3.5: Orientación de Superficies

Una cosa que hizo posibles las integrales de flujo de la última sección es que podríamos elegir vectores normales unitarios sensibles\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) En esta sección, lo explicamos con más detenimiento.

Considera la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\text{.}\) Podemos pensar en esta superficie como que tiene dos lados: un interior (el lado que ves cuando vives dentro de la esfera) y otro exterior (el lado que ves cuando vives fuera de la esfera). Concéntrate en un punto\((x_0,y_0,z_0)\) de la esfera. La superficie\(x^2+y^2+z^2=1\) tiene precisamente dos vectores normales unitarios a\((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) saber

\[ \hat{\textbf{n}}_+ = +(x_0,y_0,z_0)\qquad\text{and}\qquad \hat{\textbf{n}}_- = -(x_0,y_0,z_0) \nonumber \]

Podemos ver\(\hat{\textbf{n}}_+\) como asociados (o adheridos a) el exterior de la esfera y\(\hat{\textbf{n}}_-\) como asociados a (o unidos a) el interior de la esfera. Tenga en cuenta que, a medida que nos movemos sobre la esfera, ambas\(\hat{\textbf{n}}_+\) y\(\hat{\textbf{n}}_-\) cambiamos continuamente.

Definición 3.5.1

Una superficie orientada es una superficie junto con una función continua

\[ \hat{\textbf{N}}: S\rightarrow\mathbb{R} ^3 \nonumber \]

tal que, para cada punto\(p\) de\(S\text{,}\)\(\hat{\textbf{N}}(p)\) es una unidad normal\(S\) a\(p\text{.}\)

Ejemplo 3.5.2. Esfera

Una orientación de la esfera\(S=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1 \right \}\) es

\[ \hat{\textbf{N}}(x,y,z) = (x,y,z) \nonumber \]

Se asocia a cada punto\(p\) de\(S\) la unidad que apunta hacia afuera normal\(S\) a en\(p\text{.}\) Podemos pensar en\(S\) con esta orientación como siendo el lado exterior de\(S\text{.}\)

La otra orientación de la esfera\(S=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1 \right \}\) es

\[ \hat{\textbf{N}}(x,y,z) = -(x,y,z) \nonumber \]

Se asocia a cada punto\(p\) de\(S\) la unidad apuntando hacia adentro normal a\(S\) at\(p\text{.}\) Podemos pensar en\(S\) con esta orientación como siendo el lado interno de\(S\text{.}\)

Si bien esta discusión puede parecer desmesuradamente exigente, resulta que no todas las superficies se pueden orientar. Nuestro siguiente ejemplo exhibe uno.

Ejemplo 3.5.3. Opcional — La Franja de Möbius

Hay algunas superficies\(S\) para las que no es posible elegir un mapa de orientación continua Se dice que\(\hat{\textbf{N}}: S\rightarrow\mathbb{R} ^3\text{.}\) dichas superficies son no orientables. La superficie no orientable más famosa es la tira ² de Möbius ¹, que se puede construir de la siguiente manera. Tome una tira rectangular de papel.

Colóquelo plano y luego introduzca un medio giro para que la flecha del extremo derecho apunte hacia arriba, en lugar de hacia abajo. Después pega los dos extremos de la tira juntos, coincidiendo las dos flechas. Esa es la tira de Möbius.

Vamos a parametrizarlo. Piense en la tira de papel que usamos para construirla como que consiste en una columna vertebral (la línea negra horizontal en la figura de abajo) con un manojo de costillas (como la gruesa línea azul en la figura) que emana de ella.

Cuando pegamos los dos extremos de la tira juntos, la línea negra forma un círculo. Si la tira tiene longitud\(\ell\text{,}\) el círculo tendrá circunferencia\(\ell\) y por lo tanto radio La\(\frac{\ell}{2\pi}\text{.}\) parametrizaremos como el círculo

\[\begin{gather*} \frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}(\theta) \qquad\text{where } \hat{\textbf{r}}(\theta) = \cos(\theta)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(\theta)\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]

Este círculo está en el\(xy\) -plano. Es el círculo negro en la figura de abajo. (La figura solo muestra la parte del círculo en el primer octante, es decir, con\(x,y,z\ge 0\text{.}\))

Ahora agregaremos en las costillas azules. Pondremos la costilla azul, que está unida a la columna vertebral\(\frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}(\theta)\text{,}\) en el plano que contiene los vectores\(\hat{\textbf{r}}(\theta)\) y\(\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

Una vista lateral del plano que contiene los vectores\(\hat{\textbf{r}}(\theta)\) y\(\hat{\mathbf{k}}\) se esboza en la siguiente figura.

Para poner el medio giro en la tira de papel, queremos que la costilla azul rote alrededor de la columna vertebral por\(180^\circ\text{,}\) i.e.\(\pi\) radianes, como\(\theta\) corre de\(0\) a\(2\pi\text{.}\) Ese será el caso si elegimos el ángulo\(\varphi\) en la figura para que sea\(\frac{\theta}{2}\text{.}\) El vector que corre a lo largo del costilla azul en la figura es

\[ \textbf{u}(v,\theta,\varphi)=v\cos(\varphi)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) + v\sin(\varphi)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

donde la longitud,\(v\text{,}\) del vector es un parámetro. Si el ancho de nuestra tira de papel original es\(w\text{,}\) entonces como el parámetro\(v\) va desde\(-\frac{w}{2}\) hasta\(+\frac{w}{2}\text{,}\) la punta del vector\(\textbf{u}(v,\theta,\varphi)\) se extiende sobre toda la costilla azul. Entonces, elegir\(\varphi=\frac{\theta}{2}\text{,}\) nuestra parametrización de la tira Möbius es

\[\begin{align*} \vecs{r} (\theta,v) &= \frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}(\theta) + \textbf{u}\left(v,\theta,\frac{\theta}{2}\right)\\ &= \frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}(\theta) + v\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\textbf{r}}(\theta) + v\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\mathbf{k}}\\ & 0\le\theta \lt 2\pi,\ -\frac{w}{2}\le v\le \frac{w}{2} \end{align*}\]

donde\(\hat{\textbf{r}}(\theta) = \cos(\theta)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(\theta)\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\)

Ahora que hemos parametrizado la tira de Möbius, volvamos a la cuestión de la orientabilidad. Recordemos, de la Definición 3.5.1, que, si la tira de Möbius fuera orientable, existiría una función continua\(\hat{\textbf{N}}\) que asigna a cada punto\(\vecs{r} \) de la tira un vector normal unitario\(\hat{\textbf{N}}(\vecs{r} )\) en\(\vecs{r} \text{.}\) First, encontraremos los vectores normales a la superficie usando 3.3.1. Las derivadas parciales

\[\begin{align*} \frac{\partial\vecs{r} }{\partial\theta}(\theta,v) &=\frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}'(\theta) + v\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\textbf{r}}'(\theta) - \frac{v}{2}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\textbf{r}}(\theta) + \frac{v}{2}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(\theta,v) &=\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\textbf{r}}(\theta) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

son relativamente desordenados, así que consideremos el caso\(v=0\) (es decir, encontrar los vectores normales en la columna vertebral). Entonces

\[\begin{align*} \frac{\partial\vecs{r} }{\partial\theta}(\theta,0) &=\frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}'(\theta)\\ \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(\theta,0) &=\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\textbf{r}}(\theta) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

Desde

\[\begin{align*} \hat{\textbf{r}}'(\theta)\times \hat{\textbf{r}}(\theta) &=\big(-\sin(\theta)\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos(\theta)\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\times \big(\cos(\theta)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(\theta)\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) =-\hat{\mathbf{k}}\\ \hat{\textbf{r}}'(\theta)\times \hat{\mathbf{k}} &=\big(-\sin(\theta)\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos(\theta)\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\times \hat{\mathbf{k}} =\hat{\textbf{r}}(\theta) \end{align*}\]

tenemos

\[\begin{gather*} \frac{\partial\vecs{r} }{\partial\theta}(\theta,0) \times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(\theta,0) =-\frac{\ell}{2\pi}\Big[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) \Big] \end{gather*}\]

Como\(\hat{\mathbf{k}}\) y\(\hat{\textbf{r}}(\theta)\) son vectores unitarios mutuamente perpendiculares,\(\cos\big(\frac{\theta}{2}\big)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\big(\frac{\theta}{2}\big)\,\hat{\textbf{r}}(\theta)\) tiene longitud uno, y los dos vectores normales unitarios a la tira de Möbius en\(\vecs{r} (\theta,0)\) son

\[ \pm \Big[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) \Big] \nonumber \]

Entonces, para cada uno\(\theta\text{,}\)\(\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,0)\big)\) debe ser

\[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\big(\frac{\theta}{2}\big)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) \qquad\text{or}\qquad -\Big[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) \Big] \nonumber \]

Imagínese caminar por la franja de Möbius. El vector normal\(\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,v)\big)\) es nuestro cuerpo cuando estamos en\(\vecs{r} (\theta,v)\) — nuestros pies están en la cola del vector\(\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,v)\big)\) y nuestra cabeza está en la flecha de\(\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,v)\big)\text{.}\) Empezamos a caminar en\(\vecs{r} (0,0)=\frac{\ell}{2\pi}\hat{\pmb{\imath}}\text{.}\) Nuestro cuerpo,\(\hat{\textbf{N}}\big(\frac{\ell}{2\pi}\hat{\pmb{\imath}}\big)=\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (0,0)\big)\) tiene que ser uno de\(\pm \big(\cos(0)\,\hat{\mathbf{k}}-\sin(0)\, \hat{\textbf{r}} (0) \big)=\pm\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Supongamos que\(\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (0,0)\big)=+\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) (Empezamos erguidos.) Ahora empezamos a caminar por la columna vertebral de la franja de Möbius, aumentando\(\theta\text{.}\) Porque\(\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,0)\big)\) tiene que ser continuo,\(\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,0)\big)\) tiene\(+\big(\cos\big(\frac{\theta}{2}\big)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\big(\frac{\theta}{2}\big)\, \hat{\textbf{r}} (\theta) \big)\text{.}\) que ser Seguimos aumentando\(\theta\text{.}\) Por continuidad,\(\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,0)\big)\) tiene que ser\(+\big(\cos\big(\frac{\theta}{2}\big)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\big(\frac{\theta}{2}\big)\, \hat{\textbf{r}} (\theta) \big)\) para cada vez más grandes\(\theta\text{.}\) Finalmente llegamos a\(\theta=2\pi\text{,}\) es decir, a

\[ \vecs{r} (2\pi,0)= \frac{\ell}{2\pi} \hat{\textbf{r}} (2\pi) = \frac{\ell}{2\pi}\hat{\pmb{\imath}} =\frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}(0)=\vecs{r} (0,0) \nonumber \]

Estamos de vuelta a nuestro punto de partida. La continuidad ha forzado

\[ \hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (2\pi,0)\big) =\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,0)\big)\Big|_{\theta=2\pi} =+\Big[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) \Big] \Big|_{\theta=2\pi} =-\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Así que hemos vuelto al revés. Eso es un problema\(\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (2\pi,0)\big) =\hat{\textbf{N}}\big(\frac{\ell}{2\pi}\hat{\pmb{\imath}}\big)\) —y ya hemos definido\(\hat{\textbf{N}}\big(\frac{\ell}{2\pi}\hat{\pmb{\imath}}\big)=+\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) no\(-\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Así que la tira de Möbius no es orientable. El lector interesado debe buscar Möbius Strip II (Hormigas Rojas) de M. C. Escher.

1. August Ferdinand Möbius (1790—1868) fue un matemático y astrónomo alemán. Era descendiente de Martín Lutero y alumno de Gauss.
2. Otra famosa superficie no orientable es la botella Klein. Puedes encontrar fácilmente discusiones al respecto usando tu motor de búsqueda favorito.