4.3: Teorema de Green

Nuestra siguiente variante del teorema fundamental del cálculo es el teorema ¹ de Green, que relaciona una integral, de una derivada de una función (valorada por vector), sobre una región en el\(xy\) plano, con una integral de la función sobre la curva que delimita la región. Primero necesitamos definir algunas propiedades de las curvas.

Definición 4.3.1

1. Se dice que una curva\(C\) con parametrización\(\vecs{r} (t)\text{,}\)\(a\le t\le b\text{,}\) está cerrada si\(\vecs{r} (a)=\vecs{r} (b)\text{.}\)
2. Se dice que una curva\(C\) es simple si no se cruza sola. Más precisamente, si\(\vecs{r} (t)\text{,}\)\(a\le t\le b\text{,}\) es una parametrización de la curva y si\(a\le t_1,t_2\le b\) obedecer\(t_1\ne t_2\) y\(\{t_1,t_2\} \ne\{a,b\}\text{,}\) entonces\(\vecs{r} (t_1)\ne \vecs{r} (t_2)\text{.}\) Eso es, si\(\vecs{r} (t_1)=\vecs{r} (t_2)\text{,}\) entonces\(t_1=t_2\) o\(t_1=a\text{,}\)\(t_2=b\text{,}\) o\(t_1=b\text{,}\)\(t_2=a\text{.}\)
3. Una curva\(C\) es lisa por tramos si tiene una parametrización\(\vecs{r} (t)\) que
   • es continuo y que
   • es diferenciable excepto posiblemente en muchos puntos finitamente con
   • siendo la derivada continua y distinta de cero excepto posiblemente en muchos puntos finitamente.

Aquí hay bocetos de algunos ejemplos.

Y aquí está el teorema de Green.

Teorema 4.3.2. Teorema de Green

Let

• \(R\)ser una región finita en el\(xy\) plano,
• el límite,\(C\text{,}\) de\(R\) consiste en un número finito de curvas cerradas simples y lisas por tramos
  • que están orientados (es decir, se ponen flechas\(C\)) consistentemente con\(R\) en el sentido de que si caminas\(C\) en la dirección de las flechas, entonces\(R\) está a tu izquierda

    

    

• \(F_1(x,y)\)y\(F_2(x,y)\) tener primeras derivadas parciales continuas en cada punto de\(R\text{.}\)

Entonces

\[ \oint_{C} \big[F_1(x,y)\,\text{d}x +F_2(x,y)\,\text{d}y\big] =\iint_{R}\left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\ \text{d}x\text{d}y \nonumber \]

Advertencia 4.3.3

Nótese que en el Teorema 4.3.2 estamos asumiendo que\(F_1\) y\(F_2\) tenemos continuas primeras derivadas parciales en cada punto de\(R\text{.}\) Si ese no es el caso, por ejemplo porque\(F_1\) o\(F_2\) no se define en todos\(R\text{,}\) entonces la conclusión del teorema de Green puede fallar. Un ejemplo es\(F_1=-\frac{y}{x^2+y^2}\text{,}\)\(F_2=\frac{x}{x^2+y^2}\text{,}\)\(R=\left \{(x,y)|x^2+y^2\le 1\right \}\text{.}\) Ver Ejemplos 4.3.7 y 4.3.8.

Aquí hay tres observaciones notacionales antes de comenzar la prueba.

• Una forma de recordar el integrando en el lado derecho es escribirlo como\((\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\cdot\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)
• Mucha gente usa\(M\) en lugar de\(F_1\) y\(N\) en lugar de\(F_2\text{.}\) Entonces el teorema de Green se convierte\(\oint_{C} \big[M(x,y)\,\text{d}x +N(x,y)\,\text{d}y\big] =\iint_{R}\Big(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\Big)\ \text{d}x\text{d}y\)
• El símbolo\(\oint_C\) es solo una notación alternativa para\(\int_C\) que a veces se usa cuando\(C\) es una curva cerrada. Ver Notación 2.4.1.

Prueba

Demostramos el resultado reformulándolo como una declaración de teorema de divergencia. Para ello, definimos

\[\begin{align*} V&=\left \{(x,y,z)|(x,y)\in R,\ \ 0\le z\le 1\right \}\\ \textbf{G}(x,y,z) &= F_2(x,y)\,\hat{\pmb{\imath}} -F_1(x,y)\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]

Observe que\(V\) es exactamente el volumen obtenido al expandirse\(R\) verticalmente hacia arriba en una unidad.

La definición de\(\textbf{G}\) no contiene un error tipográfico — el\(x\) -componente de\(\textbf{G}\) realmente es\(F_2\) y el\(y\) -componente de\(\textbf{G}\) realmente es\(-F_1\text{.}\) (Más o menos al revés de lo que normalmente escribirías.)

Estas definiciones han sido amañadas de manera que el teorema de divergencia aplicado a\(\textbf{G}\) y\(V\text{,}\) es decir

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} \textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G}\ \text{d}V \end{align*}\]

nos da exactamente el teorema de Green, como veremos ahora.

Dado que\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G} = \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\text{,}\) el lado derecho es solo

\[\begin{align*} \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G}\ \text{d}V &= \iint_{R}\text{d}x\text{d}y\int_0^1\text{d}z \ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G}\\ &= \iint_{R}\text{d}x\text{d}y\int_0^1\text{d}z \ \left(\frac{\partial F_2}{\partial x}(x,y) - \frac{\partial F_1}{\partial y}(x,y)\right)\\ &= \iint_{R}\text{d}x\text{d}y\ \left(\frac{\partial F_2}{\partial x}(x,y) - \frac{\partial F_1}{\partial y}(x,y)\right) \end{align*}\]

porque el integrando es independiente de\(z\text{.}\) Este es exactamente el lado derecho del teorema de Green.

Ahora por el lado izquierdo. El límite,\(\partial V\text{,}\) de\(V\) es la unión de la parte inferior (plana), la parte superior (plana) y el lado (curvo). La unidad exterior normal en la parte superior (horizontal, plana) es\(+\hat{\mathbf{k}}\) y la unidad exterior normal en la parte inferior (horizontal, plana) es de\(-\hat{\mathbf{k}}\) manera que

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} \textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iint_{\text{top}} \textbf{G}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,\text{d}S +\iint_{\text{bottom}} \textbf{G}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\text{d}S +\iint_{\text{side}} \textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\\ &=\iint_{\text{side}} \textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

Hemos utilizado el hecho de que el\(\hat{\mathbf{k}}\) componente de\(\textbf{G}\) es exactamente cero para descartar las integrales sobre la parte superior e inferior de\(\partial V\text{.}\) Para evaluar la integral sobre el lado, parametrizaremos el lado. Supongamos que\(\vecs{r} (t)=x(t)\,\hat{\pmb{\imath}} +y(t)\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\)\(a\le t\le b\text{,}\) es una parametrización de\(C\text{,}\) con la flecha en la figura anterior dando la dirección de aumentar\(t\text{.}\) Entonces podemos usar

\[\begin{gather*} \textbf{R}(t,z) = \vecs{r} (t) +z\,\hat{\mathbf{k}} = x(t)\,\hat{\pmb{\imath}} +y(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} +z\,\hat{\mathbf{k}} \qquad a\le t\le b,\ 0\le z\le 1 \end{gather*}\]

como parametrización del costado. Usaremos (3.3.1) para determinar\(\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) por el lado. Desde

\[\begin{align*} \frac{\partial\textbf{R}}{\partial t}(t,z) & = x'(t)\,\hat{\pmb{\imath}} +y'(t)\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \frac{\partial\textbf{R}}{\partial z}(t,z) & = \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

(3.3.1) da

\[\begin{align*} \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &= \frac{\partial\textbf{R}}{\partial t}(t,z)\times \frac{\partial\textbf{R}}{\partial z}(t,z)\ \text{d}t\text{d}z\\ &= \big(x'(t)\,\hat{\pmb{\imath}} +y'(t)\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\times \hat{\mathbf{k}}\ \text{d}t\text{d}z\\ &= \big(-x'(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} +y'(t)\,\hat{\pmb{\imath}}\big)\ \text{d}t\text{d}z \end{align*}\]

Tenga en cuenta que con esta elección de\(\pm\) signo (es decir,\(\frac{\partial\textbf{R}}{\partial t}\times \frac{\partial\textbf{R}}{\partial z}\ \text{d}t\text{d}z\) en lugar de\(-\frac{\partial\textbf{R}}{\partial t}\times \frac{\partial\textbf{R}}{\partial z}\ \text{d}t\text{d}z\)), el vector\(\hat{\textbf{n}}\) realmente es la normal que apunta hacia afuera, como vemos en el boceto

Ahora podemos calcular la integral de superficie directamente.

\[\begin{align*} &\iint_{\partial V} \textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\iint_{\text{side}} \textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\\ &\hskip0.25in=\int_a^b\text{d}t\int_0^1\text{d}z\ \textbf{G}\big(\textbf{R}(t,z)\big)\cdot \big(-x'(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} +y'(t)\,\hat{\pmb{\imath}}\big)\\ &\hskip0.25in=\int_a^b\text{d}t\int_0^1\text{d}z\ \big(F_2(x(t),y(t))\,\hat{\pmb{\imath}} -F_1(x(t),y(t))\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\cdot \big(-x'(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} +y'(t)\,\hat{\pmb{\imath}}\big)\\ &\hskip0.25in=\int_a^b\text{d}t\ \big[F_2(x(t),y(t))\,y'(t) +F_1(x(t),y(t))\,x'(t)\big]\\ &\hskip2in \text{since the integrand is independent of } z\\ &\hskip0.25in=\oint_{C} \big[F_1(x,y)\,\text{d}x +F_2(x,y)\,\text{d}y\big] \end{align*}\]

Este es exactamente el lado izquierdo del teorema de Green.

Ejemplo 4.3.4

Evaluar

\[ \oint_C\big[(x-xy)\,\text{d}x + (y^3+1)\,\text{d}y \nonumber \]

donde\(C\) esta la curva dada en la figura

Solución

Teorema de Let\(R=\left \{(x,y)|1\le x\le 2,\ 0\le y\le 1\right \}\text{.}\) By Green

\[\begin{align*} \oint_C\big[(x-xy)\,\text{d}x + (y^3+1)\,\text{d}y &=\iint_R\Big[\frac{\partial }{\partial x}(y^3+1) - \frac{\partial }{\partial y}(x-xy)\Big]\text{d}x\text{d}y\\ &=\int_1^2\text{d}x\int_0^1\text{d}y\ x =\frac{x^2}{2}\bigg|_1^2 =\frac{3}{2} \end{align*}\]

Aquí hay un simple corolario del teorema de Green que dice cómo calcular el área encerrada por una curva en el\(xy\) plano -plano.

Corolario 4.3.5

Let

• \(R\)ser una región finita en el\(xy\) -plano cuyo límite
• \(C\)consiste en un número finito de curvas cerradas simples y lisas por tramos.
• Orientar\(C\) (es decir, poner las flechas\(C\)) para que si caminas\(C\) en dirección a las flechas, entonces\(R\) esté a tu izquierda.

Entonces

\[ \text{Area}(R) =\oint_C x\text{d}y =-\oint_C y\text{d}x =\frac{1}{2}\oint_C \big[x\text{d}y -y\text{d}x\big] \nonumber \]

Prueba

Esto es solo el teorema de Green aplicado primero con\(\vecs{F} = x\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) luego con\(\vecs{F} = -y\,\hat{\pmb{\imath}}\) y finalmente con\(\vecs{F} = \frac{1}{2}\big[-y\,\hat{\pmb{\imath}} +x\,\hat{\pmb{\jmath}}\big]\text{.}\) Para los tres\(\vecs{F} \) de estos,

\[ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = 1 \nonumber \]

por lo que el teorema de Green da

\[\begin{align*} \oint_{C} \big[F_1(x,y)\,\text{d}x +F_2(x,y)\,\text{d}y\big] &=\iint_{R}\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\Big)\ \text{d}x\text{d}y =\iint_{R}\ \text{d}x\text{d}y\\ & = \text{Area}(R) \end{align*}\]

Ejemplo 4.3.6

En este ejemplo usaremos el teorema de Green para calcular el área encerrada por el astroide\(x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}\text{.}\)

En el Ejemplo 1.1.9 encontramos la parametrización

\[ \vecs{r} (t) = x(t)\,\hat{\pmb{\imath}} + y(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} = a\cos^3t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin^3 t\,\hat{\pmb{\jmath}} \qquad 0\le t\le 2\pi \nonumber \]

para el astroide. Entonces, por Corolario 4.3.5,

\[\begin{align*} \text{Area} &=\frac{1}{2}\oint_C \big[x\text{d}y -y\text{d}x\big] =\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \big[x(t)y'(t) -y(t)x'(t)\big]\text{d}t\\ &=\frac{3a^2}{2}\int_0^{2\pi} \big[\cos^3t\sin^2t\cos t +\sin^3t\cos^2 t\sin t\big]\text{d}t\\ &=\frac{3a^2}{2}\int_0^{2\pi} \cos^2t\sin^2t\big[\cos^2t +\sin^2t\big]\text{d}t\\ &=\frac{3a^2}{2}\int_0^{2\pi} \cos^2t\sin^2t\ \text{d}t\\ &=\frac{3a^2}{8}\int_0^{2\pi} \sin^2(2t)\ \text{d}t =\frac{3a^2}{16}\int_0^{2\pi} [1-\cos(4t)]\ \text{d}t\\ &=\frac{3}{8}a^2\pi \end{align*}\]

Ejemplo 4.3.7. Pregunta Truco

Evaluar

\[ \oint_C\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

donde

\[ \textbf{B} = \frac{-y\,\hat{\pmb{\imath}}+x\,\hat{\pmb{\jmath}}}{x^2+y^2} \nonumber \]

y\(C\) es la curva

\[\begin{align*} x(t) &= \sin(\cos t)\\ y(t) &= \sin(\sin t)\\ z(t) &= 0 \end{align*}\]

con\(0\le t\le 2\pi\text{.}\)

Solución

Primero pensemos en la curva\(C\text{.}\) Si la curva fuera justa\(X(t)=\cos t\text{,}\)\(Y(t)=\sin t\text{,}\)\(Z(t)=0\text{,}\) sería el círculo unitario centrado en el origen en el\(xy\) plano -plano, atravesado en sentido antihorario. Para\(-\frac{\pi}{2}\le u\le \frac{\pi}{2}\text{,}\) la función\(\sin u\) aumenta monótonamente con\(u\) y es del mismo signo que de\(u\) manera que, ya que\(|\sin t|,|\cos t|\le 1 \lt \frac{\pi}{2}\text{,}\)

• \(x(t) = \sin\big(\cos t)\)tiene el mismo signo que\(X(t)=\cos t\) y está aumentando precisamente en los mismos como\(t\) es\(X(t)\)
• \(y(t) = \sin\big(\sin t)\)tiene el mismo signo que\(Y(t)=\sin t\) y está aumentando precisamente en los mismos como\(t\) es\(Y(t)\)

Entonces el seno extra en nuestra parametrización de\(C\) solo distorsiona el círculo, enderezando un poco los lados como se representa aquí.

Parece que nuestro problema es un problema sencillo del teorema de Green como Ejemplo 4.3.4. Solo intentemos usar la estrategia del Ejemplo 4.3.4. Porque

\[\begin{align*} \frac{\partial \textbf{B}_2}{\partial x} - \frac{\partial \textbf{B}_1}{\partial y} &=\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{x^2+y^2} - \frac{\partial }{\partial y}\frac{-y}{x^2+y^2}\\ &= \frac{1}{x^2+y^2} - \frac{2x^2}{{(x^2+y^2)}^2} +\frac{1}{x^2+y^2} - \frac{2y^2}{{(x^2+y^2)}^2}\\ &= \frac{(x^2+y^2) - 2x^2 + (x^2+y^2) - 2y^2}{{(x^2+y^2)}^2}\\ &=0 \end{align*}\]

parece que el teorema de Green nos da, trivialmente,

\[ \oint_C\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} =\oint_C\big[\textbf{B}_1\,\text{d}x +\textbf{B}_2\,\text{d}y\big] = \iint_{R}\left(\frac{\partial B_2}{\partial x} - \frac{\partial B_1}{\partial y}\right)\ \text{d}x\text{d}y =0 \nonumber \]

donde\(R\) esta la region dentro de nuestra curva\(C\text{.}\)

Eso fue fácil, ¡pero también está muy mal! Nuestros próximos pasos son

• verificar eso\(\oint_C\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} \ne 0\text{,}\) y
• explicar por qué obtuvimos la respuesta equivocada, y
• modificar nuestro cómputo para dar la respuesta correcta. Esto lo haremos en el Ejemplo 4.3.8.

Verificación de que\(\oint_C\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} \ne 0\text{:}\)}

Desde

\[\begin{align*} x'(t) &= -\cos(\cos t)\ \sin t\\ y'(t) &= \cos(\sin t)\ \cos t\\ z'(t) &= 0 \end{align*}\]

nuestra integral es

\[\begin{align*} \oint_C\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} &=\oint_C\big[\textbf{B}_1\,\text{d}x +\textbf{B}_2\,\text{d}y\big]\\ &=\int_0^{2\pi}\big[\textbf{B}_1\big(x(t),y(t)\big)\,x'(t) +\textbf{B}_2\,\big(x(t),y(t)\big)\,y'(t)\big]\text{d}t\\ &=\int_0^{2\pi} \frac{\sin(\sin t)\,\cos(\cos t)\,\sin t +\sin(\cos t)\,\cos(\sin t)\,\cos t} {\sin^2(\cos t) +\sin^2(\sin t)} \text{d}t \end{align*}\]

Esta es una integral de aspecto muy feo ². Pero aunque no podamos evaluar la integral, podemos ver que el integrando es estrictamente positivo, y eso obliga\(\oint_C\textbf{B}\cdot\vecs{r} \gt 0\text{.}\) a Porque

\[ 0\le|\sin t|,|\cos t|\le 1 \lt \frac{\pi}{2} \nonumber \]

• \(\cos(\cos t) \gt 0\text{,}\)y\(\sin(\sin t)\) tiene el mismo signo que\(\sin t\text{,}\) y\(\sin(\sin t)\) es cero si y sólo si\(\sin t=0\text{.}\) Así que el primer término en el numerador,

  \[ \cos(\cos t)\,\sin(\sin t)\,\sin t\ge 0 \nonumber \]

  y es cero si y solo si\(\sin t=0\)
• \(\cos(\sin t) \gt 0\text{,}\)y\(\sin(\cos t)\) tiene el mismo signo que\(\cos t\text{,}\) y\(\sin(\cos t)\) es cero si y sólo si\(\cos t=0\text{.}\) Así que el segundo término en el numerador,

  \[ \cos(\sin t)\,\sin(\cos t)\,\cos t\ge 0 \nonumber \]

  y es cero si y solo si\(\cos t=0\text{.}\)
• No hay\(t\) para lo cual ambos\(\sin t\) y simultáneamente\(\cos t\) son cero. Así que todo el numerador

  \[ \sin(\sin t)\,\cos(\cos t)\,\sin t +\sin(\cos t)\,\cos(\sin t)\,\cos t \gt 0 \nonumber \]

  es estrictamente positivo.

Dado que el integrando es estrictamente positivo, lo integral es estrictamente positivo.

Por qué obtuvimos la respuesta equivocada:

En nuestro cálculo inicial e incorrecto anterior, asumimos que\(\frac{\partial B_2}{\partial x}(x,y) - \frac{\partial B_1}{\partial y}(x,y)=0\) en todos los puntos\((x,y)\) de la región\(R\) dentro\(C\text{.}\) Eso no es cierto. Si bien es cierto para la mayoría de los puntos, no lo es para todos los puntos. El campo vectorial no\(\textbf{B}(x,y)\) está definido en\((x,y)=(0,0)\text{.}\) Así tampoco\(\frac{\partial B_2}{\partial x}(x,y) - \frac{\partial B_1}{\partial y}(x,y)\) se define en\((x,y)=(0,0)\text{.}\) Eso es suficiente para invalidar el teorema de Green. Lea nuevamente atentamente el enunciado del Teorema 4.3.2.

Ejemplo 4.3.8. Ejemplo 4.3.7, de nuevo.

Evaluar

\[ \oint_C\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

donde

\[ \textbf{B} = \frac{-y\,\hat{\pmb{\imath}}+x\,\hat{\pmb{\jmath}}}{x^2+y^2} \nonumber \]

y\(C\) es la curva

\[\begin{align*} x(t) &= \sin(\cos t)\\ y(t) &= \sin(\sin t)\\ z(t) &= 0 \end{align*}\]

con\(0\le t\le 2\pi\text{.}\)

Solución

Esta es la misma integral que calculamos incorrectamente en el Ejemplo 4.3.7. Usaremos dos ingredientes para calcular\(\oint_C\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} \) correctamente.

• Dejar\(a \gt 0\) y denotar por\(C_a\) el círculo orientado en el sentido de las agujas del reloj en el\(xy\) -plano que es de radio\(a\) y está centrado en el origen. Podemos computar explícitamente\(\oint_{C_a}\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} \text{.}\) Para hacerlo simplemente parametrizar\(C_a\) por\(x(t)=a\cos t\text{,}\)\(y(t) = a\sin t\text{,}\)\(z(t)=0\text{.}\) Entonces\(x'(t)=-a\sin t\text{,}\)\(y(t) = a\cos t\) y

  \[\begin{align*} \oint_{C_a}\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} &=\int_0^{2\pi}\Big[\frac{-a\sin t\,\hat{\pmb{\imath}}+a\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}} {a^2\cos^2t+a^2\sin^2t}\Big] \cdot\big[-a\sin t\,\hat{\pmb{\imath}}+a\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big] \text{d}t\\ &=\int_0^{2\pi}\text{d}t=2\pi \end{align*}\]

• Elija un\(a\) que sea lo suficientemente pequeño que\(C_a\) se encuentre completamente dentro\(C\) y aplique el teorema de Green con la región, es\(R_a\text{,}\) decir entre\(C\) y\(C_a\text{.}\)

El límite de la curva\(R_a\) tiene dos componentes,\(C\) y ahora\(C_a\) está orientado en\(C_a\text{,}\) el sentido de las agujas del reloj. (Recordemos que, en el teorema de Green, cuando caminas por una curva limítrofe en dirección a la flecha,\(R_a\) tiene que estar a tu izquierda.). Se usa\(-C_a\) para denotar\(C_a\) orientado hacia la derecha. \(\frac{\partial B_2}{\partial x}(x,y) - \frac{\partial B_1}{\partial y}(x,y)\)realmente es cero en todos los puntos\((x,y)\) de la región\(R_a\text{.}\) Así que el teorema de Green da

\[\begin{align*} 0&= \iint_{R_a}\Big(\frac{\partial B_2}{\partial x} - \frac{\partial B_1}{\partial y}\Big)\ \text{d}x\text{d}y = \oint_{C}\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} + \oint_{-C_a}\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} \\ & = \oint_{C}\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} - \oint_{C_a}\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} \end{align*}\]

y así

\[\begin{gather*} \oint_{C}\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} = \oint_{C_a}\textbf{B}\cdot\text{d}\vecs{r} =2\pi \end{gather*}\]

Ejercicios

Etapa 1

1

Que\(R\) sea la plaza

\[\begin{gather*} R=\left \{(x,y)|0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\right \} \end{gather*}\]

y dejar\(f(x,y)\) tener primeras derivadas parciales continuas.

1. Utilizar el teorema fundamental del cálculo para demostrar que

   \[\begin{gather*} \iint_R\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\ \text{d}x\,\text{d}y =\int_0^1 f(x,1)\ \text{d}x - \int_0^1 f(x,0)\ \text{d}x \end{gather*}\]

2. Usa el teorema de Green para demostrar que

   \[\begin{gather*} \iint_R\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\ \text{d}x\,\text{d}y =\int_0^1 f(x,1)\ \text{d}x - \int_0^1 f(x,0)\ \text{d}x \end{gather*}\]

2

Let\(R\) Ser una región finita en el\(xy\) -plano, cuyo límite,\(C\text{,}\) consiste en una sola curva cerrada, lisa, por tramos, simple que se orienta hacia la derecha hacia la costa. “Simple” significa que la curva no se cruza sola. Usa el teorema de Green para demostrar que

\[ \iint_R\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}x\,\text{d}y=\oint_C\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}s \nonumber \]

donde\(\vecs{F} =F_1\,\hat{\pmb{\imath}}+F_2\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\)\(\hat{\textbf{n}}\) es la unidad externa normal a\(C\) y\(s\) es la longitud del arco a lo largo\(C\text{.}\)

3

Integrar en\(\displaystyle \frac{1}{2\pi}\oint_C \frac{x\,\text{d}y-y\,\text{d}x}{x^2+y^2}\) sentido antihorario alrededor

1. el círculo\(x^2+y^2=a^2\)
2. el límite del cuadrado con vértices\((-1,-1)\text{,}\)\((-1,1)\text{,}\)\((1,1)\) y\((1,-1)\)
3. el límite de la región\(1\le x^2+y^2\le 2,\ y\ge0\)

4

Demostrar que

\[\begin{gather*} \frac{\partial}{\partial x}\Big( \frac{x}{x^2+y^2}\Big) =\frac{\partial}{\partial y}\Big( \frac{-y}{x^2+y^2}\Big) \end{gather*}\]

para todos\((x,y)\ne (0,0)\text{.}\) Discutir la conexión entre este resultado y los resultados de Q [4.3.1.3].

Etapa 2

5

Evaluar\(\int_C\vecs{F} \cdot d\vecs{r} \) dónde\(\vecs{F} = x^2y^2\,\hat{\pmb{\imath}} + 2xy\,\hat{\pmb{\jmath}}\) y\(C\) es el límite del cuadrado en el\(xy\) plano -que tiene un vértice en el origen y vértice diagonalmente opuesto en el punto\((3, 3)\text{,}\) orientado en sentido antihorario.

6

Evaluar\(\displaystyle \oint_C (x\sin y^2 -y^2)\,\text{d}x+(x^2y\cos y^2+3x)\,\text{d}y\) dónde\(C\) está el límite antihorario del trapecio con vértices\((0,-2),\ (1,-1),\ (1,1)\) y\((0,2)\text{.}\)

7. ✳

Evaluar\(I= \displaystyle \oint_{\mathcal{C}} \Big(\frac{1}{3}x^2y^3-x^4y\Big)\,\text{d}x +\big(xy^4+x^3y^2\big)\,\text{d}y\) en sentido antihorario alrededor del límite del medio disco\(0\le y\le \sqrt{4-x^2}\text{.}\)

8. ✳

Dejar\(\mathcal{C}\) ser el límite antihorario del rectángulo con vértices\((1,0)\text{,}\)\((3,0)\text{,}\)\((3,1)\) y\((1,1)\text{.}\) Evaluar

\[ \oint_\mathcal{C}\big(3y^2+2xe^{y^2}\big)\,\text{d}x + \big(2yx^2 e^{y^2}\big)\,\text{d}y \nonumber \]

9. ✳

Considera la región cerrada encerrada por las curvas\(y = x^2 + 4x + 4\) y\(y = 4 - x^2\text{.}\) Let\(C\) be su límite y supongamos que\(C\) está orientada en sentido antihorario.

1. Dibuja la curva orientada\(C\) cuidadosamente en el\(xy\) plano.
2. Determinar el valor de

   \[ \oint_C xy\, \text{d}x + (e^y + x^2 ) \text{d}y \nonumber \]

10. ✳

Let

\[ \vecs{F} (x, y) = \big(y^2 - e^{-y^2} + \sin x\,,\, 2xye^{-y^2} + x\big) \nonumber \]

Dejar\(C\) ser el límite del triángulo con vértices\((0, 0)\text{,}\)\((1, 0)\) y\((1, 2)\text{,}\) orientado en sentido antihorario. Compute

\[ \int_C \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

11. ✳

Supongamos que la curva\(C\) es el límite de la región encerrada entre las curvas\(y = x^2 - 4x+3\) y\(y = 3 - x^2 + 2x\text{.}\) Determine el valor de la integral de línea

\[ \int_C \big(2xe^y + \sqrt{2 + x^2}\big)\, \text{d}x + x^2 (2 + e^y)\, \text{d}y \nonumber \]

donde\(C\) se atraviesa en sentido antihorario.

12. ✳

Let

\[\begin{gather*} \vecs{F} (x,y) = \big(\tfrac{3}{2}y^2 + e^{-y} +\sin x\big)\,\hat{\pmb{\imath}} +\big(\tfrac{1}{2}x^2+x-x e^{-y}\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]

Encuentra\(\int_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{,}\) dónde\(C\) está el límite del triángulo\((0,0)\text{,}\)\((1,-2)\text{,}\)\((1,2)\text{,}\) orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

13. ✳

1. Usar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

   \[ \int_C \frac{-y}{x^2+y^2}\text{d}x + \frac{x}{x^2+y^2}\text{d}y \nonumber \]

   donde\(C\) esta el arco de la parabola\(y = \frac{1}{4}x^2 + 1\) desde\((-2, 2)\) hasta\((2, 2)\text{.}\)
2. Usar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

   \[ \int_C \frac{-y}{x^2+y^2}\text{d}x + \frac{x}{x^2+y^2}\text{d}y \nonumber \]

   donde\(C\) esta el arco de la parabola\(y = x^2 -2\) desde\((-2, 2)\) hasta\((2, 2)\text{.}\)
3. Es el campo vectorial

   \[ \vecs{F} =\frac{-y}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\imath}} + \frac{x}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

   ¿conservadora? Proporcione una razón para su respuesta basada en sus respuestas a las partes anteriores de esta pregunta.

14. ✳

Supongamos que la curva\(C\) es el límite de la región encerrada entre las curvas\(y = x^2 - 4x + 3\) y\(y = 3 - x^2 + 2x\text{.}\) Determine el valor de la integral de línea

\[ \int_C \big(2xe^y + \sqrt{2} + x^2\big)\text{d}x + x^2 \big(2 + e^y)\text{d}y \nonumber \]

donde\(C\) se atraviesa en sentido antihorario.

15. ✳

Dejar\(\vecs{F} (x, y) = P \,\hat{\pmb{\imath}} + Q\,\hat{\pmb{\jmath}}\) ser un campo de vector plano liso definido para\((x,y) \ne (0, 0)\text{,}\) y supongamos\(Q_x = P_y\) para\((x,y) \ne (0, 0)\text{.}\) En lo siguiente\(I_j = \int_{C_j} \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) para entero\(j\text{,}\) y todos\(C_j\) son círculos orientados positivamente. Supongamos\(I_1 = \pi\) dónde\(C_1\) está el círculo\(x^2 + y^2 = 1\text{.}\)

1. Encuentra\(I_2\) para\(C_2 : (x - 2)^2 + y^2 = 1\text{.}\) Explique brevemente.
2. Encuentra\(I_3\) para\(C_3 : (x - 2)^2 + y^2 = 9\text{.}\) Explique brevemente.
3. Encuentra\(I_4\) para\(C_4 : (x - 2)^2 + (y-2)^2 = 9\text{.}\) Explique brevemente.

16. ✳

Considere el campo vectorial\(\vecs{F} = P\,\hat{\pmb{\imath}} + Q\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) donde

\[ P=\frac{x+y}{x^2+y^2},\qquad Q=\frac{y-x}{x^2+y^2} \nonumber \]

1. Compute y simplifique\(Q_x - P_y\text{.}\)
2. Calcular la integral\(\int_{C_R} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) directamente usando una parametrización, donde\(C_R\) está el círculo de radio\(R\text{,}\) centrado en el origen y orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.
3. ¿Es\(\vecs{F} \) conservador? Explica cuidadosamente cómo encaja tu respuesta con los resultados que obtuviste en las dos primeras partes.
4. Usa el teorema de Green para calcular\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) dónde\(C\) está el triángulo con vértices\((1, 1)\text{,}\)\((1, 0)\text{,}\)\((0, 1)\) orientados en sentido contrario a las agujas del reloj.
5. Usa el teorema de Green para calcular\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) dónde\(C\) está el triángulo con vértices\((-1, -1)\text{,}\)\((1, 0)\text{,}\)\((0, 1)\) orientados en sentido contrario a las agujas del reloj.

17. ✳

1. Evaluar

   \[ \int_C \sqrt{1+x^3}\,\text{d}x +\big(2xy^2 + y^2\big)\,\text{d}y \nonumber \]

   donde\(C\) está el círculo de la unidad\(x^2+y^2 = 1\text{,}\) orientado en sentido antihorario.
2. Evaluar

   \[ \int_C \sqrt{1+x^3}\,\text{d}x +\big(2xy^2 + y^2\big)\,\text{d}y \nonumber \]

   donde\(C\) está ahora la parte del círculo unitario\(x^2+y^2 = 1\text{,}\) con\(x\ge 0\text{,}\) todavía orientada en sentido antihorario.

Etapa 3

18. ✳

Evaluar la integral de línea

\[ \int_C (x^2 + y e^x ) \,\text{d}x + (x \cos y + e^x ) \,\text{d}y \nonumber \]

donde\(C\) está el arco de la curva\(x = \cos y\) para\(-\pi/2 \le y \le \pi/2\text{,}\) atravesado en la dirección de aumentar\(y\text{.}\)

19. ✳

Usa el teorema de Green para establecer que si\(C\) es una curva cerrada simple en el plano, entonces el área\(A\) encerrada\(C\) está dada por

\[ A=\frac{1}{2}\oint_C x\,\text{d}y-y\,\text{d}x \nonumber \]

Usa esto para calcular el área dentro de la curva\(x^{2/3}+y^{2/3}=1\text{.}\)

20. ✳

Dejar\(\vecs{F} (x,y)=(x+3y)\,\hat{\pmb{\imath}}+(x+y)\,\hat{\pmb{\jmath}}\) y\(\textbf{G} (x,y)=(x+y)\,\hat{\pmb{\imath}}+(2x-3y)\,\hat{\pmb{\jmath}}\) ser campos vectoriales. Encuentra un número\(A\) tal que por cada círculo\(C\) en el plano

\[ \oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =A\oint_C\textbf{G} \cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]

21. ✳

Let\(\vecs{F} (x,y) = \frac{y^3}{ {(x^2+y^2)}^2}\hat{\pmb{\imath}} -\frac{xy^2}{ {(x^2+y^2)}^2}\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\)\((x,y)\ne (0,0)\text{.}\)

1. Calcular\(\oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) dónde\(C\) está el círculo unitario en el\(xy\) plano -orientado positivamente.
2. Use (a) y el teorema de Green para encontrar\(\oint_{C_0}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) dónde\(C_0\) está la elipse orientada\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\text{,}\) positivamente.

22. ✳

Dejar\(\mathcal{C}_1\) ser el círculo\((x-2)^2+y^2=1\) y dejar que\(\mathcal{C}_2\) sea el círculo\((x-2)^2+y^2=9\text{.}\) Deja\(\vecs{F} =-\frac{y}{x^2+y^2}\,\hat{\pmb{\imath}}+\frac{x}{x^2+y^2}\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\) encontrar las integrales\(\oint_{\mathcal{C}_1}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) y\(\oint_{\mathcal{C}_2}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \text{.}\)

23. ✳

Dejar\(R\) ser la región en el primer cuadrante del\(xy\) -plano delimitada por los ejes de coordenadas y la curva\(y=1-x^2\text{.}\) Let\(\mathcal{C}\) ser el límite de\(R\text{,}\) orientado en sentido antihorario.

1. Evaluar\(\int_\mathcal{C} x\,\text{d}s\text{.}\)
2. Evaluar\(\int_\mathcal{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \text{,}\) dónde\(\vecs{F} (x,y) =\big(\sin(x^2)-xy\big)\,\hat{\pmb{\imath}}+\big(x^2+\cos(y^2)\big)\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\)

24. ✳

Dejar\(C\) ser la curva definida por la intersección de las superficies\(z = x + y\) y\(z = x^2 + y^2\text{.}\)

1. Mostrar que\(C\) es una simple curva cerrada.
2. Evaluar\(\oint_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) dónde
   1. \(\vecs{F} = x^2\,\hat{\pmb{\imath}} + y^2\,\hat{\pmb{\jmath}} + 3 e^z\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)
   2. \(\vecs{F} = y^2\,\hat{\pmb{\imath}} + x^2\,\hat{\pmb{\jmath}} + 3 e^z\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

25

Encuentra una curva suave, simple, cerrada, orientada en sentido antihorario,\(C\text{,}\) en el\(xy\) plano -para el cual el valor de la integral de línea\(\oint_C(y^3-y)\,\text{d}x-2x^3\,dy\) es máximo entre todas las curvas suaves, simples, cerradas, orientadas en sentido antihorario.

1. George Green (1793—1841) fue un físico matemático británico. Pasó gran parte de la primera parte de su vida trabajando en la panadería y molino de grano de su padre. Finalmente fue admitido como licenciatura en Cambridge en 1832, con casi cuarenta años.
2. ¡Efectivamente!