3.1: Superficies parametrizadas
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Para muchas aplicaciones necesitaremos usar integrales sobre superficies. Uno obvio es solo calcular las áreas de superficie. Otro es calcular la velocidad a la que el fluido atraviesa una superficie. El primer paso es simplemente especificar las superficies cuidadosamente.
Hay tres formas comunes de especificar una superficie en tres dimensiones.
- Gráfica de una función: Probablemente la forma más común de especificar una superficie es dar su ecuación en la forma
\[ z = f(x,y)\qquad (x,y)\in\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^2 \nonumber \]
Aquí “\((x,y)\in\mathcal{D}\subset\mathbb{R} ^2\)” solo significa que\((x,y)\) se extiende sobre el subconjunto\(\mathcal{D}\) de\(\mathbb{R} ^2\text{.}\) Por ejemplo, si la superficie es la mitad superior de la esfera de radio uno centrado en el origen\[ z = \sqrt{1-x^2-y^2}\qquad \text{with } x^2+y^2 \le 1 \nonumber \]
- Implícitamente: También podemos especificar que la superficie es el conjunto de puntos\((x,y,z)\) que satisfacen la ecuación\(G(x,y,z)=0\text{,}\) o, más generalmente 1, satisfacen la ecuación\(G(x,y,z)=K\text{,}\) con\(K\) una constante. Por ejemplo, la esfera de radio uno centrada en el origen es el conjunto de puntos que obedecen
\[ x^2+y^2+z^2=1 \nonumber \]
Exploraremos esta superficie un poco más en el Ejemplo 3.1.2 a continuación. - Rango de una función: Probablemente la forma más útil de especificar una superficie, cuando se necesita integrar sobre la superficie, es como el rango de una función
\[\begin{align*} \vecs{r} &: \mathcal{D}\subset\mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R} ^3\\ &(u,v) \in\mathcal{D} \mapsto \vecs{r} (u,v) =\big(x(u,v)\,,\,y(u,v)\,,\,z(u,v)\big) \end{align*}\]
La línea superior significa que\(\vecs{r} \) es una función que se define en el subconjunto\(\mathcal{D}\) de\(\mathbb{R} ^2\) y que asigna a cada punto en\(\mathcal{D}\) un punto en\(\mathbb{R} ^3\text{.}\) La segunda línea significa que la función\(\vecs{r} \) asigna al elemento\((u,v)\)\(\mathcal{D}\) del elemento\(\vecs{r} (u,v) =\big(x(u,v)\,,\,y(u,v)\,,\,z(u,v)\big)\) en\(\mathbb{R} ^3\text{.}\) Tal superficie se llama superficie parametrizada — cada punto de la superficie está etiquetado por los valores de los dos parámetros\(u\) y las superficies\(v\text{.}\) parametrizadas son, por supuesto, los dos parámetros análogos de curvas parametrizadas. A continuación vienen ejemplos de superficies parametrizadas.
Una manera simple, incluso trivial, de parametrizar la superficie que es la gráfica
\[ z = f(x,y)\qquad (x,y)\in\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^2 \nonumber \]
es elegir\(x\) y\(y\) como los parámetros. Es decir, elegir
\[\begin{align*} \vecs{r} (u,v) &= \big(u,v,\,f(u,v)\big),\quad (u,v)\in\mathcal{D}\\ \text{or}\qquad \vecs{r} (x,y) &= \big(x,y,\,f(x,y)\big),\quad (x,y)\in\mathcal{D} \end{align*}\]
Hagamos algo un poco más sustancial.
Esfera
La esfera de radio\(1\) centrada en el origen es el conjunto de puntos\((x,y,z)\) que obedecen
\[ G(x,y,z)= x^2+y^2+z^2=1 \nonumber \]
No podemos expresar esta superficie como la gráfica de una función porque, para cada uno\((x,y)\) con\(x^2+y^2 \lt 1\text{,}\)\(z\) hay dos que obedecen\(x^2+y^2+z^2=1\text{,}\) a saber
\[ z=\pm\sqrt{1-x^2-y^2} \nonumber \]
Por otro lado, a nivel local, esta superficie es la gráfica de una función. Esto significa que, para cualquier punto\((x_0, y_0, z_0)\) de la esfera, todos los puntos de la superficie que estén suficientemente cerca\((x_0, y_0, z_0)\) pueden expresarse en una de las formas\(z=f(x,y)\) o\(x=g(y,z)\text{,}\) o\(y=h(x,z)\text{.}\) Por ejemplo, la parte de la esfera que se encuentra a una distancia\(\sqrt{2}\) del punto\((0,0,1)\) es
\[\begin{align*} &\left \{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2=1,\ |(x,y,z) - (0,0,1)| \lt \sqrt{2}\right \}\\ &=\left \{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2=1,\ x^2+y^2+(z-1)^2 \lt 2\right \}\\ &=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1,\ x^2+y^2+z^2-2z+1 \lt 2\right \}\\ &=\left \{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2=1,\ z \gt 0\right \}\\ &=\left \{(x,y,z)| z=\sqrt{1-x^2-y^2},\ x^2+y^2 \lt 1\right \} \end{align*}\]
Esto se ilustra en la siguiente figura que muestra la\(y=0\) sección de la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\) y también la\(y=0\) sección del conjunto de puntos que se encuentran a una distancia\(\sqrt{2}\) de\((0,0,1)\text{.}\) (Son los puntos dentro del círculo discontinuo.)
De igual manera, como se ilustra esquemáticamente en la siguiente figura, la parte de la esfera que se encuentra a una distancia\(\sqrt{2}\) del punto\((1,0,0)\) es
\[\begin{align*} &\left \{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2=1,\ |(x,y,z) - (1,0,0)| \lt \sqrt{2}\right \}\\ &=\left \{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2=1,\ (x-1)^2+y^2+z^2 \lt 2\right \}\\ &=\left \{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2=1,\ x^2-2x+1+y^2+z^2 \lt 2\right \}\\ &=\left \{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2=1,\ x \gt 0\right \}\\ &=\left \{(x,y,z)| x=\sqrt{1-y^2-z^2},\ y^2+z^2 \lt 1\right \} \end{align*}\]
La siguiente figura muestra la\(y=0\) sección de la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\) y también la\(y=0\) sección del conjunto de puntos que se encuentran a una distancia\(\sqrt{2}\) de\((1,0,0)\text{.}\) (Nuevamente, son los puntos dentro del círculo discontinuo.)
Podemos parametrizar la esfera unitaria usando coordenadas esféricas, que deberías haber visto antes. Como recordatorio, aquí hay una figura que muestra las definiciones de las tres coordenadas esféricas 2
\[\begin{align*} \rho&=\text{ distance from }(x,y,z)\text{ to }(0,0,0)\\ \varphi&=\text{ angle between the line }\overline{(0,0,0)\,(x,y,z)} \text{ and the $z$ axis}\\ \theta&=\text{ angle between the line }\overline{(0,0,0)\,(x,y,0)} \text{ and the $x$ axis} \end{align*}\]
y aquí hay dos figuras más dando las vistas laterales y superiores de la figura anterior.
De la figura, vemos que las coordenadas cartesianas y esféricas están relacionadas por
\[\begin{align*} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta\\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta\\ z&=\rho\cos\varphi \end{align*}\]
Los puntos en la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\) son precisamente el conjunto de puntos con\(\rho=1\text{.}\) Así podemos usar la parametrización
\[ \vecs{r} (\theta,\varphi) =\big(\sin\varphi\cos\theta\,,\sin\varphi\sin\theta\,,\,\cos\varphi\big) \nonumber \]
Aquí es cómo ver que como\(\varphi\) atropellas\((0,\pi)\) y\(\theta\) atropellas\([0,2\pi)\text{,}\)\(\vecs{r} (\theta,\varphi)\) cubre toda la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\) excepto el polo norte (\(\varphi=0\)da el polo norte para todos los valores de\(\theta\)) y el polo sur (\(\varphi=\pi\)da el polo sur para todos los valores de \(\theta\)).
- Fijar\(\theta\) y haber\(\varphi\) corrido sobre el intervalo\(0 \lt \varphi\le \frac{\pi}{2}\text{.}\) Luego\(\vecs{r} (\theta,\varphi)\) traza un cuarto de círculo comenzando en el polo norte\(\vecs{r} (\theta,0) = (0,0,1)\) (pero excluyendo el polo norte mismo) y terminando en el punto\(\vecs{r} (\theta,\frac{\pi}{2}) = (\cos\theta,\sin\theta,0)\) en el\(xy\) plano -.
- Mantente\(\theta\) fijo en el mismo valor y extiende el intervalo sobre el cual\(\varphi\) corre a\(0 \lt \varphi \lt \pi\text{.}\) Ahora\(\vecs{r} (\theta,\varphi)\) traza un semicírculo que comienza en el polo norte\(\vecs{r} (\theta,0) = (0,0,1)\text{,}\) que termina en el polo sur\(\vecs{r} (\theta,\pi) = (0,0,-1)\) (pero excluyendo tanto el polo norte como el sur mismos) y pasando por el punto \(\vecs{r} (\theta,\frac{\pi}{2}) = (\cos\theta,\sin\theta,0)\)en el\(xy\) -avión.
- Finalmente han\(\theta\) atropellado\(0\le\theta \lt 2\pi\text{.}\) Entonces el semicírculo gira alrededor del\(z\) eje -eje, barriendo toda la esfera, a excepción de los polos norte y sur.
Recordemos que\(\varphi\) es el ángulo entre el radio vector y el\(z\) eje -eje. Si te mantienes\(\varphi\) fijo y\(\theta\) aumentas en una pequeña cantidad\(\text{d}\theta\text{,}\)\(\vecs{r} (\theta,\varphi)\) barre el arco circular rojo en la figura de abajo a la izquierda. Si se mantiene\(\varphi\) fijo y\(\theta\) varía de\(0\) a\(2\pi\text{,}\)\(\vecs{r} (\theta,\varphi)\) barre una línea de latitud. La figura de abajo a la derecha da las líneas de latitud (o al menos las partes de esas líneas en el primer octante) para\(\varphi=\frac{\pi}{10}\text{,}\)\(\frac{2\pi}{10}\text{,}\)\(\frac{3\pi}{10}\text{,}\)\(\frac{4\pi}{10}\) y\(\frac{5\pi}{10}=\frac{\pi}{2}\text{.}\)
Por otro lado, si mantienes\(\theta\) fijo y\(\varphi\) aumentas en una pequeña cantidad\(\text{d}\varphi\text{,}\)\(\vecs{r} (\theta,\varphi)\) barre el arco circular rojo en la figura de abajo a la izquierda. Si se mantiene\(\theta\) fijo y\(\varphi\) varía de\(0\) a\(\pi\text{,}\)\(\vecs{r} (\theta,\varphi)\) barre una línea de longitud. La figura de abajo a la derecha da las líneas de longitud (o al menos las partes de esas líneas en el primer octante) para\(\theta=0\text{,}\)\(\frac{\pi}{10}\text{,}\)\(\frac{2\pi}{10}\text{,}\)\(\frac{3\pi}{10}\text{,}\)\(\frac{4\pi}{10}\) y\(\frac{5\pi}{10}=\frac{\pi}{2}\text{.}\)
Cilindro
La superficie\(x^2+z^2=1\) es un cilindro infinito. Parte de este cilindro en el primer octante se esboza a continuación.
Tenga en cuenta que la sección de este cilindro que se encuentra en el\(xz\) -plano, y de hecho en cualquier plano\(y=c\text{,}\) es el círculo\(x^2+z^2=1\text{.}\) Podemos por supuesto parametrizar este círculo por\(x=\cos\theta\text{,}\)\(z=\sin\theta\text{.}\) Así podemos parametrizar todo el cilindro usando\(\theta\) y\(y\) como parámetros.
\[ \vecs{r} (\theta,y) = \big(\cos\theta\,,\,y\,,\,\sin\theta\big) \qquad 0\le\theta \lt 2\pi,\ \ -\infty \lt y \lt \infty \nonumber \]
En este ejemplo, vamos a parametrizar una superficie de revolución. En su primer curso de cálculo integral, indudablemente encontró muchas superficies creadas al rotar una curva\(y=f(x)\) alrededor del\(x\) eje -eje o el\(y\) eje -eje. En este curso, estamos acostumbrados a que el\(z\) eje -eje, más que el\(y\) eje -corra verticalmente.
Entonces, en este ejemplo, parametrizaremos la superficie construida girando la curva
\[ z=g(y)=e^y \qquad 0\le y\le 1 \nonumber \]
sobre el\(z\) eje -. Exactamente el mismo procedimiento se puede usar para parametrizar superficies creadas girando alrededor del\(x\) eje -o también del\(y\) eje -axis.
Comenzamos con solo bosquejar la curva, considerando el\(yz\) -plano como el plano\(x=0\) en\(\mathbb{R} ^3\text{.}\) La curva especificada es la curva roja en la figura de abajo. Concéntrese en cualquier punto de esa curva. Es el punto azul en\((0,Y,e^Y)\)
en la figura. Cuando nuestra curva se gira alrededor del\(z\) eje, el punto azul barre un círculo. El círculo que barre el punto azul
- yace en el plano horizontal\(z=e^Y\) y
- está centrado en el\(z\) eje -y
- tiene radio\(Y\text{.}\)
Podemos parametrizar el círculo barrido de la manera habitual. Aquí hay una vista superior del círculo, con el parámetro, llamado\(\theta\text{,}\) indicado.
Las coordenadas del punto rojo son\(\big(Y\sin\theta\,,\,Y\cos\theta\,,\,e^Y\big)\text{.}\) Esto también da una parametrización de la superficie de revolución
\[\begin{align*} x(Y,\theta) & = Y\sin\theta\\ y(Y,\theta) & = Y\cos\theta\\ z(Y,\theta) & = e^Y\\ &0\le Y\le 1,\qquad 0\le\theta \lt 2\pi \end{align*}\]
Avise, a modo de cheques, que
- cuando\(\theta=0\text{,}\)
\[ \big(x(Y,0)\,,\,y(Y,0)\,,\,z(Y,0)\big) =(0,Y,e^Y) \nonumber \]
corre sobre toda la curva deseada (es decir\(z=g(y)\text{,}\)\(0\le y\le 1\)), cuando\(Y\) se ejecuta sobre\(0\le Y\le 1\) y - para cualquier carrera fija\(0\le Y\le 1\text{,}\)\(\big(x(Y,\theta)\,,\,y(Y,\theta)\,,\,z(Y,\theta)\big)\) sobre el círculo\(x^2+y^2=Y^2\text{,}\) en el avión\(z=e^Y\text{,}\) cuando se\(\theta\) atropella\(0\le\theta \lt 2\pi\text{.}\)
También tenga en cuenta que
\[ x(Y,\theta)^2 + y(Y,\theta)^2 = Y^2 \nonumber \]
para que
\[ Y=\sqrt{x(Y,\theta)^2 + y(Y,\theta)^2} \nonumber \]
y
\[\begin{gather*} z(Y,\theta) =e^{Y} = e^{ \sqrt{x(Y,\theta)^2 + y(Y,\theta)^2} } \end{gather*}\]
Es decir, la superficie de la revolución está contenida en la superficie (infinita)
\[ z=e^{\sqrt{x^2+y^2}} \nonumber \]
Recordando que\(0\le Y\le 1\text{,}\) tenemos eso\(1\le z=e^Y \le e\text{.}\) Así la superficie de la revolución es
\[ z=e^{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad 1\le z\le e \nonumber \]
Finalmente aquí hay un boceto de la parte de la superficie en el primer octante,\(x,y,z\ge 0\text{.}\)
En este ejemplo, vamos a parametrizar una rosquilla (bien, su superficie), o un tubo interno.
El nombre matemático formal para la superficie de una rosquilla es un toro. Nuestra estrategia será primero parametrizar la sección del toro en la mitad derecha del\(yz\) plano, y luego construir el toro completo girando el círculo alrededor del\(z\) eje. La sección es un círculo, esbozado a continuación.
Supondremos que el centro del círculo está a una\(R\) distancia del\(z\) eje -y que el círculo tiene radio\(r\text{.}\) Entonces el punto rojo en el círculo está en
\[\begin{align*} x&=0\\ y&= R + r\cos\theta\\ z&= r\sin\theta \end{align*}\]
En particular, el punto rojo está a una distancia\(r\sin\theta\) por encima del\(xy\) plano y es una\(R + r\cos\theta\) distancia del\(z\) eje. Entonces, cuando giramos la sección alrededor del\(z\) eje, el punto rojo barre un círculo que se esboza a continuación.
El círculo que barre el punto rojo
- yace en el avión\(z=r\sin\theta\) y
- está centrado en el\(z\) eje -y
- tiene radio\(\rho=R + r\cos\theta\text{.}\)
Podemos parametrizar el círculo barrido de la manera habitual. Aquí hay una vista superior del círculo, con el parámetro, llamado\(\psi\text{,}\) indicado.
Entonces la parametrización del círculo barrido por el punto rojo, y también la parametrización del toro, es
\[\begin{align*} x &= \rho\cos\psi = (R + r\cos\theta)\cos\psi\\ y &= \rho\sin\psi = (R + r\cos\theta)\sin\psi\\ z &= r\sin\theta \end{align*}\]
o
\[\begin{align*} &\vecs{r} (\theta,\psi) = (R + r\cos\theta)\cos\psi \ \hat{\pmb{\imath}} + (R + r\cos\theta)\sin\psi \ \hat{\pmb{\jmath}} + r\sin\theta\ \hat{\mathbf{k}}\\ & 0\le\theta,\psi \lt 2\pi \end{align*}\]
Ejercicios
Etapa 1
Parametrizar la superficie dada por\(z=e^{x+1}+xy\) en términos de\(x\) y\(y\text{.}\)
Dejar\(S\) ser la superficie dada por
\[ \vecs{r} (u, v) = \big( u + v\,,\, u^2 + v^2 \,,\, u - v\big),\qquad -2 \le u \le 2,\ -2 \le v \le 2 \nonumber \]
Esta es una superficie con la que estás familiarizado. ¿Qué superficie es (puede ser solo una porción de uno de los siguientes)? esfera/helicoide/elipsoide/silla de montar/cuenco parabólico/cilindro/cono/plano
Etapa 2
Supongamos que\(S\) es la parte del hiperboloide\(x^2 + y^2 - 2z^2 = 1\) que se encuentra dentro del cilindro\(x^2 + y^2 = 9\) y por encima del plano\(z = 1\) (es decir, para la cual\(z \ge 1\)).
¿Cuáles de las siguientes son parametrizaciones de\(S\text{?}\)
- La función de vector
\[ \vecs{r} (u,v) = u\,\hat{\pmb{\imath}} + v\,\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{\sqrt{u^2+v^2-1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
con dominio\(D=\left \{(u,v)| 2 \le u^2+v^2 \le 9\right \}\text{.}\) - La función de vector
\[ \vecs{r} (u,v) = u\sin v\,\hat{\pmb{\imath}} - u\cos v\,\hat{\pmb{\jmath}} +\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
con dominio\(D=\left \{(u,v)| \sqrt{3} \le u\le 3,\ 0\le v\le 2\pi\right \}\text{.}\) - La función de vector
\[ \vecs{r} (u,v) = \sqrt{1+2v^2}\cos u\,\hat{\pmb{\imath}} + \sqrt{1+2v^2} \sin u\,\hat{\pmb{\jmath}} +v\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
con dominio\(D=\left \{(u,v)| 0\le u\le 2\pi,\ 1\le v\le 2\right \}\text{.}\) - La función de vector
\[ \vecs{r} (u,v) = \sqrt{1+u}\sin v\,\hat{\pmb{\imath}} + \sqrt{1+u} \cos v\,\hat{\pmb{\jmath}} +\sqrt{\frac{u}{2}}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
con dominio\(D=\left \{(u,v)| 2\le u\le 8,\ 0\le v\le 2\pi\right \}\text{.}\) - La función de vector
\[ \vecs{r} (u,v) = \sqrt{u}\cos v\,\hat{\pmb{\imath}} - \sqrt{u} \sin v\,\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{\sqrt{u+1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
con dominio\(D=\left \{(u,v)| 3\le u\le 9,\ 0\le v\le 2\pi\right \}\text{.}\)
Supongamos que la superficie\(S\) es la parte de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 2\) que se encuentra dentro del cilindro\(x^2 + y^2 = 1\) y para la\(z \ge 0\text{.}\) cual Cuáles de las siguientes son parametrizaciones de\(S\text{?}\)
-
\[ \vecs{r} (\phi,\theta) = 2\sin \phi\cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} +2\cos \phi\,\hat{\pmb{\jmath}} +2\sin \phi\sin\theta\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
\[ 0\le\phi\le\frac{\pi}{4},\ 0\le\theta\le2\pi \nonumber \]
-
\[ \vecs{r} (x,y) = x\,\hat{\pmb{\imath}} -y\,\hat{\pmb{\jmath}} +\sqrt{2-x^2-y^2}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
\[ x^2+y^2\le 1 \nonumber \]
-
\[ \vecs{r} (u,\theta) = u\sin\theta\,\hat{\pmb{\imath}} +u\cos \theta\,\hat{\pmb{\jmath}} +\sqrt{2-u^2}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
\[ 0\le u\le 2,\ 0\le\theta\le2\pi \nonumber \]
-
\[ \vecs{r} (\phi,\theta) = \sqrt{2}\sin \phi\cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} +\sqrt{2}\sin \phi\sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} +\sqrt{2}\cos \phi\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
\[ 0\le\phi\le\frac{\pi}{4},\ 0\le\theta\le2\pi \nonumber \]
-
\[ \vecs{r} (\phi,z) = -\sqrt{2-z^2}\sin \phi\,\hat{\pmb{\imath}} +\sqrt{2-z^2}\cos \phi\,\hat{\pmb{\jmath}} +z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
\[ 0\le\phi\le2\pi,\ 1\le z\le\sqrt{2} \nonumber \]
Dejar\(S\) ser la parte del paraboloide que\(z + x^2 + y^2 = 4\) se encuentra entre los planos\(z = 0\) y\(z = 1\text{.}\) Para cada uno de los siguientes, indicar si parametriza correctamente o no la superficie\(S\text{.}\)
- \(\vecs{r} (u,v) = u\,\hat{\pmb{\imath}} + v\,\hat{\pmb{\jmath}} + (4 - u^2 - v^2)\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)\(0 \le u^2 + v^2 \le 1\)
- \(\vecs{r} (u,v) = (\sqrt{4-u}\,\cos v)\,\hat{\pmb{\imath}} + (\sqrt{4-u}\, \sin v)\,\hat{\pmb{\jmath}} + u\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)\(0 \le u \le 1\text{,}\)\(0 \le v \le 2\pi\)
- \(\vecs{r} (u, v) = (u \cos v)\,\hat{\pmb{\imath}} + (u \sin v)\,\hat{\pmb{\jmath}} + (4 - u^2 )\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)\(\sqrt{3} \le u \le 2\text{,}\)\(0 \le v \le 2\pi\)
Etapa 3
Considere las siguientes superficies
- \(S_1\)es el hemisferio dado por la ecuación\(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) con\(z\ge 0\text{.}\)
- \(S_2\)es el cilindro dado por la ecuación\(x^2 + y^2 = 1\text{.}\)
- \(S_3\)es el cono dado por la ecuación\(z^2 = x^2 + y^2\) con\(z\ge 0\text{.}\)
Considere las siguientes parametrizaciones:
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big)\\ & 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/6 \end{align*}\]
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big)\\ & 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/4 \end{align*}\]
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big)\\ & 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/3 \end{align*}\]
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\\ & 0\le\theta\le2\pi,\quad 1\le z\le 2 \end{align*}\]
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\\ & 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{2}\le z\le 2 \end{align*}\]
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\\ & 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{3}\le z\le 2 \end{align*}\]
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\\ & 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le 1 \end{align*}\]
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\\ & 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{2} \end{align*}\]
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\\ & 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{3} \end{align*}\]
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\\ & x^2+y^2\le 1 \end{align*}\]
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\\ & x^2+y^2\le \sqrt{2} \end{align*}\]
-
\[\begin{align*} &\vecs{r} (x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\\ & x^2+y^2\le 2 \end{align*}\]
Para cada una de las siguientes, elija sobre todo de la parametrización válida de cada una de las superficies dadas. Tenga en cuenta que puede haber una o más parametrizaciones válidas para cada superficie, y no necesariamente se utilizarán todas las parametrizaciones anteriores.
- La parte de\(S_1\) contenido en el interior\(S_2\text{:}\)
- La parte de\(S_1\) contenido en el interior\(S_3\text{:}\)
- La parte de\(S_3\) contenido en el interior\(S_2\text{:}\)
- La parte de\(S_3\) contenido en el interior\(S_1\text{:}\)
Parametrizar un sólido de rotación alrededor de una línea no paralela a un eje. Quizá primero demuestre que el plano que estás rotando es normal a ese eje.
- Dar una ecuación paramétrica para el círculo de radio 1, centrado en el\((2,2,4)\text{,}\) tendido en el plano\(x=y\text{.}\)
- Dar una ecuación parametrizada para la superficie formada girando el círculo de la parte (a) alrededor de la línea\(\vecs{r} (t)=4\hat{\pmb{\imath}}+4\hat{\pmb{\jmath}}+t\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)
- Por supuesto siempre podemos convertir la ecuación\(G(x,y,z)=K\) en\(H(x,y,z)=0\) con\(H(x,y,z)=G(x,y,z)-K\text{.}\) Pero a menudo es más conveniente de usar\(G(x,y,z)=K\text{.}\)
- Los símbolos\(\rho\text{,}\)\(\varphi\text{,}\)\(\theta\) son los símbolos matemáticos estándar para las coordenadas esféricas. El Apéndice A.7 da otro conjunto de símbolos que se utiliza comúnmente en las ciencias físicas y la ingeniería.