e^y\big) \nonumber \]

1. Compute y simplifique\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \text{.}\)
2. Calcular la integral del trabajo\(\int_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{.}\)

30 ✳

1. Mostrar que el campo vectorial plano

   \[ \vecs{F} (x, y) = \big(2xy \cos(x^2)\,,\, \sin(x^2) - \sin(y)\big) \nonumber \]

   es conservadora.
2. Encuentre una función potencial para\(\vecs{F} \text{.}\)
3. Para el campo vectorial\(\vecs{F} \) desde arriba, compute\(\int_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{,}\) dónde\(C\) está la parte de la gráfica\(x = \sin(y)\) desde\(y = \pi/2\) hasta\(y = \pi\text{.}\)

31 ✳

Considera el siguiente campo de fuerza, en el que\(m,n,p,q\) se encuentran constantes:

\[ \vecs{F} = (mxyz + z^2 - ny^2)\,\hat{\pmb{\imath}} + (x^2 z - 4xy)\,\hat{\pmb{\jmath}} + (x^2y + pxz + qz^3)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

1. Encuentre todos los valores de\(m,n,p,q\) tal que\(\oint_\mathcal{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} = 0\) para todas las curvas cerradas suaves por partes\(\mathcal{C}\) en\(\mathbb{R}^3\text{.}\)
2. Por cada elección posible de\(m,n,p,q\) en (a), encuentre el trabajo realizado al\(\vecs{F} \) mover una partícula de abajo a la parte superior de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 2z\text{.}\) (La dirección de\(\hat{\mathbf{k}}\) define “arriba”.)

Etapa 3

32

Dejar\(C\) ser la curva de\((0,0,0)\) a\((1,1,1)\) lo largo de la intersección de las superficies\(y=x^2\) y\(z=x^3\text{.}\)

1. Buscar\(\int_C \rho\, \text{d}s\) si\(s\) es la longitud del arco a lo largo\(C\) y\(\rho=8x+36z\text{.}\)
2. Encuentra\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) si\(\vecs{F} =\sin y\,\hat{\pmb{\imath}} + (x\cos y+z)\,\hat{\pmb{\jmath}}+ (y+z)\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

33 ✳

La curva\(C\) es la hélice que se enrolla alrededor del cilindro\(x^2 + y^2 = 1\) (en sentido antihorario, según se ve desde el\(z\) eje positivo, mirando hacia abajo en el\(xy\) plano). Comienza en el punto que se\((1, 0, 0)\text{,}\) enrolla alrededor del cilindro una vez, y termina en el punto\((1, 0, 1)\text{.}\) Calcular la integral de línea del campo vectorial

\[ \vecs{F} (x, y, z) = (-y, x, z^2) \nonumber \]

a lo largo\(C\text{.}\)

34 ✳

Evalúe las integrales de línea a continuación. (Usa cualquier método que te guste.)

1. \(\int_C (x^2 + y)\,\text{d}x + x\,\text{d}y\text{,}\)donde\(C\) esta el arco de la parabola\(y = 9 - x^2\) desde\((-3, 0)\) hasta\((3, 0)\text{.}\)
2. \(\int_C \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}s\text{,}\)dónde\(\vecs{F} (x, y) = 2x^2\hat{\pmb{\imath}} + ye^x\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\)\(C\) está el límite del cuadrado\(0 \le x \le 1\text{,}\)\(0 \le y \le 1\text{.}\) Aquí\(\hat{\textbf{n}}\) está el vector normal unitario que apunta hacia afuera desde el cuadrado, y\(s\) es la longitud del arco.

35 ✳

Una partícula de masa\(m = 1\) tiene posición\(\vecs{r} _0 = \hat{\pmb{\jmath}}\) y velocidad\(\vecs{v} _0 = \hat{\pmb{\imath}} + \hat{\mathbf{k}}\) en\(t = 0\text{.}\) el tiempo La partícula se mueve bajo una fuerza\(\vecs{F} (t) = \hat{\pmb{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}}\text{,}\) donde\(t\) denota el tiempo.

1. Encuentra la posición\(\vecs{r} (t)\) de la partícula en función de\(t\text{.}\)
2. Encuentra la posición\(\vecs{r} _1\) de la partícula cuando cruza el avión\(x = \pi/2\) por primera vez después del tiempo\(t = 0\text{.}\)
3. Determinar el trabajo realizado\(\vecs{F} \) al mover la partícula de\(\vecs{r} _0\) a\(\vecs{r} _1\text{.}\)

Las preguntas 2.4.2.36 y 2.4.2.37 le piden encontrar un camino que conduzca a un valor particular de una línea integral. Muchos de esos caminos son posibles, solo necesitas encontrar uno.

36 ✳

1. Considere el campo vectorial\(\vecs{F} \big(x,y\big)= (3y, x-1)\) en\(\mathbb{R}^2\). Compute la integral de línea

   \[ \int_L \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

   donde\(L\) es el segmento de línea de\((2, 2)\) a\((1, 1)\text{.}\)
2. Encuentra un camino orientado\(C\) de\((2, 2)\) a\((1, 1)\) tal que

   \[ \int_C \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =4 \nonumber \]

   donde\(\vecs{F} \) es el campo vectorial de (a).

37 ✳

Dejar\(\vecs{F} = (2y + 2)\,\hat{\pmb{\imath}}\) ser un campo vectorial en\(\mathbb{R}^2\text{.}\) Buscar una curva orientada\(C\) de\((0, 0)\) a\((2, 0)\) tal que\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} = 8\text{.}\)

38 ✳

Let

\[ \vecs{F} (x, y) = \big(1, y g(y)\big) \nonumber \]

y supongamos que\(g(y)\) es una función definida en todas partes con parciales continuos en todas partes. Mostrar que para cualquier curva\(C\) cuyos puntos finales\(P\) y\(Q\) se encuentran en el\(x\) eje -,

\[ \text{distance between } P \text{ and } Q = \left|\int_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \right| \nonumber \]

39 ✳

Dejar\(S\) ser la superficie\(z = 2 + x^2 - 3 y^2\) y dejar\(\vecs{F} (x , y , z) = ( xz + axy^2 )\hat{\pmb{\imath}} + yz\hat{\pmb{\jmath}} + z^2\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) considerar los puntos\(P_1 = ( 1 , 1 , 0 )\) y\(P_2 = ( 0 , 0 , 2 )\) en la superficie\(S\text{.}\)

Encuentre un valor de la constante\(\int_{C_1} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} = \int_{C_2} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) para\(a\) que para dos curvas cualesquiera\(C_1\) y\(C_2\) en la superficie\(S\) de\(P_1\) a\(P_2\text{.}\)

40 ✳

Considere el campo vectorial\(\vecs{F} \) definido como

\[ \vecs{F} (x,y,z) = \Big( (1 + ax^2 )ye^{3x^2} - bxz \cos(x^2 z)\,,\, xe^{3x^2} \,,\, x^2 \cos(x^2 z) \Big) \nonumber \]

donde\(a\) y\(b\) son constantes reales valoradas.

1. Compute\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \text{.}\)
2. Determinar para qué valores\(a\) y\(b\) el campo vectorial\(\vecs{F} \) es conservador.
3. Para los valores de\(a\) y\(b\) obtenidos en la parte (b), encontrar una función potencial\(f\) tal que\(\vecs{ \nabla} f = \vecs{F} \text{.}\)
4. Evaluar la integral de línea

   \[ \int_C \Big(ye^{3x^2} + 2xz\cos(x^2 z)\Big) \text{d}x + xe^{3x^2} \text{d}y + x^2 \cos(x^2 z) \text{d}z \nonumber \]

   donde\(C\) es el arco de la curva\((t, t, t^3)\) comenzando en el punto\((0, 0, 0)\) y terminando en el punto\((1, 1, 1)\text{.}\)

41 ✳

Dejar\(C\) ser la curva de\((0,0,0)\) a\((1,1,1)\) lo largo de la intersección de las superficies\(y=x^2\) y\(z=x^3\text{.}\)

1. Encuentra\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) si\(\vecs{F} =(xz-y)\,\hat{\pmb{\imath}} + (z+x)\,\hat{\pmb{\jmath}}+ y\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)
2. Buscar\(\int_C \rho\, \text{d}s\) si\(s\) es la longitud del arco a lo largo\(C\) y\(\rho(x,y,z)=8x+36z\text{.}\)
3. Encuentra\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) si\(\vecs{F} =\sin y\,\hat{\pmb{\imath}} + (x\cos y+z)\,\hat{\pmb{\jmath}}+ (y+z)\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

42 ✳

El campo vectorial\(\vecs{F} (x,y,z)= Ax^3y^2z\,\hat{\pmb{\imath}}+\big(z^3+Bx^4yz\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +\big(3yz^2-x^4y^2\big)\,\hat{\mathbf{k}}\) es conservador en\(\mathbb{R}^3\text{.}\)

1. Encuentra los valores de las constantes\(A\) y\(B\text{.}\)
2. Encuentra un potencial\(\varphi\) tal que\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\) en\(\mathbb{R}^3\text{.}\)
3. Si\(\mathcal{C}\) es la curva\(y=-x,\ z=x^2\)\((0,0,0)\) de\((1,-1,1)\text{,}\) evaluar\(I=\int_\mathcal{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \text{.}\)
4. Evaluar\(J=\int_\mathcal{C} (z-4x^3y^2z)\text{d}x+(z^3-x^4yz)\text{d}y+(3yz^2-x^4y^2)\text{d}z\text{,}\) dónde\(\mathcal{C}\) está la curva de la parte (c).
5. Dejar\(\mathcal{T}\) ser la trayectoria triangular cerrada con vértices\((1,0,0)\text{,}\)\((0,1,0)\) y\((0,0,1)\text{,}\) orientada en sentido antihorario como se ve desde el punto\((1,1,1)\text{.}\) Evaluar\(\int_\mathcal{T}(z\hat{\pmb{\imath}}+\vecs{F} )\cdot \text{d}\vecs{r} \text{.}\)

43 ✳

Una partícula de masa

\[ m=2 \nonumber \]

es actuado por una fuerza

\[ \vecs{F} = \big(4t\,,\,6t^2\,,\,-4t\big) \nonumber \]

En\(t=0\text{,}\) la partícula tiene velocidad cero y se encuentra en el punto\((1,2,3)\text{.}\)

1. Encuentra el vector de velocidad\(\vecs{v} (t)\) para\(t\ge 0\text{.}\)
2. Encuentra el vector de posición\(\vecs{r} (t)\) para\(t\ge 0\text{.}\)
3. Encuentra\(\kappa(t)\) la curvatura de la trayectoria atravesada por la partícula para\(t\ge 0\text{.}\)
4. Encuentra el trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula desde\(t=0\) hasta\(t=T\text{.}\)

44 ✳

La posición de un avión en el momento\(t\) viene dada por\(x=y=\frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3/2},\ z=t(2-t)\) desde el despegue en\(t=0\) hasta el aterrizaje en\(t=2\text{.}\)

1. ¿Cuál es la distancia total que recorre el avión en este vuelo?
2. Encuentra el radio de curvatura\(\kappa\) en el vértice del vuelo, que ocurre en\(t=1\text{.}\)
3. Dos fuerzas externas se aplican al plano durante el vuelo: la fuerza de gravedad\(\textbf{G} =-M g\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) donde\(M\) está la masa del plano y\(g\) es una constante; y una fuerza de fricción\(\vecs{F} =-|\vecs{v} |^2\vecs{v} \text{,}\) donde\(\vecs{v} \) está la velocidad del plano. Encuentra el trabajo realizado por cada una de estas fuerzas durante el vuelo.
4. Una media hora después, un ave sigue exactamente el mismo vuelo — trayectoria que el avión, viajando a\(v=3\text{.}\) una velocidad constante Se puede demostrar que en el vértice del camino, es decir, cuando el ave se encuentra en\(\big(\frac{4\sqrt{2}}{3},\frac{4\sqrt{2}}{3},1\big)\text{,}\) la unidad principal normal\(\hat{\textbf{N}}\) a la trayectoria apunta en la\(-\hat{\mathbf{k}}\) dirección. Encuentra la aceleración del ave (vector) en ese momento.

1. Sí, sí. Primero debemos considerar intervalos de tiempo cortos\(\Delta t \gt 0\) y luego tomar el límite\(\Delta t\rightarrow 0\) al final. Pero indudablemente has usado este tipo de argumentos tantas veces antes que te aburriría a fondo.
2. Entonces\(\varphi\) actúa un poco como el antiderivado del cálculo de primer año.
3. El lector debe comprobar que este campo vectorial no es conservador.
4. A lo mejor te gustaría pensar por qué podemos dividir la integral así.
5. Nuevamente, el lector debe verificar que este campo vectorial no es conservador.
6. Esta es una manera bastante eficiente, y estándar, de estructurar la prueba de la equivalencia de tres afirmaciones.
7. o nos rescata, o salva nuestro tocino, o\(\ldots\)