4.2: El teorema de la divergencia

El resto de este capítulo se refiere a tres teoremas: el teorema de la divergencia, el teorema de Green y el teorema de Stokes. Superficialmente, se ven bastante diferentes entre sí. Pero, de hecho, todos están muy estrechamente relacionados y las tres son generalizaciones del teorema fundamental del cálculo

\[ \int_a^b \dfrac{df}{dt}(t)\ \text{d}t = f(b) -f(a) \nonumber \]

El lado izquierdo del teorema fundamental del cálculo es la integral de la derivada de una función. El lado derecho involucra solo valores de la función en el límite del dominio de integración. El teorema de la divergencia, el teorema de Green y el teorema de Stokes también tienen esta forma, pero las integrales están en más de una dimensión. Entonces las derivadas son multidimensionales, como el curl y la divergencia, y los integrands pueden involucrar campos vectoriales.

• Para el teorema de divergencia, la integral en el lado izquierdo está sobre un volumen (tridimensional) y el lado derecho es una integral sobre el límite del volumen, que es una superficie.
• Para los teoremas de Green y Stokes, la integral en el lado izquierdo está sobre una superficie (bidimensional) y el lado derecho es una integral sobre el límite de la superficie, que es una curva.

El teorema de divergencia va a relacionar una integral de volumen sobre un sólido\(V\) con una integral de flujo sobre la superficie de\(V\text{.}\) Primero necesitamos un par de definiciones relativas a las superficies permitidas. En muchas aplicaciones los sólidos, por ejemplo los cubos, tienen esquinas y aristas donde no se define el vector normal. Por otro lado, para poder calcular una integral de flujo sobre una superficie, ciertamente necesitamos que el conjunto de puntos donde el vector normal no esté bien definido sea lo suficientemente pequeño como para que no se ponga en peligro la existencia de la integral de flujo. Este es el caso de las superficies “lisas por partes”, que ahora definimos.

Definición 4.2.1

1. Una superficie es lisa si tiene una parametrización\(\vecs{r} (u,v)\) con derivadas parciales continuas\(\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}\) y\(\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}\) y con distinta de\(\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}\times\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}\) cero.
2. Una superficie es lisa por partes si consiste en un número finito de piezas lisas que se encuentran a lo largo de curvas agudas y en esquinas afiladas.

Aquí hay bocetos de una superficie lisa (una salchicha) y una superficie lisa por trozos (un cono de helado), seguidos del teorema de divergencia ¹.

Teorema 4.2.2. Teorema de Divergencia

Let

• \(V\)ser un sólido acotado con una superficie lisa por piezas ²\(\partial V\)
• \(\vecs{F} \)ser un campo vectorial que tiene primeras derivadas parciales continuas en cada punto de\(V\text{.}\)

Entonces

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V \end{align*}\]

donde\(\hat{\textbf{n}}\) es la unidad externa normal de\(\partial V\text{.}\)

Al igual que el teorema fundamental del cálculo, el teorema de divergencia expresa la integral de una derivada de una función (en este caso una función valorada por vector) sobre una región en términos de los valores de la función en el límite de la región.

Advertencia 4.2.3

Obsérvese que en el Teorema 4.2.2 estamos asumiendo que el campo vectorial\(\vecs{F} \) tiene continuas primeras derivadas parciales en cada punto de\(V\text{.}\) Si ese no es el caso, por ejemplo porque no\(\vecs{F} \) está definido en todos\(V\text{,}\) entonces la conclusión del teorema de divergencia puede fallar. Un ejemplo es\(\vecs{F} = \frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |^3}\text{,}\)\(V=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le 1\right \} \text{.}\) Ver Ejemplo 4.2.7.

Prueba

Tenemos que demostrar que

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} \Big( \vecs{F} _1\,\hat{\pmb{\imath}} + \vecs{F} _2\,\hat{\pmb{\jmath}} + \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}}\Big) \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\Big( \frac{\,\partial \vecs{F} _1}{\partial x} +\frac{\partial \vecs{F} _2}{\partial y} +\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\Big) \ \text{d}V \end{align*}\]

Tenga en cuenta que el lado izquierdo es una suma de tres términos, uno que involucra\(\vecs{F} _1\text{,}\) uno que involucra\(\vecs{F} _2\) y otro que involucra\(\vecs{F} _3\), y el lado derecho es una suma de tres términos, uno que involucra a\(\vecs{F} _1\text{,}\) uno que involucra\(\vecs{F} _2\) y otro que involucra Solo\(\vecs{F} _3\text{.}\) mostraremos que los\(\vecs{F} _3\) términos en el lado izquierdo y el lado derecho son iguales, es decir, que

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V \frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z} \ \text{d}V \end{align*}\]

Mostrando que los\(\vecs{F} _1\) términos coinciden y los\(\vecs{F} _2\) términos coinciden se hace de la misma manera ³.

Geometría Especial

Primero asumiremos que el sólido tiene la forma especial

\[ V = \left \{(x,y,z)| B(x,y)\le z\le T(x,y),\ \ (x,y)\in R_{xy}\right \} \nonumber \]

donde\(R_{x,y}\) hay algún subconjunto del\(xy\) plano -. Podemos asumir además que, para cada uno que\((x,y) \in R_{xy}\text{,}\) tengamos\(B(x,y)\le T(x,y)\text{.}\) Después de que hayamos terminado con este caso especial, nos encargaremos del caso general.

Vamos a trabajar\(\iint_{\partial V} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) primero. Al igual que en la figura siguiente,

la superficie\(\partial V\) consta de tres piezas: la parte superior, la inferior y la lateral. Consideraremos cada uno a su vez.

• La parte superior es\(\mathcal{T}=\left \{(x,y,z)| z= T(x,y),\ \ (x,y)\in R_{xy}\right \}\text{.}\) Por 3.3.2, en\(\mathcal{T}\)

  \[ \hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = +\big[-T_x(x,y)\,\hat{\pmb{\imath}} - T_y(x,y)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}\big]\ \text{d}x\text{d}y \nonumber \]

  Como\(\hat{\textbf{n}}\) es para ser la normal exterior, debe apuntar hacia arriba sobre Por\(\mathcal{T}\text{.}\) eso hemos elegido, y enfatizado, el signo “\(+\)”. Entonces\(\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = \text{d}x\text{d}y\) y

  \[ \iint_{\mathcal{T}} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\iint_{R_{xy}} \vecs{F} _3(x,y,T(x,y))\,\text{d}x\text{d}y \nonumber \]

• La parte inferior es\(\mathcal{B}=\left \{(x,y,z)| z= B(x,y),\ \ (x,y)\in R_{xy}\right \}\text{.}\) Por 3.3.2, en\(\mathcal{B}\)

  \[ \hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = -\big[-B_x(x,y)\,\hat{\pmb{\imath}} - B_y(x,y)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}\big]\ \text{d}x\text{d}y \nonumber \]

  Como\(\hat{\textbf{n}}\) es para ser la normal exterior, debe apuntar hacia abajo sobre Por\(\mathcal{B}\text{.}\) eso hemos elegido el signo “\(-\)”. Entonces\(\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = -\text{d}x\text{d}y\) y

  \[ \iint_{\mathcal{B}} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =-\iint_{R_{xy}} \vecs{F} _3(x,y,B(x,y))\,\text{d}x\text{d}y \nonumber \]

• El lado\(\mathcal{S}=\left \{(x,y,z)|(x,y)\in\partial R_{xy},\ B(x,y)\le z\le T(x,y)\right \}\text{.}\) es Corre verticalmente. Por lo tanto, en\(\mathcal{S}\) el vector normal a\(\partial V\) es paralelo al\(xy\) plano -para que\(\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\textbf{n}}=0\) y

  \[ \iint_{\mathcal{S}} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = 0 \nonumber \]

Así que todos juntos

\[\begin{align*} &\iint_{\partial V}\!\! \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\!\iint_{\mathcal{T}}\! \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \!+\!\iint_{\mathcal{B}}\! \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \!+\!\iint_{\mathcal{S}}\! \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \notag\\ &\hskip0.5in=\iint_{R_{xy}} \big[\vecs{F} _3(x,y,T(x,y)) -\vecs{F} _3(x,y,B(x,y))\big]\,\text{d}x\text{d}y +0 \tag{$\partial V$} \end{align*}\]

Ahora examinemos

\[\begin{align*} \iiint_V\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\ \text{d}V &=\iint_{R_{xy}}\text{d}x\text{d}y\int_{B(x,y)}^{T(x,y)}\text{d}z\ \frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}(x,y,z) \notag\\ &=\iint_{R_{xy}} \big[\vecs{F} _3(x,y,T(x,y)) -\vecs{F} _3(x,y,B(x,y))\big]\,\text{d}x\text{d}y \tag{$V$} \end{align*}\]

por el teorema fundamental del cálculo. Eso es exactamente lo que teníamos que mostrar. Las integrales (\(\partial V\)) y (\(V\)) son iguales.

Geometría General

Ahora dejaremos caer la suposición sobre\(V\) eso que impusimos en la sección “Geometría Especial” anterior. La idea clave que hace que la prueba funcione es que podemos cortar cualquier ⁴\(V\) en pedazos, cada uno de los cuales sí obedece la suposición especial que acabamos de considerar. Consideremos, por ejemplo, la salchicha en forma sólida en la figura de abajo a la izquierda.

Llamar a la salchicha\(V\text{.}\) Córtala en dos mitades pasando una navaja horizontalmente por su centro. Esto divide el sólido\(V\) en dos mitades,\(V_1\) y\(V_2\) como en la figura de arriba a la derecha. También divide el límite\(\partial V\) de\(V\) en dos mitades\(S_1\) y\(S_2\text{,}\) también como en la figura de la derecha arriba. Tenga en cuenta que

• el límite,\(\partial V_1\text{,}\) de\(V_1\) es la unión de\(S_1\) y el disco sombreado\(S_c\) (el corte introducido por la navaja). En el corte\(S_c\text{,}\) el hacia afuera apuntando normal a\(V_1\) es\(-\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)
• El límite,\(\partial V_2\text{,}\) de\(V_2\) es la unión de\(S_2\) y el disco sombreado\(S_c\text{.}\) En el corte\(S_c\text{,}\) el hacia afuera apuntando normal a\(V_2\) es\(+\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

  Ahora ambos\(V_1\) y\(V_2\) sí satisfacen el supuesto de la sección “Geometría Especial” anterior. Entonces

  \[\begin{align*} &\iiint_V\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\ \text{d}V = \iiint_{V_1}\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\ \text{d}V +\iiint_{V_2}\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\ \text{d}V\\ &\hskip0.5in=\iint_{\partial V_1} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{\partial V_2} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\\ &\hskip0.5in=\iint_{S_1} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{S_c\downarrow} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{S_2} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\\ &\hskip1.5in +\iint_{S_c\uparrow} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

  Aquí\(S_c\downarrow\) está la superficie\(S_c\) con vector normal\(-\hat{\mathbf{k}}\) y\(S_c\uparrow\) es la superficie\(S_c\) con vector normal\(-\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Así que la segunda y cuarta integrales son idénticas excepto que\(\hat{\textbf{n}}=-\hat{\mathbf{k}}\) en la segunda integral y\(\hat{\textbf{n}}=+\hat{\mathbf{k}}\) en la cuarta integral. Entonces cancelan exactamente y

  \[\begin{align*} \iiint_V\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\ \text{d}V &=\iint_{S_1} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{S_2} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\iint_{\partial V} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

  según se desee.

Ejemplo 4.2.4

Evaluar la integral de flujo\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) donde\(\hat{\textbf{n}}\) está la normal hacia afuera a la\(S\text{,}\) que está la superficie de la región hemisférica

\[ V=\left \{(x,y,z|x^2+y^2+z^2\le a^2,\ z\ge 0\right \} \nonumber \]

y

\[ \vecs{F} = xz^2\,\hat{\pmb{\imath}} + (x^2y-z^3)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \big(2xy + y^2 z +e^{\cos y}\big)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Solución

El\(e^{\cos y}\) in\(\vecs{F} \) sugiere que una evaluación directa de la integral es difícil. Entonces usaremos un poco de engaños para evaluarlo. No es sorprendente, considerando que acabamos de probar el teorema de la divergencia, el truco es aplicar el teorema de divergencia ⁵. Desde

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} &= \frac{\partial \vecs{F} _1}{\partial x} +\frac{\partial \vecs{F} _2}{\partial y} +\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\\ &=\frac{\partial }{\partial x}\big(xz^2\big) +\frac{\partial }{\partial y}\big(x^2y-z^3\big) +\frac{\partial }{\partial z}\big(2xy + y^2 z +e^{\cos y}\big)\\ &= z^2 + x^2 +y^2 \end{align*}\]

El teorema de la divergencia nos dice que

\[\begin{align*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\big(x^2+y^2+z^2\big)\ \text{d}V \end{align*}\]

Las coordenadas esféricas son perfectas para esta integral. (Consulte el Apéndice A.6.3, si necesita refrescar su memoria).

\[\begin{align*} \iiint_V\big(x^2+y^2+z^2\big)\ \text{d}V &=\int_0^{2\pi}\text{d}\theta\int_0^{\frac{\pi}{2}}\text{d}\varphi \int_0^a \text{d}\rho\,\rho^2\sin\varphi\ \rho^2\\ &=\bigg[\int_0^{2\pi}\text{d}\theta\bigg] \bigg[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\varphi\,\text{d}\varphi\bigg] \bigg[\int_0^{a}\rho^4\,\text{d}\rho\bigg]\\ &=\big[2\pi\big]\Big[-\cos\varphi\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{\rho^5}{5}\right]_0^a\\ &=\frac{2\pi a^5}{5} \end{align*}\]

Ejemplo 4.2.5

Evaluar la integral de flujo\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) donde\(\hat{\textbf{n}}\) esta la normal hacia afuera a la\(S\text{,}\) que es la parte de la superficie\(z^2=x^2+y^2\) con\(1\le z\le 2\text{,}\) y donde

\[ \vecs{F} = 3x\,\hat{\pmb{\imath}} + (5y+e^{\cos x})\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Solución

Nuevamente el\(e^{\cos x}\) in\(\vecs{F} \) sugiere que una evaluación directa es difícil ⁶ y nuevamente aplicaremos el teorema de la divergencia. Pero esta vez no\(S\) es el límite de un sólido\(V\text{.}\) Es la porción del cono perfilada en rojo en la figura de abajo a la izquierda y no tiene una “tapa” superior o inferior.

Afortunadamente, hay un sólido\(V\) cuyo límite, aunque no ser igual a al\(S\text{,}\) menos contiene\(S\text{.}\) Es (como era de esperar)

\[ V = \left \{(x,y,z)|x^2+y^2\le z^2,\ \ 1\le z\le 2\right \} \nonumber \]

y se esboza en la figura de arriba a la derecha. El límite,\(\partial V\text{,}\) es la unión de\(S\) y los dos discos

\[\begin{align*} D_1 &= \left \{(x,y,z)|x^2+y^2\le z^2,\ \ z=1\right \}\\ D_2 &= \left \{(x,y,z)|x^2+y^2\le z^2,\ \ z=2\right \} \end{align*}\]

Así que el teorema de la divergencia da

\[\begin{align*} \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V &= \iint_{\partial V} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\\ &= \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{D_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

lo que implica

\[\begin{align*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &= \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V -\iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S -\iint_{D_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

El punto de este ejercicio es que el lado izquierdo, que no es fácil de evaluar directamente, es la integral que queremos, mientras que las tres integrales del lado derecho son todas fáciles de evaluar. Lo hacemos ahora. La normal hacia afuera a (el disco horizontal)\(D_2\) es\(+\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) tan

\[\begin{align*} \iint_{D_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iint_{D_2} \vecs{F} \cdot\hat{\mathbf{k}}\,\text{d}S =\iint_{D_2} z\,\text{d}S \end{align*}\]

Como\(z=2\) encendido\(D_2\text{,}\) y\(D_2\) es un disco de radio\(2\text{,}\)

\[ \iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =2\text{Area}(D_2) =2\pi 2^2 = 8\pi \nonumber \]

Del mismo modo, la normal hacia afuera a (el disco horizontal)\(D_1\) es\(-\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) tan

\[\begin{align*} \iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=-\iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\mathbf{k}}\,\text{d}S =-\iint_{D_1} z\,\text{d}S \end{align*}\]

Como\(z=1\) encendido\(D_1\text{,}\) y\(D_1\) es un disco de radio\(1\text{,}\)

\[ \iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\text{Area}(D_1) =-\pi 1^2 = -\pi \nonumber \]

Por último, como\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = 3+5+1 = 9\)

\[\begin{gather*} \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V =9\,\text{Vol}(V) \end{gather*}\]

El volumen de se\(V\) puede calcular fácilmente usando la técnica del primer año ⁷ de rebanar\(V\) en tortitas horizontales delgadas como la que se esboza en la figura a continuación.

El panqueque a la altura\(z\) tiene

• espesor\(\text{d}z\text{,}\)
• una sección transversal circular de radio\(z\) (recuerde que el límite exterior de\(V\) tiene ecuación\(x^2+y^2=z^2\)), y por lo tanto tiene
• área de sección transversal\(\pi z^2\) y
• volumen\(\pi z^2\,\text{d}z\text{.}\)

Entonces

\[\begin{gather*} \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V =9\,\text{Vol}(V) =9\int_1^2 \pi z^2\,\text{d}z =9\left[\frac{\pi z^3}{3}\right]_1^2 =9\times \pi\frac{7}{3} =21\pi \end{gather*}\]

y, todos juntos

\[\begin{align*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &= \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V -\iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S -\iint_{D_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\\ &= 21\pi - (-\pi) -8\pi =14\pi \end{align*}\]

Ejemplo 4.2.6

Evaluar la integral de flujo\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) donde\(\hat{\textbf{n}}\) está la normal ascendente a la\(S\text{,}\) que es la parte de\(z={\big(x^2+y^2\big)}^2\) con\(0\le z\le 1\text{,}\) y

\[ \vecs{F} = \big(x+e^{y^2}\big)\,\hat{\pmb{\imath}} + (y+\cos z)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Solución

Esta integral se puede evaluar de la misma manera que evaluamos la integral del Ejemplo 4.2.6. Primero definimos un sólido\(V\) cuyo límite\(\partial V\) contiene\(S\text{.}\) Una buena, y ojalá obvia, la elección es

\[\begin{gather*} V = \left \{(x,y,z)|{\big(x^2+y^2\big)}^2\le z,\ \ 0\le z\le 1 \right \} \end{gather*}\]

El límite de\(V\) es la unión de\(S\text{,}\) con normal que apunta hacia afuera\(-\vecs{n} \) (recuerde que el problema especifica que el símbolo\(\hat{\textbf{n}}\) se refiere a la normal que apunta hacia arriba) y el disco

\[ D = \left \{(x,y,z)|z= 1,\ \ {\big(x^2+y^2\big)}^2\le 1\right \} \nonumber \]

con normal apuntando hacia afuera\(\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

Así que el teorema de la divergencia da

\[\begin{gather*} \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V = -\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{D} \vecs{F} \cdot\hat{\mathbf{k}}\,\text{d}S \end{gather*}\]

lo que implica

\[\begin{align*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &= -\iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V +\iint_{D} \vecs{F} \cdot\hat{\mathbf{k}}\,\text{d}S\\ &= -\iiint_V 2\ \text{d}V +\iint_{D} \text{d}S \end{align*}\]

\(D\)es un disco circular de radio\(1\text{,}\) y así tiene área\(\pi\text{.}\) Para evaluar el volumen integral cortamos\(V\) en panqueques horizontales con el panqueque a altura\(z\) teniendo una sección transversal circular de radio\(z^{\frac{1}{4}}\text{.}\) (Recordemos que el límite de\(V\) tiene\({\big(x^2+y^2\big)}^2 = z\text{.}\)) Así

\[\begin{align*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &= -2\int_0^1\pi \sqrt{z}\ \text{d}z +\pi =-2\pi\times\frac{2}{3} +\pi =-\frac{\pi}{3} \end{align*}\]

Nuevamente, se puede ver que la integración real es bastante fácil. Todo el trabajo (o al menos todo el pensamiento) sucede en la configuración.

Ejemplo 4.2.7

En Advertencia 4.2.3 enfatizamos que la conclusión del Teorema de divergencia 4.2.2 puede fallar si el campo vectorial no\(\vecs{F} \) está definido ni siquiera en un solo punto de\(V\text{.}\) Aquí hay un ejemplo. Set

\[ \vecs{F} = \frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |^3} \qquad\text{where } \vecs{r} =x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}} +z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

y\(V=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le 1\right \}\text{.}\) Entonces, si\((x,y,z)\ne\vecs{0}\text{,}\)

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} (x,y,z) &=\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{3/2}} +\frac{\partial }{\partial y}\frac{y}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}\\ &\hskip1in+\frac{\partial }{\partial z}\frac{z}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}\\ &=\frac{\big[x^2+y^2+z^2\big]-x\frac{3}{2}(2x)}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{5/2}} +\frac{\big[x^2+y^2+z^2\big]-y\frac{3}{2}(2y)}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{5/2}}\\ &+\frac{\big[x^2+y^2+z^2\big]-z\frac{3}{2}(2z)}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{5/2}}\\ &=0 \end{align*}\]

Por otro lado, el límite de\(V\) es la esfera\(\partial V = \left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2 = 1\right \}\text{.}\) unitaria La unidad exterior normal a\(\partial V\) es de\(\hat{\textbf{n}} = \frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |}\) tal manera que

\[\begin{align*} \int_{\partial V}\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S &=\int_{|\vecs{r} |=1} \frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |^3}\cdot \frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |}\ \text{d}S =\int_{|\vecs{r} |=1} \frac{1}{|\vecs{r} |^2}\ \text{d}S =\int_{|\vecs{r} |=1}\text{d}S\\ &=4\pi\ne 0 \end{align*}\]

Opcional — Una Aplicación del Teorema de Divergencia — la Ecuación de Calor

Derivación de la ecuación de calor

Dejar\(T(x,y,z,t)\) ser la temperatura en el\(t\) momento en el punto\((x,y,z)\) en algún objeto\(\mathcal{B}\text{.}\) La ecuación de calor ⁸ es la ecuación diferencial parcial que describe el flujo de energía térmica y consecuentemente el comportamiento de Ahora\(T\text{.}\) usamos el teorema de divergencia para derivar el ecuación de calor a partir de dos “leyes” físicas, que suponemos son válidas:

• La cantidad de energía térmica requerida para elevar la temperatura de un objeto en\(\Delta T\) grados es\(CM\,\Delta T\) donde,\(M\) es la masa del objeto y\(C\) es una constante física positiva determinada por el material contenido en el objeto. Se llama el calor específico, o capacidad calorífica específica ⁹, del objeto.
• Piense en la energía térmica como un fluido en movimiento. Agitaremos su campo de velocidad para que el calor fluya en la dirección opuesta al gradiente de temperatura. Precisamente, elegimos su campo de velocidad para ser\(-\kappa\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t)\text{.}\) Aquí\(\kappa\) hay otra constante física positiva llamada la conductividad térmica del objeto. Por lo que la velocidad a la que se conduce el calor a través de un elemento de área superficial\(\text{d}S\)\((x,y,z)\) en la dirección de su unidad normal\(\hat{\textbf{n}}\) viene dada por\(-\kappa\hat{\textbf{n}}\cdot\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t)\,\text{d}S\) en el tiempo\(t\text{.}\) (Ver Lemma 3.4.1.) Por ejemplo, en la figura

  

  el gradiente de temperatura, que apunta en la dirección de aumentar la temperatura, es opuesto\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) Consecuentemente el caudal\(-\kappa\hat{\textbf{n}}\cdot\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t)\,\text{d}S\) es positivo, lo que indica flujo en la dirección de\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) Esto es justo lo que esperarías — el calor fluye de regiones calientes a regiones frías. También la tasa de flujo aumenta a medida que aumenta la magnitud del gradiente de temperatura. Esto también tiene sentido (y es una reminiscencia de la ley del enfriamiento de Newton).

Dejar\(V\subset\mathcal{B}\) ser cualquier región tridimensional en el objeto y denotar por\(\partial V\) la superficie de\(V\) y por\(\hat{\textbf{n}}\) el exterior normal a\(\partial V\text{.}\) La cantidad de calor que entra a\(V\) través de una pieza infinitesimal\(\text{d}S\) de\(\partial V\) en un intervalo de tiempo infinitesimal\(\text{d}t\) es\(-\big(-\kappa\hat{\textbf{n}}\cdot\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t)\,\text{d}S\big)\,\text{d}t\text{.}\) La cantidad de calor que entra\(V\) a través de todo\(\partial V\) en el intervalo de tiempo\(\text{d}t\) viene dada por la integral

\[ \iint_{\partial V} \kappa\hat{\textbf{n}}\cdot\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t)\,\text{d}S\,\text{d}t \nonumber \]

En este mismo intervalo de tiempo, la temperatura\((x,y,z)\) en un punto en\(V\) cambios por\(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\text{d}t\text{.}\) Si la densidad del objeto en\((x,y,z)\) es\(\rho(x,y,z)\text{,}\) la cantidad de energía térmica requerida para aumentar la temperatura de un volumen infinitesimal\(\text{d}V\) del objeto centrado en\((x,y,z)\) por \(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\text{d}t\)es\(C(\rho\text{d}V)\,\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\text{d}t\text{.}\) La cantidad de energía térmica requerida para aumentar la temperatura\(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\text{d}t\) en todos los puntos\((x,y,z)\) en\(V\) es entonces

\[ \iiint_V C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\text{d}V\,\text{d}t \nonumber \]

Suponiendo que el objeto no esté generando o destruyendo ¹⁰ calor en sí mismo, esto debe ser lo mismo que la cantidad de calor que ingresó\(V\) en el intervalo de tiempo\(\text{d}t\text{.}\) Eso es

\[ \iint_{\partial V} \kappa\hat{\textbf{n}}\cdot\vecs{ \nabla} T\,\text{d}S\,\text{d}t =\iiint_V C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\,\text{d}V\,\text{d}t \nonumber \]

Ahora cancelamos el factor común de\(\text{d}t\text{.}\) Podemos entonces reescribir el lado izquierdo como una integral sobre\(V\) aplicando el teorema de divergencia dando

\[ \iiint_{V} \kappa\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} T\,\text{d}V =\iiint_V C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\,\text{d}V \nonumber \]

Como ambas integrales están sobre el mismo volumen\(V\text{,}\) que tenemos

\[\begin{align*} &\iiint_{V} \kappa\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} T\,\text{d}V -\iiint_V C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\,\text{d}V =0\\ &\hskip1in\implies \iiint_{V} \left[\kappa\vecs{ \nabla} ^2 T -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\right]\,\text{d}V=0 \tag{H} \end{align*}\]

donde\(\vecs{ \nabla} ^2=\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} =\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}\) está el Laplaciano. Esto debe ser cierto para todos los volúmenes\(V\) en el objeto y para todos los tiempos\(t\text{.}\) Afirmamos que esto obliga

\[ \kappa\vecs{ \nabla} ^2 T(x,y,z,t)-C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)=0 \nonumber \]

para todos\((x,y,z)\) en el objeto y todos\(t\text{.}\)

Supongamos que por el contrario hubo un punto\((x_0,y_0,z_0)\) en el objeto y un tiempo\(t_0\) con,\(\kappa\vecs{ \nabla} ^2 T(x_0,y_0,z_0,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x_0,y_0,z_0,t_0) \gt 0\text{.}\) por ejemplo, Por continuidad, que estamos suponiendo,\(\kappa\vecs{ \nabla} ^2 T(x,y,z,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t_0)\) debe permanecer cerca de\(\kappa\vecs{ \nabla} ^2 T(x_0,y_0,z_0,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\) cuando\((x,y,z)\) está cerca de\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Así tendríamos

\[ \kappa\vecs{ \nabla} ^2 T(x,y,z,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t_0) \gt 0 \nonumber \]

para todos\((x,y,z)\) en alguna pequeña bola\(B\) centrada en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Entonces, necesariamente,

\[ \iiint_{B} \Big[\kappa\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t_0)\Big]\,\text{d}V \gt 0 \nonumber \]

que viola (H) para\(V=B\text{.}\) Esto completa nuestra derivación de la ecuación de calor, que es

Ecuación 4.2.8

\[ \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t) =\alpha \vecs{ \nabla} ^2 T(x,y,z,t) \nonumber \]

donde\(\alpha=\frac{\kappa}{C\rho}\) se llama la difusividad térmica.

Una aplicación de la ecuación de calor

Como aplicación, observamos la temperatura a corta distancia por debajo de la superficie de la Tierra. Por simplicidad, hacemos la Tierra plana ¹¹ y asumimos que la temperatura,\(T\text{,}\) depende sólo del tiempo,\(t\text{,}\) y la coordenada vertical,\(z\text{.}\) Entonces la ecuación de calor simplifica a

\[ \frac{\partial T}{\partial t}(z,t) =\alpha \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}(z,t) \tag{HE} \nonumber \]

Elegimos un sistema de coordenadas que tenga la superficie de la Tierra en\(z=0\) y que tenga un\(z\) aumento hacia abajo. También asumimos que la temperatura\(T(0,t)\) en la superficie de la Tierra está determinada principalmente por el calentamiento solar y viene dada por

\[ T(0,t)=T_0+T_A\cos(\sigma t)+T_D\cos(\delta t) \tag{BC} \nonumber \]

Aquí\(T_0\) está el promedio a largo plazo de la temperatura en la superficie de la Tierra,\(T_A\cos(\sigma t)\) da variaciones estacionales de temperatura y\(T_D\cos(\delta t)\) da variaciones de temperatura diarias.

Medimos el tiempo en días para que\(\delta =2\pi\) y\(\sigma =\frac{2\pi}{1\ {\rm year}}=\frac{2\pi}{365{\rm days}}\text{.}\) Luego\(T_A\cos(\sigma t)\) tenga periodo de un año y\(T_D\cos(\delta t)\) tiene periodo de un día. La solución al problema de valor inicial (HE) + (BC) se puede encontrar por separación de variables, un tema estándar en cursos sobre ecuaciones diferenciales parciales. La solución es

\[\begin{align*} T(z,t)&=T_0 +T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z\Big)\\ &\hskip1in+T_De^{-\sqrt{\delta \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\delta t-\sqrt{\frac{\delta }{2\alpha}}\ z\Big) \tag{SLN} \end{align*}\]

Ya sea que pueda o no encontrar esta solución, puede y debe verificar que (SLN) satisfaga tanto (HE) como (BC).

Ahora veamos qué podemos aprender de la solución (SLN). Para cualquier fijo\(z\text{,}\) el promedio de tiempo de\(T(z,t)\) es\(T_0\) (solo porque el valor promedio si coseno es cero), lo mismo\(z=0\text{.}\) que la temperatura promedio en la superficie Es decir, bajo las hipótesis que hemos hecho, la temperatura promedio a largo plazo a cualquier profundidad\(z\) es la misma que la temperatura promedio a largo plazo en la superficie.

El término\(T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z\Big)\)

• oscila en el tiempo con un periodo de un año, al igual que\(T_A\cos(\sigma t)\)
• tiene una amplitud\(T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z}\) que está\(T_A\) en la superficie y disminuye exponencialmente a medida que\(z\) aumenta. Aumentar la profundidad\(z\) por una distancia\(\sqrt{\frac{2\alpha}{\sigma}}\) hace que la amplitud de la oscilación disminuya en un factor de\(\frac{1}{e}\text{.}\) Ambos de estos dos primeros puntos son probablemente muy consistentes con tu intuición. Pero este término también tiene una tercera propiedad que tal vez encuentres menos obvia. Cuenta con
• tiene un lapso de tiempo de\(\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}}\) con respecto a\(T_A\cos(\sigma t)\text{.}\) El término de superficie\(T_A\cos(\sigma t)\) toma su valor máximo cuando\(t=0,\ \frac{2\pi}{\sigma},\ \frac{4\pi}{\sigma},\ \cdots\text{.}\) A profundidad\(z\text{,}\) el término correspondiente\(T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z\Big)\) toma su valor máximo cuando es\(\ \sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z =0,\ 2\pi, 4\pi,\ \cdots\) así que\(t=\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}},\ \frac{2\pi}{\sigma}+\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}}, \ \frac{4\pi}{\sigma}+\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}},\ \cdots\text{.}\)

Del mismo modo, el término\(T_De^{-\sqrt{\delta \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\delta t-\sqrt{\frac{\delta }{2\alpha}}\ z\Big)\)

• oscila en el tiempo con un periodo de un día, al igual que\(T_D\cos(\delta t)\)
• tiene una amplitud que está\(T_D\) en la superficie y disminuye por un factor de\(\frac{1}{e}\) por cada\(\sqrt{\frac{2\alpha}{\delta}}\) incremento de profundidad.
• tiene un retraso de tiempo\(\frac{z}{\sqrt{2\alpha\delta}}\) con respecto a\(T_D\cos(\delta t)\text{.}\)

Para el agua\(\alpha\) es aproximadamente\(0.012\)\(^2\) m/día. Esto\(\alpha\) da

\[ \sqrt{\frac{2\alpha}{\sigma}}\approx 1.2\,{\rm m}\quad \sqrt{\frac{2\alpha}{\delta}}\approx 0.062\,{\rm m} \quad \frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}}\approx 49\, z\,{\rm days} \quad \frac{z}{\sqrt{2\alpha\delta}}\approx 2.6\, z\,{\rm days} \nonumber \]

para\(z\) medido en centímetros. Entonces a una profundidad de un par de metros, la temperatura es bastante constante en el tiempo. Qué variación hay retarda las variaciones superficiales por varios meses.

Variaciones del Teorema de la Divergencia

Aquí hay un par de variaciones útiles del teorema de la divergencia.

Teorema 4.2.9. Variaciones sobre el teorema de la divergencia

Si\(V\) es un sólido con superficie\(\partial V\text{,}\) entonces

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V\\ \iint_{\partial V} f \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\vecs{ \nabla} f\ \text{d}V\\ \iint_{\partial V} \hat{\textbf{n}}\times\vecs{F} \,\text{d}S &=\iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V \end{align*}\]

donde\(\hat{\textbf{n}}\) es la unidad externa normal de\(\partial V\text{.}\)

Ayuda a la Memoria. Las tres fórmulas se pueden combinar en

\[ \iint_{\partial V} \hat{\textbf{n}} *\tilde F\,\text{d}S =\iiint_V\vecs{ \nabla} *\tilde F\ \text{d}V \nonumber \]

donde\(*\) puede ser\(\cdot\text{,}\)\(\times\) o nada. Cuando\(*=\cdot\) o\(*=\times\text{,}\) entonces\(\tilde F=\vecs{F} \text{.}\) Cuando no\(*\) es nada,\(\tilde F=f\text{.}\)

Prueba

La primera fórmula es exactamente el teorema de divergencia y se comprobó en el Teorema 4.2.2.

Para probar la segunda fórmula, establecer\(\vecs{F} =f\textbf{a}\text{,}\) dónde\(\textbf{a}\) está cualquier vector constante, y aplicar el teorema de divergencia.

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} f\textbf{a}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot(f\textbf{a})\ \text{d}V\\ &=\iiint_V\big[(\vecs{ \nabla} f)\cdot\textbf{a} +f\underbrace{\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{a}}_{=0}\big]\ \text{d}V\\ &=\iiint_V(\vecs{ \nabla} f)\cdot\textbf{a}\ \text{d}V \end{align*}\]

Para obtener la segunda línea, se utilizó el Teorema de identidad vectorial 4.1.4.c. Para obtener la tercera línea, acabamos de usar que\(\textbf{a}\) es una constante, para que todas sus derivadas sean cero. Reescribir

\[ \iiint_V(\vecs{ \nabla} f)\cdot\textbf{a}\ \text{d}V =\iiint_V\textbf{a}\cdot(\vecs{ \nabla} f)\ \text{d}V \nonumber \]

Dado que\(\textbf{a}\) es una constante, podemos faccionarla de ambas integrales, por lo que

\[\begin{align*} &\textbf{a}\cdot\iint_{\partial V} f\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\textbf{a}\cdot\iiint_V\vecs{ \nabla} f\ \text{d}V\\ \implies &\textbf{a}\cdot\bigg\{\iint_{\partial V} f\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S -\iiint_V\vecs{ \nabla} f\ \text{d}V\bigg\}=0 \end{align*}\]

En particular, eligiendo\(\textbf{a}=\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}\) y\(\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) vemos que los tres componentes del vector\(\iint_{\partial V} f\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S -\iiint_V\vecs{ \nabla} f\ \text{d}V\) son cero. Entonces

\[ \iint_{\partial V} f\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S -\iiint_V\vecs{ \nabla} f\ \text{d}V=0 \nonumber \]

que es lo que queríamos mostrar.

Para probar la tercera fórmula, aplicar el teorema de divergencia, pero con\(\vecs{F} \) reemplazado por\(\textbf{a}\times\vecs{F} \text{,}\) donde\(\textbf{a}\) está cualquier vector constante.

\[\begin{align*} &\iint_{\partial V} (\textbf{a}\times\vecs{F} )\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S =\iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot(\textbf{a}\times\vecs{F} )\ \text{d}V\\ &\hskip0.5in=\iiint_V\big[\vecs{F} \cdot\underbrace{(\vecs{ \nabla} \times \textbf{a})}_{=\vecs{0}} -\textbf{a}\cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\big]\ \text{d}V\\ &\hskip0.5in=-\iiint_V\textbf{a}\cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\ \text{d}V =-\textbf{a}\cdot\iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V \end{align*}\]

Para obtener la segunda línea, se utilizó el Teorema de identidad vectorial 4.1.4.d. Para obtener la tercera línea, nuevamente usamos que\(\textbf{a}\) es una constante, de manera que todas sus derivadas son cero. Para todos los vectores\((\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c}=\textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})\) (por si no recuerdas esto, fue Lemma 4.1.8.a) así que

\[ (\textbf{a}\times\vecs{F} )\cdot\hat{\textbf{n}} =\textbf{a}\cdot(\vecs{F} \times\hat{\textbf{n}}) \nonumber \]

y

\[\begin{align*} &\textbf{a}\cdot\iint_{\partial V} \vecs{F} \times\vecs{n} \ \text{d}S =-\textbf{a}\cdot\iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V\\ \implies &\textbf{a}\cdot\bigg\{\iint_{\partial V} \vecs{F} \times\vecs{n} \ \text{d}S +\iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V\bigg\}=0 \end{align*}\]

En particular, eligiendo\(\textbf{a}=\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}\) y\(\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) vemos que los tres componentes del vector\(\iint_{\partial V} \vecs{F} \times\vecs{n} \ \text{d}S +\iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V\) son cero. Entonces

\[ \iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V =-\iint_{\partial V} \vecs{F} \times\vecs{n} \ \text{d}S =\iint_{\partial V} \hat{\textbf{n}}\times\vecs{F} \ \text{d}S \nonumber \]

que es lo que queríamos mostrar.

Una aplicación del teorema de divergencia — flotabilidad

En esta sección, utilizamos el teorema de divergencia para mostrar que cuando sumerges un objeto en un fluido el efecto neto de la presión del fluido que actúa sobre la superficie del objeto es una fuerza vertical (llamada fuerza de flotación) cuya magnitud es igual al peso del fluido desplazado por el objeto. Esto se conoce como principio ¹² de Arquímedes.

También demostraremos que la fuerza de flotación actúa a través del “centro de flotabilidad” que es el centro de masa del fluido desplazado por el objeto. El diseño de ^{13 embarcaciones autoderizantes} explota el hecho de que el centro de flotabilidad y el centro de gravedad, donde actúa la gravedad, no necesitan ser los mismos.

Comenzamos calculando la fuerza total debida a la presión del fluido que empuja sobre el objeto. Recordemos que la presión

• es la fuerza por unidad de superficie que el fluido ejerce sobre el objeto
• actúa perpendicularmente a la superficie
• empuja sobre el objeto

Así, la fuerza debida a la presión que actúa sobre una pieza infinitesimal de la superficie del objeto en\(\vecs{r} =(x,y,z)\) con área de superficie\(\text{d}S\) y hacia afuera normal\(\hat{\textbf{n}}\) es\(-p(\vecs{r} )\,\hat{\textbf{n}} \text{d}S\text{.}\) El signo menos está ahí porque la presión se dirige hacia el objeto. Si el objeto llena el volumen\(V\) y tiene superficie\(\partial V\text{,}\), entonces la fuerza total sobre el objeto debido a la presión del fluido, llamada fuerza de flotación, es

\[ \textbf{B}=-\iint_{\partial V}p(\vecs{r} )\,\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

Ahora deseamos aplicar una variante del teorema de divergencia para reescribir\(\textbf{B}=-\iiint_V \vecs{ \nabla} p\ \text{d}V\text{.}\) Pero hay un problema con esto:\(p(\vecs{r} )\) es la presión del fluido en\(\vecs{r} \) y sólo se define donde hay fluido. En particular, no hay fluido ¹⁴ dentro del objeto, por lo que no\(p(\vecs{r} )\) se define para ninguno\(\vecs{r} \) en el interior de\(V\text{.}\)

Entonces pretendemos que retiramos el objeto del fluido y llamamos a\(P(\vecs{r} )\) la presión del fluido\(\vecs{r} \) cuando no hay ningún objeto en el fluido. También hacemos la suposición de que en cualquier punto\(\vecs{r} \) fuera del objeto, la presión a\(\vecs{r} \) no depende de si el objeto está en el fluido o no. En otras palabras, suponemos que

\[ p(\vecs{r} )=\begin{cases} P(\vecs{r} )& \text{if $\vecs{r} $ is not in $V$}\\ \text{not defined} & \text{if $\vecs{r} $ is in the $V$} \end{cases} \nonumber \]

Esta suposición es sólo una aproximación a la realidad, pero, en la práctica, es una aproximación muy buena. Entonces, por Teorema 4.2.9,

\[ \textbf{B}=-\iint_{\partial V}p(\vecs{r} )\,\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =-\iint_{\partial V}P(\vecs{r} )\,\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =-\iiint_{V}\vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )\,\text{d}V\label{eq_buoyancy}\tag{4.2.1} \]

Nuestro siguiente trabajo es computar\(\vecs{ \nabla} P\text{.}\) Concentrado en un cubo infinitesimal de fluido cuyos bordes son paralelos a los ejes de coordenadas. Llame a las longitudes de los bordes\(\text{d}x\text{,}\)\(\text{d}y\)\(\text{d}z\) y y la posición del centro del cubo\((x,y,z)\text{.}\) Las fuerzas aplicadas a las diversas caras del cubo por la presión del fluido fuera del cubo se ilustran en la figura

La fuerza total debida a la presión que actúa sobre el cubo es la suma

\[\begin{align*} &-P\left(x+\frac{\text{d}x}{2},y,z\right)\,dy\text{d}z\,\hat{\pmb{\imath}} +P\left(x-\frac{\text{d}x}{2},y,z\right)\,dy\text{d}z\,\hat{\pmb{\imath}}\\ &-P\left(x,y+\frac{dy}{2},z\right)\,\text{d}x\text{d}z\,\hat{\pmb{\jmath}} +P\left(x,y-\frac{dy}{2},z\right)\,\text{d}x\text{d}z\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ &-P\left(x,y,z+\frac{\text{d}z}{2}\right)\,\text{d}xdy\,\hat{\mathbf{k}} +P\left(x,y,z-\frac{\text{d}z}{2}\right)\,\text{d}xdy\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

de las fuerzas que actúan sobre las seis caras. Considera el\(\hat{\pmb{\imath}}\) componente y vuelve a escribirlo como

\[\begin{align*} &-P\left(x+\frac{\text{d}x}{2},y,z\right)\,dy\text{d}z\,\hat{\pmb{\imath}} +P\left(x-\frac{\text{d}x}{2},y,z\right)\,dy\text{d}z\,\hat{\pmb{\imath}}\\ &\hskip1in =-\frac{P(x+{\text{d}x\over2},y,z)-P(x-{\text{d}x\over2},y,z)}{\text{d}x}\,\hat{\pmb{\imath}}\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z\\ &\hskip1in = - \frac{\partial P}{\partial x}(x,y,z)\,\hat{\pmb{\imath}}\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z \end{align*}\]

Haciendo esto también para los demás componentes, vemos que la fuerza total debida a la presión que actúa sobre el cubo es

\[\begin{gather*} -\Big\{\frac{\partial P}{\partial x}(x,y,z)\,\hat{\pmb{\imath}} \!+\!\frac{\partial P}{\partial y}(x,y,z)\,\hat{\pmb{\jmath}} \!+\!\frac{\partial P}{\partial z}(x,y,z)\,\hat{\mathbf{k}} \Big\}\text{d}x \text{d}y \text{d}z =-\vecs{ \nabla} P(x,y,z)\, \text{d}x \text{d}y \text{d}z \end{gather*}\]

Supondremos que la única otra fuerza que actúa sobre el cubo es la gravedad y que el fluido es estacionario (o al menos no acelerando). De ahí que la fuerza total que actúa sobre el cubo sea cero. Si el fluido tiene densidad\(\rho f\text{,}\) entonces el cubo tiene masa\(\rho f\, \text{d}x\text{d}y\text{d}z\) para que la fuerza de\(- g\rho f\, \text{d}x\text{d}y\text{d}z\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) la gravedad sea La desaparición de la fuerza total ahora nos dice que

\[ -\vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )\, \text{d}x \text{d}y \text{d}z - g\rho f\, \text{d}x \text{d}y \text{d}z\,\hat{\mathbf{k}}=0 \implies \vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )= - g\rho f \,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Subbing esto en (4.2.1) da

\[ \textbf{B}= g\,\hat{\mathbf{k}}\iiint_{V}\rho f\,\text{d}V = gM_f\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

donde\(M_f =\iiint_V \rho f\,\text{d}V\) está la masa del fluido desplazada por el objeto — no la masa del objeto mismo. Así, la fuerza de flotación actúa hacia arriba y tiene una magnitud igual a la\(gM_f \text{,}\) que también es la magnitud de la fuerza de gravedad que actúa sobre el fluido desplazado por el objeto. En otras palabras, es el peso del fluido desplazado. Este es exactamente el principio de Arquímedes.

A continuación consideramos el movimiento rotacional de nuestro objeto sumergido. La ley física que determina el movimiento rotacional de un cuerpo rígido alrededor de un punto\(\vecs{r} _0\) es análoga a la conocida ley de Newton,\(m\frac{d\vecs{v} }{\text{d}t}=\vecs{F} \text{,}\) que determina el movimiento traslacional del objeto. Para la ley rotacional del movimiento,

• la masa\(m\) es reemplazada por una cantidad física, característica del objeto, llamada el momento de inercia, y
• la velocidad ordinaria\(\vecs{v} \) se sustituye por la velocidad angular, que es un vector cuya longitud es la velocidad de rotación (es decir, ángulo girado por unidad de tiempo) y cuya dirección es paralela al eje de rotación (con el signo determinado por una regla de la derecha), y
• la fuerza\(\vecs{F} \) es reemplazada por un vector llamado el par sobre\(\vecs{r} _0\text{.}\) una fuerza\(\vecs{F} \) aplicada a\(\vecs{r} =(x,y,z)\) produce el par ¹⁵\((\vecs{r} -\vecs{r} _0)\times\vecs{F} \) sobre\(\vecs{r} _0\text{.}\)

Esto se deriva en el opcional §4.2.4, titulado “Torque”, y es todo lo que necesitamos saber sobre el movimiento rotacional de cuerpos rígidos en esta discusión.

Fijar cualquier punto\(\vecs{r} _0\text{.}\) El par total\(\vecs{r} _0\) producido por la fuerza de presión que actúa sobre la superficie del objeto sumergido es

\[ \vecs{T} =\iint_{\partial V} (\vecs{r} -\vecs{r} _0)\times\big(-p(\vecs{r} )\hat{\textbf{n}}\big)\,\text{d}S =\iint_{\partial V} \hat{\textbf{n}}\times\big(P(\vecs{r} )\, (\vecs{r} -\vecs{r} _0)\big)\,\text{d}S \nonumber \]

Recordemos que en estas integrales\(\vecs{r} =(x,y,z)\) se encuentra la posición de la pieza infinitesimal\(\text{d}S\) de la superficie\(S\text{.}\) Aplicando la variante de producto cruzado del teorema de divergencia en el Teorema 4.2.9, seguida del teorema de identidad vectorial 4.1.5.c, da

\[\begin{align*} \vecs{T} &=\iiint_V \vecs{ \nabla} \times\big(P(\vecs{r} )\,(\vecs{r} -\vecs{r} _0)\big)\,\text{d}V\\ &=\iiint_V \big\{\vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )\times(\vecs{r} -\vecs{r} _0) +P(\vecs{r} )\underbrace{\vecs{ \nabla} \times(\vecs{r} -\vecs{r} _0)}_{=\vecs{0}}\big\}\,\text{d}V\cr &=\iiint_V \vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )\times(\vecs{r} -\vecs{r} _0)\,\text{d}V \end{align*}\]

ya que\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{r} _0=0\text{,}\) porque\(\vecs{r} _0\) es una constante, y

\[ \vecs{ \nabla} \times\vecs{r} =\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}}&\hat{\pmb{\jmath}}&\hat{\mathbf{k}}\cr \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ x&y&z \end{matrix}\right] =0 \nonumber \]

Ya hemos encontrado que\(\vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )=-g\rho f\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Sustituirlo en da

\[\begin{align*} \vecs{T} &=-\iiint_V g\rho f\hat{\mathbf{k}}\times(\vecs{r} -\vecs{r} _0)\,\text{d}V\\ &=-g\hat{\mathbf{k}}\times\iiint_V \rho f (\vecs{r} -\vecs{r} _0)\,\text{d}V\\ &=-g\hat{\mathbf{k}}\times\bigg\{\iiint_V\! \vecs{r} \rho f\,\text{d}V -\vecs{r} _0\!\iiint_V\! \rho f\,\text{d}V\bigg\}\\ &=-g\bigg\{\iiint_V\! \rho f\,\text{d}V\bigg\}\hat{\mathbf{k}}\times \bigg\{ \frac{\iiint_V \vecs{r} \rho f\,\text{d}V}{\iiint_V\rho f\, \text{d}V}-\vecs{r} _0\bigg\}\\ &=-\textbf{B}\times\bigg\{\frac{\iiint_V \vecs{r} \rho f\,\text{d}V} {\iiint_V\rho f\,\text{d}V}-\vecs{r} _0\bigg\}\\ &=\bigg\{\frac{\iiint_V \vecs{r} \rho f\,\text{d}V} {\iiint_V\rho f\,\text{d}V}-\vecs{r} _0\bigg\}\times\textbf{B} \end{align*}\]

Entonces el par generado\(\vecs{r} _0\) por presión sobre toda la superficie es el mismo que el par generado a $\ vecs {r} _0$ por una fuerza\(\textbf{B}\) aplicada en el único punto

\[ \textbf{C}_\textbf{B}=\frac{\iiint_V \vecs{r} \rho f\,\text{d}V}{\iiint_V\rho f\,\text{d}V} \nonumber \]

A este punto se le llama el centro de flotabilidad. Es el centro de masa del fluido desplazado.

La moraleja de la discusión anterior es que la fuerza de flotación,\(\textbf{B}\text{,}\) sobre un cuerpo rígido

• actúa recto hacia arriba,
• tiene una magnitud igual al peso del fluido desplazado y
• actúa en el centro de la flotabilidad, que es el centro de masa del fluido desplazado.

Como anteriormente, denotando por\(\rho b\) la densidad del objeto, el par alrededor\(\vecs{r} _0\) debido a la gravedad que actúa sobre el objeto es

\[ \iiint_V (\vecs{r} -\vecs{r} _0)\times(-g\rho b\hat{\mathbf{k}})\,\text{d}V =\bigg\{\frac{\iiint_V \vecs{r} \rho b\,\text{d}V} {\iiint_V\rho b\,\text{d}V}-\vecs{r} _0\bigg\}\times \left(-g\bigg\{\iiint_V \rho b\,\text{d}V\bigg\}\ \hat{\mathbf{k}}\right) \nonumber \]

Así que la fuerza gravitacional,\(\textbf{G}\text{,}\)

• actúa directamente hacia abajo,
• tiene una magnitud igual al peso\(g M_b=g\iiint_V \vecs{r} \rho b\,\text{d}V\) (donde\(\rho b\) está la densidad del objeto) del objeto y
• actúa en el centro de masa,\(\textbf{C}_\textbf{G}=\frac{\iiint_V \vecs{r} \rho b\,\text{d}V}{\iiint_V\rho b\,\text{d}V} \text{,}\) del objeto.

Debido a que la distribución de masa del objeto no necesita ser la misma que la distribución de masa del fluido desplazado, la flotabilidad y la gravedad pueden actuar en dos puntos diferentes. Esto se explota en el diseño de embarcaciones autoderizantes.

Estas embarcaciones están construidas con una quilla pesada, a menudo de plomo (que es barata y densa). En consecuencia, el centro de gravedad es menor en la embarcación que el centro de flotabilidad, el cual, debido a que el fluido desplazado tiene densidad constante, se encuentra en el centro geométrico de la embarcación. Como ilustra la siguiente figura, una configuración del lado derecho hacia arriba de tal embarcación es estable, mientras que una configuración boca abajo es inestable. El barco gira para mantener el centro de gravedad recto por debajo del centro de flotabilidad. Para ver esto pretender que estás agarrando al bote con una mano sosteniendo el centro de flotabilidad y la otra mano sosteniendo el centro de gravedad. Usa tus manos para aplicar fuerzas en las direcciones de las flechas y piensa en cómo responderá la embarcación.

Opcional — Torque

En esta sección, derivamos las propiedades del par que utilizamos en la última sección. La ley del movimiento de Newton dice que la posición\(\vecs{r} (t)\) de una sola partícula que se mueve bajo la influencia de una fuerza\(\vecs{F} \) obedece\(m\vecs{r} ''(t)=\vecs{F} \text{.}\) De manera similar, las posiciones\(\vecs{r} _i(t)\text{,}\)\(1\le i\le n\text{,}\) de un conjunto de partículas que se mueven bajo la influencia de fuerzas\(\vecs{F} _i\) obedecen\(m\vecs{r} _i''(t)=\vecs{F} _i\text{,}\)\(1\le i\le n\text{.}\) Muy a menudo los sistemas de interés consisten en un pequeño número de cuerpos rígidos. Supongamos que nos interesa el movimiento de un solo cuerpo rígido, digamos un trozo de madera. El trozo de madera está formado por un enorme número de ¹⁶ átomos. Por lo que el sistema de ecuaciones que determina el movimiento de todos los átomos individuales en la pieza de madera es enorme. Por otro lado, veremos que debido a que la pieza de madera es rígida, su configuración está completamente determinada por la posición de, por ejemplo, su centro de masa y su orientación (no vamos a entrar en lo que precisamente se entiende por “orientación”, pero ciertamente está determinada por, por ejemplo, las posiciones de algunas de las esquinas de la pieza de madera). Para ser precisos, extraeremos del enorme sistema de ecuaciones que determinan el movimiento de todos los átomos individuales, un pequeño sistema de ecuaciones que determinan el movimiento del centro de masa y la orientación. Ya lo haremos.

Imagina un trozo de madera moviéndose\(\mathbb{R} ^3\text{.}\)

Además, imagina que la pieza de madera consiste en una gran cantidad de partículas unidas por una gran cantidad de ¹⁷ varillas de acero ingrávidas pero muy fuertes. La varilla de acero que une la partícula número uno a la partícula número dos solo representa una fuerza que actúa entre las partículas número uno y dos. Supongamos que

• hay\(n\) partículas, con número de partículas\(i\) que tienen masa\(m_i\text{,}\)
• en el momento el número de\(t\text{,}\) partículas\(i\) tiene posición\(\vecs{r} _i(t)\text{,}\)
• en\(t\text{,}\) el momento en que la fuerza externa (gravedad y similares) que actúa sobre el número de partículas\(i\) es\(\vecs{F} _i(t)\text{,}\) y
• en\(t\text{,}\) el momento la fuerza que actúa sobre el número de partículas\(i\text{,}\) debido a la varilla de acero que une el número de partículas\(i\) al número de partículas\(j\) es\(\vecs{F} _{i,j}(t)\text{.}\) Si no hay varilla de acero uniendo el número de partículas\(i\) y\(j\text{,}\) solo se establece\(\vecs{F} _{i,j}(t)=0\text{.}\) En particular,\(\vecs{F} _{i,i}(t)=0\text{.}\)

Los únicos supuestos que haremos sobre las fuerzas de varilla de acero son

(A1)

para cada\(i\ne j\text{,}\)\(\vecs{F} _{i,j}(t)=-\vecs{F} _{j,i}(t)\text{.}\) En palabras, la varilla de acero que une partículas\(i\) y\(j\) aplica fuerzas iguales y opuestas a las partículas\(i\) y\(j\text{.}\)

(A2)

para cada uno\(i\ne j\text{,}\) hay una función\(M_{i,j}(t)\) tal que\(\vecs{F} _{i,j}(t)=M_{i,j}(t)\big[\vecs{r} _i(t)-\vecs{r} _j(t)\big]\text{.}\) en palabras, la fuerza debida a la varilla uniendo partículas\(i\) y\(j\) actúa paralela a la línea uniendo partículas\(i\) y\(j\text{.}\) Para que (A1) sea verdad, es decir tener\(M_{i,j}(t)\big[\vecs{r} _i(t)-\vecs{r} _j(t)\big] =-M_{j,i}(t)\big[\vecs{r} _j(t)-\vecs{r} _i(t)\big]\text{,}\) necesitamos\(M_{i,j}(t)=M_{j,i}(t)\text{.}\)

La ley del movimiento de Newton, aplicada al número de partículas\(i\text{,}\) ahora nos dice que

\[ m_i \vecs{r} ''_i(t) = \vecs{F} _i(t)+\sum_{j=1}^n \vecs{F} _{i,j}(t) \tag{$N_i$} \nonumber \]

Sumando todas las ecuaciones (\(N_i\)), para\(i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n\) da

\[ \sum_{i=1}^n m_i \vecs{r} ''_i(t) = \sum_{i=1}^n \vecs{F} _i(t)+\sum_{1\le i,j\le n} \vecs{F} _{i,j}(t) \tag{$\Sigma N_i$} \nonumber \]

La suma\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{F} _{i,j}(t)\) contiene\(\vecs{F} _{1,2}(t)\) exactamente una vez y también contiene\(\vecs{F} _{2,1}(t)\) exactamente una vez y estos dos términos cancelan exactamente, por suposición (A1). De esta manera, todos los términos en\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{F} _{i,j}(t)\) con\(i\ne j\) exactamente cancelan. Se supone que todos los términos con\(i=j\) son cero. Así\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{F} _{i,j}(t)=0\) y la ecuación (\(\Sigma N_i\)) simplifica a

\[ \sum_{i=1}^n m_i \vecs{r} ''_i(t) = \sum_{i=1}^n \vecs{F} _i(t) \tag{$ \Sigma N_i $} \nonumber \]

¡Uf! Denotar por\(M=\sum\limits_{i=1}^n m_i\) la masa total del cuerpo, por\(\textbf{R}(t)=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^n m_i\vecs{r} _i(t)\) el centro de masa ¹⁸ del cuerpo y por\(\vecs{F} (t)=\sum\limits_{i=1}^n \vecs{F} _i(t)\) la fuerza externa total que actúa sobre el sistema. En esta notación, equation (\(\Sigma N_i\)) puede escribirse como

Ecuación 4.2.10

\[ M\textbf{R}''(t)=\vecs{F} (t) \nonumber \]

El resultado es que el centro de masa del sistema se mueve como una sola partícula de masa\(M\) sujeta a la fuerza externa total. Es por ello que a menudo podemos reemplazar un objeto extendido por una masa puntual en su centro de masa.

Ahora toma el producto cruzado de\(\vecs{r} _i(t)\) y equation (\(N_i\)) y suma sobre\(i\text{.}\) Esto da

\[\begin{align*} &\sum_{i=1}^n m_i\ \vecs{r} _i(t)\times\vecs{r} ''_i(t)\\ &\hskip0.5in= \sum_{i=1}^n \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _i(t) +\sum_{1\le i,j\le n} \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _{i,j}(t) \tag{$\Sigma \vecs{r} _i\times N_i$} \end{align*}\]

Por el supuesto (A2)

\ begin {align*}\ vecs {r} _1 (t)\ veces\ vecs {F} _ _ {1,2} (t) &=M_ {1,2} (t)\ vecs {r} _1 (t)\ veces\ grandes [\ vecs {r} _1 (t) -\ vecs {r} _2 (t)\ grandes]\\\ vecs {r} _2 (t)\ veces\ vecs {F} _ {2,1} (t) &=M_ {2,1} (t)\ vecs {r} _2 (t)\ veces\ grandes [\ vecs {r} _2 (t) -\ vecs {r} _1 (t)\ grandes]\ &=-M_ {1,2} (t)\ vecs {r} _2 (t)\ veces\ grande [\ vecs {r} _1 (t) -\ vecs {r} _2 (t)\ grande]\\\ final {alinear*}

para que

\ begin {align*}\ vecs {r} _1 (t)\ veces\ vecs {F} _ {1,2} (t) +\ vecs {r} _2 (t)\ veces\ vecs {F} _ {2,1} (t) &=M_ {1,2} (t)\\ grande [\ vecs {r} _1 (t) -\ vecs {r} _2 (t)\ big]\ times\ big [\ vecs {r} _1 (t) -\ vecs {r} _2 (t)\ big] =0\ end {align*}

porque el producto cruzado de dos vectores paralelos cualesquiera es cero.

La última ecuación dice que el\(i=1\text{,}\)\(j=2\) término en cancela\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _{i,j}(t)\) exactamente el\(i=2\text{,}\)\(j=1\) término. De esta manera todos los términos en\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _{i,j}(t)\) con\(i\ne j\) cancelar. Cada término con\(i=j\) es exactamente cero porque\(\vecs{F} _{ii}=0\text{.}\) So\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _{i,j}(t)=0\) y (\(\Sigma \vecs{r} _i\times N_i\)) simplifica a

\[ \sum_{i=1}^n m_i\ \vecs{r} _i(t)\times\vecs{r} ''_i(t) = \sum_{i=1}^n \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _i(t) \tag{$\Sigma \vecs{r} _i\times N_i$} \nonumber \]

En este punto tiene sentido definir vectores

\[\begin{align*} \textbf{L}(t)&= \sum_{i=1}^n m_i\ \vecs{r} _i(t)\times\vecs{r} '_i(t)\\ \vecs{T} (t)&=\sum_{i=1}^n \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _i(t) \end{align*}\]

porque, en esta notación, (\(\Sigma \vecs{r} _i\times N_i\)) se convierte en

Ecuación 4.2.11

\[ \dfrac{d }{dt}\textbf{L}(t)=\vecs{T} (t) \nonumber \]

La ecuación 4.2.11 juega el papel de la ley del movimiento de Newton para el movimiento rotacional. \(\vecs{T} (t)\)se llama el par y desempeña el papel de “fuerza de rotación”. \(\textbf{L}(t)\)se llama el momento angular (sobre el origen) y es una medida de la velocidad a la que gira la pieza de madera. Por ejemplo, si una partícula de masa\(m\) viaja en un círculo de radio\(\rho\) en el\(xy\) plano -a\(\omega\) radianes por unidad de tiempo, entonces\(\vecs{r} (t)=\rho\cos(\omega t)\hat{\pmb{\imath}}+\rho\sin(\omega t)\hat{\pmb{\jmath}}\) y

\[\begin{align*} m\vecs{r} (t)\times\vecs{r} '(t) &= m \big[\rho\cos(\omega t)\hat{\pmb{\imath}}+\rho\sin(\omega t)\hat{\pmb{\jmath}}\big] \times\big[-\omega\rho\sin(\omega t)\hat{\pmb{\imath}}+\omega\rho\cos(\omega t)\hat{\pmb{\jmath}}\big]\\ &=m \rho^2\ \omega\ \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

es proporcional a\(\omega\text{,}\) lo que es la velocidad de rotación alrededor del origen y está en la dirección\(\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) que es normal al plano que contiene el círculo.

En todo caso, para que la pieza de madera permanezca estacionaria, las ecuaciones 4.2.10 y 4.2.11 fuerzan\(\vecs{F} (t)=\vecs{T} (t)=0\text{.}\)

Ahora supongamos que la pieza de madera es un balancín ¹⁹ que se apoya sobre un fulcro en Las fuerzas consisten en\(\textbf{p}\text{.}\) la gravedad,\(-m_ig\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) actuando sobre el número de partículas\(i\text{,}\) para cada uno\(1\le i\le n\text{,}\) y el

fuerza\(\boldsymbol{\Phi}\) impuesta por el fulcro que está empujando hacia arriba sobre la partícula en\(\textbf{p}\text{.}\) La fuerza externa total es\(\vecs{F} =\boldsymbol{\Phi}-\sum\limits_{i=1}^n m_ig\hat{\mathbf{k}} =\boldsymbol{\Phi}-Mg\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Si el balancín va a permanecer estacionario, esto debe ser cero para que\(\boldsymbol{\Phi}=Mg\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

El par total (sobre el origen) es

\[ \vecs{T} =\textbf{p}\times\boldsymbol{\Phi}-\sum_{i=1}^n m_ig \vecs{r} _i\times\hat{\mathbf{k}} =g\Big(M\textbf{p}-\sum_{i=1}^n m_i \vecs{r} _i\Big)\times\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Si el balancín va a permanecer estacionario, esto también debe ser cero. Este será el caso si el fulcro se coloca en

\[ \textbf{p}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^n m_i \vecs{r} _i \nonumber \]

que es solo el centro de masa de la pieza de madera.

De manera más general, supongamos que las fuerzas externas que actúan sobre la pieza de madera consisten en\(\vecs{F} _i\text{,}\) actuar sobre el número de partículas\(i\text{,}\) para cada una\(1\le i\le n\text{,}\) y una “fuerza de punto de apoyo” que\(\boldsymbol{\Phi}\) actúa sobre una partícula en\(\textbf{p}\text{.}\) La fuerza externa total es\(\vecs{F} =\boldsymbol{\Phi}+\sum\limits_{i=1}^n \vecs{F} _i\text{.}\) Si la pieza de madera ha de permanecer estacionaria, esto debe ser cero para que\(\boldsymbol{\Phi}=-\sum\limits_{i=1}^n \vecs{F} _i\text{.}\) El par total (sobre el origen) sea

\[ \vecs{T} =\textbf{p}\times\boldsymbol{\Phi}+\sum_{i=1}^n \vecs{r} _i\times\vecs{F} _i =\sum_{i=1}^n (\vecs{r} _i-\textbf{p})\times\vecs{F} _i \nonumber \]

Si la pieza de madera va a permanecer estacionaria, esto también debe ser cero. Es decir, el par sobre el punto\(\textbf{p}\) debido a todas las fuerzas\(\vecs{F} _i\text{,}\)\(1\le i\le n\text{,}\) debe ser cero.

Opcional — Resolviendo la ecuación de Poisson

En esta sección utilizaremos el teorema de divergencia para encontrar una fórmula para la solución de la ecuación de Poisson

\[ \vecs{ \nabla} ^2\varphi = 4\pi\rho \nonumber \]

Aquí\(\rho=\rho(\vecs{r} )\) hay una función dada (continua) y\(\varphi\) es la función desconocida que deseamos encontrar. Esta ecuación surge, por ejemplo, en la electrostática, donde\(\rho\) está la densidad de carga y\(\varphi\) es el potencial eléctrico.

El paso principal para encontrar esta fórmula de solución será considerar un

• función arbitraria (suave)\(\varphi\) y una
• región arbitraria (suave)\(V\) en\(\mathbb{R} ^3\) y una
• punto arbitrario\(\vecs{r} _0\) en el interior de\(V\)

y encontrar una fórmula auxiliar que exprese\(\varphi(\vecs{r} _0)\) en términos de

• \(\vecs{ \nabla} ^2\varphi(\vecs{r} )\text{,}\)con\(\vecs{r} \) atropello\(V\) y
• \(\vecs{ \nabla} \varphi(\vecs{r} )\)y\(\varphi(\vecs{r} )\text{,}\) con\(\vecs{r} \) atropellar\(\partial V\text{.}\)

Esta fórmula auxiliar, que derivaremos a continuación, es

\[\begin{align*} \varphi(\vecs{r} _0)&=-\frac{1}{4\pi}\bigg\{ \iiint_V\frac{ \vecs{ \nabla} ^2\varphi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\ d^3\vecs{r} -\iint_{\partial V}\varphi(\vecs{r} )\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\\ &\hskip1in-\iint_{\partial V}\frac{\vecs{ \nabla} \varphi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\bigg\} \tag{$V$} \end{align*}\]

Cuando tomamos el límite como\(V\) se expande para llenar todo\(\mathbb{R}^3\) entonces, suponiendo que\(\varphi\) e\(\vecs{ \nabla} \varphi\) ir a cero suficientemente rápido ²⁰ en\(\infty\text{,}\) las dos integrales sobre\(\partial V\) convergerán a cero y terminaremos con la fórmula

\[ \varphi(\vecs{r} _0)=-\frac{1}{4\pi} \iiint_{\mathbb{R}  ^3}\frac{ \vecs{ \nabla} ^2\varphi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\ d^3\vecs{r} \nonumber \]

Esto expresa\(\varphi\) evaluado en un punto arbitrario,\(\vecs{r} _0\text{,}\) de\(\mathbb{R}  ^3\) en términos de\(\vecs{ \nabla} ^2\varphi(\vecs{r} )\text{,}\) con\(\vecs{r} \) atropello\(\mathbb{R}  ^3\text{,}\) que es exactamente lo que queremos, ya que\(\vecs{ \nabla} ^2\varphi = 4\pi\rho\) para cualquier solución de la ecuación de Poisson. Así que una vez que hayamos probado (V) habremos probado ²¹

Teorema 4.2.12

Supongamos que\(\rho(\vecs{r} )\) es continuo y decae lo suficientemente rápido como\(\vecs{r} \rightarrow\infty\text{.}\) Si\(\varphi\) obedece\(\vecs{ \nabla} ^2\varphi = 4\pi\rho\)\(\mathbb{R}^3\text{,}\)\(\varphi\) y se\(\vecs{ \nabla} \varphi\) descompone suficientemente rápido como\(\vecs{r} \rightarrow\infty\text{,}\) entonces

\[ \varphi(\vecs{r} _0)= -\iiint_{\mathbb{R}^3}\frac{ \rho(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\ d^3\vecs{r} \nonumber \]

para todos\(\vecs{r} _0\) en\(\mathbb{R}^3\text{.}\)

Let

\[\begin{align*} \vecs{r} (x,y,z)&=x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\\ \vecs{r} _0&=x_0\,\hat{\pmb{\imath}}+y_0\,\hat{\pmb{\jmath}}+z_0\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

Explotaremos tres propiedades de la función\(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\text{.}\) Las dos primeras propiedades son

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} &=-\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3}\tag{P1}\\ \vecs{ \nabla} ^2 \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} &=-\vecs{ \nabla} \cdot\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3} =0 \tag{P2} \end{align*}\]

y son válidos para todos La\(\vecs{r} \ne \vecs{r} _0\text{.}\) verificación de la primera propiedad es un simple cómputo de una línea. La verificación de la segunda propiedad es un simple cálculo de tres líneas. (Véase la solución a la Pregunta 6 en la Sección 4.1.)

La otra propiedad de la\(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\) que usaremos es la siguiente. Dejar\(S_\varepsilon\) ser la esfera de radio\(\varepsilon\) centrada en\(\vecs{r} _0\text{.}\) Entonces, para cualquier función continua\(\psi(\vecs{r} )\text{,}\)

\[\begin{align*} \lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}\iint_{S_\varepsilon} \frac{\psi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^p}\ \text{d}S &=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \frac{1}{\varepsilon^p} \iint_{S_\varepsilon} \psi(\vecs{r} )\ \text{d}S =\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}\frac{\psi(\vecs{r} _0)}{\varepsilon^p} \iint_{S_\varepsilon}\ \text{d}S\\ &=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}\frac{\psi(\vecs{r} _0)}{\varepsilon^p}4\pi\varepsilon^2 \notag\\ &=\begin{cases}4\pi\psi(\vecs{r} _0)& \text{if } p=2 \\ 0 & \text{if } p \lt 2\\ \text{undefined} & \text{if } p \gt 2 \end{cases} \tag{P3} \end{align*}\]

Derivación de (V):

Aquí está la derivación de (\(V\)). Dejar\(V_\varepsilon\) ser la parte de\(V\) fuera de\(S_\varepsilon\text{.}\)

Tenga en cuenta que el límite\(\partial V_\varepsilon\) de\(V_\varepsilon\) consta de dos partes — el límite\(\partial V\) de\(V\) y la esfera\(S_\varepsilon\) — y que la unidad hacia afuera normal a\(\partial V_\varepsilon\) on\(S_\varepsilon\) es\(-\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\text{,}\) porque apunta hacia\(\vecs{r} _0\) y por lo tanto fuera de\(V_\varepsilon\text{.}\)

Recordemos el teorema de identidad vectorial 4.1.7.d, que dice

\[ \vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{ \nabla} g-g\vecs{ \nabla} f)=f\,\vecs{ \nabla} ^2g-g\,\vecs{ \nabla} ^2f \nonumber \]

Aplicando esta identidad con\(f= \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\) y\(g=\varphi\) da

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big) &=\frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} -\varphi\,\overbrace{ \vecs{ \nabla} ^2\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} }^{=0\text{ by (P2)}}\\ &=\frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} \end{align*}\]

que es el integrando de la primera integral en el lado derecho de (V). Entonces, por el teorema de la divergencia

\[\begin{align*} &\iiint_{V_\varepsilon} \frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} dV =\iiint_{V_\varepsilon}\vecs{ \nabla} \cdot\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big) dV\\ &\hskip0.25in=\iint_{\partial V}\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big)\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\\ &\hskip1.0in+\iint_{S_\varepsilon}\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big)\cdot \Big(-\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big) \text{d}S \tag{M} \end{align*}\]

Para ver la conexión entre (M) y el resto de (V), tenga en cuenta que,

• por (P1), el primer término en el lado derecho de (M) es

  \[\begin{align*} &\iint_{\partial V}\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big)\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\\ &\hskip0.5in=\iint_{\partial V}\frac{\vecs{ \nabla} \varphi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S +\iint_{\partial V}\varphi(\vecs{r} )\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S \tag{R1} \end{align*}\]

  que es\(4\pi\) por el segundo y tercer término en el lado derecho de (V),
• y sustituyendo\(\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} =-\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3}\text{,}\) de (P1), y aplicando (P3) con\(p=2\text{,}\) el límite del segundo término en el lado derecho de (M) es

  \[\begin{align*} &\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \iint_{S_\varepsilon}\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big)\cdot \Big(-\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big) \text{d}S\\ &\hskip1in=-\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \iint_{B_\varepsilon}\big[\vecs{ \nabla} \varphi\cdot(\vecs{r} -\vecs{r} _0)+\varphi\big] \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^2} \text{d}S\\ &\hskip1in=-4\pi\Big[\vecs{ \nabla} \varphi\cdot(\vecs{r} -\vecs{r} _0)+\varphi\Big]_{\vecs{r} =\vecs{r} _0}\\ &\hskip1in=-4\pi\varphi(\vecs{r} _0) \tag{R2} \end{align*}\]

Entonces aplicando ²²\(\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}\) a (M) y sustituyendo en (R1) y (R2) da

\[\begin{gather*} \iiint_{V}\frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\ dV =\iint_{\partial V}\frac{\vecs{ \nabla} \varphi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S +\iint_{\partial V}\varphi(\vecs{r} )\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S -4\pi\varphi(\vecs{r} _0) \end{gather*}\]

que es exactamente la ecuación (V).

Ejercicios

Etapa 1

1

Deja\(V\) ser el cubo

\[\begin{gather*} V=\left \{(x,y,z)|0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1\right \} \end{gather*}\]

y\(R\) ser la plaza

\[\begin{gather*} R=\left \{(x,y)|0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\right \} \end{gather*}\]

y dejar\(f(x,y,z)\) tener primeras derivadas parciales continuas.

1. Utilizar el teorema fundamental del cálculo para demostrar que

   \[\begin{gather*} \iiint_V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\,\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z =\iint_R\! f(x,y,1)\,\text{d}x\,\text{d}y -\! \iint_R\! f(x,y,0)\,\text{d}x\,\text{d}y \end{gather*}\]

2. Usa el teorema de la divergencia para mostrar que

   \[\begin{gather*} \iiint_V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\,\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z =\iint_R\! f(x,y,1)\,\text{d}x\,\text{d}y -\! \iint_R\! f(x,y,0)\,\text{d}x\,\text{d}y \end{gather*}\]

2

1. Al aplicar el teorema de divergencia a\(\vecs{F} =\phi\,\textbf{a}\text{,}\) donde\(\textbf{a}\) es un vector constante arbitrario, mostrar que

   \[ \iiint_V \vecs{ \nabla} \phi\,\text{d}V=\iint_{\partial V}\phi\,\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

2. Mostrar que el centroide\((\bar x,\bar y,\bar z)\) de un sólido\(V\) con volumen\(|V|\) viene dado por

   \[ (\bar x,\bar y,\bar z)=\frac{1}{2|V|}\iint_{\partial V} (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

Etapa 2

3

Dejar\(S\) ser la esfera unitaria centrada en el origen y orientada por la normal apuntando hacia afuera. Si

\[ \vecs{F} (x,y,z)=\big(x,y,z^2\big) \nonumber \]

evaluar el\(\vecs{F} \) flujo de\(S\)

1. directamente y
2. aplicando el teorema de la divergencia.

4

Evaluar, por dos métodos, la integral\(\iint_S\vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\) donde\(\vecs{F} =z\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)\(S\) está la superficie\(x^2+y^2+z^2=a^2\) y\(\hat{\textbf{n}}\) es la unidad que apunta hacia afuera normal a\(S\text{.}\)

1. Primero, por cómputo directo de la integral superficial.
2. Segundo, mediante el uso del teorema de la divergencia.

5

Let

• \(\ \vecs{F} =zy^3\,\hat{\pmb{\imath}}+yx\, \hat{\pmb{\jmath}}+(2z+y^2)\hat{\mathbf{k}}\ \)y
• \(V\)ser el sólido en 3 espacios definidos por

  \[ 0\le z\le \frac{9-x^2-y^2}{9+x^2+y^2} \nonumber \]

  y
• \(D\)ser la superficie inferior de\(V\text{.}\) Porque\(\frac{9-x^2-y^2}{9+x^2+y^2}\) es positivo para\(x^2+y^2 \lt 9\) y negativo para\(x^2+y^2 \gt 9\text{,}\) la superficie inferior es\(z=0\text{,}\)\(x^2+y^2\le 9\text{.}\)
• Dejar\(S\) ser la porción curva del límite de\(V\text{.}\) Es\(z={9-x^2-y^2\over 9+x^2+y^2}\text{,}\)\(x^2+y^2\le 9\text{.}\) Aquí hay un boceto de la primera parte octante de\(S\) y\(D\text{.}\)

Denote por\(|V|\) el volumen de\(V\) y cómpule, en términos de\(|V|\text{,}\)

1. \(\displaystyle \iint_{D}\vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\)con\(\hat{\textbf{n}}\) apuntar hacia abajo
2. \(\displaystyle \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot F\,\text{d}V\)
3. \(\displaystyle \iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\)con\(\hat{\textbf{n}}\) apuntar hacia afuera

Utilice el teorema de divergencia para responder al menos a una de las partes (a), (b) y (c).

6

Evaluar la integral\(\iint_S\vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\) donde\(\vecs{F} =(x,y,1)\) y\(S\) es la superficie\(z=1-x^2-y^2\text{,}\)\(x^2+y^2\le 1\text{,}\) por dos métodos.

1. Primero, por cómputo directo de la integral superficial.
2. Segundo, mediante el uso del teorema de la divergencia.

7 ✳

1. Encuentra la divergencia del campo vectorial\(\vecs{F} = (z + \sin y, zy, \sin x \cos y)\text{.}\)
2. Encuentra el flujo del campo vectorial\(\vecs{F} \) de (a) a través de la esfera de radio\(3\) centrada en el origen en\(\mathbb{R}^3\).

8

Los lados de un silo de grano se describen por la porción del cilindro\(x^2 + y^2 = 1\) con\(0 \le z\le 1\text{.}\) La parte superior del silo está dada por la porción de la esfera\(x^2+ y^2+ z^2 = 2\) que se encuentra dentro del cilindro y por encima del\(xy\) plano. Encuentra el flujo del campo vectorial

\[ \textbf{V}(x,y,z) = (x^2yz\,,\, yz+e^xz\,,\, x^2+y ) \nonumber \]

fuera del silo.

9

Deja\(B\) ser la bola de volumen\(V\) centrada en el punto\((x_0, y_0, z_0)\text{,}\) y deja\(S\) ser la esfera que es el límite de\(B\text{.}\) Encuentra el flujo de\(\vecs{F} = x^2\hat{\pmb{\imath}} + xy\hat{\pmb{\jmath}}+(3 z - yz)\hat{\mathbf{k}}\) hacia afuera (desde\(B\)) a través\(S\text{.}\)

10 ✳

Let

\[ \vecs{F} (x, y, z) = \big( 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\, 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\,1\big) \nonumber \]

Dejar\(S\) ser la porción de la superficie

\[ x^2 + y^2 = 1 - z^4 \nonumber \]

que está por encima del\(xy\) plano. ¿Cuál es el flujo de\(\vecs{F} \) hacia abajo a través\(S\text{?}\)

11 ✳

Usa el teorema de divergencia para encontrar el flujo de\(x\hat{\pmb{\imath}}+y\hat{\pmb{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}\) a través de la parte del elipsoide

\[ x^2+y^2+2z^2=2 \nonumber \]

con\(z\ge 0\text{.}\) [Nota: el elipsoide\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) tiene volumen\(\frac{4}{3}\pi abc\text{.}\)]

12 ✳

Deje\(\vecs{F} (x,y,z) = \vecs{r} /r^3\) dónde\(\vecs{r} = x\,\hat{\pmb{\imath}} + y\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}}\) y\(r = |\vecs{r} |\text{.}\)

1. Encuentra\(\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{F} \text{.}\)
2. Encuentra el flujo de\(\vecs{F} \) hacia afuera a través de la superficie esférica\(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\text{.}\)
3. ¿Los resultados de (a) y (b) contradicen el teorema de la divergencia? Explique su respuesta.
4. Dejar\(E\) ser la región sólida delimitada por las superficies\(z^2 - x^2 - y^2 + 1 = 0\text{,}\)\(z = 1\) y\(z = -1\text{.}\) dejar\(\sigma\) ser la superficie delimitadora de\(E\text{.}\) Determinar el flujo de\(\vecs{F} \) hacia afuera a través\(\sigma\text{.}\)
5. Dejar\(R\) ser la región sólida delimitada por las superficies\(z^2 - x^2 - y^2 + 4y - 3 = 0\text{,}\)\(z = 1\) y\(z = - 1\text{.}\) dejar\(\Sigma\) ser la superficie delimitadora de\(R\text{.}\) Determinar el flujo de\(\vecs{F} \) hacia afuera a través\(\Sigma\text{.}\)

13 ✳

Considere el elipsoide\(S\) dado por

\[ x^2 + \frac{y^2}{4} +\frac{z^2}{4} = 1 \nonumber \]

con la unidad normal apuntando hacia afuera.

1. Parametrizar\(S\text{.}\)
2. Calcular el flujo\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S\) del campo vectorial

   \[ \vecs{F} (x,y,z) = (x, y, z) \nonumber \]

3. Verifica tu respuesta en (b) usando el teorema de divergencia.

14 ✳

Evaluar la integral de flujo\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S\text{,}\) donde

\[ \vecs{F} (x,y,z) = \big(x^3 + \cos(y^2)\,,\, y^3 + ze^x\,,\, z^2 + \arctan(xy)\big) \nonumber \]

y\(S\) es la superficie de la región sólida delimitada por el cilindro\(x^2 + y^2 = 2\) y los planos\(z = 0\) y\(z = 2x + 3\text{.}\) La superficie está orientada positivamente (su unidad normal apunta hacia afuera).

15 ✳

Encuentra el flujo del campo vectorial\((x + y, x + z, y + z)\) a través de la superficie cilíndrica cuya ecuación es\(x^2 + z^2 = 4\text{,}\) y que se extiende de\(y = 0\) a\(y = 3\text{.}\) (Solo se incluye la parte curva del cilindro, no los dos discos que lo delimitan a la izquierda y a la derecha). La orientación de la superficie es hacia afuera, es decir, apuntando lejos del\(y\) eje.

16 ✳

La superficie\(S\) es la parte por encima del\(xy\) plano de la superficie obtenida al girar la gráfica de\(z = 1 - x^4\) alrededor del\(z\) eje. La superficie\(S\) está orientada de tal manera que el vector normal tiene\(z\) componente positivo. El círculo con radio\(1\) y centro en el origen en el\(xy\) plano -es el límite de\(S\text{.}\)

Encuentra el flujo del campo vectorial sin divergencia\(\vecs{F} (x, y, z) = (yz, x + z, x^2 + y^2)\) a través de\(S\text{.}\)

17 ✳

Dejar\(S\) ser la parte del paraboloide\(z = 2 - x^2 - y^2\) contenida en el cono\(z = \sqrt{x^2+y^2}\) y orientada en dirección ascendente. Let

\[ \vecs{F} = (\tan \sqrt{z} + \sin(y^3))\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-x^2}\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Evaluar la integral de flujo\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\)

18 ✳

Evaluar la integral de la superficie

\[ \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

donde\(\vecs{F} (x, y, z) = \big(\cos z + xy^2\,,\, xe^{-z}\,,\, \sin y + x^2 z\big)\) y\(S\) es el límite de la región sólida encerrada por el paraboloide\(z = x^2 + y^2\) y el plano\(z = 4\text{,}\) con normal apuntando hacia afuera.

19 ✳

\(S\)Sea la parte de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) entre los planos\(z = 1\) y\(z = 0\) orientada alejada del origen. Let

\[\begin{gather*} \vecs{F} = (e^y + xz)\,\hat{\pmb{\imath}} + (zy + \sin(x))\,\hat{\pmb{\jmath}} + (z^2 - 1)\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]

Calcular la integral de flujo

\[\begin{gather*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S. \end{gather*}\]

20 ✳

Dejar\(B\) ser la región sólida que se encuentra entre los planos\(x=-1\text{,}\)\(x=1\text{,}\)\(y=0\text{,}\)\(y=2\) y delimitada por debajo por el plano\(z=0\) y arriba por el plano\(z+y=3\text{.}\) Dejar\(S\) ser la superficie de\(B\text{.}\) Encuentra el flujo del campo vectorial

\[ \vecs{F} (x,y,z) = \big(x^2 z +\cos \pi y\big)\,\hat{\pmb{\imath}} +\big(yz +\sin \pi z\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +(x-y^2)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

21 ✳

Dejar\(S\) que el hemisferio\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\text{,}\)\(z\ge 0\text{,}\) esté orientado con\(\hat{\textbf{n}}\) apuntar lejos del origen. Evaluar la integral de flujo

\[ \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S \nonumber \]

donde

\[ \vecs{F} = \big(x + \cos(z^2)\big)\,\hat{\pmb{\imath}} + \big(y + \ln(x^2 + z^5)\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \sqrt{x^2 + y^2}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

22 ✳

Dejar\(E\) ser la región sólida entre el plano\(z = 4\) y el paraboloide\(z = x^2 + y^2\text{.}\) Let

\[ \vecs{F} = \Big(-\frac{1}{3}x^3 + e^{z^2}\Big)\hat{\pmb{\imath}} + \Big(-\frac{1}{3}y^3 + x\tan z\Big)\hat{\pmb{\jmath}} + 4z\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

1. Calcular el flujo del\(\vecs{F} \) exterior a través del límite de\(E\text{.}\)
2. Dejar\(S\) ser la parte del paraboloide que se\(z = x^2 + y^2\) encuentra por debajo del\(z = 4\) plano orientada de manera que\(\hat{\textbf{n}}\) tenga un\(\hat{\mathbf{k}}\) componente positivo. Calcular el flujo de\(\vecs{F} \) través\(S\text{.}\)

23 ✳

Considere el campo vectorial

\[ \vecs{F} (x,y,z) = \frac{x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}} {[x^2 + y^2 + z^2\big]^{3/2}} \nonumber \]

1. Compute\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \text{.}\)
2. \(S_1\)Sea la esfera dada por

   \[ x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 9 \nonumber \]

   orientado hacia el exterior. Compute\(\displaystyle \iint_{S_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\)
3. \(S_2\)Sea la esfera dada por

   \[ x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 1 \nonumber \]

   orientado hacia el exterior. Compute\(\displaystyle \iint_{S_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\)
4. ¿Tus respuestas a (b) y (c) son iguales o diferentes? Da una explicación matemática de tu respuesta.

24 ✳

Dejado\(\vecs{F} \) ser el campo vectorial definido por

\[ \vecs{F} (x,y, z) = \big(y^3 z + 2x\big)\,\hat{\pmb{\imath}} +\big(3y - e^{\sin z}\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \big(e^{x^2+y^2}+ z\big)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Calcular la integral de flujo\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) donde\(S\) está la superficie límite de la región sólida

\[ E\ :\ 0 \le x \le 2,\quad 0 \le y \le 2,\quad 0 \le z \le 2+ y \nonumber \]

con normal exterior.

25 ✳

Considere el campo vectorial

\[ \vecs{F} (x, y, z) = \big(z \arctan(y^2)\,,\, z^3 \ln(x^2 + 1)\,,\, 3z\big) \nonumber \]

Que la superficie\(S\) sea la parte de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) que se encuentra por encima del plano\(z = 1\) y se oriente hacia abajo.

1. Encuentra la divergencia de\(\vecs{F} \text{.}\)
2. Calcular la integral de flujo\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\)

26 ✳

Deja que\(S\) la esfera\(x^2+y^2+z^2=3\) esté orientada hacia adentro. Calcular la integral de flujo

\[ \iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

donde

\[ \vecs{F} = \big(xy^2 + y^4z^6\,,\, yz^2+x^4z\,,\,zx^2+xy^4\big) \nonumber \]

27 ✳

Considere el campo vectorial\(\vecs{F} (x,y,z) =-2xy\,\hat{\pmb{\imath}}+\big(y^2+\sin(xz)\big)\,\hat{\pmb{\jmath}}+(x^2+y^2)\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

1. Calcular\(\nabla\cdot \vecs{F} \text{.}\)
2. Encuentra el flujo\(\vecs{F} \) a través de la superficie\(S\) definida por

   \[ x^2+y^2+(z-12)^2=13^2,\ z\ge 0 \nonumber \]

   usando la normal hacia afuera a\(S\text{.}\)

28 ✳

Dejar\(S\) ser la porción del hiperboloide\(x^2 + y^2 -z^2 = 1\) entre\(z=-1\) y\(z=1\text{.}\) Encontrar el flujo de\(\vecs{F} = (x+e^{yz})\,\hat{\pmb{\imath}} +\big(2yz+\sin(xz)\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +(xy-z-z^2)\,\hat{\mathbf{k}}\) fuera de\(S\) (lejos del origen).

29 ✳

Let\(\vecs{F} \) be the vector field\(\vecs{F} (x,y,z)=(x^2-y-1)\,\hat{\pmb{\imath}}+(e^{\cos y}+z^3)\,\hat{\pmb{\jmath}}+(2xz+z^5)\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Evaluar\(\iint_S\vecs{ \nabla} \times \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) donde\(S\) esta la parte del elipsoide\(x^2+y^2+2z^2=1\) con\(z\ge 0\text{.}\)

30 ✳

\(S\)Sea la porción de la esfera\(x^2+y^2+(z-1)^2=4\) que se encuentra por encima del\(xy\) plano. Encuentra el flujo de\(\vecs{F} =(x^2+e^{y^2})\,\hat{\pmb{\imath}}+(e^{x^2}+y^2)\,\hat{\pmb{\jmath}} +(4+5x)\,\hat{\mathbf{k}}\) hacia afuera a través\(S\text{.}\)

31 ✳

Encuentra el flujo del\(\vecs{F} =xy^2\hat{\pmb{\imath}}+x^2y\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\) exterior a través de la superficie hemisférica

\[ x^2+y^2+z^2=4,\qquad z\ge 0 \nonumber \]

32 ✳

Dejar\(D\) ser el cilindro\(x^2+y^2\le 1\text{,}\)\(0\le z\le 5\text{.}\) Calcular el flujo del campo vectorial

\[ \vecs{F} =(x+xye^z)\,\hat{\pmb{\imath}}+\frac{1}{2} y^2ze^z\,\hat{\pmb{\jmath}}+(3z-yze^z)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

hacia afuera a través de la parte curva de la superficie de\(D\text{.}\)

33

Encuentra el flujo\(\vecs{F} =(y+xz)\hat{\pmb{\imath}}+(y+yz)\hat{\pmb{\jmath}}-(2x+z^2)\hat{\mathbf{k}}\) hacia arriba a través de la primera parte octante de la esfera\(x^2+y^2+z^2=a^2\text{.}\)

34

Dejar\(\ \vecs{F} =(x-yz)\hat{\pmb{\imath}}+(y+xz)\hat{\pmb{\jmath}}+(z+2xy)\hat{\mathbf{k}}\ \) y dejar

• \(S_1\)ser la porción del cilindro\(\ x^2+y^2=2\ \) que se encuentra dentro de la esfera\(\ x^2+y^2+z^2=4\)
• \(S_2\)ser la porción de la esfera\(\ x^2+y^2+z^2=4\ \) que se encuentra fuera del cilindro\(\ x^2+y^2=2\ \)
• \(V\)ser el sólido delimitado por\(S_1\) y\(S_2\)

Compute

1. \(\displaystyle \iint_{S_1}\vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\)con\(\hat{\textbf{n}}\) apuntando hacia adentro
2. \(\displaystyle \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot F\,\text{d}V\)
3. \(\displaystyle \iint_{S_2}\vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\)con\(\hat{\textbf{n}}\) apuntar hacia afuera

Utilice el teorema de divergencia para responder al menos a una de las partes (a), (b) y (c).

Etapa 3

35

Dejar\(\textbf{E}(\vecs{r} )\) ser el campo eléctrico debido a una configuración de carga que tiene densidad La ley\(\rho(\vecs{r} )\text{.}\) de Gauss establece que, si\(V\) hay algún sólido\(\mathbb{R}^3\) con superficie\(\partial V\text{,}\) entonces el flujo eléctrico

\[ \iint_{\partial V}\textbf{E}\cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S=4\pi Q \qquad{\rm where}\qquad Q=\iiint_V\rho\ \text{d}V \nonumber \]

es la carga total en\(V\text{.}\) Aquí, como de costumbre,\(\hat{\textbf{n}}\) es la unidad que apunta hacia afuera normal a\(\partial V\text{.}\) Mostrar que

\[ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{E}(\vecs{r} )=4\pi \rho(\vecs{r} ) \nonumber \]

para todos\(\vecs{r} \) en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Esta es una de las ecuaciones de Maxwell. Supongamos eso\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{E}(\vecs{r} )\) y\(\rho(\vecs{r} )\) están bien definidos y continuos en todas partes.

36

Dejar\(V\) ser un sólido\(\mathbb{R}^3\) con superficie\(\partial V\text{.}\) Mostrar que

\[ \iint_{\partial V}\vecs{r} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S=3\,\text{Volume}(V) \nonumber \]

donde\(\vecs{r} =x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\) y, como de costumbre,\(\hat{\textbf{n}}\) es la normal exterior a\(\partial V\text{.}\) Ver si se puede explicar este resultado geométricamente.

37 ✳

Dejar\(S\) ser la esfera de radio\(3\text{,}\) centrada en el origen y con orientación hacia afuera. Dado el campo vectorial\(\vecs{F} (x,y,z) = (0, 0, x + z)\text{:}\)

1. Calcular (usando la definición) el flujo de\(\vecs{F} \) través\(S\)

   \[ \iint_S \vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

   Es decir, computar el flujo evaluando directamente la integral de la superficie.
2. Calcular el mismo flujo usando el teorema de divergencia.

38 ✳

Considera el cubo de longitud lateral\(1\) que yace enteramente en el primer octante (\(x \ge 0\text{,}\)\(y \ge 0\text{,}\)\(z \ge 0\)) con una esquina en el origen y otra esquina en el punto\((1, 1, 1)\text{.}\) Como tal, una cara yace en el plano\(x = 0\text{,}\) una yace en el plano\(y = 0\text{,}\) y otra en el plano \(z = 0\text{.}\)Las otras tres caras se encuentran en los planos\(x = 1\text{,}\)\(y = 1\text{,}\) y\(z = 1\text{.}\) denotan\(S\) como la superficie abierta que consiste en la unión de\(5\) las caras del cubo que no se encuentran en el plano\(z = 0\text{.}\) La superficie\(S\) está orientada de tal manera que la unidad normal vectores apuntan hacia afuera (es decir, la orientación de\(S\) es tal que los vectores normales unitarios en la cara superior apuntan hacia\(z\) direcciones positivas). Determinar el valor de

\[ I=\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S \nonumber \]

donde\(\vecs{F} \) está el campo vectorial dado por

\[ \vecs{F} = \left(y \cos(y^2) + z - 1\,,\, \frac{z}{x+1}+1\,,\, xy e^{z^2}\right) \nonumber \]

39 ✳

1. Encontrar un vector normal de unidad apuntando hacia arriba a la superficie\(z = xy\) en el punto\((1, 1, 1)\text{.}\)
2. Ahora considere la parte de la superficie\(z = xy\text{,}\) que se encuentra dentro del cilindro\(x^2 + y^2 = 9\) y llámelo\(S\text{.}\) Calcular el flujo ascendente de\(\vecs{F} = (y, x, 3)\) través\(S\text{.}\)
3. Encuentra el flujo de\(\vecs{F} = (y, x, 3)\) a través de la superficie cilíndrica\(x^2 + y^2 = 9\) en el medio\(z = xy\) y\(z = 10\text{.}\) La orientación es hacia afuera, lejos del eje z.

40 ✳

1. Encuentra la divergencia del campo vectorial\(\vecs{F} = (x + \sin y, z + y, z^2)\text{.}\)
2. Encontrar el flujo de\(\vecs{F} \) a través del hemisferio superior\(x^2 + y^2 + z^2 = 25\text{,}\)\(z \ge 0\text{,}\) orientado en la\(z\) dirección positiva.
3. Especificar una superficie cerrada orientada de\(S\text{,}\) tal manera que el flujo\(\iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) sea igual a\(-9\text{.}\)

41 ✳

Evaluar las integrales superficiales. (Usa cualquier método que te guste.)

1. \(\iint_S z^2\,\text{d}S\text{,}\)si\(S\) es la parte del cono\(x^2 + y^2 = 4z^2\) donde\(0 \le x \le y\) y\(0 \le z \le 1\text{.}\)
2. \(\iint_S \vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\)si\(\vecs{F} = z\hat{\mathbf{k}}\) y\(S\) es el rectángulo con vértices\((0, 2, 0)\text{,}\)\((0, 0, 4)\text{,}\)\((5, 2, 0)\text{,}\)\((5, 0, 4)\text{,}\) orientados de manera que el vector normal apunte hacia arriba.
3. \(\iint_S \vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\)donde\(\vecs{F} = (y - z^2 )\hat{\pmb{\imath}} + (z - x^2)\hat{\pmb{\jmath}} + z^2\hat{\mathbf{k}}\) y\(S\) es la superficie límite de la caja\(0 \le x \le 1\text{,}\)\(0 \le y \le 2\text{,}\)\(0 \le z \le 3\text{,}\) con el vector normal apuntando hacia afuera.

42 ✳

Dejar\(\sigma_1\) ser la superficie abierta dada por\(z = 1 - x^2 - y^2\text{,}\)\(z \ge 0\text{.}\) Let\(\sigma_2\) be la superficie abierta dada por\(z = x^2 + y^2 - 1\text{,}\)\(z \le 0\text{.}\) Let\(\sigma_3\) be la superficie planar dada por\(z = 0\text{,}\)\(x^2 + y^2 \le 1\text{.}\) Let\(\vecs{F} = [ a ( y^2 + z^2 ) + bxz ]\,\hat{\pmb{\imath}} + [ c ( x^2 + z^2 ) + dyz ]\,\hat{\pmb{\jmath}} + x^2\,\hat{\mathbf{k}}\) where\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) y\(d\) son constantes.

1. Encuentra el flujo de\(\vecs{F} \) hacia arriba a través\(\sigma_1\text{.}\)
2. Encuentra todos los valores de las constantes\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) y\(d\) para que el flujo de\(\vecs{F} \) hacia afuera a través de la superficie cerrada\(\sigma_1 \cup \sigma_3\) sea cero.
3. Encuentra todos los valores de las constantes\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) y\(d\) para que el flujo de\(\vecs{F} \) hacia afuera a través de la superficie cerrada\(\sigma_1 \cup \sigma_2\) sea cero.

43 ✳

Dejar\(S\) ser el elipsoide\(x^2+2y^2+3z^2=16\) y\(\hat{\textbf{n}}\) su unidad exterior normal.

1. Encuentra\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) si\(\vecs{F} (x,y,z)=\dfrac{(x,y,z)-(2,1,1)}{\big[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big]^{3/2}}\text{.}\)
2. Encuentra\(\iint_S \textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) si\(\textbf{G}(x,y,z)=\dfrac{(x,y,z)-(3,2,2)}{\big[(x-3)^2+(y-2)^2+(z-2)^2\big]^{3/2}}\text{.}\)

44 ✳

Dejar\(\Omega\subset\mathbb{R}^3\) ser un dominio delimitado suavemente, con límite\(\partial\Omega\) y unidad externa normal\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) Probar eso para cualquier campo vectorial\(\vecs{F} \) que sea continuamente diferenciable en\(\Omega\cup\partial\Omega\text{,}\)

\[ \iiint_\Omega \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \,\text{d}V = -\iint_{\partial\Omega} \vecs{F} \times\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

45 ✳

Recordemos que si\(S\) es una superficie lisa cerrada con campo normal exterior\(\hat{\textbf{n}}\text{,}\) entonces para cualquier\(p(x,y,z)\) función lisa\(\mathbb{R}^3\text{,}\) tenemos

\[ \iint_S p\hat{\textbf{n}}\ \text{d}s=\iiint_E \nabla p\ \text{d}V \nonumber \]

donde\(E\) está el sólido delimitado por\(S\text{.}\) Mostrar que como consecuencia, la fuerza total ejercida sobre la superficie de un cuerpo sólido contenido en un gas de presión constante es cero. (Recordemos que la presión actúa en la dirección normal a la superficie.)

46 ✳

Dejar\(\vecs{F} \) ser un campo vectorial tridimensional suave tal que el flujo de\(\vecs{F} \) fuera de la esfera\(x^2+y^2+z^2=a^2\) es igual a\(\pi(a^3+2a^4)\) para cada\(a \gt 0\text{.}\) Calcular\(\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{F} (0,0,0)\text{.}\)

47. ✳

Dejar\(\ \vecs{F} = (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\pmb{\imath}}+(e^{x^2}+y^2)\,\hat{\pmb{\jmath}}+(3+x+z)\,\hat{\mathbf{k}}\ \) y dejar\(S\) ser la parte de la superficie\(\ x^2+y^2+z^2=2az+3a^2\ \) que tiene\(\ z\ge 0\text{,}\) orientada con normal apuntando alejándose del origen. Aquí\(a \gt 0\) hay una constante. Calcular el flujo de\(\vecs{F} \) través\(S\text{.}\)

48 ✳

\(u=u(x,y,z)\)Sea una solución de la Ecuación de Laplace,

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0, \nonumber \]

in\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Dejar\(\mathcal{R}\) ser un sólido liso en\(\mathbb{R}^3\text{.}\)

1. Demostrar que el flujo total de\(\vecs{F} = \nabla u\) salida a través del límite de\(\mathcal{R}\) es cero.
2. Demostrar que el flujo total de\(\mathcal{G} = u\nabla u\) salida a través del límite de\(\mathcal{R}\) iguales

   \[ \iiint_\mathcal{R} \Big[\Big(\frac{\partial u}{\partial x}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial u}{\partial y}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial u}{\partial z}\Big)^2\Big]\,\text{d}V \nonumber \]

49 ✳

Dejar\(\mathcal{R}\) ser la parte del cilindro sólido\(x^2 + (y-1)^2 \le 1\) satisfaciendo\(0\le z \le y^2\text{;}\) dejar\(\mathcal{S}\) ser el límite de\(\mathcal{R}\text{.}\) Given\(\vecs{F} = x^2\,\hat{\pmb{\imath}} + 2y\,\hat{\pmb{\jmath}} - 2z\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)

1. Encuentra el flujo\(\vecs{F} \) total de\(\mathcal{S}\text{.}\)
2. Encuentre el flujo total del\(\vecs{F} \) exterior a través de los lados cilíndricos (verticales) de\(\mathcal{S}\text{.}\)

   Pista:\(\displaystyle \int_0^\pi \sin^{n}\theta\,\text{d}\theta = \frac{n-1}{ n}\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta\,\text{d}\theta\) para\(n=2,3,4,\ldots\text{.}\)

50. ✳

Una superficie lisa\(\mathcal{S}\) se encuentra por encima del plano\(z=0\) y tiene como límite el círculo\(x^2+y^2=4y\) en el plano\(z=0\text{.}\) Este círculo también limita un disco\(D\) en ese plano. El volumen de la región tridimensional\(R\) delimitada por\(\mathcal{S}\) y\(D\) es de 10 unidades cúbicas. Encuentra el flujo de

\[ \vecs{F} (x,y,z)=(x+x^2y)\hat{\pmb{\imath}}+(y-xy^2)\hat{\pmb{\jmath}}+(z+2x+3y)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

a través\(\mathcal{S}\) en la dirección hacia afuera desde\(R\text{.}\)

1. También se le conoce como teorema de Gauss. Johann Carl Friedrich Gauss (1777—1855) fue un matemático alemán. A lo largo de la década de 1990, el retrato de Gauss apareció en el billete alemán de diez marcas. Además del teorema de Gauss, se nombra en su honor la distribución gaussiana (la curva de campana), la desmagnetización y la unidad CGS para el campo magnético, y el cráter Gauss en la Luna.
2. Vamos a usar consistentemente la notación\(\partial\) (cosa) para denotar el límite de (cosa).
3. Mutatis mutandis.
4. Estamos asumiendo que eso\(V\) es “razonable”.
5. Es casi como si alguien amañara el ejemplo con esto en mente.
6. De hecho, es posible evaluar esta integral directamente, si se reconoce que la parte fea del integrando es impar bajo\(y\rightarrow-y\) y se integra exactamente a cero.
7. Se puede revisar en §1.6 del texto CLP-2.
8. La ecuación del calor fue formulada por el matemático y físico francés Jean-Baptiste Joseph Fourier en 1807. Vivió de 1768 a 1830, período que incluyó tanto la revolución francesa como el reinado de Napoleón. De hecho, Fourier sirvió en su Comité Revolucionario local, fue encarcelado brevemente durante el Terror y fue asesor científico de Napoleón Bonaparte en su expedición egipcia de 1798. La serie de Fourier y la transformada de Fourier llevan su nombre. A Fourier también se le atribuye el descubrimiento del efecto invernadero.
9. Ahora se entiende que el calor surge de la energía interna del objeto. En una teoría anterior, el calor se veía como medir un fluido invisible, llamado calórico. La cantidad de calórica que un objeto podía contener fue llamada su “capacidad calorífica” por el médico y químico escocés Joseph Black (1728—1799).
10. La teoría calórica del calor fue destruida por el experimento de perforación de cañones de 1798. En este experimento el físico americano/británico Benjamin Thompson (1753-1814) hirvió agua con solo usar el calor generado por la fricción durante la perforación de un cañón.
11. Inserte aquí una nota sarcástica al pie de página.
12. El lector interesado debe hacer una búsqueda neta de la historia de Arquímedes y la corona dorada.
13. El primer diseño de un barco autoajustable fue ingresado por William Wouldhave en un concurso de diseño de botes salvavidas organizado por el comité de la Casa de Leyes de South Shield en 1789.
14. Una taza de té en la cocina no cuenta.
15. A esto se refería Arquímedes cuando dijo “Dame una palanca y un lugar para pararme y voy a mover la tierra”.
16. Apenas 12 gramos de carbono contienen aproximadamente\(6\times 10^{23}\) átomos.
17. ¡Los matemáticos y sus idealizaciones! Realmente las varillas solo representan las fuerzas atómicas/químicas que mantienen unida la madera.
18. Tenga en cuenta que esto es solo el promedio ponderado (sin juego de palabras intencionado) de las posiciones de las partículas.
19. O teeter-totter para quienes hablan un dialecto inglés diferente.
20. Supongamos, por ejemplo, que, para grandes\(|\vecs{r} -\vecs{r} _0|\text{,}\)\(|\varphi(\vecs{r} )|\) está delimitado por tiempos constantes\(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\) y\(|\vecs{ \nabla} \varphi(\vecs{r} )|\) está delimitado por un tiempo constante\(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^2}\text{.}\) Entonces, si\(\partial V\) es la esfera de radio\(R\) centrada en\(\vecs{r} _0\text{,}\)\(\partial V\) tiene área de superficie\(4\pi R^2\) y las dos integrales sobre \(\partial V\)están delimitados por tiempos constantes\(\frac{1}{R}\text{.}\)
21. Obsérvese que el teorema no pretende que lo\(\varphi\) definido en el teorema obedezca\(\vecs{ \nabla} ^2\varphi = 4\pi\rho\text{.}\) Lo hace, pero la prueba está más allá de nuestro alcance.
22. Podrías preocuparte por la singularidad en\(\frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\) al aplicar\(\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}\) a\(\iiint_{V_\varepsilon} \frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} dV\text{.}\) Que esta singularidad sea inofensiva se puede ver usando coordenadas esféricas centradas en\(\vecs{r} _0\text{.}\) Entonces\(\text{d}V\) contiene un factor de\(|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^2\) (ver §A.6.3), que elimina por completo la singularidad.