3.3: Integrales de superficie
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Ahora vamos a definir dos tipos de integrales sobre superficies.
- Integrales que parecen\(\iint_{S} \rho\,\text{d}S\) se utilizan para calcular el área y, cuando\(\rho\) es, por ejemplo, una densidad de masa, la masa de la superficie\(S\text{.}\)
- Las integrales que parecen\(\iint_{S} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\)\(\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\) ser un vector unitario que es perpendicular a\(S\) at\((x,y,z)\text{,}\) se llaman integrales de flujo. Veremos en §3.4, que cuando\(\vecs{v} \) es el campo de velocidad de un fluido en movimiento y\(\rho\) es la densidad del fluido, entonces\(\iint_{S} \rho\vecs{v} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) es la velocidad a la que el fluido está cruzando la superficie\(S\text{.}\)
Superficies parametrizadas
Supongamos que deseamos integrar sobre parte,\(S\text{,}\) de una superficie que es parametrizada por\(\vecs{r} (u,v)\text{.}\) Comenzamos cortando\(S\) en trozos pequeños dibujando un manojo de curvas de constante\(u\) (las curvas azules en la figura de abajo) y un manojo de curvas de constante\(v\) (las curvas rojas en la figura a continuación).
Concéntrate en cualquiera de las piezas pequeñas. Aquí hay un boceto muy magnificado.
Por ejemplo, la curva roja inferior se construyó manteniendo\(v\) fija en el valor\(v_0\text{,}\) variando\(u\) y dibujando\(\vecs{r} (u,v_0)\text{,}\) y la curva roja superior se construyó manteniendo\(v\) fija en el valor ligeramente mayor\(v_0+\text{d}v\text{,}\) variando\(u\) y dibujando\(\vecs{r} (u,v_0+\text{d}v)\text{.}\) Así que el cuatro puntos de intersección en la figura son
\[\begin{alignat*}{2} P_2&=\vecs{r} (u_0, v_0+\text{d}v) &\qquad P_3&=\vecs{r} (u_0+\text{d}u, v_0+\text{d}v)\\ P_0&=\vecs{r} (u_0, v_0) & P_1&=\vecs{r} (u_0+\text{d}u, v_0) \end{alignat*}\]
Ahora si
\[ \textbf{R}(t) = \vecs{r} (u_0+t\text{d}U\,,\,v_0+t\text{d}V) \nonumber \]
(donde\(\text{d}U\) y\(\text{d}V\) son constantes pequeñas) entonces, por expansión Taylor,
\[\begin{align*} \vecs{r} \big(u_0+\text{d}U\,,\,v_0+\text{d}V\big) &=\textbf{R}(1)\\ &\approx \big[\textbf{R}(0) +\textbf{R}'(0)\,\big(t-0\big)\big]_{t=1}\\ &=\vecs{r} (u_0\,,\,v_0) +\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}U +\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}V \end{align*}\]
Aplicando esto tres veces, una con\(\text{d}U=\text{d}u\text{,}\)\(\text{d}V=0\text{,}\) una vez con\(\text{d}U=0\)\(\text{d}V=\text{d}v\text{,}\) y otra con\(\text{d}U=\text{d}u\text{,}\)\(\text{d}V=\text{d}v\text{,}\)
\[\begin{alignat*}{2} P_0&=\vecs{r} (u_0\,,\,v_0)\\ P_1&=\vecs{r} (u_0+\text{d}u, v_0) &&\approx \vecs{r} (u_0\,,\,v_0) +\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}u\\ P_2&=\vecs{r} (u_0, v_0+\text{d}v) &&\approx \vecs{r} (u_0\,,\,v_0) +\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}v\\ P_3&=\vecs{r} (u_0+\text{d}u, v_0+\text{d}v) &&\approx\vecs{r} (u_0\,,\,v_0) +\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}u +\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}v \end{alignat*}\]
Hemos bajado todos los términos de expansión de Taylor que son de grado dos o superior en\(\text{d}u\text{,}\)\(\text{d}v\text{.}\) La razón es que, al definir la integral, tomamos el límite\(\text{d}u,\text{d}v\rightarrow 0\text{.}\) Debido a ese límite, todos los términos caídos contribuyen exactamente\(0\) a la integral. Esto no lo probaremos. Pero vamos a mostrar, en la optativa §3.3.5, por qué es así.
La pequeña pieza de nuestra superficie con esquinas\(P_0\text{,}\)\(P_1\text{,}\)\(P_2\text{,}\)\(P_3\) es aproximadamente un paralelogramo con lados
\[\begin{align*} \overrightarrow{P_0P_1} \approx \overrightarrow{P_2P_3} &\approx \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}u\\ \overrightarrow{P_0P_2} \approx \overrightarrow{P_1P_3} &\approx \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}v \end{align*}\]
Denote por\(\theta\) el ángulo entre los vectores\(\overrightarrow{P_0P_1}\) y\(\overrightarrow{P_0P_2}\text{.}\) La base del paralelogramo,\(\overrightarrow{P_0P_1}\text{,}\) tiene longitud\(\big|\overrightarrow{P_0P_1}\big|\text{,}\) y la altura del paralelogramo es\(\big|\overrightarrow{P_0P_2}\big|\,\sin\theta\text{.}\) Entonces el área del paralelogramo es 1
\[\begin{align*} |\overrightarrow{P_0P_1}|\ |\overrightarrow{P_0P_2}| \ \sin\theta &= \big|\overrightarrow{P_0P_1}\times\overrightarrow{P_0P_2}\big|\\ &\approx \bigg|\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\bigg| \text{d}u\text{d}v \end{align*}\]
Además,\(\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\) y\(\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\) son vectores tangentes a las curvas\(\vecs{r} (t\,,\,v_0)\) y\(\vecs{r} (u_0\,,\,t)\) respectivamente. Ambas curvas se encuentran en\(S\text{.}\) So\(\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\) y\(\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\) son vectores tangentes a\(S\) at\((u_0,v_0)\) y el producto cruzado\(\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\) es perpendicular a\(S\) at\((u_0,v_0)\text{.}\) Hemos encontrado ambos\(\text{d}S\) y\(\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\) donde\(\hat{\textbf{n}}\) es una unidad de vector normal a la superficie.
Para la superficie parametrizada\(\vecs{r} (u,v)\text{,}\)
\[\begin{align*} \hat{\textbf{n}}\, \text{d}S & = \pm\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u\,,\,v)\times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u\,,\,v)\ \text{d}u\text{d}v\\ \text{d}S&= \bigg|\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u\,,\,v)\times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u\,,\,v)\bigg|\ \text{d}u\text{d}v \end{align*}\]
El\(\pm\) signo en 3.3.1 está ahí porque hay dos vectores normales unitarios en cada punto de una superficie, uno a cada lado de la superficie. Normalmente, la propia aplicación te dice cuál de los dos vectores normales se deben usar. Veremos muchos ejemplos en breve.
Gráficas
La superficie que es la gráfica\(z = f(x,y)\) puede ser parametrizada por
\[ \vecs{r} (x,y) = x\,\hat{\pmb{\imath}} + y\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x,y)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Como
\[\begin{gather*} \frac{\partial\vecs{r} }{\partial x} = \hat{\pmb{\imath}} + \frac{\partial f}{\partial x}\,\hat{\mathbf{k}} \qquad\text{and}\qquad \frac{\partial\vecs{r} }{\partial y} = \hat{\pmb{\jmath}} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]
tenemos
\[ \frac{\partial\vecs{r} }{\partial x}\times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial y} =\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 0 & \frac{\partial f}{\partial x} \\ 0 & 1 & \frac{\partial f}{\partial y} \end{matrix}\right] = -f_x(x,y)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x,y)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Entonces, 3.3.1 da lo siguiente.
Para la superficie\(z=f(x,y)\text{,}\)
\[\begin{align*} \hat{\textbf{n}}\, \text{d}S & = \pm\big[-f_x(x,y)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x,y)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}\big]\ \text{d}x\text{d}y\\ \text{d}S&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \text{d}x\text{d}y \end{align*}\]
Del mismo modo, para la superficie\(x=g(y,z)\text{,}\)
\[\begin{align*} \hat{\textbf{n}}\, \text{d}S & = \pm\big[\hat{\pmb{\imath}} -g_y(y,z)\,\hat{\pmb{\jmath}} - g_z(y,z)\,\hat{\mathbf{k}}\big]\ \text{d}y\text{d}z\\ \text{d}S&= \sqrt{1 + g_y(y,z)^2 + g_z(y,z)^2}\ \text{d}y\text{d}z \end{align*}\]
y para la superficie\(y=h(x,z)\text{,}\)
\[\begin{align*} \hat{\textbf{n}}\, \text{d}S & = \pm\big[-h_x(x,z)\,\hat{\pmb{\imath}} +\hat{\pmb{\jmath}} - h_z(x,z)\,\hat{\mathbf{k}}\big]\ \text{d}x\text{d}z\\ \text{d}S&= \sqrt{1 + h_x(x,z)^2 + h_z(x,z)^2}\ \text{d}x\text{d}z \end{align*}\]
Nuevamente, en cualquier aplicación dada, se debe tener cierto cuidado al elegir el signo en 3.3.2, para obtener el vector normal apropiado.
Las fórmulas como\(\text{d}S= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \text{d}x\text{d}y\) en 3.3.2 tienen interpretaciones geométricas. El paralelogramo rojo en el boceto
representa un pedacito de nuestra superficie. Tiene área\(\text{d}S= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \text{d}x\text{d}y\text{.}\) El paralelogramo azul en el mismo boceto representa la proyección del paralelogramo rojo sobre el\(xy\) plano -plano. Tiene área\(\text{d}x\text{d}y\text{.}\) El vector\(\hat{\textbf{n}}\) en el boceto es una unidad normal para el paralelogramo rojo. Hemos visto que es paralelo a
\[ \frac{\partial\vecs{r} }{\partial x}\times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial y} = -f_x(x,y)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x,y)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
para que el ángulo\(\theta\) entre\(\hat{\textbf{n}}\) y\(\hat{\mathbf{k}}\) obedezca
\[\begin{align*} \cos\theta &= \frac{(-f_x(x,y)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x,y)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}})\cdot\hat{\mathbf{k}}} {\big|-f_x(x,y)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x,y)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}\big|\,|\hat{\mathbf{k}}|}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}} \end{align*}\]
La interpretación geométrica de\(\text{d}S= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \text{d}x\text{d}y\) es que el área\(\text{d}S\) de un pequeño trozo de superficie es el área de su proyección en el\(xy\) plano multiplicado por el factor\(\frac{1}{\cos\theta}\) donde\(\theta\) está el ángulo entre\(\hat{\textbf{n}}\) (que es perpendicular a la superficie) y\(\hat{\mathbf{k}}\) (que es perpendicular al\(xy\) plano). Observe que
- cuando\(\theta\) está cerca de cero, lo que corresponde al\(f\) ser casi constante y nuestra superficie siendo casi paralela al\(xy\) -plano, se\(\text{d}S\) reduce a casi\(\text{d}x\text{d}y\text{.}\)
- Por otro lado, en el límite\(\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}\text{,}\) que corresponde\(f_x\) y/o\(f_y\) haciéndose infinito y nuestra superficie volviéndose perpendicular al\(xy\) plano,\(\text{d}S\) se convierte en “tiempos infinitos”\(\text{d}x\text{d}y\text{.}\) En este caso, debemos representar nuestra superficie ya sea en la forma\(x=g(y,z)\) o en el forma\(y=h(x,z)\text{,}\) en lugar de en la forma\(z=f(x,y)\text{.}\)
Superficies dadas por ecuaciones implícitas
Finalmente supongamos que la superficie viene dada por la ecuación\(G(x,y,z)=K\text{,}\) con\(K\) una constante. Supongamos además que en algún punto de la superficie\(\frac{\partial G}{\partial z} \ne 0\text{.}\) Entonces cerca de ese punto podemos resolver 2 la ecuación\(G(x,y,z)=K\) para\(z\) como una función de\(x\) y Es\(y\text{.}\) decir, la superficie también obedece\(z=f(x,z)\) para una función\(f(x,y)\) que satisface
\[ G\big(x,y,f(x,y)\big) = K \nonumber \]
cerca del punto. Diferenciando esto con respecto a\(x\) y\(y\) da, por la regla de la cadena,
\[\begin{alignat*}{2} 0&=\frac{\partial}{\partial x}\Big[G\big(x,y,f(x,y)\big)\Big] &\ =\ G_x\big(x,y,f(x,y)\big) + G_z\big(x,y,f(x,y)\big)\,f_x(x,y)\\ 0&=\frac{\partial}{\partial y}\Big[G\big(x,y,f(x,y)\big)\Big] &\ =\ G_y\big(x,y,f(x,y)\big) + G_z\big(x,y,f(x,y)\big)\,f_y(x,y) \end{alignat*}\]
lo que implica
\[\begin{gather*} f_x(x,y) = -\frac{G_x\big(x,y,f(x,y)\big)}{G_z\big(x,y,f(x,y)\big)} \qquad f_y(x,y) = -\frac{G_y\big(x,y,f(x,y)\big)}{G_z\big(x,y,f(x,y)\big)} \end{gather*}\]
y
\[\begin{align*} -f_x(x,y)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x,y)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} &=\frac{G_x\big(x,y,f(x,y)\big)}{G_z\big(x,y,f(x,y)\big)}\,\hat{\pmb{\imath}}+ \frac{G_y\big(x,y,f(x,y)\big)}{G_z\big(x,y,f(x,y)\big)}\,\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\\ &=\frac{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,f(x,y)\big)}{G_z\big(x,y,f(x,y)\big)} \end{align*}\]
Entonces, por (3.3.1),
Para la superficie\(G(x,y,z)=K\text{,}\) cuando\(G_z(x,y,z)\ne 0\text{,}\)
\[\begin{align*} \hat{\textbf{n}}\, \text{d}S & = \pm\frac{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)}{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)\cdot\hat{\mathbf{k}}}\ \text{d}x\text{d}y\\ \text{d}S&= \bigg|\frac{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)}{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)\cdot\hat{\mathbf{k}}}\bigg|\ \text{d}x\text{d}y \end{align*}\]
Del mismo modo, para la superficie\(G(x,y,z)=K\text{,}\) cuando\(G_x(x,y,z)\ne 0\text{,}\)
\[\begin{align*} \hat{\textbf{n}}\, \text{d}S & = \pm\frac{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)}{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)\cdot\hat{\pmb{\imath}}}\ \text{d}y\text{d}z\\ \text{d}S&= \bigg|\frac{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)}{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)\cdot\hat{\pmb{\imath}}}\bigg|\ \text{d}y\text{d}z \end{align*}\]
y para la superficie\(G(x,y,z)=K\text{,}\) cuando\(G_y(x,y,z)\ne 0\text{,}\)
\[\begin{align*} \hat{\textbf{n}}\, \text{d}S & = \pm\frac{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)}{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)\cdot\hat{\pmb{\jmath}}}\ \text{d}x\text{d}z\\ \text{d}S&= \bigg|\frac{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)}{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)\cdot\hat{\pmb{\jmath}}}\bigg|\ \text{d}x\text{d}z \end{align*}\]
Si, por algún punto\((x_0,y_0,z_0)\)\(G_x(x_0,y_0,z_0)= G_y(x_0,y_0,z_0)= G_z(x_0,y_0,z_0)= 0\text{,}\) tenemos también tenemos problema! A menudo esto es una señal de que nuestra superficie no es lisa en\((x_0,y_0,z_0)\) y de hecho no tiene un vector normal allí. Para un ejemplo de esto, véase el Ejemplo 3.2.2.
Ejemplos de\(\iint_{S} \rho\,\text{d}S\)
Empezaremos por computar, de varias maneras diferentes, la superficie del hemisferio
\[ x^2+y^2+z^2=a^2\qquad z\ge 0 \nonumber \]
(con\(a \gt 0\)). Probablemente sepas, desde la secundaria, que la respuesta es\(\frac{1}{2}\times 4\pi a^2=2\pi a^2\text{.}\) Pero probablemente no hayas visto una derivación de esta respuesta. Tenga en cuenta que, dado que\(x^2+y^2 = a^2-z^2\) en el hemisferio, el conjunto de\((x,y)\)'s para el que hay un\(z\) con\((x,y,z)\) en el hemisferio es exactamente\(\left \{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2\le a^2 \right \} \text{.}\)
Parametrizamos el hemisferio\(x^2+y^2+z^2=a^2\text{,}\)\(z\ge 0\text{,}\) usando como parámetros las coordenadas polares\(r\text{,}\)\(\theta\) de las coordenadas cilíndricas 3
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\[\begin{align*} x &= r\cos\theta\\ y &= r\sin\theta\\ z &= z \end{align*}\]
y luego aplicar 3.3.1. En coordenadas cilíndricas la ecuación\(x^2+y^2+z^2=a^2\) se convierte\(r^2+z^2=a^2\text{,}\) y la condición\(x^2+y^2\le a^2\) es\(0\le r\le a\text{,}\)\(0\le\theta \lt 2\pi\text{.}\)
Así que el hemisferio puede ser parametrizado por
\[\begin{align*} &\big(x(r,\theta)\,,\, y(r,\theta)\,,\, z(r,\theta)\big) =\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,\sqrt{a^2-r^2}\,\big)\\ &\hskip1in\text{with }\ 0\le r\le a,\ 0\le\theta \lt 2\pi \end{align*}\]
Tenga en cuenta que seleccionamos la solución positiva\(z=\sqrt{a^2-r^2}\) de con el\(r^2+z^2=a^2\) fin de satisfacer la condición de que\(z\ge 0\text{.}\) Desde
\[\begin{align*} \Big(\frac{\partial x}{\partial r}\,,\,\frac{\partial y}{\partial r}\,,\, \frac{\partial z}{\partial r}\Big) &=\Big(\cos\theta\,,\,\sin\theta\,,\,-\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}\Big)\\ \Big(\frac{\partial x}{\partial\theta}\,,\,\frac{\partial y}{\partial\theta} \,,\, \frac{\partial z}{\partial\theta}\Big) &=(-r\sin\theta\,,\,r\cos\theta\,,\,0) \end{align*}\]
3.3.1 rendimientos
\[\begin{align*} \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\pm\Big(\frac{\partial x}{\partial r}\,,\,\frac{\partial y}{\partial r} \,,\,\frac{\partial z}{\partial r}\Big) \times \Big(\frac{\partial x}{\partial\theta}\,,\,\frac{\partial y}{\partial\theta} \,,\, \frac{\partial z}{\partial\theta}\Big) \ \text{d}r\text{d}\theta\\ &=\pm \det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & -\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}} \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{matrix}\right]\ \text{d}r\text{d}\theta\\ &=\pm\Big(\frac{r^2\cos\theta}{\sqrt{a^2-r^2}}\,,\, \frac{r^2\sin\theta}{\sqrt{a^2-r^2}}\,,\, r\Big)\ \text{d}r\text{d}\theta\\ \text{d}S&=\sqrt{ \frac{r^4}{a^2-r^2} +r^2}\ \text{d}r\text{d}\theta =\sqrt{ \frac{a^2r^2}{a^2-r^2}}\ \text{d}r\text{d}\theta =\frac{ar}{\sqrt{a^2-r^2}}\ \text{d}r\text{d}\theta \end{align*}\]
Entonces el área del hemisferio es
\[\begin{align*} \int_0^a \text{d}r\int_0^{2\pi}\text{d}\theta\ \frac{ar}{\sqrt{a^2-r^2}} &=2\pi a\int_0^a \text{d}r\ \frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}\\ &=2\pi a\int_{a^2}^0 \frac{-\text{d}u/2}{\sqrt{u}}\\ &\hskip1in\text{with } u=a^2-r^2,\ \text{d}u = -2r\,\text{d}r\\ &=2\pi a\Big[-\sqrt{u}\Big]_{a^2}^0\\ &=2\pi a^2 \end{align*}\]
como debería ser.
Esta vez calcularemos el área del hemisferio usando eso, si\((x,y,z)\) está en el hemisferio, entonces\(G(x,y,z) = a^2\) con\(G(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\text{.}\) Since
\[ \vecs{ \nabla} G(x,y,z) = \big(2x\,,\,2y\,,\,2z\big) \nonumber \]
3.3.3 rendimientos
\[\begin{align*} \text{d}S &= \bigg|\frac{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)}{\vecs{ \nabla} G\big(x,y,z\big)\cdot\hat{\mathbf{k}}}\bigg| \ \text{d}x\text{d}y\\ &= \bigg|\frac{\big(2x\,,\,2y\,,\,2z\big)}{2z}\bigg| \ \text{d}x\text{d}y\\ &= \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{|z|} \ \text{d}x\text{d}y\\ &= \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \text{d}x\text{d}y \qquad\text{on } x^2+y^2+z^2=a^2 \end{align*}\]
Entonces el área es\(\iint_{x^2+y^2\le a^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \text{d}x\text{d}y \text{.}\) Para evaluar esta integral, cambiamos a coordenadas polares, sustituyendo\(x=r\cos\theta\text{,}\)\(y=r\sin\theta\text{.}\) Esto da
\[\begin{align*} \text{area} &=\iint_{x^2+y^2\le a^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \text{d}x\text{d}y =\int_0^a\text{d}r\ r\int_0^{2\pi}\text{d}\theta\ \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\\ &=2\pi a \int_0^a\text{d}r\ \frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}} \end{align*}\]
Ya demostramos, en el Ejemplo 3.3.4, que el valor de esta integral es\(2\pi a^2\text{.}\)
Por supuesto “integrándose sobre una esfera” clama por coordenadas esféricas. Así que esta vez parametrizamos el hemisferio\(x^2+y^2+z^2=a^2\text{,}\)\(z\ge 0\text{,}\) usando como parámetros las coordenadas angulares\(\theta\text{,}\)\(\varphi\) de las coordenadas esféricas
\[\begin{align*} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta\\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta\\ z&=\rho\cos\varphi \end{align*}\]
y luego aplicar 3.3.1. En coordenadas esféricas la ecuación\(x^2+y^2+z^2=a^2\) se vuelve justa\(\rho^2=a^2\text{,}\) y la condición\(z\ge 0\) es\(0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}\text{,}\)\(0\le\theta \lt 2\pi\text{.}\) Así que el hemisferio se puede parametrizar 4 por
\[\begin{align*} &\big(x(\theta,\varphi)\,,\, y(\theta,\varphi)\,,\, z(\theta,\varphi)\big) =\big(a\sin\varphi\cos\theta\,,\,a\sin\varphi\sin\theta\,,\,a\cos\varphi\,\big)\\ & 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2},\ 0\le\theta \lt 2\pi \end{align*}\]
Desde
\[\begin{align*} \Big(\frac{\partial x}{\partial\theta}\,,\, \frac{\partial y}{\partial\theta}\,,\, \frac{\partial z}{\partial\theta}\Big) &=\big(-a\sin\varphi\sin\theta\,,\, a\sin\varphi\cos\theta\,,\,0\big)\\ \Big(\frac{\partial x}{\partial\varphi}\,,\,\frac{\partial y}{\partial\varphi} \,,\, \frac{\partial z}{\partial\varphi}\Big) &=(a\cos\varphi\cos\theta\,,\,a\cos\varphi\sin\theta\,,\,-a\sin\varphi) \end{align*}\]
3.3.1 rendimientos
\[\begin{align*} &\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\pm\Big(\frac{\partial x}{\partial\theta}\,,\, \frac{\partial y}{\partial\theta}\,,\, \frac{\partial z}{\partial\theta}\Big) \times \Big(\frac{\partial x}{\partial\varphi}\,,\,\frac{\partial y}{\partial\varphi} \,,\, \frac{\partial z}{\partial\varphi}\Big) \ \text{d}\theta\text{d}\varphi\\ &=\pm \big(\!-a\sin\varphi\sin\theta, a\sin\varphi\cos\theta,0\big) \!\times\! (a\cos\varphi\cos\theta,a\cos\varphi\sin\theta,-a\sin\varphi) \,\text{d}\theta\text{d}\varphi\\ &=\pm\big(-a^2\sin^2\varphi\cos\theta\,,\, -a^2\sin^2\varphi\sin\theta\,,\, -a^2\sin\varphi\cos\varphi\Big)\ \text{d}\theta\text{d}\varphi\\ &=\mp a^2\sin\varphi \big(\sin\varphi\cos\theta\,,\, \sin\varphi\sin\theta\,,\, \cos\varphi\Big)\ \text{d}\theta\text{d}\varphi \end{align*}\]
y
\[\begin{align*} \text{d}S&=a^2\sin\varphi \sqrt{\sin^2\varphi\cos^2\theta +\sin^2\varphi\sin^2\theta +\cos^2\varphi}\ \text{d}\theta\text{d}\varphi\\ &=a^2\sin\varphi\ \text{d}\theta\text{d}\varphi \end{align*}\]
Entonces el área del hemisferio es
\[\begin{align*} a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{d}\varphi \int_0^{2\pi}\text{d}\theta\ \sin\varphi &=2\pi a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{d}\varphi \ \sin\varphi =2\pi a^2\Big[-\cos\varphi\Big]_0^{\pi/2}\\ &=2\pi a^2 \end{align*}\]
Hay una manera más fácil de hacer esto, usando un poco de geometría.
Ahora vamos a calcular de nuevo el área de superficie del hemisferio usando coordenadas esféricas. Pero esta vez en lugar de determinar\(\text{d}S\) usando la fórmula enlatada 3.3.1, la vamos a leer de un boceto.
Esbozar la parte del hemisferio que se encuentra en el primer octante,\(x\ge 0\text{,}\)\(y\ge 0\text{,}\)\(z\ge 0\text{.}\) Rebanarlo en trozos pequeños dibujando en curvas de constante\(\theta\) (las líneas azules en la figura de abajo) y curvas de constante\(\varphi\) (las líneas rojas en la figura de abajo).
Cada pieza es aproximadamente un pequeño rectángulo. Concéntrate en una de ellas, como la pieza con los lados gruesos en la figura de arriba. El área,\(\text{d}S\text{,}\) de esa pieza es (esencialmente) producto de su altura y su anchura. Cada uno de los dos lados de la pieza es
- un segmento de un círculo de radio\(a\) (una línea azul gruesa tanto en la figura de arriba como en la figura de abajo a la izquierda)
- que subtiende un ángulo\(\text{d}\varphi\)
- y por lo tanto es la fracción\(\frac{\text{d}\varphi}{2\pi}\) de un círculo completo de radio\(a\) y por lo tanto es de longitud\(\frac{\text{d}\varphi}{2\pi} 2\pi a = a\text{d}\varphi\text{.}\)
La parte superior de la pieza es
- un segmento de un círculo de radio\(a\sin\varphi\) (una línea roja gorda tanto en la figura de arriba como en la figura de abajo a la derecha)
- que subtiende un ángulo\(\text{d}\theta\)
- y por lo tanto es la fracción\(\frac{\text{d}\theta}{2\pi}\) de un círculo completo de radio\(a\sin\varphi\) y por lo tanto es de longitud\(\frac{\text{d}\theta}{2\pi} 2\pi a\sin\varphi = a\sin\varphi\text{d}\theta\text{.}\)
Estos se dibujan en la siguiente figura.
Entonces el área de nuestra pieza es
\[ \text{d}S = \big(a\text{d}\varphi\big)\big(a\sin\varphi\text{d}\theta\big) = a^2\sin\varphi\,\text{d}\theta\text{d}\varphi \nonumber \]
Esta es exactamente la misma fórmula que encontramos\(\text{d}S\) en el Ejemplo 3.3.6 para que, una vez más, consigamos que el área de un hemisferio de radio\(a\) sea\(2\pi a^2\text{.}\) (¡Uf!)
¡Pero espera! ¡Podemos hacerlo de nuevo, por otro método más!
Calcularemos el área del hemisferio por última vez 5. Esta vez usaremos que la ecuación del hemisferio es
\[ z=f(x,y) = \sqrt{a^2-x^2-y^2} \qquad\text{with $(x,y)$ running over $x^2+y^2\le a^2$} \nonumber \]
Así que 3.3.2 rinde
\[\begin{align*} \text{d}S&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \text{d}x\text{d}y\\ &=\sqrt{1+\Big(\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\Big)^2 +\Big(\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\Big)^2} \ \text{d}x\text{d}y\\ &=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}} \ \text{d}x\text{d}y\\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}} \ \text{d}x\text{d}y \end{align*}\]
Entonces el área es Ya\(\iint_{x^2+y^2\le a^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \text{d}x\text{d}y \text{.}\) encontramos, en el Ejemplo 3.3.5, que el valor de esta integral en\(2\pi a^2\text{.}\)
Hagamos algunos ejemplos más sustanciales, donde el integrando no es 1.
Evaluar\(\ \iint_S x^2y^2z^2\ dS\ \) dónde\(S\) está la parte del cono\(x^2+y^2=z^2\) con\(0\le z\le 1\text{.}\)
- Solución 1
-
Podemos expresarnos\(S\) como
\[ z=f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\qquad x^2+y^2\le 1 \nonumber \]
Ahora desde
\[ f_x(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad f_y(x,y) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \nonumber \]
3.3.2 da 6
\[ \text{d}S = \Big[1 + \frac{x^2}{x^2+y^2} + \frac{y^2}{x^2+y^2}\Big]^{1/2} \ \text{d}x\text{d}y =\sqrt{2}\,\text{d}x\text{d}y \nonumber \]
Nuestra integral es entonces
\[\begin{align*} \iint_S x^2y^2z^2\ dS &=\sqrt{2}\iint_{x^2+y^2\le 1} x^2 y^2 (x^2+y^2)\ \text{d}x\text{d}y \end{align*}\]
Ya que nos estamos integrando sobre un dominio circular, convertiremos a coordenadas polares.
\[\begin{align*} \iint_S x^2y^2z^2\ dS &=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\text{d}\theta\int_0^1 \text{d}r \ r(r\cos\theta)^2(r\sin\theta)^2 r^2\\ &=\sqrt{2} \left[\int_0^{2\pi}\text{d}\theta\ \cos^2\theta \sin^2\theta\right] \left[\int_0^1 \text{d}r \ r^7\right]\\ &=\frac{\sqrt{2}}{8} \int_0^{2\pi}\text{d}\theta\ \cos^2\theta \sin^2\theta =\frac{\sqrt{2}}{32} \int_0^{2\pi}\text{d}\theta\ \sin^2(2\theta)\\ &=\frac{\sqrt{2}}{64} \int_0^{2\pi}\text{d}\theta\ \big[1-\cos(4\theta)\big] \end{align*}\]
Recordando 7 que la integral de\(\cos(\theta)\text{,}\) o\(\cos(4\theta)\text{,}\) a lo largo de un periodo completo es\(0\text{,}\) que terminamos con
\[ \iint_S x^2y^2z^2\ dS = \frac{\sqrt{2}}{64}(2\pi) =\frac{\pi\sqrt{2}}{32} \nonumber \]
- Solución 2
-
Podemos parametrizar 8 el cono por
\[\begin{align*} \vecs{r} (z,\theta) &= z\cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} + z\sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}} \qquad 0\le z\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi \end{align*}\]
Entonces porque
\[\begin{gather*} \frac{\partial\vecs{r} }{\partial z} = \cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \qquad\text{and}\qquad \frac{\partial\vecs{r} }{\partial\theta} = -z\sin\theta\,\hat{\pmb{\imath}} + z\cos\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]
3.3.1 rinde 9
\[\begin{align*} \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\pm\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 1 \\ -z\sin\theta & z\cos\theta & 0 \end{matrix}\right]\,\text{d}z\text{d}\theta\\ &=\pm\big[-z\cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} - z\sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}}\big]\ \text{d}z\text{d}\theta\\ \text{d}S&= \sqrt{2} z\ \text{d}z\text{d}\theta \end{align*}\]
Entonces nuestra integral se convierte
\[\begin{align*} \iint_S x^2y^2z^2\ dS &= \sqrt{2}\int_0^{2\pi}\text{d}\theta \int_0^1\text{d}z\ z (z\cos\theta)^2 (z\sin\theta)^2 z^2\\ &= \sqrt{2}\int_0^{2\pi}\text{d}\theta \int_0^1\text{d}z\ z^7 \cos^2\theta \sin^2\theta\\ &=\frac{\sqrt{2}}{8} \int_0^{2\pi}\text{d}\theta\ \cos^2\theta \sin^2\theta \end{align*}\]
Evaluamos esta integral en la Solución 1. Así que de nuevo
\[ \iint_S x^2y^2z^2\ dS =\frac{\pi\sqrt{2}}{32} \nonumber \]
Hagamos algo más celestial.
Considera una concha esférica de radio\(a\) con densidad de masa\(\mu\) por unidad de área. Piense en ello como un planeta hueco 10. Vamos a determinar la fuerza gravitacional que ejerce sobre una partícula de masa a\(m\) una\(b\) distancia de su centro. Esta partícula puede estar fuera de la cáscara (\(b \gt a\)) o dentro de la cáscara (\(b \lt a\)). Podemos elegir el sistema de coordenadas para que el centro de la concha esté en el origen y la partícula esté en\((0,0,b)\text{.}\) Según la ley de gravitación de Newton, la fuerza ejercida sobre la partícula por una pequeña pieza de la concha de área superficial\(\text{d}S\) ubicada en\(\vecs{r} \) es
\[ \frac{G\,(\mu\text{d}S)\,m}{|\vecs{r} -(0,0,b)|^3}(\vecs{r} -(0,0,b)) \nonumber \]
Aquí\(G\) está la constante gravitacional,\(\mu\text{d}S\) es la masa de la pequeña pieza de concha,\(m\) es la masa de la partícula
y\(\vecs{r} -(0,0,b)\) es el vector de la partícula a la pieza de cáscara. Si trabajamos en coordenadas esféricas, como hicimos en el Ejemplo 3.3.6,
\[\begin{align*} \text{d}S &= a^2\sin\varphi\,\text{d}\varphi\text{d}\theta \end{align*}\]
y
\[\begin{align*} \vecs{r} &= a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} + a\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\\ \vecs{r} -(0,0,b) &= a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} + (a\cos\varphi-b)\,\hat{\mathbf{k}}\\ |\vecs{r} -(0,0,b)|^2 &= a^2+b^2 -2ab\cos\varphi \end{align*}\]
La fuerza total es entonces
\[\begin{gather*} \vecs{F} = G\mu m a^2\int_0^\pi\!\!\text{d}\varphi \int_0^{2\pi}\!\!\text{d}\theta\ \sin\varphi\ \frac{a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} \!+\! a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} \!+\! (a\cos\varphi\!-\!b)\,\hat{\mathbf{k}}} {\big[a^2+b^2 -2ab\cos\varphi\big]^{3/2}} \end{gather*}\]
Nota para referencia futura que la raíz cuadrada en\([a^2+b^2 -2ab\cos\varphi]^{3/2}\) es la raíz cuadrada positiva porque\([b^2+a^2 -2ab\cos\varphi]^{1/2}\) es la longitud de la\(\vecs{r} -(0,0,b)\text{,}\) cual es positiva.
Esta integral es un poco diferente a otras integrales que hemos encontrado hasta ahora en que el integrando es un vector. Por definición 11,
\[ \iint_S \big[G_1\,\hat{\pmb{\imath}} + G_2\,\hat{\pmb{\jmath}} + G_3\,\hat{\mathbf{k}} \big]\ \text{d}S =\hat{\pmb{\imath}} \iint_S G_1\ \text{d}S +\hat{\pmb{\jmath}} \iint_S G_2\ \text{d}S +\hat{\mathbf{k}} \iint_S G_3\ \text{d}S \nonumber \]
así que solo tenemos que computar los tres componentes por separado.
En nuestro caso, los\(\hat{\pmb{\jmath}}\) componentes\(\hat{\pmb{\imath}}\) y
\[\begin{align*} \vecs{F} \cdot\hat{\pmb{\imath}} & = G\mu m a^2 \int_0^\pi\text{d}\varphi \left[ \sin\varphi\ \frac{a\sin\varphi} {\big[a^2+b^2 -2ab\cos\varphi\big]^{3/2}} \int_0^{2\pi}\text{d}\theta\ \cos\theta \right]\\ \vecs{F} \cdot\hat{\pmb{\jmath}} & = G\mu m a^2\int_0^\pi\text{d}\varphi\left[ \sin\varphi\ \frac{a\sin\varphi} {\big[a^2+b^2 -2ab\cos\varphi\big]^{3/2}} \int_0^{2\pi}\text{d}\theta\ \sin\theta \right] \end{align*}\]
son ambos cero 12 porque\(\int_0^{2\pi}\cos\theta\ \text{d}\theta =\int_0^{2\pi}\sin\theta\ \text{d}\theta =0\) para que
\[\begin{align*} \vecs{F} &= G\mu m a^2 \hat{\mathbf{k}}\int_0^\pi\text{d}\varphi \int_0^{2\pi}\text{d}\theta\ \sin\varphi\ \frac{a\cos\varphi-b} {\big[a^2+b^2 -2ab\cos\varphi\big]^{3/2}}\\ &= 2\pi G\mu m a^2 \hat{\mathbf{k}}\int_0^\pi\text{d}\varphi\ \sin\varphi\ \frac{a\cos\varphi-b} {\big[a^2+b^2 -2ab\cos\varphi\big]^{3/2}} \end{align*}\]
Para evaluar esta integral sustituimos
\[\begin{gather*} u=a^2+b^2 -2ab\cos\varphi\qquad \text{d}u = 2ab\sin\varphi\,\text{d}\varphi\qquad \cos\varphi = \frac{a^2+b^2-u}{2ab} \end{gather*}\]
Cuándo\(\varphi=0\text{,}\)\(u=(a-b)^2\) y cuándo\(\varphi =\pi\text{,}\)\(u=(a+b)^2\text{,}\)
\[\begin{align*} \vecs{F} &= \frac{\pi G\mu m a}{b} \hat{\mathbf{k}}\int_{(a-b)^2}^{(a+b)^2} \text{d}u\ \frac{\frac{a^2+b^2-u}{2b}-b} {u^{3/2}}\\ &= \frac{\pi G\mu m a}{b} \hat{\mathbf{k}}\int_{(a-b)^2}^{(a+b)^2} \text{d}u\ \frac{\frac{a^2-b^2-u}{2b}} {u^{3/2}}\\ &= \frac{\pi G\mu m a}{b} \hat{\mathbf{k}}\Big[ \Big(\frac{a^2-b^2}{2b}\Big)\frac{u^{-1/2}}{-1/2} -\Big(\frac{1}{2b}\Big)\frac{u^{1/2}}{1/2} \Big]_{(a-b)^2}^{(a+b)^2} \end{align*}\]
Recordando que\(u^{1/2}\) es la raíz cuadrada positiva,
\[\begin{align*} \vecs{F} &=\frac{\pi G\mu m a}{b} \hat{\mathbf{k}}\Big[ \Big(\frac{b^2-a^2}{b}\Big)\frac{1}{a+b} -\frac{a+b}{b} -\Big(\frac{b^2-a^2}{b}\Big)\frac{1}{|a-b|} +\frac{|a-b|}{b} \Big] \end{align*}\]
Si es\(b \gt a\text{,}\) así que\(|a-b|=b-a\)
\[\begin{align*} \vecs{F} &=\frac{\pi G\mu m a}{b} \hat{\mathbf{k}}\Big[ \frac{b-a}{b} -\frac{a+b}{b} -\frac{a+b}{b} +\frac{b-a}{b} \Big] =-\frac{G(4\pi a^2\mu)m}{b^2} \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]
Si es\(b \lt a\text{,}\) así que\(|a-b|=a-b\)
\[\begin{align*} \vecs{F} &=\frac{\pi G\mu m a}{b} \hat{\mathbf{k}}\Big[ \frac{b-a}{b} -\frac{a+b}{b} +\frac{a+b}{b} +\frac{a-b}{b} \Big] =0 \end{align*}\]
La moraleja 13 es
- si la partícula está dentro del caparazón, no siente ninguna fuerza gravitacional, y
- si la partícula está fuera del caparazón, siente la misma fuerza gravitacional que si toda la masa de la concha (\(4\pi a^2\mu\)) se concentrara en el centro de la concha.
El “Tren de Gravedad” 14 se refiere al siguiente experimento de pensamiento curioso, aunque ciertamente no muy práctico.
- Pretende que la Tierra es una esfera perfecta de radio\(R\) y que tiene una densidad de masa constante\(\rho\text{.}\)
- Escoge dos puntos distintos en la superficie de la Tierra. Llámalos\(V\) y\(M\text{.}\)
- Aguanta un túnel recto a través de la Tierra desde\(V\) hasta\(M\text{.}\)
- Colocar un tren en el túnel en\(V\text{.}\) Supongamos que las únicas fuerzas que actúan sobre el tren son la gravedad,\(\textbf{G}\text{,}\) y una fuerza normal,\(\textbf{N}\text{,}\) que el túnel impone sobre el tren para mantenerlo en el túnel. En particular, no hay fuerzas de fricción, como la resistencia al aire, y el tren no tiene motor. Suelta el tren y asume que no se derrite a medida que pasa por el centro de la Tierra.
¿Qué pasa?
Simplificaremos nuestro análisis del movimiento del tren mediante la selección de un sistema de coordenadas conveniente.
- Primero traduzca nuestro sistema de coordenadas para que el centro de la Tierra, llamarlo\(O\text{,}\) esté en el origen,\((0,0,0)\text{.}\)
- Luego gira nuestro sistema de coordenadas sobre el origen para que el origen,\(V\) y\(M\) todos se encuentren en el\(xz\) plano -plano.
- Luego gira nuestro sistema de coordenadas alrededor del\(y\) eje -para que\(V\) y\(M\) tengan la misma\(z\) -coordenada\(Z\ge 0\text{.}\) Así que las coordenadas de\(V\) y\(M\) son\(\big(\pm\sqrt{R^2-Z^2}\,,\,0\,,Z\big)\text{.}\) Supongamos que\(V\) está en\(\big(\sqrt{R^2-Z^2}\,,\,0\,,Z\big)\) y\(M\) está en\(\big(-\sqrt{R^2-Z^2}\,,\,0\,,Z\big)\text{.}\) Realmente no no importa cuál es cuál, pero siempre podemos arreglar que esté\(V\) en\(\big(+\sqrt{R^2-Z^2}\,,\,0\,,Z\big)\) girando alrededor del\(z\) eje por\(180^\circ\) si es necesario.
Las\(z\) coordenadas\(y\) - y -del tren están siempre fijadas en\(0\) y\(Z\text{,}\) respectivamente. Entonces llamemos a la\(x\) coordenada a tiempo\(t\)\(x(t)\text{,}\) y veamos el\(x\) -componente de la ley de movimiento de Newton.
\[\begin{gather*} m\textbf{a} = \textbf{G} +\textbf{N} \end{gather*}\]
Es
\[ m x''(t) = \textbf{G}\cdot\hat{\pmb{\imath}} \nonumber \]
porque la fuerza normal no\(\textbf{N}\) tiene\(\hat{\pmb{\imath}}\) componente. Recordemos que la ley de gravedad de Newton dice que
\[ \textbf{G} = -\frac{GMm}{|\vecs{r} |^3}\vecs{r} \nonumber \]
donde\(G\) está la constante gravitacional,\(\vecs{r} \) es el vector de\(O\) al tren, y\(m\) es la masa del tren. En este caso, debido a nuestro cálculo en el Ejemplo 3.3.10, el tren sólo siente gravedad de conchas de la Tierra que están dentro del tren, por lo que esa\(M\) es la masa del
parte de la Tierra cuya distancia al centro de la Tierra no es más\(|\vecs{r} |\text{.}\) que So
\[ M = \frac{4}{3}\pi |\vecs{r} |^3\rho \nonumber \]
y
\[ mx''(t) = -\frac{Gm}{|\vecs{r} |^3}\ \frac{4}{3}\pi |\vecs{r} |^3\rho\ \vecs{r} \cdot\hat{\pmb{\imath}} \nonumber \]
para que
\[ x''(t) + \frac{4\pi G\rho}{3} x(t) = 0 \nonumber \]
Esta es exactamente la ecuación diferencial del movimiento armónico simple. Lo hemos visto antes en el Ejemplo 2.2.7. Excepto por la constante\(\frac{4\pi G\rho}{3}\text{,}\) es idéntica a la ecuación resuelta en el Ejemplo A.9.4 del Apéndice A.9, titulado “Revisión de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales”. La solución general es
\[ x(t) = C_1 \cos\left(\sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}\ t\right) + C_2 \sin\left(\sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}\ t\right) \nonumber \]
con\(C_1\) y\(C_2\) siendo constantes arbitrarias. Si soltamos el tren, del descanso, en ese\(t=0\text{,}\)\(x'(0)=0\) entonces\(x(0) = \sqrt{R^2-Z^2}\) y para que\(C_1= \sqrt{R^2-Z^2}\text{,}\)\(C_2=0\) y
\[ x(t) = \sqrt{R^2-Z^2} \cos\left(\sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}\ t\right) \nonumber \]
El tren llega\(M\) cuando\(x(t) = -\sqrt{R^2-Z^2}\text{.}\) Eso es, cuando\(\cos\left(\sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}\ t\right)=-1\text{.}\) Así que el tiempo de tránsito,\(T\text{,}\) de\(V\) a\(M\) obedece
\[ \sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}\ T=\pi \implies T= \pi \sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}} = \sqrt{\frac{3\pi}{4 G\rho}} \nonumber \]
Observe que este tiempo de tránsito depende únicamente de la constante gravitacional\(G\) y de la densidad de la Tierra\(\rho\text{.}\) En particular es completamente independiente de
- dónde\(V\) y\(M\) son y, en particular,
- qué tan unidos\(V\) y\(M\) están, y también de
- el radio de la Tierra.
En el caso de la Tierra, el tiempo de tránsito es de unos 42 minutos.
Opcional — Dejar caer términos de orden superior en\(\text{d}u,\text{d}v\)
En el curso de derivar 3.3.1, es decir,\(\hat{\textbf{n}}\text{d}S\) y\(\text{d}S\) fórmulas para
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aproximamos, por ejemplo, los vectores
\[\begin{alignat*}{2} \overrightarrow{P_0P_1} &=\vecs{r} (u_0+\text{d}u, v_0) -\vecs{r} (u_0\,,\,v_0) &= \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}u + E_1 &\approx \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}u\\ \overrightarrow{P_0P_2} &=\vecs{r} (u_0, v_0+\text{d}v)-\vecs{r} (u_0\,,\,v_0) &= \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}v + E_2 &\approx \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}v \end{alignat*}\]
donde\(E_1\) está delimitado 15 por tiempos constantes\(\text{d}u^2\) y\(E_2\) está delimitado por tiempos constantes Es\(\text{d}v^2\text{.}\) decir, asumimos que solo podíamos caer\(E_1\) y\(E_2\text{.}\)
Así que aproximamos
\[\begin{align*} \big|\overrightarrow{P_0P_1}\times\overrightarrow{P_0P_2}\big| &=\Big|\Big[\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}u + E_1\Big] \times\Big[\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}v + E_2\Big] \Big|\\ &=\Big|\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}u \times\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}v + E_3 \Big|\\ &\approx \Big|\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}u \times\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\text{d}v \Big| \end{align*}\]
donde la longitud del vector\(E_3\) está delimitada por tiempos constantes Ahora\(\text{d}u^2\,\text{d}v+\text{d}u\,\text{d}v^2\text{.}\) veremos por qué caer términos como\(E_3\) no cambia el valor de la integral en absoluto 16.
Supongamos que nuestro dominio de integración consiste en\((u,v)\) todos's en un rectángulo de ancho\(A\) y alto\(B\text{,}\) como en la siguiente figura.
Subdivida el rectángulo en una cuadrícula de\(n\times n\) pequeños subrectángulos dibujando líneas de constante\(v\) (las líneas rojas en la figura) y líneas de constante\(v\) (las líneas azules en la figura). Cada subrectángulo tiene ancho\(\text{d}u = \frac{A}{n}\) y alto\(\text{d}v = \frac{B}{n}\text{.}\) Ahora supongamos que al configurar la integral hacemos, para cada subrectángulo, un error que está delimitado por algunos tiempos constantes
\[ \text{d}u^2\,\text{d}v+\text{d}u\,\text{d}v^2 =\Big(\frac{A}{n}\Big)^2 \frac{B}{n} + \frac{A}{n}\Big(\frac{B}{n}\Big)^2 =\frac{AB(A+B)}{n^3} \nonumber \]
Debido a que hay un total de\(n^2\) subrectángulos, el error total que hemos introducido, para todos estos subrectángulos, no es mayor que un tiempo constante
\[ n^2 \times \frac{AB(A+B)}{n^3} = \frac{AB(A+B)}{n} \nonumber \]
Cuando definimos nuestra integral tomando el límite\(n\rightarrow 0\) de las sumas de Riemann, este error converge exactamente\(0\text{.}\)
Ejercicios
Etapa 1
Dejar\(0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}\text{,}\) y\(a,b \gt 0\text{.}\) denotar por\(S\) la parte de la superficie\(z=y\,\tan\theta\) con\(0\le x\le a\text{,}\)\(0\le y\le b\text{.}\)
- Encuentra el área de superficie de\(S\) sin usar ningún cálculo.
- Encuentra el área de superficie de\(S\) usando (3.3.2).
Dejar\(a,b,c \gt 0\text{.}\) Denotar por\(S\) el triángulo con vértices\((a,0,0)\text{,}\)\((0,b,0)\) y\((0,0,c)\text{.}\)
- Encuentra el área de superficie de tres\(S\) maneras diferentes, cada una usando (3.3.2).
- Denote por\(T_{xy}\) la proyección de\(S\) sobre el\(xy\) plano. (Es el triángulo con vértices\((0,0,0)\)\((a,0,0)\) y\((0,b,0)\text{.}\)) Del mismo modo se usa\(T_{xz}\) para denotar la proyección de\(S\) sobre el\(xz\) plano y\(T_{yz}\) para denotar la proyección de\(S\) sobre el\(yz\) plano. Demostrar que
\[ \text{Area}(S) =\sqrt{\text{Area}(T_{xy})^2 +\text{Area}(T_{xz})^2 +\text{Area}(T_{yz})^2 } \nonumber \]
Dejar\(a,h \gt 0\text{.}\) Denotar por\(S\) la parte del cilindro\(x^2+z^2=a^2\) con\(x\ge 0\text{,}\)\(0\le y\le h\) y\(z\ge 0\text{.}\)
- Encuentra el área de superficie de\(S\) sin usar ningún cálculo.
- Parametrizar\(S\) por
\[ \vecs{r} (\theta,y) = a\,\cos\theta\ \hat{\pmb{\imath}} +y\,\hat{\pmb{\jmath}} +a\sin\theta\ \hat{\mathbf{k}}\quad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\ 0\le y\le h \nonumber \]
Encuentra el área de superficie de\(S\) usando (3.3.1).
Etapa 2
Dejar\(S\) ser la parte de la superficie que\(z = xy\) se encuentra dentro del cilindro\(x^2 + y^2 = 3\text{.}\) Encuentra el momento de inercia de\(S\) alrededor del\(z\) -eje, es decir,
\[ I = \iint_S (x^2 + y^2)\ \text{d}S \nonumber \]
Encuentra el área de superficie de la parte del paraboloide\(z = a^2 - x^2 - y^2\) que se encuentra por encima\(xy\) del plano.
Encuentra el área de la porción del cono que se\(z^2 = x^2 + y^2\) encuentra entre los planos\(z = 2\) y\(z = 3\text{.}\)
Determinar el área de superficie de la superficie dada por\(z = \frac{2}{3}\big(x^{3/2} + y^{3/2}\big)\text{,}\) sobre el cuadrado\(0 \le x \le 1\text{,}\)\(0 \le y \le 1\text{.}\)
- Para encontrar la superficie de la superficie\(z = f (x,y)\) por encima de la región\(D\text{,}\) integramos\(\iint_D F(x,y)\ \text{d}A\text{.}\) Qué es\(F(x,y)\text{?}\)
- Considera una “Estrella de la Muerte”, una bola de radio\(2\) centrada en el origen con otra bola de radio\(2\) centrada en el\((0, 0, 2\sqrt{3})\) corte de la misma. El siguiente diagrama muestra la porción donde\(y = 0\text{.}\)
- Los Rebeldes quieren pintar parte de la superficie de Estrella de la Muerte de color rosa fuerte; específicamente, la parte cóncava (indicada con una línea gruesa en el diagrama). Para ayudarles a determinar cuánta pintura se necesita, rellene cuidadosamente las partes faltantes de esta integral:
\[ \text{surface area} = \int_{\fbox{$\vphantom{L}\qquad$}}^{\fbox{$\vphantom{L}\qquad$}} \int_{\fbox{$\vphantom{L}\qquad$}}^{\fbox{$\vphantom{L}\qquad$}} \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad\qquad$}\ \text{d}r\,\text{d}\theta \nonumber \]
- ¿Cuál es la superficie total de la Estrella de la Muerte?
Encuentra el área del cono\(z^2=x^2+y^2\) entre\(z=1\) y\(z=16\text{.}\)
Encuentra el área de superficie de esa parte del hemisferio\(z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\) que se encuentra dentro del cilindro\(\big(x-\frac{a}{2}\big)^2+y^2=\big(\frac{a}{2}\big)^2\text{.}\)
El cilindro\(\ x^2+y^2=2x\ \) corta una porción\(S\) de la mitad superior del cono\(\ x^2+y^2=z^2\text{.}\) Compute
\[ \iint_S(x^4-y^4+y^2z^2-z^2x^2+1)\,\text{d}S \nonumber \]
Encuentra el área de superficie del toro obtenido girando el círculo\((x-R)^2+z^2=r^2\) (el círculo está contenido en el\(xz\) plano -) alrededor del\(z\) eje.
Un caparazón esférico de radio\(a\) se centra en el origen. Encuentra el centroide (es decir, el centro de masa con densidad constante) de la parte de la esfera que se encuentra en el primer octante.
Encuentra el área de esa parte del cilindro que se\(x^2+y^2=2ay\) encuentra afuera\(z^2=x^2+y^2\text{.}\)
Dejar\(a\) y\(b\) ser constantes positivas, y dejar\(\mathcal{S}\) ser la parte de la superficie cónica
\[ a^2 z^2 = b^2(x^2+y^2) \nonumber \]
donde\(0\le z\le b\text{.}\) Considerar la superficie integral
\[ I = \iint_{\mathcal{S}} (x^2+y^2)\,\text{d}\mathcal{S}. \nonumber \]
- \(I\)Exprese como una doble integral sobre un disco en el\(xy\) plano.
- Utilice la parametrización\(x=t\cos\theta\text{,}\)\(y=t\sin\theta\text{,}\) etc., para expresarse\(I\) como una doble integral sobre una región adecuada en el\(t\theta\) plano.
- Evalúe\(I\) usando el método de su elección.
Evaluar, para cada uno de los siguientes, el flujo\(\ \iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}} \,\text{d}S\ \) donde\(\hat{\textbf{n}}\) es el exterior normal a la superficie\(S\text{.}\)
- \(\ \vecs{F} ={(x^2+y^2+z^2)}^n(x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}})\ \)y la superficie\(S\) es la esfera\(x^2+y^2+z^2=a^2\text{.}\)
- \(\ \vecs{F} =x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\ \)y\(S\) es la superficie de la caja rectangular\(0\le x\le a\text{,}\)\(0\le y\le b\text{,}\)\(0\le z\le c\text{.}\)
- \(\ \vecs{F} =y\,\hat{\pmb{\imath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\ \)y\(S\) es la superficie del cono sólido\(0\le z\le 1-\sqrt{x^2+y^2}\text{.}\)
Dejar\(\mathcal{S}\) ser la parte de la superficie\(x^2+y^2+2z=2\) que se encuentra por encima de la plaza\(-1\le x\le 1\text{,}\)\(-1\le y\le 1\text{.}\)
- Encuentra\(\displaystyle\iint_{\mathcal{S}} \frac{x^2+y^2}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\ \text{d}S\text{.}\)
- Encuentra el flujo de\(\vecs{F} =x\hat{\pmb{\imath}}+y\hat{\pmb{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}\) hacia arriba a través\(\mathcal{S}\text{.}\)
Dejar\(\mathcal{S}\) ser la parte de la superficie\(z=xy\) que se encuentra por encima del cuadrado\(0\le x\le 1\text{,}\)\(0\le y\le 1\) en el\(xy\) plano.
- Encuentra\(\displaystyle\iint_{\mathcal{S}} \frac{x^2y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\ \text{d}S\text{.}\)
- Encuentra el flujo de\(\vecs{F} =x\hat{\pmb{\imath}}+y\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\) hacia arriba a través\(\mathcal{S}\text{.}\)
Encuentra el área de la parte de la superficie\(z=y^{3/2}\) que se encuentra arriba\(0\le x,y\le 1\text{.}\)
Let\(\mathcal{S}\) Ser tapa esférica que consiste en la parte de la esfera\(x^2+y^2+(z-2)^2=4\) que se encuentra debajo del plano\(z=1\text{.}\) Let\(f(x,y,z)=(2-z)(x^2+y^2)\text{.}\) Calculate
\[ \iint_{\mathcal{S}} f(x,y,z)\,\text{d}S \nonumber \]
- Encuentra una parametrización de la superficie\(S\) del cono cuyo vértice está en el punto\((0, 0, 3)\text{,}\) y cuya base es el círculo\(x^2 + y^2 = 4\) en el\(xy\) plano -plano. Solo la superficie del cono\(S\text{,}\) no pertenece a la base. Tenga cuidado de incluir el dominio para los parámetros.
- Encuentra la\(z\) coordenada -del centro de masa de la superficie\(S\) a partir de (a).
Dejar\(S\) ser la superficie de un cono de altura\(a\) y radio base\(a\text{.}\) La superficie\(S\) no incluye la base del cono ni el interior del cono. Encuentra el centro de masa de\(S\text{.}\)
Localice el cono en un sistema de coordenadas para que su base esté en el\(xy\) plano y su vértice en el\(z\) eje. Entonces el vértice será el punto\((0, 0, a)\text{.}\) La base es un círculo de radio\(a\) en el\(xy\) plano -plano con centro en el origen. La superficie del cono se caracteriza por el hecho de que para cada punto de\(S\text{,}\) la distancia desde el\(z\) eje y la distancia desde el\(xy\) plano se suman hasta\(a\text{.}\)
Dejar\(S\) ser la porción del cilindro elíptico que se\(x^2+\frac{1}{4}y^2=1\) encuentra entre los planos\(z=0\) y\(z=1\) y dejar\(\hat{\textbf{n}}\) denotar la normal hacia afuera a\(S\text{.}\) Let\(\vecs{F} =x\,\hat{\pmb{\imath}}+xyz\,\hat{\pmb{\jmath}}+zy^4\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Calcular el flujo integral\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S\) directamente, utilizando una parametrización apropiada de\(S\text{.}\)
Evaluar la integral de flujo
\[ \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S \nonumber \]
donde\(\vecs{F} (x, y, z) = (x+1)\,\hat{\pmb{\imath}}+(y +1)\,\hat{\pmb{\jmath}}+2z\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) y\(S\) es la parte del paraboloide\(z = 4-x^2 -y^2\) que se encuentra por encima del triángulo\(0 \le x \le 1\text{,}\)\(0 \le y \le 1 - x\text{.}\)\(S\) está orientada para que su unidad normal tenga un\(z\) componente negativo.
Evaluar la integral de la superficie
\[ \iint_S xy^2\ \text{d}S \nonumber \]
donde\(S\) esta la parte de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 2\) para la cual\(x \ge \sqrt{y^2 + z^2}\text{.}\)
Dejar\(S\) ser la superficie dada por la ecuación
\[\begin{gather*} x^2 + z^2 = \sin^2y \end{gather*}\]
tendido entre los planos\(y = 0\) y\(y = \pi\text{.}\) Evaluar la integral
\[\begin{gather*} \iint_S\sqrt{1 + \cos^2y}\, \text{d}S \end{gather*}\]
Dejar\(S\) ser la parte del paraboloide que se\(z=1-x^2-y^2\) encuentra por encima del\(xy\) plano. En\((x,y,z)\)\(S\) tiene densidad
\[\begin{gather*} \rho(x,y,z) = \frac{z}{\sqrt{5-4z}} \end{gather*}\]
Encuentra el centro de masa de\(S\text{.}\)
Que\(S\) sea la parte del avión
\[ x + y + z =2 \nonumber \]
que yace en el primer octante orientado de manera que\(\hat{\textbf{n}}\) tenga un\(\hat{\mathbf{k}}\) componente positivo. Let
\[ \vecs{F} = x\,\hat{\pmb{\imath}} + y\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Evaluar la integral de flujo
\[ \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S \nonumber \]
Encuentra el flujo neto\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) del campo vectorial\(\vecs{F} (x,y,z) = (x,y,z)\) hacia arriba (con respecto al\(z\) eje -axis) a través de la superficie\(S\) parametrizada\(\vecs{r} = \big(uv^2\,,\,u^2v\,,\,uv\big)\) para\(0\le u\le 1\text{,}\)\(0\le v\le 3\text{.}\)
Dejar\(S\) ser la superficie obtenida al girar la curva\(z = e^y\),\(0 \le y \le 1\text{,}\) alrededor del\(y\) eje -eje, con la orientación de\(S\) tener\(\hat{\textbf{n}}\) apuntando hacia el\(y\) eje -eje.
- Dibuja una imagen\(S\) y encuentra una parametrización de\(S\text{.}\)
- Compute la integral\(\iint_S e^y\, \text{d}S\text{.}\)
- Calcular la integral de flujo\(\iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) donde\(\vecs{F} = (x, 0, z)\text{.}\)
Calcular el flujo neto hacia afuera del campo vectorial
\[ \vecs{F} = \frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |} = \frac{x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \nonumber \]
a través del límite de la región entre las esferas de radio\(1\) y radio\(2\) centradas en el origen.
Evaluar la integral de la superficie\(\iint_S z^2\,\text{d}S\) donde\(S\) está la parte del cono\(x^2+y^2=4z^2\) donde\(0 \le x \le y\) y\(0 \le z \le 1\text{.}\)
Calcular la integral de flujo\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\) donde
\[ \vecs{F} = \Big(-\frac{1}{2}x^3 - xy^2 \,,\, -\frac{1}{2} y^3 \,,\, z^2\Big) \nonumber \]
y\(S\) es la parte del paraboloide que se\(z = 5 - x^2 - y^2\) encuentra dentro del cilindro\(x^2 + y^2 \le 4\text{,}\) con orientación apuntando hacia abajo.
Dejar que el caparazón delgado\(S\) consista en la parte de la superficie\(z^2=2xy\) con\(x\ge 1\text{,}\)\(y\ge 1\) y\(z\le 2\text{.}\) Encuentra la masa de\(S\) si tiene densidad superficial dada por\(\rho(x,y,z)=3z\) kg por unidad de área.
Dejar\(S\) ser la porción del paraboloide\(x=y^2 + z^2\) que satisface\(x \le 2 y \text{.}\) Su unidad de vector normal\(\hat{\textbf{n}}\) se elige de manera que\(\hat{\textbf{n}} \cdot \hat{\pmb{\imath}} \gt 0\text{.}\) encuentre el flujo de\(\vecs{F} = 2\,\hat{\pmb{\imath}} + z\,\hat{\pmb{\jmath}} + y\,\hat{\mathbf{k}}\) fuera de\(S\text{.}\)
Dejar\(S\) denotar la porción del paraboloide\(z=1-\frac{1}{4}x^2-y^2\) para la cual\(z\ge 0\text{.}\) Orient para\(S\) que su unidad normal tenga un\(\hat k\) componente positivo. Let
\[ \vecs{F} (x,y,z) = (3y^2+z)\,\hat{\pmb{\imath}}+(x-x^2)\,\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Evaluar la integral de la superficie\(\iint_S\nabla\times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\)
Deja\(S\) ser el límite del núcleo de manzana delimitado por la esfera\(x^2+y^2+z^2=16\) y el hiperboloide\(x^2+y^2-z^2=8\text{.}\) Encuentra el flujo integral\(\ \iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}} \,dS\ \) donde\(\vecs{F} =x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\) y\(\hat{\textbf{n}}\) es el exterior normal a la superficie\(S\text{.}\)
Etapa 3
- Considerar la superficie\(S\) dada por la ecuación
\[ x^2 + z^2 = \cos^2 y \nonumber \]
Encontrar una ecuación para el plano tangente a\(S\) en el punto\(\big(\frac{1}{2} , \frac{\pi}{4} , \frac{1}{2} \big)\text{.}\) - Compute la integral
\[ \iint_S \sin y\ \text{d}S \nonumber \]
donde\(S\) se encuentra la parte de la superficie de (a) que se encuentra entre los planos\(y = 0\) y\(y = \frac{1}{2}\pi\text{.}\)
\(f\)Sea una función sobre\(\mathbb{R}^3\) tal que todas sus derivadas parciales de primer orden sean continuas. Dejar\(S\) ser la superficie\(\left \{(x, y, z)|f(x,y,z) = c \right \}\) para algunos\(c \in \mathbb{R}\text{.}\) Supongamos que\(\vecs{ \nabla} f \ne \vecs{0}\) en\(S\text{.}\) Let\(\vecs{F} \) be the gradient field\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} f\text{.}\)
- Dejar\(C\) ser una curva lisa por partes contenida en\(S\) (no necesariamente cerrada). Debe ser cierto que\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} = 0\text{?}\) Explique por qué.
- Demostrarlo para cualquier campo vectorial\(\textbf{G}\text{,}\)
\[ \iint_S (\vecs{F} \times \textbf{G}) \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = 0. \nonumber \]
- Dar descripciones paramétricas del formulario\(\vecs{r} (u, v) = \big(x(u,v)\,,\, y(u,v)\,,\, z(u,v)\big)\) para las siguientes superficies. Asegúrate de indicar los dominios de tus parametrizaciones.
- La parte del avión\(2x + 4y + 3z = 16\) en el primer octante
\[ \left \{(x, y, z)| x \ge 0,\ y \ge 0,\ z \ge 0 \right \} \nonumber \]
- La tapa de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 16\) para\(4/\sqrt{2} \le z \le 4\text{.}\)
- El hiperboloide\(z^2 = 1 + x^2 + y^2\) para\(1 \le z \le 10\text{.}\)
- La parte del avión\(2x + 4y + 3z = 16\) en el primer octante
- Utilice su parametrización de la parte (a) para calcular el área de superficie de la tapa de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 16\) para\(4/\sqrt{2} \le z \le 4\text{.}\)
\(S\)Sea la parte de la esfera\(x^2+y^2+z^2=2\) donde se\(y\ge 1\text{,}\) orientó lejos del origen.
- Compute
\[ \iint_S y^3\,\text{d}S \nonumber \]
- Compute
\[ \iint_S \big(xy\,\hat{\pmb{\imath}} + xz\,\hat{\pmb{\jmath}} + zy\,\hat{\mathbf{k}}\big)\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]
Dejar\(\mathcal{S}\) ser la parte de la superficie\((x+y+1)^2+z^2=4\) que se encuentra en el primer octante. Encuentra el flujo de\(\vecs{F} \) hacia abajo a través de\(\mathcal{S}\) donde
\[ \vecs{F} =xy\,\hat{\pmb{\imath}}+(z-xy)\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]
- Como mencionamos anteriormente, la aproximación a continuación se vuelve exacta cuando\(\text{d}u,\text{d}v\rightarrow 0\) se toma el límite en la definición de la integral. Ver la optativa §3.3.5.
- Esto se llama el teorema de la función implícita. No lo vamos a probar. Pero no es tan difícil entender por qué es cierto, si se piensa en términos de la expansión Taylor de\(G\) sobre el punto. Por simplicidad, supongamos que el punto es\((0,0,0)\) y\(G\) pasa a ser exactamente igual a su expansión Taylor de primer orden sobre\((0,0,0)\text{.}\) Eso es,\(G(x,y,z) = A +Bx +Cy +Dz\text{,}\) para algunas constantes\(A\text{,}\)\(B\text{,}\)\(C\text{,}\)\(D\text{.}\) Ya que\((0,0,0)\) está en la superficie,\(A=K\text{.}\) As\(\frac{\partial G}{\partial z}=D \ne 0\) podemos resolver fácilmente\(G(x,y,z)=K\) para\(z\) como una función de\(x\) y\(y\text{.}\) A saber\(z=\frac{1}{D}(-Bx-Cy)\text{.}\) La prueba general se basa en el hecho de que, bajo hipótesis razonables, la expansión de Taylor de primer orden es una buena aproximación a\(G\) cerca\((0,0,0)\text{.}\)
- Los símbolos\(r\text{,}\)\(\theta\text{,}\)\(z\) son los símbolos matemáticos estándar para las coordenadas cilíndricas. El Apéndice A.7 da otro conjunto de símbolos que se utiliza comúnmente en las ciencias físicas y la ingeniería.
- Como hemos señalado antes, el sistema de coordenadas esféricas realmente se descompone en\(\varphi=0\text{,}\) porque\(\rho=1\text{,}\)\(\varphi=0\) da el mismo punto, es decir, el polo norte\((0,0,1)\text{,}\) para todos los valores de Realmente\(\theta\text{.}\) deberíamos tratar nuestra integral como una integral inadecuada, primero integrando sobre\(\varepsilon \lt \varphi\le\frac{\pi}{2}\) y luego tomando el límite\(\varepsilon\rightarrow 0^+\text{.}\) Sin embargo la ruptura del sistema de coordenadas esféricas al\(\varphi=0\text{,}\) igual que la ruptura de las coordenadas polares en\(r=0\text{,}\) rara vez causa problemas y es rutina saltarse el paso “integral inadecuado”.
- ¡Prometemos!
- Esta respuesta para\(\text{d}S\) es una muy limpia. Piensa en por qué. Pista: revisa la discusión siguiente 3.3.2.
- Si has olvidado por qué, dibuja la gráfica.
- Lo hicimos anteriormente, con diferentes nombres de variables, en el Ejemplo 3.2.2.
- Nuevamente la fórmula para\(\text{d}S\) es muy ordenada. Piensa en por qué.
- Un favorito de los escritores de ciencia ficción y fantasía. Enchufa la “ficción subterránea” en tu buscador favorito. Mientras estás en ello, prueba también con el “tren de gravedad”. Lo veremos en el Ejemplo opcional 3.3.11.
- Bajo esta definición todavía tenemos\(\iint (\textbf{A}+\textbf{B})\,\text{d}S = \iint \textbf{A}\,\text{d}S +\iint\textbf{B}\,\text{d}S\text{.}\)
- Piense en por qué los\(\hat{\pmb{\jmath}}\) componentes\(\hat{\pmb{\imath}}\) y deben ser ambos cero. Piensa en simetría.
- Estos dos resultados aparecieron en Principia Mathematica (1687) de Isaac Newton. Se les conoce como los “soberbios teoremas” de Newton.
- El físico y arquitecto británico (fue topógrafo de la ciudad de Londres y asistente principal de Christopher Wren) Robert Hooke (1635—1703) escribió sobre la idea del tren de gravedad en una carta a Isaac Newton. Un tren de gravedad fue utilizado en la película de 2012 Total Recall.
-
Recuerda el error en las aproximaciones del polinomio de Taylor.
-
Véase la optativa §1.1.6 del texto CLP-2 para un argumento análogo relativo a las sumas de Riemann.