Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

2.5: Opcional — El péndulo

  • Page ID
    119204
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Modelar un péndulo por una masa\(m\) que está conectada a una bisagra por una varilla idealizada que es sin masa y de longitud fija\(\ell\text{.}\) Denote por\(\theta\) el ángulo

    pendulum2.svgpendulum4.svg

    entre la varilla y vertical. Las fuerzas que actúan sobre la masa son

    • gravedad, que tiene magnitud\(mg\) y dirección\((0,-1)\text{,}\)
    • tensión en la varilla, cuya magnitud, se ajusta\(\tau\text{,}\) automáticamente para que la distancia entre la masa y la bisagra se fije en\(\ell\) y cuya dirección,\((-\sin\theta,\cos\theta)\text{,}\) sea siempre paralela a la varilla y
    • posiblemente algunas fuerzas de fricción, como la fricción en la bisagra y la resistencia al aire. Supondremos que la fuerza total de fricción tiene magnitud proporcional a la velocidad 1 de la masa y tiene dirección opuesta a la dirección de movimiento de la masa.

    Si usamos un sistema de coordenadas centrado en la bisagra, las\((x,y)\) coordenadas de la masa en el momento\(t\) son\(\ell\big(\sin\theta(t),-\cos\theta(t)\big)\text{.}\) Por lo tanto su vector de velocidad es

    \[ \vecs{v} (t) = \dfrac{d\ }{dt}\big[\ell\big(\sin\theta(t),-\cos\theta(t)\big) \big] = \ell\big(\cos\theta(t),\sin\theta(t)\big)\dfrac{d\theta}{dt}(t) \nonumber \]

    y la fuerza de fricción total es\(-\beta \ell(\cos\theta,\sin\theta)\dfrac{d\theta}{dt}\text{,}\) para alguna constante\(\beta\text{.}\) El vector de aceleración de la masa es

    \[ \textbf{a}(t)=\dfrac{d\ }{dt}\vecs{v} (t) =\ell(\cos\theta,\sin\theta)\frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}} +\ell(-\sin\theta,\cos\theta)\Big(\dfrac{d\theta}{dt}\Big)^2 \nonumber \]

    así que la ley del movimiento de Newton,\(\vecs{F} =m\textbf{a}\text{,}\) ahora nos dice

    \[\begin{align*} m\textbf{a}(t) &= m\ell(\cos\theta,\sin\theta)\frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}} +m\ell(-\sin\theta,\cos\theta)\Big(\dfrac{d\theta}{dt}\Big)^2\\ &=\vecs{F} =mg(0,-1)+\tau (-\sin\theta,\cos\theta) -\beta \ell(\cos\theta,\sin\theta)\dfrac{d\theta}{dt} \end{align*}\]

    Para eliminar el coeficiente (desconocido)\(\tau\) punteamos esta ecuación con la\((\cos\theta,\sin\theta)\text{,}\) que extrae el componente paralelo a la dirección de movimiento de la masa. Salteando con\((\cos\theta,\sin\theta)\) da\(\ m\ell\frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}=-mg\sin\theta-\beta \ell\dfrac{d\theta}{dt} \ \) o

    \[ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{\beta}{m}\dfrac{d\theta}{dt} +\frac{g}{\ell}\sin\theta=0 \nonumber \]

    que es la ecuación de movimiento del péndulo (no lineal). En general, puede ser difícil analizar ecuaciones diferenciales no lineales. Pero si la amplitud de oscilación es lo suficientemente pequeña como para que podamos\(\theta\) aproximarnos\(\sin\theta\) por obtenemos la ecuación de movimiento del péndulo lineal 2 que es

    \[\begin{gather*} \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{\beta}{m}\dfrac{d\theta}{dt} +\frac{g}{\ell}\theta=0 \end{gather*}\]

    Estas ecuaciones pueden reformularse como sistemas de ecuación diferencial ordinaria de primer orden, es decir, como ecuaciones para las líneas de flujo de un campo vectorial, por el simple recurso de definición (como hicimos en el Ejemplo 2.1.7)

    \[ x(t)=\theta(t)\qquad y(t)=\theta'(t) \nonumber \]

    Entonces, para la ecuación completa, no lineal\(\frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{\beta}{m}\dfrac{d\theta}{dt} +\frac{g}{\ell}\sin\theta=0\)

    \[\begin{alignat*}{4} x'(t)&=&\theta'(t)&=y(t)\cr y'(t)&=&\ \theta''(t)&=-\frac{g}{\ell}\sin x(t)-\frac{\beta}{m} y(t) \end{alignat*}\]

    Las soluciones de este sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias son líneas de flujo para el campo vectorial

    \[ \textbf{V}\big((x,y)\big)=\Big(y\,,\,-\frac{g}{\ell}\sin x-\frac{\beta}{m} y\Big) \nonumber \]

    Cuando\(\beta=0\text{,}\) este es exactamente el campo vectorial del Ejemplo 2.1.7.

     

    1. La dependencia de la resistencia del aire (arrastre) de la velocidad\(v\) es relativamente compleja. A baja velocidad, la resistencia tiende a ser aproximadamente proporcional a\(v\text{,}\) mientras que a alta velocidad tiende a ser aproximadamente proporcional a\(v^2\text{.}\)
    2. Cuando\(\beta=0\text{,}\) esta ecuación se reduce a la ecuación\(\frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{g}{\ell}\theta=0\text{,}\) que ocurre en muchas aplicaciones diferentes, y cuyas soluciones exhiben movimiento armónico simple.

    This page titled 2.5: Opcional — El péndulo is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Joel Feldman, Andrew Rechnitzer and Elyse Yeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.