4.1: Gradiente, divergencia y rizo

“Gradiente, divergencia y rizo”, comúnmente llamado “grad, div y curl”, se refieren a una familia muy ampliamente utilizada de operadores diferenciales y notaciones relacionadas a las que llegaremos en breve. Posteriormente veremos que cada uno tiene un significado “físico”. Pero aunque solo fueran taquigrafía ¹, valdría la pena usarlas.

Por ejemplo, una de las ecuaciones de Maxwell (relacionando el campo eléctrico\(\textbf{E}\) y el campo magnético\(\textbf{B}\)) escrita sin el uso de esta notación es

\[\begin{align*} &\Big(\frac{\partial E_3}{\partial y} -\frac{\partial E_2}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\imath}} -\Big(\frac{\partial E_3}{\partial x} -\frac{\partial E_1}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\jmath}} +\Big(\frac{\partial E_2}{\partial x} -\frac{\partial E_1}{\partial y}\Big)\hat{\mathbf{k}}\\ &\hskip2.5in=-\frac{1}{c}\Big(\frac{\partial B_1}{\partial t} \hat{\pmb{\imath}} +\frac{\partial B_2}{\partial t} \hat{\pmb{\jmath}} +\frac{\partial B_3}{\partial t} \hat{\mathbf{k}}\Big) \end{align*}\]

La misma ecuación escrita usando esta notación es

\[ \vecs{ \nabla} \times\textbf{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t} \nonumber \]

La forma más corta de escribir (y la forma más fácil de recordar) gradiente, divergencia y rizo utiliza el símbolo “\(\vecs{ \nabla} \)” que es un operador diferencial como\(\frac{\partial }{\partial x}\text{.}\) Se define por

\[ \vecs{ \nabla} = \hat{\pmb{\imath}}\frac{\partial }{\partial x} +\hat{\pmb{\jmath}}\frac{\partial }{\partial y} +\hat{\mathbf{k}}\frac{\partial }{\partial z} \nonumber \]

y se llama “del” o “nabla”. Aquí están las definiciones.

Definición 4.1.1

1. El gradiente de una función de valor escalar\(f(x,y,z)\) es el campo vectorial

   \[ \text{grad}\,f=\vecs{ \nabla} f = \frac{\partial f}{\partial x}\hat{\pmb{\imath}} +\frac{\partial f}{\partial y}\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{\partial f}{\partial z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

   Tenga en cuenta que la entrada,\(f\text{,}\) para el gradiente es una función de valor escalar, mientras que la salida,\(\vecs{ \nabla} f\text{,}\) es una función de valor vectorial.
2. La divergencia de un campo vectorial\(\vecs{F} (x,y,z)\) es la función de valor escalar

   \[ \text{div}\,\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} +\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z} \nonumber \]

   Tenga en cuenta que la entrada,\(\vecs{F} \text{,}\) para la divergencia es una función de valor vectorial, mientras que la salida,\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \text{,}\) es una función de valor escalar.
3. El curl de un campo vectorial\(\vecs{F} (x,y,z)\) es el campo vectorial

   \[ \text{curl}\,\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = \Big(\frac{\partial F_3}{\partial y} -\frac{\partial F_2}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\imath}} -\Big(\frac{\partial F_3}{\partial x} -\frac{\partial F_1}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\jmath}} +\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x} -\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

   Tenga en cuenta que la entrada,\(\vecs{F} \text{,}\) para el curl es una función de valor vectorial, y la salida,\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \text{,}\) es nuevamente una función de valor vectorial.
4. El Laplaciano ² de una función de valor escalar\(f(x,y,z)\) es la función de valor escalar

   \[ \Delta f= \vecs{ \nabla} ^2 f =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \nonumber \]

   El Laplaciano de un campo vectorial\(\vecs{F} (x,y,z)\) es el campo vectorial

   \[ \Delta\vecs{F} = \vecs{ \nabla} ^2\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} \vecs{F} = \frac{\partial^2 \vecs{F} }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \vecs{F} }{\partial y^2} +\frac{\partial^2 \vecs{F} }{\partial z^2} \nonumber \]

   Tenga en cuenta que el Laplaciano mapea una función de valor escalar a una función de valor escalar, o una función de valor vectorial a una función de valor vectorial.

El gradiente, la divergencia y el laplaciano tienen generalizaciones obvias a dimensiones distintas a tres. Ese no es el caso del rizo. Tiene una generalización, lejos de ser obvia, que utiliza formas diferenciales. Las formas diferenciales están mucho más allá de nuestro alcance, pero se introducen en la optativa §4.7.

Ejemplo 4.1.2

Como ejemplo de una aplicación en la que aparecen tanto la divergencia como el rizo, tenemos las ecuaciones de Maxwell ^{3 4 5}, que forman la base del electromagnetismo clásico.

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{E} &= 4\pi\rho\\ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B} &= 0\\ \vecs{ \nabla} \times\textbf{E} +\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}&=0\\ \vecs{ \nabla} \times\textbf{B} -\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}&=\frac{4\pi}{c}\textbf{J} \end{align*}\]

Aquí\(\textbf{E}\) está el campo eléctrico,\(\textbf{B}\) es el campo magnético,\(\rho\) es la densidad de carga,\(\textbf{J}\) es la densidad de corriente y\(c\) es la velocidad de la luz.

Identidades vectoriales

Dos propiedades computacionalmente extremadamente importantes de la derivada\(\dfrac{d\ }{dx}\) son la linealidad y la regla del producto.

\[\begin{align*} \dfrac{d\ }{dx}\big(af(x)+bg(x)\big) &=a\dfrac{df}{dx}(x)+b\dfrac{dg}{dx}(x)\\ \dfrac{d\ }{dx}\big(f(x)\,g(x)\big) &=g(x)\,\dfrac{df}{dx}(x)+f(x)\,\dfrac{dg}{dx}(x) \end{align*}\]

El gradiente, la divergencia y el rizo también tienen propiedades como estas, que de hecho se derivan (muchas veces con facilidad) de ellos. Primero, aquí están las declaraciones de un montón de ellos. (Una ayuda para la memoria y pruebas vendrán más adelante.) De hecho, aquí hay un número muy grande de ellos. Muchos están incluidos solo para completarlo. Sólo un número relativamente pequeño se utilizan mucho. Están en rojo.

Teorema 4.1.3. Identidades de gradiente

1. \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} (f+g)=\vecs{ \nabla} f+\vecs{ \nabla} g}\)
2. \(\color{red}{\vecs{ \nabla} (cf)=c\,\vecs{ \nabla} f}\text{,}\)para cualquier constante\(c\)
3. \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} (fg)=(\vecs{ \nabla} f)g+ f(\vecs{ \nabla} g)}\)
4. \(\vecs{ \nabla} (f/g)=\big(g\,\vecs{ \nabla} f-f\,\vecs{ \nabla} g\big)/g^2\)en puntos\(\textbf{x}\) donde\(g(\textbf{x})\ne 0\text{.}\)
5. \(\vecs{ \nabla} (\vecs{F} \cdot\textbf{G})=\vecs{F} \times(\vecs{ \nabla} \times\textbf{G})- (\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\times\textbf{G}+(\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} +(\vecs{F} \cdot\vecs{ \nabla} )\textbf{G}\)

   Aquí ⁶

   \[ (\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} =\textbf{G}_1\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x} +\textbf{G}_2\frac{\partial\vecs{F} }{\partial y} +\textbf{G}_3\frac{\partial\vecs{F} }{\partial z} \nonumber \]

Teorema 4.1.4. Identidades de divergencia

1. \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} +\textbf{G})=\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} +\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G}}\)
2. \(\color{red}{\vecs{ \nabla} \cdot(c\vecs{F} )=c\,\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} }\text{,}\)para cualquier constante\(c\)
3. \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )=(\vecs{ \nabla} f)\cdot\vecs{F} + f\,\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} }\)
4. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} \times\textbf{G})=(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\cdot\textbf{G} - \vecs{F} \cdot(\vecs{ \nabla} \times\textbf{G})\)

Teorema 4.1.5. Identidades Curl

1. \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} \times(\vecs{F} +\textbf{G})=\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} +\vecs{ \nabla} \times\textbf{G}} \)
2. \(\color{red}{\vecs{ \nabla} \times(c\vecs{F} )=c\,\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} } \text{,}\)para cualquier constante\(c\)
3. \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} \times(f\vecs{F} )=(\vecs{ \nabla} f)\times\vecs{F} +f\,\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} } \)
4. \(\vecs{ \nabla} \times(\vecs{F} \times\textbf{G}) =\vecs{F} (\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G})-(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} )\textbf{G} +(\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} -(\vecs{F} \cdot\vecs{ \nabla} )\textbf{G}\)

   Aquí

   \[ (\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} =\textbf{G}_1\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x} +\textbf{G}_2\frac{\partial\vecs{F} }{\partial y} +\textbf{G}_3\frac{\partial\vecs{F} }{\partial z} \nonumber \]

Teorema 4.1.6. Identidades Laplacianas

1. \(\displaystyle \color{red}{ \vecs{ \nabla} ^2(f+g)=\vecs{ \nabla} ^2 f+\vecs{ \nabla} ^2 g }\)
2. \(\color{red}{\vecs{ \nabla} ^2(cf)=c\,\vecs{ \nabla} ^2 f}\text{,}\)para cualquier constante\(c\)
3. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} ^2(fg)=f\,\vecs{ \nabla} ^2 g+2\vecs{ \nabla} f\cdot\vecs{ \nabla} g+g\,\vecs{ \nabla} ^2 f\)

Teorema 4.1.7. Identidades de Grado Dos

1. \(\color{red}{\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )=0 \qquad}\)(divergencia de rizo)
2. \(\color{red}{\vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} f)=0 \qquad}\)(rizo de gradiente)
3. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\big(f\{\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h\}\big) =\vecs{ \nabla} f\cdot(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h)\)
4. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{ \nabla} g-g\vecs{ \nabla} f)=f\,\vecs{ \nabla} ^2g-g\,\vecs{ \nabla} ^2f\)
5. \(\vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )=\vecs{ \nabla} (\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} )-\vecs{ \nabla} ^2\vecs{F} \qquad\)(rizo de rizo)

Ayuda a la Memoria. La mayoría de las identidades vectoriales (de hecho todas ellas excepto Teorema 4.1.3.e, Teorema 4.1.5.d y Teorema 4.1.7) son realmente fáciles de adivinar. Simplemente combine la linealidad convencional y las reglas del producto con los hechos que

• si el lado izquierdo es un vector (escalar), entonces el lado derecho también debe ser un vector (escalar) y
• los únicos productos válidos de dos vectores son los productos de punto y cruz y
• el producto de un escalar con un escalar o un vector no puede ser un punto o producto cruzado y
• \(\textbf{A}\times\textbf{B} = - \textbf{B}\times\textbf{A}\text{.}\)(El producto cruzado es antisimétrico.)

Por ejemplo, considere el Teorema 4.1.4.c, que dice\(\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )=(\vecs{ \nabla} f)\cdot\vecs{F} + f\,\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \text{.}\)

• El lado izquierdo,\(\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )\text{,}\) es un escalar, por lo que el lado derecho también debe ser un escalar.
• El lado izquierdo,\(\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )\text{,}\) es una derivada del producto de\(f\) y\(\vecs{F} \text{,}\) así, imitando la regla del producto, el lado derecho será una suma de dos términos, uno con\(\vecs{F} \) multiplicar una derivada de\(f\text{,}\) y otro con\(f\) multiplicar una derivada de\(\vecs{F} \text{.}\)
• El derivado sobre el\(f\) que actúa debe ser\(\vecs{ \nabla} f\text{,}\) porque\(\vecs{ \nabla} \cdot f\) y no\(\vecs{ \nabla} \times f\) están bien definidos. Para terminar con un escalar, en lugar de un vector, debemos tomar el punto producto de\(\vecs{ \nabla} f\) y\(\vecs{F} \text{.}\) Así que ese término es\((\vecs{ \nabla} f)\cdot\vecs{F} \text{.}\)
• El derivado que actúa sobre\(\vecs{F} \) debe ser cualquiera\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \) o También\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \text{.}\) necesitamos multiplicar por el escalar\(f\) y terminar con un escalar. Entonces la derivada debe ser un escalar, es decir,\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \) y ese término es\(f\{\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \}\text{.}\)
• Nuestra última conjetura es\(\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )=(\vecs{ \nabla} f)\cdot\vecs{F} + f\,\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \text{,}\) cuál, por suerte, es correcta.

Prueba de Teoremas 4.1.3, 4.1.4, 4.1.5, 4.1.6 y 4.1.7.

Todas las pruebas (excepto las del Teorema 4.1.7.c, d, a las que volveremos más adelante) consisten en

• escribir la definición del lado izquierdo y
• escribir la definición del lado derecho y
• observando (posiblemente después de un poco de manipulación) que son los mismos.

Para Teorema 4.1.3.a, b, Teorema 4.1.4.a, b, Teorema 4.1.5.a, b y Teorema 4.1.6.a, b, el cálculo es trivial — una línea por identidad, si se usa alguna notación eficiente. Cambiar el nombre de las coordenadas\(x,y,z\) a\(x_1,x_2,x_3\) y los vectores de base de unidad estándar\(\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\)\(\hat{\mathbf{k}}\) a\(\hat{\pmb{\imath}}_1\text{,}\)\(\hat{\pmb{\imath}}_2\text{,}\)\(\hat{\pmb{\imath}}_3\text{.}\) Entonces\(\vecs{ \nabla} = \sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\frac{\partial\ }{\partial x_n}\) y la prueba de, por ejemplo, Teorema 4.1.4.a es

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} +\textbf{G}) &=\sum_{n=1}^3\frac{\partial\ }{\partial x_n} \hat{\pmb{\imath}}_n\cdot(\vecs{F} +\textbf{G})\\ &=\sum_{n=1}^3\frac{\partial\ }{\partial x_n} \hat{\pmb{\imath}}_n\cdot\vecs{F} +\sum_{n=1}^3\frac{\partial\ }{\partial x_n} \hat{\pmb{\imath}}_n\cdot\textbf{G} =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} +\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G} \end{align*}\]

Para Teorema 4.1.3.c, d, Teorema 4.1.4.c, Teorema 4.1.5.c y Teorema 4.1.6.c, el cálculo es fácil —unas pocas líneas por identidad. Por ejemplo, la prueba del Teorema 4.1.5.c es

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times(f\vecs{F} ) &=\sum_{n=1}^3\frac{\partial }{\partial x_n}\hat{\pmb{\imath}}_n\times(f \vecs{F} ) =\sum_{n=1}^3\frac{\partial }{\partial x_n}\big(f\, \{\hat{\pmb{\imath}}_n\times\vecs{F} \}\big)\\ &=\sum_{n=1}^3\frac{\partial f}{\partial x_n}\hat{\pmb{\imath}}_n\times\vecs{F} +f\sum_{n=1}^3\frac{\partial }{\partial x_n}\hat{\pmb{\imath}}_n\times\vecs{F} \\ &=(\vecs{ \nabla} f)\times\vecs{F} + f\,\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \end{align*}\]

En la segunda línea se utilizó Teorema 1.1.3.b. La verificación similar de los Teoremas 4.1.3.c, d, 4.1.4.c y 4.1.6.c se dejan como ejercicios. Estas dos últimas son las partes a) y c) de la Pregunta 3 de la Sección 4.1 del libro de problemas CLP-4.

Para el Teorema 4.1.4.d, el cálculo también es fácil si se usa el hecho de que

\[ \textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c} \nonumber \]

que es Lemma 4.1.8.a más abajo. La verificación del Teorema 4.1.4.d es la parte (b) de la Pregunta 3 en la Sección 4.1 del libro de problemas CLP-4.

Eso deja las pruebas del Teorema 4.1.3.e, Teorema 4.1.5.d, Teorema 4.1.7.a, b, c, d, e, que escribimos explícitamente.

Teorema 4.1.3.e: Primero escribe el lado izquierdo como

\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} (\vecs{F} \cdot\textbf{G}) =\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\frac{\partial }{\partial x_n}(\vecs{F} \cdot\textbf{G}) =\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\Big(\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x_n}\cdot\textbf{G}\Big) +\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\Big(\vecs{F} \cdot\frac{\partial\textbf{G}}{\partial x_n}\Big) \end{gather*}\]

Luego reescribe\(\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}-(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c}\text{,}\) cuál es Lemma 4.1.8.b a continuación, como

\[ (\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}=\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})+(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c} \nonumber \]

Aplicándolo una vez con\(\textbf{b}=\hat{\pmb{\imath}}_n\text{,}\)\(\textbf{c}=\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x_n}\text{,}\)\(\textbf{a}=\textbf{G}\) y una vez con\(\textbf{b}=\hat{\pmb{\imath}}_n\text{,}\)\(\textbf{c}=\frac{\partial\textbf{G}}{\partial x_n}\text{,}\)\(\textbf{a}=\vecs{F} \) da

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} (\vecs{F} \cdot\textbf{G}) &=\sum_{n=1}^3\bigg[ \textbf{G}\times\Big(\hat{\pmb{\imath}}_n\times\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x_n}\Big) +(\textbf{G}\cdot\hat{\pmb{\imath}}_n)\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x_n}\bigg]\\ &\hskip1in+\sum_{n=1}^3\bigg[ \vecs{F} \times\Big(\hat{\pmb{\imath}}_n\times\frac{\partial\textbf{G}}{\partial x_n}\Big) +(\vecs{F} \cdot\hat{\pmb{\imath}}_n)\frac{\partial\textbf{G}}{\partial x_n}\bigg]\\ &=\textbf{G}\times(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} ) +(\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} +\vecs{F} \times(\vecs{ \nabla} \times\textbf{G}) +(\vecs{F} \cdot\vecs{ \nabla} )\textbf{G} \end{align*}\]

Teorema 4.1.5.d: Utilizamos el mismo truco. Escribe el lado izquierdo como

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times(\vecs{F} \times\textbf{G}) &=\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\times\frac{\partial }{\partial x_n}(\vecs{F} \times\textbf{G})\\ &=\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\times\Big(\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x_n}\times\textbf{G}\Big) +\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\times\Big(\vecs{F} \times\frac{\partial\textbf{G}}{\partial x_n}\Big) \end{align*}\]

Aplicando\(\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}-(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c}\text{,}\) cuál es Lemma 4.1.8.b a continuación,

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times(\vecs{F} \times\textbf{G})&= \sum_{n=1}^3\Big[G_n\frac{\partial \vecs{F} }{\partial x_n} -\frac{\partial F_n}{\partial x_n}\textbf{G}\Big] +\sum_{n=1}^3\Big[\frac{\partial G_n}{\partial x_n}\vecs{F} -F_n\frac{\partial \textbf{G}}{\partial x_n}\Big]\cr &=(\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} -(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} )\textbf{G}+(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G})\vecs{F} -(\vecs{F} \cdot\vecs{ \nabla} )\textbf{G} \end{align*}\]

Teorema 4.1.7.a: Sustituir en

\ begin {align*}\ vecs {\ nabla}\ veces\ vecs {F} &=\ Grande (\ frac {\ parcial F_3} {\ parcial y} -\ frac {\ parcial F_2} {\ parcial z}\ grande)\ sombrero {\ pmb {\ imath}} -\ grande (\ frac {\ parcial F_3} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial F_3} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial F_3} {\ parcial x} -\ ac {\ parcial F_1} {\ z parcial}\ Grande)\ sombrero {\ pmb {\ jmath}} +\ Grande (\ frac {\ parcial F_2} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial F_1} {\ parcial y}\ Grande)\ sombrero {\ mathbf {k}}\\\ final {alinear*}

da

\ begin {align*}\ vecs {\ nabla}\ cdot\ grande (\ vecs {\ nabla}\ veces F\ grande) &=\ frac {\ parcial} {\ parcial x}\ grande (\ frac {\ parcial F_3} {\ parcial} -\ frac {\ parcial F_2} {\ parcial} {\ z parcial}\ grande) -\ frac {\ parcial} {parcial y}\ grande (\ frac {\ parcial F_3} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial F_1} {\ parcial z}\ grande) +\ frac {\ parcial} {\ z parcial}\ grande (\ frac {\ parcial F_2} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial F_1} {\ parcial y}\ grande)\ cr &= {\ color {rojo} {\ frac {\ parcial^2 F_3} {\ parcial x\ parcial y}}} - {\ color {azul} {\ frac {\ parcial ^2 F_2}\ x parcial\ z parcial}}} - {\ color {rojo} {\ frac {\ parcial^2 F_3} {\ parcial y\ x parcial}}} +\ frac {\ parcial^2 F_1} {\ y parcial\ z parcial} + {\ color {azul} {\ frac {\ parcial^2 F_2} {\ z parcial\ x parcial}} -\ frac {\ parcial^2 F_1} {\ z parcial\ parcial y}\\ &=0\ end {align*}

porque los dos términos rojos han cancelado, los dos términos azules han cancelado y los dos términos negros han cancelado.

Teorema 4.1.7.b: Sustituir en

\ begin {align*}\ vecs {\ nabla} f &=\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}\ hat {\ pmb {\ imath}} +\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}\ hat {\ pmb {\ jmath}} +\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}\ sombrero {\ mathbf {k} cr\\\\ final {alinear*}

da

\ begin {align*}\ vecs {\ nabla}\ veces\ grande (\ vecs {\ nabla} f\ grande) &=\ grande (\ frac {\ parcial} {\ parcial y}\ frac {\ parcial f} {\ parcial z} -\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial z}\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}\ grande)\ sombrero\ pmb {\ imath}} -\ grande (\ frac {\ parcial} {\ parcial x}\ frac {\ parcial f} {\ parcial z} -\ frac {\ parcial} {\ parcial z}\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}\ grande)\ sombrero {\ pmb {\ jmath}}\\ &\ hskip1in+\ grande (\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial x}\ frac {\ parcial f} {\ parcial y} -\ frac {\ parcial} {\ parcial y}\ frac {\ parcial}\ Grande)\ sombrero {\ mathbf {k}}\\ &=0\ end {align*}

Teorema 4.1.7.c: Por Teorema 4.1.4.c, seguido del Teorema 4.1.4.d,

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\big[f(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h)\big] &=\vecs{ \nabla} f\cdot(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h) +f\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h)\\ &=\vecs{ \nabla} f\cdot(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h) +f\big[(\vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} g)\cdot\vecs{ \nabla} h-\vecs{ \nabla} g\cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} h)\big] \end{align*}\]

Por Teorema 4.1.7.b,\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} g=\vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} h=0\text{,}\) entonces

\[ \vecs{ \nabla} \cdot\big[f(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} f)\big] =\vecs{ \nabla} f\cdot(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h) \nonumber \]

Teorema 4.1.7.d: Por Teorema 4.1.4.c,

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{ \nabla} g-g\vecs{ \nabla} f) &= (\vecs{ \nabla} f)\cdot(\vecs{ \nabla} g) +f\,\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} g) -(\vecs{ \nabla} g)\cdot(\vecs{ \nabla} f) +g\,\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} f)\\ &=f\,\vecs{ \nabla} ^2g-g\,\vecs{ \nabla} ^2f \end{align*}\]

Teorema 4.1.7.e:

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} ) &=\sum_{\ell=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_\ell\frac{\partial } {\partial x_\ell} \times\bigg(\sum_{m=1}^3 \hat{\pmb{\imath}}_m\frac{\partial } {\partial x_m} \times\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n F_n\bigg)\\ &=\sum_{\ell,m,n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_\ell\times \big(\hat{\pmb{\imath}}_m\times\hat{\pmb{\imath}}_n\big)\ \frac{\partial^2 F_n } {\partial x_\ell\partial x_m} \end{align*}\]

Usando\(\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}-(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c}\text{,}\) tenemos

\[ \hat{\pmb{\imath}}_\ell\times \big(\hat{\pmb{\imath}}_m\times\hat{\pmb{\imath}}_n\big) =(\hat{\pmb{\imath}}_\ell\cdot\hat{\pmb{\imath}}_n)\hat{\pmb{\imath}}_m -(\hat{\pmb{\imath}}_\ell\cdot\hat{\pmb{\imath}}_m)\hat{\pmb{\imath}}_n =\delta_{\ell,n}\hat{\pmb{\imath}}_m -\delta_{\ell,m}\hat{\pmb{\imath}}_n \nonumber \]

donde ⁷

\[ \delta_{m,n} =\begin{cases} 1& \text{if } m=n \\ 0& \text{if } m\ne n \end{cases} \nonumber \]

De ahí

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} ) &=\sum_{\ell,m,n=1}^3\delta_{\ell,n}\hat{\pmb{\imath}}_m\ \frac{\partial^2 F_n } {\partial x_\ell\partial x_m} -\sum_{\ell,m,n=1}^3\delta_{\ell,m}\hat{\pmb{\imath}}_n\ \frac{\partial^2 F_n } {\partial x_\ell\partial x_m}\\ &=\sum_{m,n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_m\ \frac{\partial }{\partial x_m} \frac{\partial F_n }{\partial x_n} -\sum_{m,n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\ \frac{\partial^2 F_n}{\partial x_m^2}\cr &= \vecs{ \nabla} (\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} )-\vecs{ \nabla} ^2\vecs{F} \end{align*}\]

Lema 4.1.8

1. \(\displaystyle \textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c}\)
2. \(\displaystyle \textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}-(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c}\)

Prueba

a) Aquí hay dos pruebas. Para el primero, solo escribe ambos lados

\[\begin{align*} \textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c}) &=(a_1,a_2,a_3)\cdot(b_2c_3-b_3c_2\,,\,b_3c_1-b_1c_3\,,\,b_1c_2-b_2c_1)\\ &=a_1b_2c_3-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1\\ (\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c} &=(a_2b_3-a_3b_2\,,\,a_3b_1-a_1b_3\,,\,a_1b_2-a_2b_1)\cdot(c_1,c_2,c_3)\\ &=a_2b_3c_1-a_3b_2c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2+a_1b_2c_3-a_2b_1c_3 \end{align*}\]

y observar que son lo mismo.

Para la segunda prueba, nuevamente escribimos ambas partes, pero esta vez las expresamos en términos de determinantes.

\[\begin{align*} \textbf{a}\cdot\textbf{b}\times\textbf{c} &=(a_1,a_2,a_3)\cdot\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}&\hat{\pmb{\jmath}}&\hat{\mathbf{k}} \\ b_1&b_2&b_3 \\ c_1&c_2&c_3\end{matrix}\right]\\ &=a_1\det\left[\begin{matrix} b_2&b_3 \\ c_2&c_3\end{matrix}\right] -a_2\det\left[\begin{matrix} b_1&b_3 \\ c_1&c_3\end{matrix}\right] +a_3\det\left[\begin{matrix} b_1&b_2 \\ c_1&c_2\end{matrix}\right]\\ &=\det\left[\begin{matrix}a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3 \\ c_1&c_2&c_3\end{matrix}\right]\\ \textbf{a}\times\textbf{b}\cdot\textbf{c} &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}&\hat{\pmb{\jmath}}&\hat{\mathbf{k}} \\ a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3\end{matrix}\right]\cdot(c_1,c_2,c_3)\\ &=c_1\det\left[\begin{matrix} a_2&a_3 \\ b_2&b_3\end{matrix}\right] -c_2\det\left[\begin{matrix} a_1&a_3 \\ b_1&b_3\end{matrix}\right] +c_3\det\left[\begin{matrix} a_1&a_2 \\ b_1&b_2\end{matrix}\right]\\ &=\det\left[\begin{matrix}c_1&c_2&c_3\cr a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3 \end{matrix}\right] \end{align*}\]

El intercambio de dos filas en un determinante cambia el signo del determinante. Mover la fila superior de un\(3\times 3\) determinante a la fila inferior requiere dos intercambios de filas. Entonces los dos\(3\times 3\) determinantes son iguales.

(b) La prueba no es excepcionalmente difícil — simplemente escribir ambos lados y moler. Sustituyendo en

\[ \textbf{b}\times\textbf{c} \ =\ (b_2c_3-b_3c_2)\hat{\pmb{\imath}}-(b_1c_3-b_3c_1)\hat{\pmb{\jmath}} + (b_1c_2-b_2c_1)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

da, para el lado izquierdo,

\[\begin{align*} \textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c}) =\phantom{-}&\!\!\!\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}&\hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ a_1&a_2&a_3 \\ b_2c_3-b_3c_2&-b_1c_3+b_3c_1&b_1c_2-b_2c_1 \end{matrix}\right]\\ =\phantom{-}&\hat{\pmb{\imath}}\big[a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(-b_1c_3+b_3c_1)\big]\\ -&\hat{\pmb{\jmath}}\big[a_1(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_2c_3-b_3c_2)\big]\\ +&\hat{\mathbf{k}}\big[a_1(-b_1c_3+b_3c_1)-a_2(b_2c_3-b_3c_2)\big] \end{align*}\]

Por otro lado, el lado derecho

\[\begin{align*} (\textbf{a}\cdot\textbf{c})\textbf{b}-(\textbf{a}\cdot\textbf{b})\textbf{c}\ =\ &(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1\hat{\pmb{\imath}}+b_2\hat{\pmb{\jmath}}+b_3\hat{\mathbf{k}})\\ &\hskip0.5in-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)(c_1\hat{\pmb{\imath}}+c_2\hat{\pmb{\jmath}}+c_3\hat{\mathbf{k}})\\ =\ & \hat{\pmb{\imath}}\ \big[{\color{blue}{a_1b_1c_1}} +a_2b_1c_2+a_3b_1c_3- {\color{blue}{a_1b_1c_1}} -a_2b_2c_1-a_3b_3c_1\big]\\ {+}&\hat{\pmb{\jmath}}\ \big[a_1b_2c_1 +{\color{blue}{a_2b_2c_2}} +a_3b_2c_3-a_1b_1c_2 -{\color{blue}{a_2b_2c_2}} -a_3b_3c_2\big]\\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\ \big[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2 +{\color{blue}{a_3b_3c_3}} -a_1b_1c_3-a_2b_2c_3 -{\color{blue}{a_3b_3c_3}}\big]\\ {=}\ & \hat{\pmb{\imath}}\ [a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1]\\ {+}&\hat{\pmb{\jmath}}\ [a_1b_2c_1+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_3b_3c_2]\\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\ [a_1b_3c_1+a_2b_3c_2-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3] \end{align*}\]

La última fórmula que tuvimos para el lado izquierdo es la misma que la última fórmula que tuvimos para el lado derecho.

Ejemplo 4.1.9. Pruebas de tamizaje

Hemos visto antes el Teorema de identidad vectorial 4.1.7.b. Dice que si un campo vectorial\(\vecs{F} \) es de la forma\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \varphi\) para alguna función\(\varphi\) (es decir, si\(\vecs{F} \) es conservadora), entonces

\[ \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \varphi) = 0 \nonumber \]

Por el contrario, también hemos visto, en el Teorema 2.4.8, que, si\(\vecs{F} \) se define y tiene derivadas parciales continuas de primer orden sobre todas\(\mathbb{R}^3\text{,}\) y si\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0\text{,}\) entonces\(\vecs{F} \) es conservadora. El Teorema de identidad vectorial 4.1.7.b es nuestra prueba de detección de conservatividad.

Debido a que su lado derecho es cero, el Teorema de identidad vectorial 4.1.7.a es sugerente. Dice que si un campo vectorial\(\vecs{F} \) es de la forma\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \times\textbf{A}\) para algún campo vectorial\(\textbf{A}\text{,}\) entonces

\[ \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A}) = 0 \nonumber \]

Cuando\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \times\textbf{A}\text{,}\)\(\textbf{A}\) se llama potencial de vector para\(\vecs{F} \text{.}\) Veremos en el Teorema 4.1.16, a continuación, que, a la inversa, si\(\vecs{F} (\textbf{x})\) se define y tiene derivadas parciales continuas de primer orden en todos\(\mathbb{R}^3\text{,}\) y si\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} =0\text{,}\) entonces\(\vecs{F} \) tiene un potencial vectorial ⁸ . El Teorema de identidad vectorial 4.1.7.a es de hecho otra prueba de cribado.

Como ejemplo, considere las ecuaciones de Maxwell

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B} &= 0\\ \vecs{ \nabla} \times\textbf{E} +\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}&=0 \end{align*}\]

que vimos en el Ejemplo 4.1.2. La primera ecuación implica que (asumiendo que\(\textbf{B}\) es suficientemente suave) hay un campo vectorial\(\textbf{A}\text{,}\) llamado el potencial magnético, con\(\textbf{B}=\vecs{ \nabla} \times\textbf{A}\text{.}\) Sustituir esto en la segunda ecuación da

\[ 0= \vecs{ \nabla} \times\textbf{E} +\frac{1}{c}\frac{\partial\ }{\partial t}\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} =\vecs{ \nabla} \times\Big(\textbf{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{A} }{\partial t}\Big) \nonumber \]

Así\(\textbf{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{A} }{\partial t}\) pasa la prueba de cribado del Teorema 4.1.7.b y hay una función\(\varphi\) (llamada el potencial eléctrico) con

\[ \textbf{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{A}}{\partial t} = -\nabla \varphi \nonumber \]

Hemos puesto en el signo menos sólo para brindar compatibilidad con la terminología física habitual.

Ejemplo 4.1.10

Dejar\(\vecs{r} (x,y,z) = x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\) y dejar\(\psi(x,y,z)\) ser una función arbitraria. Verifica que

\[ \vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{r} \times\vecs{ \nabla} \psi\big) = 0 \nonumber \]

Solución

Por el teorema de identidad vectorial 4.1.4.d,

\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{r} \times\vecs{ \nabla} \psi\big) =(\vecs{ \nabla} \times\vecs{r} )\cdot\vecs{ \nabla} \psi -\vecs{r} \cdot\big(\vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \psi)\big) \end{gather*}\]

Por el Teorema de identidad vectorial 4.1.7.b, el segundo término es cero. Ahora desde

\[ \vecs{ \nabla} \times\vecs{r} = \Big(\frac{\partial z}{\partial y} -\frac{\partial y}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\imath}} -\Big(\frac{\partial z}{\partial x} -\frac{\partial x}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\jmath}} +\Big(\frac{\partial y}{\partial x} -\frac{\partial x}{\partial y}\Big)\hat{\mathbf{k}} =\vecs{0} \nonumber \]

el primer término también es cero. Indeed\(\vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{r} \times\vecs{ \nabla} \psi\big) = 0\) se sostiene para cualquier rizo libre\(\vecs{r} (x,y,z)\text{.}\)

Potenciales vectoriales

Ahora exploraremos más a fondo los potenciales vectoriales que se introdujeron en el Ejemplo 4.1.9. Primero, aquí está la definición formal.

Definición 4.1.11

Se dice que el campo vectorial\(\textbf{A}\) es un potencial de vector para el campo vectorial\(\textbf{B}\) si

\[ \textbf{B}=\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} \nonumber \]

Como vimos en el Ejemplo 4.1.9, si un campo vectorial\(\textbf{B}\) tiene un potencial vectorial, entonces el Teorema de identidad vectorial 4.1.7.a implica que\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B}=0\text{.}\) Este hecho merece ser llamado teorema.

Teorema 4.1.12. Prueba de cribado para potenciales vectoriales

Si existe un potencial de vector para el campo vectorial\(\textbf{B}\text{,}\), entonces

\[ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B}=0 \nonumber \]

Por supuesto, pronto consideraremos lo contrario. También tenga en cuenta que el potencial vectorial, cuando existe, está lejos de ser único. Dos campos vectoriales\(\textbf{A}\) y\(\tilde{\textbf{A}}\) son ambos potenciales vectoriales para el mismo campo vectorial si y solo si

\[ \vecs{ \nabla} \times\textbf{A}=\vecs{ \nabla} \times\tilde{\textbf{A}} \iff \vecs{ \nabla} \times(\textbf{A}-\tilde{\textbf{A}})=\vecs{0} \nonumber \]

Es decir, si y sólo si la diferencia\(\textbf{A}-\tilde{\textbf{A}}\) pasa la prueba conservadora de cribado de campo de los Teoremas 2.3.9 y 2.4.8. En particular, si\(\textbf{A}\) es un potencial de vector para un campo vectorial\(\textbf{B}\) (es decir, si\(\textbf{B}=\vecs{ \nabla} \times\textbf{A}\)), y si\(\psi\) es alguna función, entonces

\[ \vecs{ \nabla} \times(\textbf{A}+\vecs{ \nabla} \psi) =\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} + \vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} \psi =\textbf{B} \nonumber \]

por el teorema de identidad vectorial 4.1.7.b. Es decir,\(\textbf{A}+\vecs{ \nabla} \psi\) es otro vector potencial para\(\textbf{B}\text{.}\)

Para simplificar los cálculos, siempre podemos elegir para\(\psi\) que, por ejemplo, el tercer componente de\(\textbf{A}+\vecs{ \nabla} \psi\text{,}\) a saber\(\big(\textbf{A}+\vecs{ \nabla} \psi\big)\cdot\hat{\mathbf{k}}= \textbf{A}_3+\frac{\partial\psi}{\partial z}\text{,}\) sea cero — simplemente elija\(\psi = -\int \textbf{A}_3\, \text{d}z\text{.}\) Acabamos de probar

Lema 4.1.13

Si el campo vectorial\(\textbf{B}\) tiene un potencial vectorial, entonces, en particular, hay un potencial vectorial\(\textbf{A}\) para\(\textbf{B}\) con ⁹\(\textbf{A}_3=0\text{.}\)

Aquí hay un ejemplo que aprovecha esta elección para simplificar los cálculos utilizados para encontrar un potencial vectorial.

Ejemplo 4.1.14

Vamos

\[\textbf{B} = yz\,\hat{\pmb{\imath}} + zx\,\hat{\pmb{\jmath}} + xy\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Este campo vectorial se ha configurado cuidadosamente para obedecer

\[ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B} = \frac{\partial }{\partial x}(yz) +\frac{\partial }{\partial y}(zx) +\frac{\partial }{\partial z}(xy) =0 \nonumber \]

y así pasa la prueba de tamizaje del Teorema 4.1.12.

Vamos a tratar de encontrar un potencial vectorial para Es\(\textbf{B}\text{.}\) decir, vamos a tratar de encontrar un campo vectorial\(\textbf{A}= A_1\,\hat{\pmb{\imath}} + A_2\,\hat{\pmb{\jmath}} + A_3\,\hat{\mathbf{k}}\) que obedezca\(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} = \textbf{B}\text{,}\) o equivalentemente,

\[\begin{align*} \frac{\partial A_3}{\partial y} -\frac{\partial A_2}{\partial z} &= B_1 =yz\\ -\frac{\partial A_3}{\partial x} +\frac{\partial A_1}{\partial z}&=B_2=zx\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y}&=B_3=xy \end{align*}\]

Este sistema es desagradable de resolver porque cada ecuación contiene más de una de las tres incógnitas,\(A_1\text{,}\)\(A_2\text{,}\)\(A_3\text{.}\) aprovechemos nuestra observación por encima de que, si existe algún potencial vector, entonces, en particular,\(\textbf{A}\) existe un potencial vector que también obedece\(A_3=0\text{.}\) Así que vamos también requieren que\(A_3=0\text{.}\) Entonces las ecuaciones anteriores simplifican para

\[\begin{align*} -\frac{\partial A_2}{\partial z} &=yz\\ \frac{\partial A_1}{\partial z} &=zx\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y}&=xy \end{align*}\]

Este sistema es mucho más fácil porque, ahora que hemos elegido\(A_3=0\text{,}\) la primera ecuación contiene sólo un único desconocido, es decir,\(A_2\) y podemos encontrar todos los\(A_2\) que obedecen a la primera ecuación simplemente integrando con respecto a\(z\text{:}\)

\[ A_2 = -\frac{yz^2}{2} + N(x,y) \nonumber \]

Tenga en cuenta que, debido a que\(\frac{\partial }{\partial z}\) trata\(x\) y\(y\) como constantes,\(N\) se permite que la constante de integración dependa de\(x\) y\(y\text{.}\)

Del mismo modo, la segunda ecuación contiene solo un solo desconocido,\(A_1\text{,}\) y se resuelve fácilmente integrando con respecto a\(z\text{.}\) La segunda ecuación se satisface si y solo si

\[ A_1 = \frac{xz^2}{2} + M(x,y) \nonumber \]

para alguna función\(M\text{.}\)

Finalmente, la tercera ecuación también se satisface si y solo si\(M(x,y)\) y\(N(x,y)\) obedecer

\[ \frac{\partial }{\partial x}\Big(-\frac{yz^2}{2} + N(x,y)\Big) -\frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{xz^2}{2} + M(x,y)\Big)=xy \nonumber \]

lo que simplifica

\[ \frac{\partial N}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) =xy \nonumber \]

Esta es una ecuación lineal en dos incógnitas,\(M\) y\(N\text{.}\) típicamente, podemos resolver fácilmente una ecuación lineal en una desconocida. Entonces somos libres de eliminar una de las incógnitas fijando, por ejemplo,\(M=0\text{,}\) y luego elegir cualquiera\(N\) que obedezca

\[ \frac{\partial N}{\partial x}(x,y) = xy \nonumber \]

Integrando con respecto a\(x\) da, como una opción posible,\(N(x,y) = \frac{x^2y}{2}\text{.}\) por lo que hemos encontrado un potencial vector. A saber:

\[ \textbf{A} = \frac{xz^2}{2} \hat{\pmb{\imath}} +\Big(-\frac{yz^2}{2} + \frac{x^2y}{2}\Big)\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

Uno puede, y de hecho debería, verificar rápidamente eso\(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A}=\textbf{B}\text{.}\)

Hagamos otra.

Ejemplo 4.1.15

Vamos

\[ \textbf{B} = (2x)\,\hat{\pmb{\imath}}+(2z-2x)\,\hat{\pmb{\jmath}} +(2x-2z)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Este campo vectorial obedece

\[ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B} = \frac{\partial }{\partial x}(2x) +\frac{\partial }{\partial y}(2z-2x) +\frac{\partial }{\partial z}(2x-2z) =0 \nonumber \]

y así pasa la prueba de tamizaje del Teorema 4.1.12. Ahora encontraremos un potencial vectorial\(\textbf{A}= A_1\,\hat{\pmb{\imath}} + A_2\,\hat{\pmb{\jmath}} + A_3\,\hat{\mathbf{k}}\) para\(\textbf{B}\text{.}\) Como en el último ejemplo, simplificaremos los cálculos al requerir aún más ¹⁰ que\(A_3=0\text{.}\)

Los requisitos que\(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} = \textbf{B}\) y\(A_3=0\) se reducen a

\[\begin{align*} -\frac{\partial A_2}{\partial z} &=2x\\ \frac{\partial A_1}{\partial z} &=2z-2x\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y}&=2x-2z \end{align*}\]

Porque\(\frac{\partial }{\partial z}\) trata\(x\) y\(y\) como constantes, la primera ecuación se satisface si y solo si hay una función\(N(x,y)\)

\[ A_2 = -2xz + N(x,y) \nonumber \]

y la segunda ecuación se satisface si y solo si hay una función\(M(x,y)\)

\[ A_1 = z^2-2xz + M(x,y) \nonumber \]

Finalmente, la tercera ecuación también se satisface si y solo si\(M(x,y)\) y\(N(x,y)\) obedecer

\[\begin{align*} &\frac{\partial }{\partial x}\Big(-2xz + N(x,y)\Big) -\frac{\partial }{\partial y}\Big(z^2-2xz + M(x,y))\Big)=2x-2z\\ &\iff -2z+\frac{\partial N}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) =2x -2z\\ &\iff \phantom{-2z+\ \,} \frac{\partial N}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) =2x \end{align*}\]

Todos los\(z\)'s en esta ecuación han cancelado ¹¹, y podemos elegir, por ejemplo,\(M(x,y)=0\) y\(N(x,y) = x^2\text{.}\) Así hemos encontrado un potencial vectorial. A saber:

\[ \textbf{A} = (z^2-2xz) \hat{\pmb{\imath}} +(x^2-2xz)\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

De nuevo es una buena idea comprobar que\(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A}=\textbf{B}\text{.}\)

Podemos usar exactamente la estrategia de los últimos ejemplos para probar

Teorema 4.1.16

Dejar\(\textbf{B}\) ser un campo vectorial que se define y tiene todas sus derivadas parciales de primer orden continuas en todos\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Entonces existe un potencial de vector para\(\textbf{B}\) si y solo si pasa la prueba de cribado\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B}=0\text{.}\)

Prueba

Ya sabemos que la existencia de un potencial vectorial implica que\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B}=0\text{.}\) Así que solo tenemos que asumir eso\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B}=0\) y demostrar que esto implica la existencia de un campo vectorial\(\textbf{A}\) que obedezca\(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} = \textbf{B}\text{.}\) De ahí que necesitamos resolver

\[\begin{align*} \frac{\partial A_3}{\partial y} -\frac{\partial A_2}{\partial z} &= B_1(x,y,z)\\ -\frac{\partial A_3}{\partial x} +\frac{\partial A_1}{\partial z}&=B_2(x,y,z)\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y}&=B_3(x,y,z) \end{align*}\]

Vamos a encontrar explícitamente tal\(\textbf{A}\) usando exactamente la estrategia del Ejemplo 4.1.14. En particular, buscaremos una\(\textbf{A}\) que también tenga\(A_3=0\text{.}\) Entonces las ecuaciones simplifican a

\[\begin{align*} -\frac{\partial A_2}{\partial z} &=B_1(x,y,z)\\ \frac{\partial A_1}{\partial z} &=B_2(x,y,z)\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y}&=B_3(x,y,z) \end{align*}\]

La primera ecuación se satisface si y solo si

\[ A_2(x,y,z) = -\int_0^z B_1(x,y,\tilde z)\ \text{d}\tilde z +N(x,y) \nonumber \]

para alguna función\(N(x,y)\text{.}\) Y la segunda ecuación se satisface si y solo si

\[ A_1(x,y,z) = \int_0^z B_2(x,y,\tilde z)\ \text{d}\tilde z +M(x,y) \nonumber \]

Entonces las tres ecuaciones están satisfechas si y solo si podemos encontrar\(M(x,y)\) y\(N(x,y)\) que obedezcan

\[\begin{align*} &\frac{\partial }{\partial x}\Big( \overbrace{-\int_0^z B_1(x,y,\tilde z)\ \text{d}\tilde z +N(x,y)}^{A_2(x,y,z)}\Big)\\ &\hskip1in -\frac{\partial }{\partial y}\Big( \overbrace{\int_0^z B_2(x,y,\tilde z)\ \text{d}\tilde z +M(x,y)}^{A_1(x,y,z)}\Big) =B_3(x,y,z) \end{align*}\]

que es el caso si y solo si

\[\begin{gather*} \frac{\partial N}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) = B_3(x,y,z) + \int_0^z\Big(\frac{\partial B_1}{\partial x}(x,y,\tilde z) + \frac{\partial B_2}{\partial y}(x,y,\tilde z)\Big) \ \text{d}\tilde z \end{gather*}\]

¡Oof! A primera vista, parece que aquí tenemos un problema muy grande. No importa qué\(N\) y\(M\) elegimos el lado izquierdo dependerá de\(x\) y\(y\) solo — no en\(z\text{.}\) Pero parece que el lado derecho depende\(z\) también de. Afortunadamente la prueba de cribado (que no hemos utilizado hasta este punto en la prueba) cabalga al rescate y asegura que la mano derecha en realidad no depende de\(z\text{.}\) Por la prueba de cribado,

\[ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B} =\frac{\partial B_1}{\partial x} +\frac{\partial B_2}{\partial y} +\frac{\partial B_3}{\partial z}=0 \nonumber \]

y tenemos

\[ \frac{\partial B_1}{\partial x} +\frac{\partial B_2}{\partial y} =-\frac{\partial B_3}{\partial z} \nonumber \]

para que el lado derecho sea

\[\begin{align*} B_3(x,y,z) + \int_0^z\Big(-\frac{\partial B_3}{\partial z}(x,y,\tilde z) \Big) \ \text{d}\tilde z &= B_3(x,y,z) +\Big[-B_3(x,y,\tilde z\Big]^{\tilde z=z}_{\tilde z=0}\\ &=B_3(x,y,0) \end{align*}\]

por el teorema fundamental del cálculo. Así que solo tenemos que elegir\(M\) y\(N\) obedecer

\[\begin{gather*} \frac{\partial N}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) = B_3(x,y,0) \end{gather*}\]

Por ejemplo, el\(M=0\text{,}\)\(N(x,y) = \int _0^x B_3(\tilde x,y,0)\ \text{d}\tilde x\) trabajo. Entonces no sólo hemos demostrado que existe un potencial vector, sino que hemos encontrado una fórmula para ello.

Advertencia 4.1.17

Obsérvese que en Teorema 4.1.16 estamos asumiendo que\(\textbf{B}\) pasa la prueba de cribado en todos los de\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Si ese no es el caso, por ejemplo porque el campo vectorial no está definido en todos\(\mathbb{R} ^3\text{,}\) entonces\(\textbf{B}\) puede fallar en tener un potencial de vector. Un ejemplo (la fuente puntual) se proporciona en el Ejemplo 4.4.8.

Interpretación del Gradiente

En esta sección desarrollaremos una interpretación del gradiente\(\vecs{ \nabla} f(\vecs{r} _0)\text{.}\) Esto debería ser solo una revisión de material que hayas visto antes.

Supongamos que se está moviendo por el espacio y que su posición en el momento\(t\) es\(\vecs{r} (t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)\text{.}\) A medida que avanza, mide, por ejemplo, la temperatura. Si la temperatura en posición\((x,y,z)\) es\(f(x,y,z)\text{,}\) entonces la temperatura que mides en el momento\(t\) es\(f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\text{.}\) Así que la tasa de cambio de temperatura que sientes es

\[\begin{align*} &\dfrac{d }{dt}f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\\ &\hskip0.3in =\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t),z(t)\big) \dfrac{dx}{dt}(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t),z(t)\big) \dfrac{dy}{dt}(t)\\ &\hskip1in +\frac{\partial f}{\partial z}\big(x(t),y(t),z(t)\big) \dfrac{dz}{dt}(t) \qquad \text{(by the chain rule)}\\ &\hskip0.3in=\vecs{ \nabla} f\big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\vecs{r} '(t)\\ &\hskip0.3in=\big|\vecs{ \nabla} f\big(\vecs{r} (t)\big)\big| \,\big|\vecs{r} '(t)\big|\,\cos\theta \end{align*}\]

donde\(\theta\) esta el angulo entre el vector de gradiente\(\vecs{ \nabla} f\big(\vecs{r} (t)\big)\) y el vector de velocidad\(\vecs{r} '(t)\text{.}\) Esta es la tasa de cambio por unidad de tiempo. Podemos obtener la tasa de cambio por unidad de distancia recorrida moviéndonos con la velocidad uno, para que\(\big|\vecs{r} '(t)\big|=1\) y luego

\[\begin{gather*} \dfrac{d }{dt}f\big(\vecs{r} (t)\big) =\big|\vecs{ \nabla} f\big(\vecs{r} (t)\big)\big|\,\cos\theta \end{gather*}\]

Si, en un momento dado\(t=t_0\text{,}\) estás en\(\vecs{r} (t_0)=\vecs{r} _0\text{,}\) entonces

\[\begin{gather*} \dfrac{d }{dt}f\big(\vecs{r} (t)\big)\Big|_{t=t_0} =\big|\vecs{ \nabla} f(\vecs{r} _0)\big|\,\cos\theta \end{gather*}\]

Recordemos que\(\theta\) es el ángulo entre nuestra dirección de movimiento y el vector de gradiente\(\vecs{ \nabla} f(\vecs{r} _0)\text{.}\) Así que para maximizar la tasa de cambio de temperatura que sentimos, a medida que\(\vecs{r} _0\text{,}\) pasamos por nosotros debemos elegir nuestra dirección de movimiento para que sea la dirección del vector de gradiente\(\vecs{ \nabla} f(\vecs{r} _0)\text{.}\) En conclusión

Ecuación 4.1.18

\[\begin{alignat*}{2} \vecs{ \nabla} f(\vecs{r} _0) & \text{ has direction } && \left\{ \begin{array}{l} \text{direction of maximum rate of change}\\ \text{of $f$ at $\vecs{r} _0$} \end{array}\right.\\ & \text{ has magnitude } && \left\{ \begin{array}{l} \text{magnitude of maximum rate of change} \\ \text{ (per unit distance) of $f$ at $\vecs{r} _0$} \end{array} \right. \end{alignat*}\]

Interpretación de la divergencia

En esta sección desarrollaremos una interpretación de la divergencia\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{r} _0)\) del campo vectorial\(\vecs{v} (\vecs{r} )\) en el punto\(\vecs{r} _0\text{.}\) Lo haremos en dos pasos.

• Primero expresaremos\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{r} _0)\) en términos de integrales de flujo.
• Luego usaremos la interpretación de integrales de flujo dada en Lemma 3.4.1 para obtener una interpretación de\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{r} _0)\text{.}\)

Pensar en\(\vecs{v} (x,y,z)\) como la velocidad de un fluido en\((x,y,z)\) y fijar cualquier punto\(\vecs{r} _0=(x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Dejar, para cualquier\(\varepsilon \gt 0\text{,}\)\(S_\varepsilon\) ser la esfera

• centrado en\(\vecs{r} _0\)
• de radio\(\varepsilon\text{.}\)
• Denote por\(\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\) el exterior normal a\(S_\varepsilon\) at\((x,y,z)\text{.}\)

Demostraremos, en Lema 4.1.20, a continuación, que podemos escribir\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{r} _0)\) como límite

\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (x_0,y_0,z_0) =\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\frac{4}{3}\pi\varepsilon^3} \iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S \end{gather*}\]

Una vez que tengamos ese lema podemos usar ese

• \(\frac{4}{3}\pi\varepsilon^3\)es el volumen del interior de la esfera\(S_\varepsilon\) y
• por Lemma 3.4.1,\(\iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S\) es la velocidad ¹² a la que sale el fluido\(S_\varepsilon\)

para concluir que

Ecuación 4.1.19

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{r} _0) & =\left\{ \begin{array}{l} \text{rate at which fluid is exiting an }\\ \text{infinitesimal sphere centred }\\ \text{at $\vecs{r} _0$, per unit time, per unit volume} \end{array} \right.\\ &=\text{strength of the source at $\vecs{r} _0$} \end{align*}\]

Aquí está el cómputo crítico.

Lema 4.1.20

\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (x_0,y_0,z_0) =\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\frac{4}{3}\pi\varepsilon^3} \iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S \end{gather*}\]

Prueba. (Opcional).

Aquí hay una prueba ¹³ de Lemma 4.1.20.

Al traducir nuestro sistema de coordenadas, basta con considerar\(\vecs{r} _0=(x_0,y_0,z_0) = (0,0,0)\text{.}\) Entonces

\[\begin{gather*} S_\varepsilon = \left \{(x,y,z)||(x,y,z)|=\varepsilon\right \}\qquad \hat{\textbf{n}}(x,y,z) = \frac{1}{\varepsilon}(x,y,z) \end{gather*}\]

Nos expandimos\(\vecs{v} (x,y,z)\) en una expansión Taylor en poderes de\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\text{,}\) a primer orden, con término de error de segundo orden.

\[\begin{gather*} \vecs{v} (x,y,z) = \textbf{A} + \textbf{B}\,x +\textbf{C}\,y +\textbf{D}\, z +\textbf{R}(x,y,z) \end{gather*}\]

donde

\[\begin{gather*} \textbf{A}=\vecs{v} (0,0,0) \qquad \textbf{B}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial x}(0,0,0) \qquad \textbf{C}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial y}(0,0,0) \qquad \textbf{D}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial z}(0,0,0) \end{gather*}\]

y el término de error\(\textbf{R}(x,y,z)\) está delimitado por tiempos constantes ¹⁴\(x^2+y^2+z^2\text{.}\) En particular hay una constante de\(K\) manera que, en\(S_\varepsilon\text{,}\)

\[ |\textbf{R}(x,y,z)|\le K\varepsilon^2 \nonumber \]

Entonces

\[\begin{align*} &\iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S\\ &\hskip1in= \frac{1}{\varepsilon} \iint_{S_\varepsilon}\big( \textbf{A} + \textbf{B}\,x +\textbf{C}\,y +\textbf{D}\, z +\textbf{R}(x,y,z) \big)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S \end{align*}\]

Multiplique el producto punto para que el integrando se convierta

\[\begin{alignat*}{3} &\phantom{+}\ \textbf{A}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,x &&+\ \textbf{A}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,y &&+\textbf{A}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,z\\ &+\textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,x^2 &&+\ \textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,xy &&+\textbf{B}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,xz\\ &+\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,xy &&+\ \textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,y^2 &&+\textbf{C}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,yz\\ &+\textbf{D}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,xz\ &&+\ \textbf{D}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,yz &&+\textbf{D}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,z^2\\ &+\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z) \end{alignat*}\]

Eso son muchos términos. Pero la mayoría de ellos se integran a cero, simplemente porque la integral de una función impar sobre un dominio par es cero. Porque\(S_\varepsilon\) es invariante por debajo\(x\rightarrow -x\)\(y\rightarrow -y\) y por debajo\(z\rightarrow -z\) tenemos

\[\begin{gather*} \iint_{S_\varepsilon}\!\! x\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon}\!\! y\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon}\!\! z\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon}\!\! xy\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon}\!\! xz\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon}\!\! yz\,\text{d}S =0 \end{gather*}\]

que es un alivio. Ahora nos quedamos con

\[\begin{align*} \iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S &= \frac{1}{\varepsilon} \iint_{S_\varepsilon}\big( \textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,x^2 +\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,y^2 +\textbf{D}\cdot\hat{\mathbf{k}}\, z^2 \big)\,\text{d}S\\ &\hskip1in +\frac{1}{\varepsilon} \iint_{S_\varepsilon}\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S \end{align*}\]

Así\(S_\varepsilon\) es invariante ¹⁵ bajo el intercambio de\(x\)\(y\) y también bajo el intercambio de\(x\) y\(z\text{.}\) Consecuentemente

\[\begin{align*} \iint_{S_\varepsilon} x^2\,\text{d}S &=\iint_{S_\varepsilon} y^2\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon} z^2\,\text{d}S =\frac{1}{3}\iint_{S_\varepsilon}\big[x^2+y^2+ z^2\big]\,\text{d}S\\ &=\frac{1}{3}\iint_{S_\varepsilon}\varepsilon^2\,\text{d}S \qquad\text{since $x^2+y^2+z^2=\varepsilon^2$ on } S_\varepsilon\\ &=\frac{4}{3}\pi\varepsilon^4 \end{align*}\]

ya que la superficie de la esfera\(S_\varepsilon\) es\(4\pi\varepsilon^2\text{.}\) Hasta el momento, tenemos

\[\begin{align*} &\iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S = \frac{4}{3}\pi\varepsilon^3 \big(\textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\imath}} +\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\jmath}} +\textbf{D}\cdot\hat{\mathbf{k}}\big)\\ &\hskip2in+\frac{1}{\varepsilon} \iint_{S_\varepsilon}\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S\\ &\hskip0.75in= \frac{4}{3}\pi\varepsilon^3 \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{0}) +\frac{1}{\varepsilon} \iint_{S_\varepsilon}\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S\\ &\hskip2in\text{(review the definitions of } \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}) \end{align*}\]

lo que implica

\[\begin{align*} &\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\frac{4}{3}\pi\varepsilon^3} \iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S\\ &\hskip1in= \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{0}) +\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{3}{4\pi\varepsilon^4} \iint_{S_\varepsilon}\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S \end{align*}\]

Por último, basta con recordar eso\(|\textbf{R}(x,y,z)|\le K\varepsilon^2\) y,\(S_\varepsilon\text{,}\)\(|(x,y,z)|=\varepsilon\text{,}\) sucesivamente para que

\[\begin{align*} \frac{3}{4\pi\varepsilon^4}\bigg| \iint_{S_\varepsilon}\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S \bigg| &\le \frac{3}{4\pi\varepsilon^4} \iint_{S_\varepsilon}|\textbf{R}(x,y,z)|\,|(x,y,z)|\,\text{d}S\\ &\le \frac{3}{4\pi\varepsilon^4} \iint_{S_\varepsilon}K\varepsilon^3\,\text{d}S = \frac{3}{4\pi\varepsilon^4} \ K\varepsilon^3\,\big(4\pi \varepsilon^2)\\ &= 3K\varepsilon \end{align*}\]

converge a cero como\(\varepsilon\rightarrow 0\text{.}\) Así nos quedamos con el resultado deseado.

Ejemplo 4.1.21

Aquí hay un boceto del campo vectorial\(\vecs{v} (x,y,z) = x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\) y una esfera centrada en el origen, como\(S_\varepsilon\text{.}\)

Este campo de velocidad tiene fluido siendo creado y empujado a través de la esfera. Tenemos

\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{0}) = 3 \end{gather*}\]

congruente con nuestra interpretación 4.1.19.

Ejemplo 4.1.22

Aquí hay un boceto del campo vectorial\(\vecs{v} (x,y,z) = -y\,\hat{\pmb{\imath}}+x\,\hat{\pmb{\jmath}}\) y una esfera centrada en el origen, como\(S_\varepsilon\text{.}\)

Este campo de velocidad simplemente tiene fluido dando vueltas en círculos. En realidad, ningún fluido cruza la esfera. La divergencia

\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{0}) = 0 \end{gather*}\]

congruente con nuestra interpretación 4.1.19.

Ejemplo 4.1.23

Aquí hay un boceto del campo vectorial\(\vecs{v} (x,y,z) = \hat{\pmb{\imath}}\) y una esfera centrada en el origen, como\(S_\varepsilon\text{.}\)

Este campo de velocidad solo tiene fluido moviéndose uniformemente hacia la derecha. El fluido ingresa a la esfera desde la izquierda y sale por la derecha precisamente a la misma velocidad, de manera que la velocidad neta en el fluido cruza la esfera es cero. La divergencia

\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{0}) = 0 \end{gather*}\]

nuevamente congruente con nuestra interpretación 4.1.19.

Interpretación del Curl

Ahora desarrollaremos la interpretación del rizo, o más precisamente, de\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{r} _0)\cdot\hat{\textbf{n}}\) para cualquier vector unitario\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) Como hicimos al desarrollar la interpretación de la divergencia, vamos a

• primero expresar\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{r} _0)\cdot\hat{\textbf{n}}\) como límite de integrales, y
• entonces interpretaremos las integrales.

Para especificar las integrales involucradas, deja\(C_\varepsilon\) ser el círculo que

• se centra en\(\vecs{r} _0\)
• tiene radio\(\varepsilon\)
• se encuentra en el plano a través de\(\vecs{r} _0\) perpendicular a\(\hat{\textbf{n}}\)
• se orienta de la manera estándar con respecto a\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) Imagina pararse en el círculo con los pies en el plano a través de\(\vecs{r} _0\) perpendicular a\(\hat{\textbf{n}}\text{,}\) con el vector de tus pies a tu cabeza en la misma dirección que\(\hat{\textbf{n}}\) y con tu brazo izquierdo apunte hacia\(\vecs{r} _0\text{.}\) Entonces tu eres mirando en la dirección positiva para\(C_\varepsilon\text{.}\)

Mostraremos en Lema 4.1.25, a continuación, que

\[ \vecs{ \nabla} \times v(\vecs{r} _0)\cdot \hat{\textbf{n}} =\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\pi\varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]

Ahora trabajemos en la interpretación del lado derecho, y en particular en la interpretación de la integral\(\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} \text{,}\) que se llama la circulación de\(\vecs{v} \) alrededor\(C_\varepsilon\text{.}\) Colocar una minúscula rueda de paletas en el fluido con su eje corriendo a lo largo\(\hat{\textbf{n}}\) y sus paletas a lo largo\(C_\varepsilon\text{,}\) como en la figura de abajo, salvo que

la rueda de paletas es realmente cara y tiene mucho más que solo cuatro paletas. Pretende ¹⁶ que eres una de las paletas.

• Si la rueda de paletas gira a\(\Omega\) radianes por unidad de tiempo, entonces en una unidad de tiempo barres un arco de un círculo de radio\(\varepsilon\) que subtiende un ángulo\(\Omega\text{.}\) Ese arco tiene longitud\(\Omega\varepsilon\text{.}\) Así que te estás moviendo a velocidad\(\Omega\varepsilon\text{.}\)
• Si estás en\(\vecs{r} \text{,}\) el componente de la velocidad del fluido en tu dirección de movimiento, es decir, tangencial a\(C_\varepsilon\text{,}\) es\(\vecs{v} (\vecs{r} )\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{ds}\text{,}\) porque\(\hat{\textbf{t}}=\dfrac{d\vecs{r} }{ds}\text{,}\) con\(s\) denotar la longitud del arco a lo largo del círculo, es un vector unitario tangencial a\(C_\varepsilon\text{.}\)
• Todas las paletas tienen que moverse a la misma velocidad. Por lo que la velocidad de las paletas,\(\Omega\varepsilon\text{,}\) debe ser el valor promedio de\(\vecs{v} (\vecs{r} )\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{ds}\) alrededor del círculo.

Por lo tanto, la velocidad\(\Omega\text{,}\) de rotación, de la rueda de paletas debe ser determinada por

\[\begin{align*} \Omega \varepsilon &= \frac{\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{ds}\text{d}s} {\oint_{C_\varepsilon}\text{d}s} = \frac{\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot\text{d}\vecs{r} } {2\pi\varepsilon} \end{align*}\]

En consecuencia,\(\vecs{ \nabla} \times v(\vecs{r} _0)\cdot \hat{\textbf{n}}\) es el límite como\(\varepsilon\) (el radio de la rueda de paletas) tiende a cero de

\[\begin{gather*} \frac{1}{\pi\varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} =2\Omega \end{gather*}\]

Esa es nuestra interpretación.

Ecuación 4.1.24

Si un fluido tiene campo de velocidad\(\vecs{v} \) y colocas una rueda de paletas infinitesimal\(\vecs{r} _0\) con su eje en dirección\(\vecs{n} \text{,}\), entonces gira a\(\frac{1}{2}\vecs{ \nabla} \times \vecs{v} (\vecs{r} _0)\cdot \hat{\textbf{n}}\) radianes por unidad de tiempo. En particular, para maximizar la velocidad de rotación, oriente la rueda de paletas de manera que\(\hat{\textbf{n}}\parallel\vecs{ \nabla} \times \vecs{v} (\vecs{r} _0)\text{.}\)

Habrá algunos ejemplos al final de esta sección. Primero, mostramos

Lema 4.1.25

\[ \vecs{ \nabla} \times \vecs{v} (\vecs{r} _0)\cdot \hat{\textbf{n}} =\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\pi\varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]

Prueba. (Opcional).

Aquí hay una prueba ¹⁷ de Lemma 4.1.25.

Así como lo hicimos en la prueba de Lemma 4.1.20, siempre podemos traducir nuestro sistema de coordenadas para que también\(\vecs{r} _0=(x_0,y_0,z_0) = (0,0,0)\text{.}\) podamos rotar nuestro sistema de coordenadas para que\(\hat{\textbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Porque\(\vecs{r} _0=(0,0,0)\) y\(\hat{\textbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) para que\(C_\varepsilon\) quede en el\(xy\) plano, podamos parametrizar\(C_\varepsilon\) por

\[ \vecs{r} (t) =\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

Nuevamente como lo hicimos en la prueba de Lemma 4.1.20, expandirnos\(\vecs{v} (x,y,z)\) en una expansión Taylor en poderes de\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\text{,}\) a primer orden, con término de error de segundo orden.

\[\begin{gather*} \vecs{v} (x,y,z) = \textbf{A} + \textbf{B}\,x +\textbf{C}\,y +\textbf{D}\, z +\textbf{R}(x,y,z) \end{gather*}\]

donde

\[\begin{gather*}\textbf{A}=\vecs{v} (0,0,0) \qquad \textbf{B}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial x}(0,0,0) \qquad \textbf{C}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial y}(0,0,0) \qquad \textbf{D}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial z}(0,0,0) \end{gather*}\]

y el término de error\(\textbf{R}(x,y,z)\) está delimitado por tiempos constantes\(x^2+y^2+z^2\text{.}\) En particular hay una constante\(K\) para que, en\(C_\varepsilon\text{,}\)

\[ |\textbf{R}(x,y,z)|\le K\varepsilon^2 \nonumber \]

Entonces

\[\begin{align*} &\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} \\ &\hskip0.25in=\int_0^{2\pi} \big(\textbf{A} + \textbf{B}\,\varepsilon\,\cos t +\textbf{C}\,\varepsilon\,\sin t +\textbf{R}(\vecs{r} (t))\big) \cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\ \text{d}t \end{align*}\]

Nuevamente, multiplique el producto punto para que el integrando se convierta

\[\begin{alignat*}{2} & -\varepsilon\textbf{A}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,\sin t &&+\ \varepsilon\textbf{A}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,\cos t\\ &-\varepsilon^2\textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,\sin t\cos t &&+\varepsilon^2\textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,\cos^2t\\ &-\varepsilon^2\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,\sin^2 t &&+\ \varepsilon^2\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,\sin t\cos t\\ &+\textbf{R}(\vecs{r} (t))\cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) \end{alignat*}\]

Nuevamente la mayoría de estos términos se integran a cero, porque

\[\begin{alignat*}{2} \int_0^{2\pi}\sin t\ \text{d}t &=\hskip10pt\int_0^{2\pi}\cos t\ \text{d}t &&=0\\ \int_0^{2\pi}\sin t\cos t\ \text{d}t &= \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\sin(2t)\ \text{d}t &&=0 \end{alignat*}\]

y los\(\cos^2 t\) términos\(\sin^2t\) y se integran fácilmente usando (ver Ejemplo 2.4.4)

\[ \int_0^{2\pi}\sin^2 t\ \text{d}t=\int_0^{2\pi}\cos^2 t\ \text{d}t =\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\big[\sin^2t+\cos^2 t\big]\ \text{d}t=\pi \nonumber \]

Así que nos quedamos con

\[\begin{align*} \oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} &= \pi\varepsilon^2\textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\jmath}} - \pi\varepsilon^2\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\imath}} +\int_0^{2\pi} \textbf{R}(\vecs{r} (t)) \cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\ \text{d}t \end{align*}\]

lo que implica que

\[\begin{align*} \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\pi\varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} &= \frac{\partial \vecs{v} _2}{\partial x}(0,0,0) - \frac{\partial \vecs{v} _1}{\partial y}(0,0,0)\\ &\hskip0.5in +\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\! \frac{1}{\pi\varepsilon^2} \int_0^{2\pi}\!\!\!\! \textbf{R}(\vecs{r} (t)) \cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\,\text{d}t\\ &= \big(\vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (0,0,0)\big)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &\hskip0.5in +\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\pi\varepsilon^2} \int_0^{2\pi} \textbf{R}(\vecs{r} (t)) \cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\ \text{d}t \end{align*}\]

Por último, basta recordar que\(|\textbf{R}(x,y,z)|\le K\varepsilon^2\text{,}\) para que

\[\begin{align*} \frac{1}{\pi\varepsilon^2}\bigg| \int_0^{2\pi} \textbf{R}(\vecs{r} (t)) \cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\ \text{d}t \bigg| &\le \frac{1}{\pi\varepsilon} \int_0^{2\pi}|\textbf{R}(\vecs{r} (t))|\,\text{d}t\\ &\le \frac{1}{\pi\varepsilon} \int_0^{2\pi}K\varepsilon^2\,\text{d}t\\ &= \frac{1}{\pi\varepsilon} \ K\varepsilon^2\,(2\pi)\\ &= 2K\varepsilon \end{align*}\]

converge a cero como\(\varepsilon\rightarrow 0\text{.}\)

Aquí hay algunos ejemplos. Utilizaremos los mismos campos vectoriales que en los Ejemplos 4.1.21, 4.1.22 y 4.1.23. En todos los ejemplos, orientaremos la rueda de paletas de manera que\(\hat{\textbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}\) y bosquejemos la vista superior, para que la rueda de paletas se vea como

Ejemplo 4.1.26

Aquí hay un boceto del campo vectorial\(\vecs{v} (x,y,z) = x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\) y un círculo centrado en el origen, como\(C_\varepsilon\text{.}\)

Este campo de velocidad tiene fluido que se mueve paralelo a las paletas, por lo que la rueda de paletas no debe girar en absoluto. El cómputo

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{0}) = \det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ x & y & z \end{matrix} \right] =\vecs{0} \implies \vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{0})\cdot\hat{\mathbf{k}} = 0 \end{align*}\]

es congruente con nuestra interpretación 4.1.24.

Ejemplo 4.1.27

Aquí hay un boceto del campo vectorial\(\vecs{v} (x,y,z) = -y\,\hat{\pmb{\imath}}+x\,\hat{\pmb{\jmath}}\) y un círculo centrado en el origen, como\(C_\varepsilon\text{.}\)

Este campo de velocidad tiene fluido dando vueltas en círculos, en sentido antihorario. Por lo que la rueda de paletas también debe girar en sentido antihorario. Es decir, debe tener una velocidad angular positiva. Nuestra interpretación 4.1.24 predice una velocidad angular de la mitad

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{0})\cdot\hat{\mathbf{k}} = \det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ -y & x & 0 \end{matrix} \right] \cdot\hat{\mathbf{k}} =2\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{k}} =2 \end{align*}\]

lo que en verdad es positivo ¹⁸.

Ejemplo 4.1.28

Aquí hay un boceto del campo vectorial\(\vecs{v} (x,y,z) = \hat{\pmb{\imath}}\) y un círculo centrado en el origen, como\(C_\varepsilon\text{.}\)

El fluido que empuja la paleta superior intenta hacer que la rueda de paletas gire en el sentido de las agujas del reloj. El fluido que empuja sobre la paleta inferior intenta hacer que la rueda de paletas gire en sentido contrario a las agujas del reloj, a la misma velocidad. Por lo que la rueda de paletas no debe girar en absoluto. Nuestra interpretación 4.1.24 predice una velocidad angular de

\[\begin{align*} \frac{1}{2}\cdot\vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{0})\cdot\hat{\mathbf{k}} =\frac{1}{2} \det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \cdot\hat{\mathbf{k}} =\vecs{0}\cdot\hat{\mathbf{k}} =0 \end{align*}\]

como se esperaba.

Ejercicios

Etapa 1

1 ✳

\(\vecs{F} = P\,\hat{\pmb{\imath}} + Q\,\hat{\pmb{\jmath}}\)Sea el campo vectorial bidimensional que se muestra a continuación.

1. Suponiendo que el campo vectorial en la imagen es un campo de fuerza, el trabajo realizado por el campo vectorial en una partícula que se mueve de punto\(A\) a\(B\) lo largo de la ruta dada es:
   1. Positivo
   2. Negativo
   3. Cero
   4. No hay suficiente información para determinar.
2. Qué afirmación es la más verdadera sobre la línea integral\(\int_{C_2} \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{:}\)
   1. \(\displaystyle \int_{C_2} \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \gt 0\)
   2. \(\displaystyle \int_{C_2} \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =0\)
   3. \(\displaystyle \int_{C_2} \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \lt 0\)
   4. No hay suficiente información para determinar.

      

      \(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \)en el punto\(N\) (en la imagen) es:

   1. Positivo
   2. Negativo
   3. Cero
   4. No hay suficiente información para determinar.
3. \(Q_x - P_y\)en el punto\(Q\) es:
   1. Positivo
   2. Negativo
   3. Cero
   4. No hay suficiente información para determinar.
4. Suponiendo\(\vecs{F} = P\,\hat{\pmb{\imath}} + Q\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) que cuál de las siguientes afirmaciones es correcta\(\frac{\partial P}{\partial x}\) en el punto\(D\text{?}\)
   1. \(\frac{\partial P}{\partial x}=0\)en\(D\text{.}\)
   2. \(\frac{\partial P}{\partial x} \gt 0\)en\(D\text{.}\)
   3. \(\frac{\partial P}{\partial x} \lt 0\)en\(D\text{.}\)
   4. El signo de\(\frac{\partial P}{\partial x}\) at no\(D\) puede ser determinado por la información dada.

2

\(\vecs{ \nabla} \times \vecs{F} \)Tiene que ser perpendicular a\(\vecs{F} \text{?}\)

3

Verificar las identidades vectoriales

1. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )=f\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} +\vecs{F} \cdot\vecs{ \nabla} f\)
2. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} \times\textbf{G}) =\textbf{G}\cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )- \vecs{F} \cdot(\vecs{ \nabla} \times\textbf{G})\)
3. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} ^2(fg)=f\,\vecs{ \nabla} ^2 g+2\vecs{ \nabla} f\cdot\vecs{ \nabla} g+g\,\vecs{ \nabla} ^2 f\)

Etapa 2

4

Evaluar\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \) y\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \) para cada uno de los siguientes campos vectoriales.

1. \(\displaystyle \vecs{F} =x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\)
2. \(\displaystyle \vecs{F} =xy^2\hat{\pmb{\imath}}-yz^2\hat{\pmb{\jmath}}+zx^2\hat{\mathbf{k}}\)
3. \(\vecs{F} =\frac{x\hat{\pmb{\imath}}+y\hat{\pmb{\jmath}}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)(el vector de base polar\(\hat{\bf r}\) en 2d)
4. \(\vecs{F} =\frac{-y\hat{\pmb{\imath}}+x\hat{\pmb{\jmath}}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)(el vector de base polar\(\hat{\pmb{\theta}}\) en 2d)

5 ✳

1. Calcular y simplificar\(\vecs{ \nabla} \cdot\big(\frac{\vecs{r} }{r}\big)\)\(\vecs{r} =(x,y,z)\) y\(r=|(x,y,z)|\text{.}\) expresar su respuesta en términos de\(r\text{.}\)
2. Compute\(\vecs{ \nabla} \times\big(yz\,\hat{\pmb{\imath}} + 2xz\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{xy}\,\hat{\mathbf{k}}\big)\text{.}\)

6 ✳

En lo siguiente, usamos la notación\(\vecs{r} = x\,\hat{\pmb{\imath}} + y\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)\(r = |\vecs{r} |\text{,}\) y\(k\) es algún número\(k = 0, 1, -1, 2, -2, \dots\text{.}\)

1. Encuentra el valor\(k\) para el cual

   \[ \vecs{ \nabla} (r^k) = -3\frac{\vecs{r} }{r^5} \nonumber \]

2. Encuentra el valor\(k\) para el cual

   \[ \vecs{ \nabla} \cdot (r^k\vecs{r} ) = 5r^2 \nonumber \]

3. Encuentra el valor\(k\) para el cual

   \[ \vecs{ \nabla} ^2 (r^k) = \frac{2}{r^4} \nonumber \]

7 ✳

Let\(\vecs{r} \) be the vector field\(\vecs{r} = x\,\hat{\pmb{\imath}} + y\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}}\) and let\(r\) be the function\(r = |\vecs{r} |\text{.}\) Let\(\textbf{a}\) be the constant vector\(\textbf{a} = a_1\,\hat{\pmb{\imath}} + a_2\,\hat{\pmb{\jmath}} + a_3\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Calcular y simplificar las siguientes cantidades. Las respuestas deben expresarse en términos de\(\textbf{a}\text{,}\)\(\vecs{r} \text{,}\) y Debe\(r\text{.}\) haber no\(x\)'s,\(y\)'s, o\(z\)'s en tus respuestas.

1. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{r} \)
2. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} (r^2)\)
3. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \times(\vecs{r} \times\textbf{a})\)
4. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{ \nabla} (r)\big)\)

8 ✳

Vamos

\[ \vecs{r} = x\,\hat{\pmb{\imath}} + y\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}},\qquad r = |\vecs{r} | \nonumber \]

1. Calcular\(a\) dónde\(\vecs{ \nabla} \big(\frac{1}{r}\big) =- r^a\,\vecs{r} \text{.}\)
2. Calcular\(a\) dónde\(\vecs{ \nabla} \cdot\big(r\,\vecs{r} \big) = ar\text{.}\)
3. Calcular\(a\) dónde\(\vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{ \nabla} (r^3)\big) = ar\text{.}\)

9

Encuentre, si es posible, un campo vectorial\(\textbf{A}\) que tenga\(\hat{\mathbf{k}}\) componente\(A_3=0\) y que sea un potencial vectorial para

1. \(\displaystyle \vecs{F} =(1+yz)\hat{\pmb{\imath}}+(2y+zx)\hat{\pmb{\jmath}}+(3z^2+xy)\hat{\mathbf{k}}\)
2. \(\displaystyle \textbf{G}= yz\hat{\pmb{\imath}}+zx\hat{\pmb{\jmath}}+xy\hat{\mathbf{k}}\)

Etapa 3

10 ✳

Vamos

\[\begin{gather*} \vecs{F} = \frac{-z}{x^2+z^2}\,\hat{\pmb{\imath}} +y\,\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{x}{x^2+z^2}\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]

1. Determinar el dominio de\(\vecs{F} \text{.}\)
2. Determine el rizo de\(\vecs{F} \text{.}\) Simplificar si es posible.
3. Determinar la divergencia de\(\vecs{F} \text{.}\) Simplificar si es posible.
4. ¿Es\(\vecs{F} \) conservador? Da una razón para tu respuesta.

11 ✳

Una física estudia un campo vectorial\(\vecs{F} \) en su laboratorio. Ella sabe por consideraciones teóricas que\(\vecs{F} \) deben ser de la forma\(\vecs{F} =\nabla\times\textbf{G}\text{,}\) para algún campo vectorial suave\(\textbf{G}\text{.}\) Los experimentos también muestran que\(\vecs{F} \) debe ser de la forma

\[ \vecs{F} (x,y,z)=(xz+xy)\hat{\pmb{\imath}}+\alpha(yz-xy)\hat{\pmb{\jmath}}+\beta(yz+xz)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

donde\(\alpha\) y\(\beta\) son constantes.

1. Determinar\(\alpha\) y\(\beta\text{.}\)
2. Otros experimentos muestran que\(\textbf{G}=xyz\hat{\pmb{\imath}}-xyz\hat{\pmb{\jmath}}+g(x,y,z)\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Encontrar la función desconocida\(g(x,y,z)\text{.}\)

12

Un cuerpo rígido gira a una velocidad angular de\(\Omega\) rad/s alrededor de un eje que pasa por el origen y tiene dirección\(\hat{\mathbf{a}}\text{.}\) Cuando estás parado a la cabeza de\(\hat{\mathbf{a}}\) mirar hacia el origen, la rotación es en sentido antihorario. Set\(\boldsymbol{\Omega}=\Omega\hat{\mathbf{a}}\text{.}\)

1. Demostrar que la velocidad del punto\(\vecs{r} =(x,y,z)\) en el cuerpo es\(\boldsymbol{\Omega}\times\vecs{r} \text{.}\)
2. Evaluar\(\vecs{ \nabla} \times(\boldsymbol{\Omega}\times\vecs{r} )\) y\(\vecs{ \nabla} \cdot(\boldsymbol{\Omega}\times\vecs{r} )\text{,}\) tratar\(\boldsymbol{\Omega}\) como una constante.
3. Encuentra la velocidad de los alumnos en un aula ubicada en la latitud\(49^\circ\) N debido a la rotación de la Tierra. Ignorar el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, el Sol en la Galaxia y así sucesivamente. El radio de la Tierra es de 6378 km.

13

Supongamos que el campo vectorial\(\vecs{F} \) obedece\(\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{F} =0\) en todos los\(\mathbb{R}^3\text{.}\)

\[ \vecs{r} (t)=tx\,\hat{\pmb{\imath}}+ty\,\hat{\pmb{\jmath}}+tz\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0\le t\le 1 \nonumber \]

ser una parametrización del segmento de línea desde el origen hasta\((x,y,z)\text{.}\) Definir

\[ \textbf{G}(x,y,z)=\int_0^1 t\,\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\times\frac{d\vecs{r} }{dt}(t)\,dt \nonumber \]

Demuestre que\(\vecs{ \nabla} \times \textbf{G}=\vecs{F} \) en todo\(\mathbb{R}^3\text{.}\)

1. La buena taquigrafía no sólo es más breve, sino que también ayuda a comprender “el bosque escondiendo los árboles”.
2. Pierre-Simon Laplace (1749—1827) fue un matemático y astrónomo francés. También es la ecuación de Laplace de Laplace, la transformación de Laplace y el estimador de Laplace-Bayes. Fue examinador de Napoleón cuando Napoleón asistió a la Ecole Militaire en París.
3. Para ser quisquillosos, estas son las ecuaciones de Maxwell en ausencia de un medio material y en unidades gaussianas.
4. Una consecuencia importante de las ecuaciones de Maxwell es que la radiación electromagnética, como la luz, se propaga a la velocidad de la luz.
5. James Clerk Maxwell (1831—1879) fue un físico matemático escocés. En una encuesta de destacados físicos, Maxwell fue votado como el tercer mayor físico de todos los tiempos. Sólo Newton y Einstein le ganaron.
6. Esta es realmente la única definición que tiene sentido. Por ejemplo,\(\textbf{G}\cdot(\vecs{ \nabla} \vecs{F} )\) no tiene sentido porque no se puede tomar el gradiente de una función valorada por vector.
7. \(\delta_{m,n}\)se llama la función delta de Kronecker. Lleva el nombre del teórico de números y lógico alemán Leopold Kronecker (1823—1891). Tiene fama de haber dicho “Dios hizo los enteros. Todo lo demás es obra del hombre”.
8. ¿Esto te recuerda al Teorema 2.4.8? Debería.
9. \(3\)Aquí no hay nada de especial en el subíndice. Precisamente por el mismo argumento, podríamos llegar a otro potencial vectorial cuyo segundo componente sea cero, y con un tercer potencial vectorial cuyo primer componente sea cero.

10. Por supuesto, también podríamos elegir\(A_1=0\) o\(A_2=0\text{.}\)

11. Si los\(z\)'s no hubieran cancelado, no\(N(x,y)\) y\(M(x,y)\text{,}\) que después de todo son independientes de\(z\text{,}\) podría satisfacer la ecuación. Eso hubiera sido una señal segura de un error de usuario.

12. Lema 3.4.1 se está aplicando con la densidad\(\rho\) establecida igual a uno, por lo que, más precisamente, la tasa es el número de unidades de volumen de fluido que salen\(S_\varepsilon\) por unidad de tiempo.

13. Hay otra prueba, más fácil de entender, de este resultado dada en §4.4.1. Aquí no podemos dar esa prueba porque utiliza el teorema de la divergencia, al que llegaremos más adelante en el capítulo.

14. Términos como\(xy\text{,}\)\(xz\) y no\(yz\) son necesarios porque, por ejemplo,\(|xy|\le \frac{1}{2}(x^2+y^2)\text{.}\) esta desigualdad equivale a\(\big(|x|-|y|\big)^2\ge 0\text{.}\)
15. ¡Las esferas tienen mucha simetría!
16. El método de actuación podría ayudarte aquí.
17. Hay otra prueba, más fácil de entender, de este resultado dada en §4.4.1. Aquí no podemos dar esa prueba porque utiliza el teorema de Stokes, al que llegaremos más adelante en el capítulo.
18. Incluso para valores pequeños de\(2\text{.}\)