4.4: Teorema de Stokes

Nuestra última variante del teorema fundamental del cálculo es el teorema ¹ de Stokes, que es como el teorema de Green, pero en tres dimensiones. Se relaciona una integral sobre una superficie finita\(\mathbb{R}^3\) con una integral sobre la curva que delimita la superficie.

Teorema 4.4.1. Teorema de Stokes

Let

• \(S\)ser una superficie orientada lisa por piezas (es decir, se\(\hat{\textbf{n}}\) ha elegido una unidad normal en cada punto de\(S\) y esta elección depende continuamente del punto)
• el límite,\(\partial S\text{,}\) de la superficie\(S\) consiste en un número finito de curvas simples y lisas por tramos que se orientan consistentemente\(\hat{\textbf{n}}\) en el sentido de que
  • si caminas\(\partial S\) en la dirección de la flecha en\(\partial S\text{,}\)
  • con el vector de tus pies a tu cabeza teniendo dirección\(\hat{\textbf{n}}\)
  • entonces\(S\) está en tu lado izquierdo.

    

• \(\vecs{F} \)ser un campo vectorial que tiene primeras derivadas parciales continuas en cada punto de\(S\text{.}\)

Entonces

\[ \oint_{\partial S}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\iint_{S}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S \nonumber \]

Tenga en cuenta que

• en el teorema de Stokes,\(S\) debe ser una superficie orientada. En particular,\(S\) puede no ser una tira de Möbius. (Ver Ejemplo 3.5.3.)
• Si\(S\) es parte del\(xy\) -plano, entonces el teorema de Stokes se reduce al teorema de Green. Nuestra prueba del teorema de Stokes consistirá en reescribir las integrales para permitir una aplicación del teorema de Green.
• Si\(\partial S\) es una curva cerrada simple y
  • cuando miras\(\partial S\) desde lo alto en el\(z\) eje -eje, se orienta en sentido antihorario (mira la figura en el Teorema 4.4.1), luego
  • \(\hat{\textbf{n}}\)está apuntando hacia arriba, es decir, tiene\(z\) -componente positivo, al menos cerca\(\partial S\text{.}\)

Prueba

Escribir\(\vecs{F} =F_1\,\hat{\pmb{\imath}}+F_2\,\hat{\pmb{\jmath}}+F_3\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Ambas integrales implican\(F_1\) términos y\(F_2\) términos y\(F_3\) términos. Demostraremos que los\(F_1\) términos en las dos integrales están de acuerdo. Es decir, asumiremos que\(\vecs{F} =F_1\hat{\pmb{\imath}}\text{.}\) Las pruebas que el\(F_2\) y\(F_3\) términos también acuerden son similares. Por simplicidad, asumiremos ² que el límite de\(S\) consiste en una sola curva, y que podemos

• elegir una parametrización de\(S\) con

  \[ S=\left \{\vecs{r} (u,v)=\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)| (u,v)\text{ in } R\subset\mathbb{R}^2\right \}  \nonumber \]

  y con\(\vecs{r} (u,v)\) orientación preservando en el sentido de que\(\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = +\frac{\partial \vecs{r} }{\partial u} \times \frac{\partial \vecs{r} }{\partial v}\,\text{d}u\,\text{d}v\text{.}\) también
• escoge una parametrización de la curva,\(\partial R\text{,}\) limitando\(R\) como\(\big( u(t), v(t)\big)\text{,}\)\(a\le t\le b\text{,}\) de tal manera que cuando caminas\(\partial R\) en la dirección de aumentar\(t\text{,}\) entonces\(R\) está a tu izquierda.

Entonces el\(\partial S\) límite de la curva se\(S\) puede parametrizar como\(\textbf{R}(t)=\vecs{r} \big(u(t),v(t)\big)\text{,}\)\(a\le t\le b\text{.}\)

La orientación de\(\textbf{R}(t)\text{:}\)

Ahora verificaremos que la dirección de incremento\(t\) para la parametrización\(\textbf{R}(t)\) de\(\partial S\) es la dirección de la flecha\(\partial S\) en la figura de arriba a la izquierda.

Por continuidad, basta con verificar la orientación en un solo punto.

Encuentra un punto\((u_0,v_0)\) en\(\partial R\) donde el vector tangente apuntando hacia adelante es un múltiplo positivo de\(\,\hat{\pmb{\imath}}\text{.}\) La flecha horizontal\(\partial R\) en la figura de la izquierda de abajo está en ese punto. Supongamos que\(t=t_0\) en este punto — en otras palabras, supongamos que\((u_0,v_0)=\big(u(t_0),v(t_0)\big)\text{.}\) Debido a que el vector tangente apuntando hacia adelante\(\partial R\) a a\((u_0,v_0)\text{,}\) saber\(\big(u'(t_0),v'(t_0)\big)\text{,}\) es un múltiplo positivo de\(\,\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\) tenemos\(u'(t_0) \gt 0\) y\(v'(t_0)=0\text{.}\) El vector tangente a\(\partial S\) al\(\textbf{R}(t_0)=\vecs{r} \big(u_0,v_0\big)\text{,}\) señalar en la dirección de aumentar\(t\text{,}\) es

\[\begin{align*} \textbf{R}'(t_0)&=\dfrac{d }{dt}\vecs{r} \big(u(t),v(t)\big)\big|_{t=t_0} =u'(t_0)\frac{\partial \vecs{r} }{\partial u}(u_0,v_0) +v'(t_0) \frac{\partial \vecs{r} }{\partial v}(u_0,v_0)\\ &=u'(t_0)\frac{\partial \vecs{r} }{\partial u}(u_0,v_0) \end{align*}\]

y así es un múltiplo positivo de\(\frac{\partial \vecs{r} }{\partial u}(u_0,v_0)\text{.}\) Ver la figura de abajo a la derecha.

Si ahora caminamos por un sendero en el\(uv\) -plano que comienza en las\((u_0,v_0)\text{,}\) retenciones\(u\) fijas en\(u_0\) y aumenta\(v\text{,}\) nos movemos hacia el interior de\(R\) comenzar en\((u_0,v_0)\text{.}\) Correspondientemente, si caminamos por el sendero,\(\vecs{r} (u_0,v)\text{,}\) en\(\mathbb{R}^3\) con\(v\) comenzar en \(v_0\)y aumentando, nos movemos hacia el interior de\(S\text{.}\) La tangente hacia adelante a este nuevo camino,\(\frac{\partial \vecs{r} }{\partial v}(u_0,v_0)\text{,}\) apunta desde el\(\vecs{r} (u_0,v_0)\) interior de\(S\text{.}\) Es la flecha azul en la figura de abajo a la derecha.

Ahora imagina que estás caminando\(\partial S\) en la dirección de aumentar En el\(t\text{.}\) momento en\(t_0\) que estás en\(\textbf{R}(t_0)\text{.}\) Te apuntas con el brazo derecho derecho delante de ti. Entonces está apuntando en la dirección Apunta\(\frac{\partial \vecs{r} }{\partial u}(u_0,v_0)\text{.}\) tu brazo izquierdo de lado hacia el interior de\(S\text{.}\) Está apuntando en la dirección\(\frac{\partial \vecs{r} }{\partial v}(u_0,v_0)\text{.}\) Si la dirección de aumentar\(t\) es la misma que la dirección hacia adelante de la orientación de\(\partial S\text{,}\) entonces el vector de nuestros pies a nuestro cabeza, que es\(\frac{\partial \vecs{r} }{\partial u}(u_0,v_0) \times \frac{\partial \vecs{r} }{\partial v}(u_0,v_0)\text{,}\) debe estar apuntando en la misma dirección que\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) Y ya\(\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = +\frac{\partial \vecs{r} }{\partial u} \times \frac{\partial \vecs{r} }{\partial v}\,\text{d}u\,\text{d}v\text{,}\) que es.

Ahora, con nuestra parametrización y orientación resuelta, podemos examinar las integrales.

La integral de la superficie:

Ya\(F=F_1\,\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\) que para que

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ F_1 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = \left(0,\frac{\partial F_1}{\partial z}, -\frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \end{align*}\]

y

\[\begin{align*} \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\frac{\partial \vecs{r} }{\partial u} \times \frac{\partial \vecs{r} }{\partial v} \ \text{d}u\,\text{d}v =\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{matrix}\right]\\ &=\left(\frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} -\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v}\right)\hat{\pmb{\imath}} + \left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} -\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v}\right)\hat{\pmb{\jmath}}\\ &\hskip1in +\left(\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} -\frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v}\right) \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

y

\[\begin{align*} &\iint_{S}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\iint_{R}\left(0,\frac{\partial F_1}{\partial z}, -\frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \cdot\frac{\partial \vecs{r} }{\partial u} \times \frac{\partial \vecs{r} }{\partial v}\ \text{d}u\,\text{d}v\cr &\hskip.15in=\iint_{R}\left\{\frac{\partial F_1}{\partial z} \left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} -\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v}\right) -\frac{\partial F_1}{\partial y} \left(\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} -\frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v}\right) \right\}\,\text{d}u\,\text{d}v \end{align*}\]

Ahora examinamos la línea integral y demostramos que es igual a ésta.

La línea integral:

\[\begin{align*} &\oint_{\partial S}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\int_a^b\vecs{F} \Big(\vecs{r} \big(u(t),v(t)\big)\Big)\cdot\dfrac{d }{dt} \vecs{r} \big(u(t),v(t)\big)\ \text{d}t\\ &\hskip0.1in=\int_a^b\vecs{F} \Big(\vecs{r} \big(u(t),v(t)\big)\Big)\cdot\Big[ \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}\big(u(t),v(t)\big)\dfrac{du}{dt}(t) +\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}\big(u(t),v(t)\big)\dfrac{dv}{dt}(t)\Big]\ \text{d}t \end{align*}\]

Podemos escribir esto como la línea integral

\[\begin{align*} &\oint_{\partial R}M(u,v)\ \text{d}u+N(u,v)\ \text{d}v\\ &\hskip1in=\int_a^b \Big[M\big(u(t),v(t)\big)\ \dfrac{du}{dt}(t) +N\big(u(t),v(t))\ \dfrac{dv}{dt}(t)\Big]\ \text{d}t \end{align*}\]

alrededor\(\partial R\text{,}\) si elegimos

\[\begin{alignat*}{2} M(u,v)&=\vecs{F} \big(\vecs{r} (u,v)\big)\cdot\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u,v) &&=F_1\big({x(u,v),y(u,v),z(u,v)}\big)\frac{\partial x}{\partial u}(u,v)\\ N(u,v)&=\vecs{F} \big(\vecs{r} (u,v)\big)\cdot\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u,v) &&=F_1\big({x(u,v),y(u,v),z(u,v)}\big)\frac{\partial x}{\partial v}(u,v) \end{alignat*}\]

Finalmente, mostramos que la integral de superficie es igual a la integral de línea:

Por el teorema de Green, tenemos

\[\begin{align*} \oint_{\partial S}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} &=\oint_{\partial R}M(u,v)\ \text{d}u+N(u,v)\ \text{d}v\cr =\iint_{R}\bigg\{&\frac{\partial N}{\partial u}-\frac{\partial M}{\partial v} \bigg\}\ \text{d}u \text{d}v\cr =\iint_{R}\bigg\{& \frac{\partial }{\partial u}\big[ F_1\big({x(u,v),y(u,v),z(u,v)}\big) \big]\frac{\partial x}{\partial v} +F_1\frac{\partial^2 x}{\partial u\partial v}\\ -& \frac{\partial }{\partial v}\big[ F_1\big({x(u,v),y(u,v),z(u,v)}\big) \big]\frac{\partial x}{\partial u} -F_1\frac{\partial^2 x}{\partial v\partial u} \bigg\}\ \text{d}u \text{d}v\\ =\iint_{R}\bigg\{& {\color{blue}{\Big(\frac{\partial F_1}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u}}} +\frac{\partial F_1}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F_1}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u} \Big)\frac{\partial x}{\partial v} {\color{red}{ +F_1\frac{\partial^2 x}{\partial u\partial v}}}\cr -&\Big( {\color{blue}{\frac{\partial F_1}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v}}} +\frac{\partial F_1}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F_1}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v} \Big)\frac{\partial x}{\partial u} {\color{red}{ -F_1\frac{\partial^2 x}{\partial v\partial u}}} \bigg\}\ \text{d}u \text{d}v\cr =\iint_{R}\bigg\{&\Big(\frac{\partial F_1}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F_1}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u} \Big)\frac{\partial x}{\partial v} -\Big(\frac{\partial F_1}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F_1}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v} \bigg)\frac{\partial x}{\partial u} \Big\}\,\text{d}u\, \text{d}v\\ &\hskip-33pt=\iint_{S}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

que es la conclusión que queríamos.

Antes de pasar a algunos ejemplos, aquí hay un par de comentarios.

• El teorema de Stokes dice que\(\oint_{C}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\iint_{S}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\) para cualquier superficie (adecuadamente orientada) cuyo límite es\(C\text{.}\) So si\(S_1\) y\(S_2\) son dos superficies diferentes (adecuadamente orientadas) que tienen la misma curva límite\(C\text{,}\), entonces

  \[ \iint_{S_1}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S =\iint_{S_2}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S \nonumber \]

  Por ejemplo, si\(C\) es el círculo unitario

  \[ C=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2=1,\ z=0\right \}  \nonumber \]

  orientado en sentido antihorario cuando se ve desde arriba, luego ambos

  \[\begin{align*} S_1&= \left \{(x,y,z)|x^2+y^2\le 1,\ z=0\right \} \\ S_2&= \left \{(x,y,z)|z\ge0,\ x^2+y^2+z^2=1\right \}  \end{align*}\]

  con vectores normales de unidad apuntando hacia arriba, tienen límite\(C\text{.}\) Así Stokes nos dice que\(\iint_{S_1}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S =\iint_{S_2}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\text{.}\)

  

  No debería ser una sorpresa que\(\iint_{S_1}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S =\iint_{S_2}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\text{,}\) por la siguiente razón. Let

  \[ V= \left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le 1,\ z\ge 0\right \}\\ \nonumber \]

  ser el sólido entre\(S_1\) y\(S_2\text{.}\) El límite\(\partial V\) de\(V\) es la unión de\(S_1\) y\(S_2\text{.}\)

  

  Pero ten cuidado que lo que apunta hacia afuera normal a\(\partial V\) (llámalo\(\hat{\textbf{N}}\)) está encendido\(S_2\) y\(+\hat{\textbf{n}}\)\(-\hat{\textbf{n}}\) encendido\(S_1\text{.}\) Así que el teorema de la divergencia da

  \[\begin{align*} &\iint_{S_2}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S -\iint_{S_1}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\\ &\hskip0.5in= \iint_{S_2}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{N}}\ \text{d}S +\iint_{S_1}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{N}}\ \text{d}S\\ &\hskip0.5in= \iint_{\partial V}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{N}}\ \text{d}S\\ &\hskip0.5in= \iiint_{V}\vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \big)\ \text{d}V\\ &\hskip2in\qquad\text{by the divergence theorem}\\ &\hskip0.5in=0 \end{align*}\]

  por el teorema de identidad vectorial 4.1.7.a.

• Como segunda observación, supongamos que el campo vectorial\(\vecs{F} \) obedece\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =\vecs{0}\) en todas partes. Entonces las fuerzas del teorema de Stokes\(\oint_{C}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =0\) están alrededor de todas las curvas cerradas lo\(C\text{,}\) que implica que\(\vecs{F} \) es conservador, por el Teorema 2.4.7. Así que el teorema de Stokes proporciona otra prueba del Teorema 2.4.8.

Aquí hay un ejemplo fácil que demuestra que Stokes puede ser muy útil cuando se\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \) simplifica.

Ejemplo 4.4.2

Evaluar\(\oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) dónde\(\vecs{F} = \big[2z+\sin\big(x^{146}\big)\big]\,\hat{\pmb{\imath}}-5z\,\hat{\pmb{\jmath}} -5y\,\hat{\mathbf{k}}\) y la curva\(C\) es el círculo\(x^2+y^2=4\text{,}\)\(z=1\text{,}\) orientado en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.

Solución

El\(x^{146}\) in probablemente\(\vecs{F} \) dificultará una evaluación directa de lo integral. Entonces usaremos el teorema de Stokes. Para ello necesitamos una superficie\(S\) con\(\partial S=C\text{.}\) Lo más simple es solo el disco plano

\[ S = \left \{(x,y,z)| x^2+y^2\le 4,\ \ z=1\right \} \nonumber \]

Desde

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} & = \det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ 2z+\sin\big(x^{146}\big) & -5z & -5y \end{matrix}\right]\\ & =\hat{\pmb{\imath}} \det\left[\begin{matrix} \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ -5z & -5y \end{matrix}\right] -\hat{\pmb{\jmath}}\det\left[\begin{matrix} \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial z} \\ 2z+\sin\big(x^{146}\big) & -5y \end{matrix}\right]\\ &\hskip1in +\hat{\mathbf{k}}\det\left[\begin{matrix} \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} \\ 2z+\sin\big(x^{146}\big) & -5z \end{matrix}\right]\\ &=2\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]

y lo normal a\(S\) es el teorema\(\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) de Stokes da

\[\begin{align*} \oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} & = \iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = \iint_S (2\hat{\pmb{\jmath}})\cdot\hat{\mathbf{k}}\,\text{d}S =0 \end{align*}\]

Ahora vamos a repetir el último ejemplo con una curva más dura.

Ejemplo 4.4.3

Evaluar\(\oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) dónde\(\vecs{F} = \big[2z+\sin\big(x^{146}\big)\big]\,\hat{\pmb{\imath}}-5z\,\hat{\pmb{\jmath}} -5y\,\hat{\mathbf{k}}\) y la curva\(C\) es la intersección\(x^2+y^2+z^2=4\) y\(z=y\text{,}\) orientada en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.

Solución

La superficie\(x^2+y^2+z^2=4\) es la esfera de radio\(2\) centrada en el origen y\(z=y\) es un plano que contiene el origen. \(C\text{,}\)Siendo así la intersección de una esfera con un plano que atraviesa el centro de la esfera, es un círculo, con centro\((0,0,0)\) y radio\(2\text{.}\) La parte del círculo en el primer octante se esboza a la izquierda de abajo.

El\(x^{146}\) in probablemente\(\vecs{F} \) dificultará una evaluación directa de lo integral. Entonces usaremos el teorema de Stokes. Para ello necesitamos una superficie\(S\) con\(\partial S=C\text{.}\) Lo más simple es el disco plano

\[ S = \left \{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2\le 4,\ \ z=y\right \} \nonumber \]

El primer octante de\(S\) se muestra en la figura de arriba a la derecha. Vimos en el último Ejemplo 4.4.2 que

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} &=2\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]

Así que el teorema de Stokes da

\[\begin{align*} \oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} & = \iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = 2\iint_S \hat{\pmb{\jmath}}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

Evaluaremos la integral\(2\iint_S \hat{\pmb{\jmath}}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) de dos maneras. La primera forma es más eficiente, pero también requiere más perspicacia. Dado que\(\vecs{ \nabla} (z-y)=\hat{\mathbf{k}}-\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) la unidad ascendente normal al plano\(z-y=0\text{,}\) y por lo tanto a\(S\text{,}\) es\(\hat{\textbf{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\mathbf{k}}-\hat{\pmb{\jmath}})\text{.}\) Consecuentemente el integrando

\[\begin{gather*} \hat{\pmb{\jmath}}\cdot\hat{\textbf{n}}=\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\Big(\frac{-\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{2}}\Big)=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{gather*}\]

es una constante y no necesitamos una fórmula para\(\hat{\textbf{n}}\,dS\text{:}\)

\[\begin{align*} \oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} & = 2\iint_S \hat{\pmb{\jmath}}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =-\sqrt{2} \iint_S \text{d}S = -\sqrt{2}\text{Area}(S) =-\sqrt{2}\pi\, 2^2\\ &=-4\sqrt{2}\pi \end{align*}\]

Alternativamente, podemos evaluar la integral\(\iint_S \hat{\pmb{\jmath}}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) usando nuestro protocolo normal. Como\(S\) es parte del avión\(z=f(x,y)=y\text{,}\)

\[\begin{gather*} \hat{\textbf{n}}\,dS = \pm\big(-f_x\,\hat{\pmb{\imath}}-f_y\,\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\big)\,\text{d}x\text{d}y = \pm (-\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}})\,\text{d}x\text{d}y \end{gather*}\]

Para obtener la normal apuntando hacia arriba apuntando normal, tomamos la\(+\) señal para que\(\hat{\textbf{n}}\,dS= (-\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}})\,\text{d}x\text{d}y\text{.}\) As\((x,y,z)\) atropella

\[\begin{align*} S &= \left \{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2\le 4,\ \ z=y\right \}\\ &= \left \{(x,y,z)| x^2+2y^2\le 4,\ \ z=y\right \}\\ &= \left \{(x,y,z)| \tfrac{x^2}{4} +\tfrac{y^2}{2}\le 1,\ \ z=y\right \} \end{align*}\]

\((x,y)\)corre sobre el disco elíptico\(R=\left \{(x,y)|\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{2}\le 1\right \}\text{.}\) La parte de esta elipse en el primer octante es la región sombreada en la figura siguiente.

Esta elipse tiene semiejes\(a=2\)\(b =\sqrt{2}\) y por lo\(\pi a b = 2\sqrt{2} \pi\text{.}\) tanto área So

\[\begin{align*} \oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} & = 2\iint_S \hat{\pmb{\jmath}}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =2\iint_R \hat{\pmb{\jmath}}\cdot(-\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}})\,\text{d}x\text{d}y =-2 \iint_R \text{d}x\text{d}y\\ &= -2\text{Area}(R)\\ &=-4\sqrt{2}\pi \end{align*}\]

Ejemplo 4.4.4

Evaluar\(\oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) dónde\(\vecs{F} = (x+y)\,\hat{\pmb{\imath}}+2(x-z)\,\hat{\pmb{\jmath}} +(y^2+z)\,\hat{\mathbf{k}}\) y\(C\) es la curva orientada que se obtiene yendo de\((2,0,0)\) a\((0, 3, 0)\)\((0, 0, 6)\) y de vuelta a\((2, 0, 0)\) lo largo de segmentos de línea recta.

Solución 1

En esta primera solución, evaluaremos la integral directamente. El primer segmento de línea (\(C_1\)en la figura anterior) puede ser parametrizado como

\[ \vecs{r} (t)=(2,0,0)+t\big\{(0, 3, 0)-(2,0,0)\big\} =\big(2-2t\,,\,3t\,,\,0\big)\qquad 0\le t\le 1 \nonumber \]

Entonces la integral a lo largo de este segmento es

\[\begin{align*} \int_0^1 \vecs{F} (\vecs{r} (t))\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}\ \text{d}t &=\int_0^1 (2+t\,,\, 2(2-2t)\,,\, (3t)^2)\cdot(-2\,,\, 3\,,\, 0)\ \text{d}t\\ &=\int_0^1 (8-14t)\ \text{d}t\\ &=\Big[8t-7t^2\Big]_0^1=1 \end{align*}\]

El segundo segmento de línea (\(C_2\)en la figura anterior) puede ser parametrizado como

\[ \vecs{r} (t)=(0,3,0)+t\big\{(0, 0, 6)-(0,3,0)\big\} =\big(0\,,\,3-3t\,,\,6t\big)\qquad 0\le t\le 1\text{.} \nonumber \]

Entonces la integral a lo largo de este segmento es

\[\begin{align*} \int_0^1 \vecs{F} (\vecs{r} (t))\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}\ \text{d}t &=\int_0^1 \big(3(1-t)\,,\, - 12t\,,\, 9(1-t)^2+ 6t\big)\cdot(0, -3, 6)\ \text{d}t\\ &=\int_0^1 [36t+54(1-t)^2+36t]\ \text{d}t\\ &=\Big[18t^2-18(1-t)^3+18t^2\Big]_0^1\\ &=54 \end{align*}\]

El segmento de línea final (\(C_3\)en la figura anterior) puede ser parametrizado como

\[ \vecs{r} (t)=(0,0,6)+t\big\{(2,0,0) -(0,0,6)\big\} = (2t\,,\,0\,,\,6-6t) \qquad 0\le t\le 1 \nonumber \]

Entonces la línea integral a lo largo de este segmento es

\[\begin{align*} \int_0^1 \vecs{F} (\vecs{r} (t))\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}\ \text{d}t &=\int_0^1 \big(2t\,,\, 4t - 12(1-t)\,,\, 6(1-t)\big)\cdot(2, 0, -6)\ \text{d}t\\ &=\int_0^1 [4t-36(1-t)]\ \text{d}t =\Big[2t^2+18(1-t)^2\Big]_0^1 =-16 \end{align*}\]

La integral de línea completa es\[ \oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =1+54-16=39 \nonumber \]

Solución 2

Esta vez aplicaremos el Teorema de Stokes. El rizo de\(\vecs{F} \) es

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ x+y & 2(x-z) & y^2+z \end{matrix} \right]\\ & =(2y+2)\hat{\pmb{\imath}}-(0-0)\hat{\pmb{\jmath}}+(2-1)\hat{\mathbf{k}}\\ &=2(y+1)\hat{\pmb{\imath}}+\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

La curva\(C\) es un triángulo y así está contenida en un plano. Cualquier plano tiene una ecuación de la forma\(Ax+By+Cz=D\text{.}\) Nuestro plano no pasa por el origen (mira la figura anterior) por lo que el\(D\) debe ser distinto de cero. En consecuencia, podemos\(Ax+By+Cz=D\) dividirnos\(D\) dando una ecuación de la forma\(ax+by+cz=1\text{.}\)

• Porque\((2,0,0)\) yace en el avión,\(a=\frac{1}{2}\text{.}\)
• Porque\((0,3,0)\) yace en el avión,\(b=\frac{1}{3}\text{.}\)
• Porque\((0,0,6)\) yace en el avión,\(c=\frac{1}{6}\text{.}\)

Entonces el triángulo está contenido en el plano\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1\text{.}\) Es el límite de la superficie\(S\) que consiste en la porción del plano\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1\) que obedece\(x\ge 0\text{,}\)\(y\ge 0\) y\(z\ge 0\text{.}\) Reescribe la ecuación del plano como\(z=6-3x-2y\text{.}\) Para esta superficie

\[ \hat{\textbf{n}}\ \text{d}S=(3\hat{\pmb{\imath}}+2\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}})\,\text{d}x\,\text{d}y \nonumber \]

por 3.3.2, y podemos escribir

\[\begin{align*} S&=\left \{ (x,y,z)|x\ge0,\ y\ge0,\ z\ge0,\ z=6-3x-2y\right \}\\ &=\left \{ (x,y,z)|x\ge0, y\ge0,\ 6-3x-2y\ge0,\ z=6-3x-2y\right \} \end{align*}\]

Como\((x,y,z)\) atropellas\(S\text{,}\)\((x,y)\) atropellas sobre el triángulo

\[\begin{align*} R&=\left \{ (x,y,z)|x\ge0,\ y\ge0,\ 3x+2y\le 6\right \}\\ &=\left \{ (x,y,z)|x\ge0,\ 0\le y \le \tfrac{3}{2}(2-x)\right \}\end{align*}\]

Usando tiras horizontales como en la figura de abajo a la izquierda,

\[\begin{align*} \oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} &=\iint_S\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\\ &=\iint_R [2(y+1)\hat{\pmb{\imath}}+\hat{\mathbf{k}}]\cdot[3\hat{\pmb{\imath}}+2\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}]\ \text{d}x\,\text{d}y\cr &=\iint_R [6y+7]\ \text{d}x\,\text{d}y\\ & =\int_0^3 \text{d}y\int_0^{{1\over 3}(6-2y)} \text{d}x\ [6y+7]\\ &=\int_0^3 \text{d}y\ \frac{1}{3}[6y+7][6-2y]\\ & =\frac{1}{3}\int_0^3 \text{d}y\ [-12y^2+22y+42]\\ &=\frac{1}{3}\Big[-4y^3+11y^2+42y\Big]_0^3\\ & =\big[-4\times 9 +11\times 3 +42\big] =39 \end{align*}\]

Alternativamente, usando tiras verticales como en la figura de arriba a la derecha,

\[\begin{align*} \oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} &=\iint_R [6y+7]\ \text{d}x\,\text{d}y\\ &=\int_0^2 \text{d}x\int_0^{{3\over 2}(2-x)} \text{d}y\ [6y+7]\\ &=\int_0^2 \text{d}x\ \Big[3\frac{3^2}{2^2}(2-x)^2+7\frac{3}{2}(2-x)\Big]\\ & =\Big[-\frac{27}{4}\,\frac{1}{3}(2-x)^3 -\frac{21}{2}\,\frac{1}{2}(2-x)^2\Big]_0^2\\ &=\frac{9}{4}\,8+\frac{21}{4}\,4 =39 \end{align*}\]

Ejemplo 4.4.5

Evaluar\(\oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) dónde\(\vecs{F} = (\cos x +y+z)\,\hat{\pmb{\imath}}+(x+z)\,\hat{\pmb{\jmath}} +(x+y)\,\hat{\mathbf{k}}\) y\(C\) es la intersección de las superficies

\[ x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}=1\qquad\text{and}\qquad z=x^2+2y^2 \nonumber \]

orientado en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.

Solución

Primero, hagamos un boceto de la curva. \(x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}=1\)es un elipsoide centrado en el origen y\(z=x^2+2y^2\) es un paraboloide de apertura ascendente que pasa por el origen. Se esbozan en la figura de abajo. El paraboloide es rojo.

Su intersección, la curva\(C\text{,}\) es la curva azul en la figura. Parece un círculo deformado de ³.

Se podría imaginar parametrizar\(C\text{.}\) Por ejemplo, sustituyendo\(x^2 = z - 2y^2\) en la ecuación del elipsoide da\(-\frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{3}(z+\frac{3}{2}\big)^2 = \frac{7}{4}\text{.}\) Esto se puede resolver para dar\(y\) como una función de\(z\) y luego\(x^2=z-2y^2\) también da\(x\) como una función de\(z\text{.}\) Sin embargo esto cedería claramente, a mejor, una integral muy desordenada. Entonces probemos el teorema de Stokes.

De hecho, desde

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}&\hat{\pmb{\jmath}}&\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} &\frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \cos x + y+z&x+z&x+y\end{matrix}\right]\\ &=\hat{\pmb{\imath}}\big(1-1\big)-\hat{\pmb{\jmath}}\big(1-1\big)+\hat{\mathbf{k}}\big(1-1\big)\\ &=\vecs{0} \end{align*}\]

¡Esto\(\vecs{F} \) es conservador! (De hecho\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \big(\sin x + xy + xz +yz\big)\text{.}\)) Como\(C\) es una curva cerrada,\(\oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =0 \text{.}\)

Ejemplo 4.4.6

Evaluar\(\iint_S\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) dónde\(\textbf{G}= (2x)\,\hat{\pmb{\imath}}+(2z-2x)\,\hat{\pmb{\jmath}} +(2x-2z)\,\hat{\mathbf{k}}\) y

\[ S=\left \{ (x,y,z)|z=\big(1-x^2-y^2\big)(1-y^3)\cos x\ e^{y},\ x^2+y^2\le 1\right \} \nonumber \]

con normal apuntando hacia arriba

Solución 1

La superficie\(S\) se esboza debajo. Es una superficie bastante rara. Acerca de la

lo único sencillo de ello es que su límite,\(\partial S\text{,}\) es el círculo\(x^2+y^2=1\text{,}\)\(z=0\text{.}\) Es claro que no debemos tratar de evaluar la integral directamente ⁴. En esta solución combinaremos el teorema de la divergencia con la observación de que

\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G} = \frac{\partial }{\partial x}(2x)+ \frac{\partial }{\partial y}(2z-2x)+ \frac{\partial }{\partial z}(2x-2z) =0 \end{gather*}\]

para evitar nunca tener trabajo con la superficie\(S\text{.}\) Aquí hay un bosquejo de lo que haremos.

• Primero seleccionamos una superficie simple\(S'\) cuyo límite\(\partial S'\) es también el círculo\(x^2+y^2=1\text{,}\)\(z=0\text{.}\) Una buena elección simple de\(S'\text{,}\) y la superficie que usaremos, es el disco

  \[ S' =\left \{(x,y,z)|x^2+y^2=1,\ z=0\right \} \nonumber \]

• Entonces definimos\(V\) que es el sólido cuya superficie superior es\(S\) y cuya superficie inferior es\(S'\text{.}\) Así el límite de\(V\) es la unión de\(S\) y\(S'\text{.}\)

  

• Porque\(S'\text{,}\) usaremos la normal apuntando hacia arriba\(\hat{\textbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) que es menos la normal apuntando hacia afuera a\(\partial V\) on\(S'\text{.}\) Entonces el teorema de divergencia dice que

  \[ \iiint_V \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G}\,\text{d}V =\iint_S\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S-\iint_{S'}\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

  El lado izquierdo es cero porque, como ya hemos visto,\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G}=0\text{.}\) Así

  \[ \iint_S\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\iint_{S'}\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

• Finalmente, calculamos\(\iint_{S'}\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\)

Vimos un argumento como este (con\(\textbf{G}=\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \)) en la primera observación siguiendo la prueba del Teorema 4.4.1.

Entonces todo lo que tenemos que hacer ahora es computar

\[\begin{align*} \iint_S\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iint_{S'}\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\iint_{S'}\textbf{G}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,\text{d}S =\iint_{x^2+y^2\le 1\\z=0}(2x-2z)\,\text{d}x\text{d}y\\ &=\iint_{x^2+y^2\le 1\\z=0}(2x)\,\text{d}x\text{d}y\\ &=0 \end{align*}\]

simplemente porque el integrando es extraño bajo\(x\rightarrow-x\text{.}\)

Solución 2

En esta segunda solución usaremos el teorema de Stokes en lugar del teorema de divergencia. Para ello, tenemos que expresarnos\(\textbf{G}\) en la forma\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \text{.}\) Entonces lo primero que hay que hacer es verificar si\(\textbf{G}\) pasa la prueba de tamizaje, Teorema 4.1.12, para la existencia de potenciales vectoriales. Es decir, para comprobar si\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G}=0\text{.}\) lo es. Esto lo vimos en la Solución 1 anterior.

A continuación, tenemos que encontrar un potencial vectorial. De hecho, ya hemos encontrado, en el Ejemplo 4.1.15, que

\[ \vecs{F} = (z^2-2xz) \hat{\pmb{\imath}} +(x^2-2xz)\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

es un potencial vectorial\(\textbf{G}\text{,}\) que podemos verificar rápidamente.

Parametrizando\(C\) por el teorema\(\vecs{r} (t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\)\(0\le t\le 2\pi\text{,}\) de Stokes da (recordando\(C\) eso\(z=0\) encendido para que\(\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)=x^2\,\hat{\pmb{\jmath}}\Big|_{x=\cos t}=\cos^2t\))

\[\begin{align*} \iint_S\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &= \iint_S\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = \oint_C \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =\int_0^{2\pi} \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}\ \text{d}t\\ &= \int_0^{2\pi} \big(\cos^2 t\big)(\cos t)\ \text{d}t \end{align*}\]

Por supuesto esta integral puede evaluarse usando esa antiderivada del integrando\(\cos^3 t =\big(1-\sin^2t\big)\cos t\) es\(\sin t-\frac{1}{3}\sin^3 t\) y que esta antiderivada es cero en\(t=0\) y en\(t=2\pi\text{.}\) Pero es más fácil observar que la integral de cualquier poder impar de\(\sin t\) o\(\cos t\) sobre cualquier periodo completo es cero. Mira, por ejemplo, las gráficas de\(\sin^3x\) y\(\cos^3x\text{,}\) abajo.

De cualquier manera

\[\begin{gather*} \iint_S\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =0 \end{gather*}\]

Ejemplo 4.4.7

En este ejemplo calculamos, de tres maneras diferentes,\(\oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) donde

\[ \vecs{F} =(z-y)\,\hat{\pmb{\imath}}-(x+z)\,\hat{\pmb{\jmath}}-(x+y)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

y\(C\) es la curva\(x^2+y^2+z^2=4\text{,}\)\(z=y\) orientada en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.

Solución 1

Computación Directa:

En este primer cálculo, parametrizamos la curva\(C\) y calculamos\(\oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) directamente. El plano\(z=y\) pasa por el origen, que es el centro de la esfera\(x^2+y^2+z^2=4\text{.}\) Así\(C\) es un círculo que, como la esfera, tiene radio\(2\) y centro\((0,0,0)\text{.}\) Utilizamos una parametrización de la forma

\[ \vecs{r} (t)=\textbf{c}+\rho\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}'+ \rho\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}' \qquad 0\le t\le 2\pi \nonumber \]

donde

• \(\textbf{c}=(0,0,0)\)es el centro de\(C\text{,}\)
• \(\rho=2\)es el radio de\(C\) y
• \(\hat{\pmb{\imath}}'\)y\(\hat{\pmb{\jmath}}'\) son dos vectores que
  1. son vectores unitarios,
  2. son paralelos al plano\(z=y\) y
  3. son mutuamente perpendiculares.

La parte más complicada es encontrar vectores adecuados\(\hat{\pmb{\imath}}'\) y\(\hat{\pmb{\jmath}}'\text{:}\)

• El punto\((2,0,0)\) satisface tanto\(x^2+y^2+z^2=4\)\(z=y\) y así está encendido\(C\text{.}\) Podemos optar por\(\hat{\pmb{\imath}}'\) ser el vector unitario en la dirección desde el centro\((0,0,0)\) del círculo hacia\((2,0,0)\text{.}\) Saber\(\hat{\pmb{\imath}}'=(1,0,0)\text{.}\)
• Dado que el plano del círculo es\(z-y=0\text{,}\) el vector\(\vecs{ \nabla} (z-y)=(0,-1,1)\) es perpendicular al plano de\(C\text{.}\) So\(\hat{\mathbf{k}}'=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,-1,1)\) es un vector unitario normal a\(z=y\text{.}\) Entonces\(\hat{\pmb{\jmath}}'=\hat{\mathbf{k}}'\times\hat{\pmb{\imath}}'=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,-1,1)\times(1,0,0) =\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1)\) es un vector unitario que es perpendicular a\(\hat{\pmb{\imath}}'\) y\(\hat{\mathbf{k}}'\text{.}\) Dado que\(\hat{\pmb{\jmath}}'\) es perpendicular a\(\hat{\mathbf{k}}'\text{,}\) él es paralelo a\(z=y\text{.}\)

Sustituir\(\textbf{c}=(0,0,0)\text{,}\)\(\rho=2\text{,}\)\(\hat{\pmb{\imath}}'=(1,0,0)\) y\(\hat{\pmb{\jmath}}'=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1)\) dar

\[\begin{align*} &\vecs{r} (t)=2\cos t\,(1,0,0)+ 2\sin t\,\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1) =2\Big(\cos t, \frac{\sin t}{\sqrt{2}},\frac{\sin t}{\sqrt{2}}\Big)\\ &0\le t\le 2\pi \end{align*}\]

Para comprobar que esta parametrización es correcta, tenga en cuenta que\(x=2\cos t\text{,}\)\(y=\sqrt{2}\sin t\text{,}\)\(z=\sqrt{2}\sin t\) satisface tanto\(x^2+y^2+z^2=4\) y\(z=y\text{.}\)

Al\(t=0\text{,}\)\(\vecs{r} (0)=(2,0,0)\text{.}\) Como\(t\) aumenta,\(z(t)=\sqrt{2}\sin t\) aumenta y\(\vecs{r} (t)\) se mueve hacia arriba hacia\(\vecs{r} \big(\frac{\pi}{2}\big)=(0,\sqrt{2},\sqrt{2})\text{.}\) Esta es la dirección deseada en sentido antihorario (cuando se ve desde arriba). Ahora que tenemos una parametrización, podemos configurar la integral.

\[\begin{align*} \vecs{r} (t)&=\big(2\cos t, \sqrt{2}\sin t,\sqrt{2}\sin t\big)\cr \vecs{r} \,'(t)&=\big(-2\sin t,\sqrt{2}\cos t,\sqrt{2}\cos t\big)\cr \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)&=\big(z(t)-y(t),-x(t)-z(t),-x(t)-y(t)\big)\cr &=\big(\sqrt{2}\sin t-\sqrt{2}\sin t, -2\cos t-\sqrt{2}\sin t,-2\cos t-\sqrt{2}\sin t\big)\cr &=-\big(0, 2\cos t+\sqrt{2}\sin t,2\cos t+\sqrt{2}\sin t\big)\cr \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot \vecs{r} \,'(t) &=-\big[4\sqrt{2}\cos^2 t+4\cos t\sin t\big]\\ &=-\big[2\sqrt{2}\cos(2t)+2\sqrt{2}+2\sin(2t)\big] \end{align*}\]

por las fórmulas de doble ángulo\(\sin(2t)=2\sin t\,\cos t\) y\(\cos(2t) = 2\cos^2t-1\text{.}\) So

\[\begin{align*} \oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} &=\int_0^{2\pi}\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot \vecs{r} \,'(t)\ \text{d}t\\ &=\int_0^{2\pi}-\big[2\sqrt{2}\cos(2t)+2\sqrt{2}+2\sin(2t)\big]\ \text{d}t\\ &=-\Big[\sqrt{2}\sin(2t)+2\sqrt{2}t-\cos(2t)\Big]_0^{2\pi}\\ &=-4\sqrt{2}\pi \end{align*}\]

¡Oof! Hagámoslo de una manera más fácil.

Solución 2

Teorema de Stokes:

Para aplicar el teorema de Stokes necesitamos expresar\(C\) como el límite\(\partial S\) de una superficie\(S\text{.}\) As

\[ C=\left \{  (x,y,z)|x^2+y^2+z^2=4,\ z=y\right \} \nonumber \]

es una curva cerrada, esto es posible. De hecho, hay muchas opciones posibles de\(S\) con\(\partial S=C\text{.}\) Three possible\(S\)'s (esbozado a continuación) son

\[\begin{align*} S&=\left \{ (x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le 4,\ z=y \right \}\cr S'&=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2= 4,\ z\ge y \right \}\cr S''&=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2= 4,\ z\le y \right \} \end{align*}\]

El primero de ellos, que forma parte de un plano, probablemente conduzca a cálculos más simples que los dos últimos, que son partes de una esfera. Entonces elegimos lo que parece de la manera más sencilla.

En preparación para la aplicación del teorema de Stokes, calculamos\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \) y\(\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\) Para este último, aplicamos la fórmula\(\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S=\pm(-f_x,-f_y,1)\,\text{d}xdy\) (de la Ecuación 3.3.2) a la superficie\(z=f(x,y)=y\text{.}\) Utilizamos el\(+\) signo para darle a la normal un\(\hat{\mathbf{k}}\) componente positivo.

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}&\hat{\pmb{\jmath}}&\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} &\frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ z-y&-x-z&-x-y\end{matrix}\right]\\ &=\hat{\pmb{\imath}}\big(-1-(-1)\big)-\hat{\pmb{\jmath}}\big(-1-1\big)+\hat{\mathbf{k}}\big(-1-(-1)\big)\\ &=2\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S&=(0,-1,1)\,\text{d}x\text{d}y\\ \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S&=(0,2,0)\cdot(0,-1,1)\,\text{d}x\text{d}y =-2\,\text{d}x\text{d}y \end{align*}\]

Las variables de integración son\(x\)\(y\) y, por definición, el dominio de integración es

\[ R=\left \{(x,y)|(x,y,z)\text{ is in }S\text{ for some }z\right \} \nonumber \]

Para determinar con precisión cuál es este dominio de integración, observamos que ya que\(z=y\) on\(S\text{,}\)\(x^2+y^2+z^2\le 4\) es lo mismo que\(x^2+2y^2\le 4\) on\(S\text{,}\)

\[ S=\left \{(x,y,z)|x^2+2y^2\le 4,\ z=y\right \} \implies R=\left \{(x,y)|x^2+2y^2\le 4\right \} \nonumber \]

Entonces el dominio de integración es una elipse con semimajor eje\(a=2\text{,}\) semiminor eje\(b=\sqrt{2}\) y área\(\pi a b=2\sqrt{2}\pi\text{.}\) La integral es entonces

\[ \oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\iint_R (-2)\,\text{d}x\text{d}y =-2\ \text{Area}\,(R) =-4\sqrt{2}\pi \nonumber \]

Observación (Límites de integración):

Si el integrando fuera más complicado, tendríamos que evaluar la integral sobre\(R\) expresándola como integrales iteradas con los límites correctos de integración. Primero supongamos que cortamos\(R\) usando rebanadas verticales delgadas. En cada una de esas rebanadas,\(x\) es esencialmente constante y\(y\) va de\(-\sqrt{(4-x^2)/2}\) a\(\sqrt{(4-x^2)/2}\text{.}\) La porción más a la izquierda tendría\(x=-2\) y la más a la derecha tal rebanada tendría\(x=2\text{.}\) Así que los límites correctos con este corte son

\[ \iint_R f(x,y)\,\text{d}x\text{d}y =\int_{-2}^2\text{d}x\int_{-\sqrt{(4-x^2)/2}}^{\sqrt{(4-x^2)/2}} \text{d}y\ f(x,y) \nonumber \]

Si, en cambio, cortamos\(R\) usando rebanadas horizontales delgadas, entonces, en cada una de esas rebanadas,\(y\) es esencialmente constante y\(x\) corre de\(-\sqrt{4-2y^2}\) a\(\sqrt{4-2y^2}\text{.}\) La parte inferior tal rebanada tendría\(y=-\sqrt{2}\) y la parte superior tal rebanada tendría\(y=\sqrt{2}\text{.}\) Entonces los límites correctos con este rebanado son

\[ \iint_R f(x,y)\,\text{d}x\text{d}y =\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\text{d}y\int_{-\sqrt{4-2y^2}}^{\sqrt{4-2y^2}} \text{d}x\ f(x,y) \nonumber \]

Tenga en cuenta que la integral con límites

\[ \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\text{d}y\int_{-2}^{2} \text{d}x\ f(x,y) \nonumber \]

corresponde a una rebanada con\(x\) correr de\(-2\) a\(2\) on {\ bf cada} rebanada. Esto corresponde a un dominio rectangular de integración, no a lo que tenemos aquí.

El teorema de Stokes, de nuevo:

Dado que el integrando es solo una constante (después de Stoking — no el integrando original) y\(S\) es tan simple (porque lo elegimos sabiamente), podemos evaluar la integral\(\iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) sin determinar nunca de\(\text{d}S\) manera explícita y sin establecer nunca límites de integración. Ya sabemos que\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =2\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\) Dado que\(S\) es la superficie nivelada\(z-y=0\text{,}\) el gradiente\(\vecs{ \nabla} (z-y)=-\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\) es normal a\(S\text{.}\) So\(\hat{\textbf{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}})\) y

\[\begin{align*} \oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} &=\iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\iint_S (2\hat{\pmb{\jmath}})\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}})\,\text{d}S\\ &=\iint_S -\sqrt{2}\,\text{d}S =-\sqrt{2}\ {\rm Area}\,(S) \end{align*}\]

Como\(S\) es un círculo de radio una\(2\text{,}\)\(\oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =-4\sqrt{2}\pi\text{,}\) vez más.

Ejemplo 4.4.8

En Warning 4.1.17, afirmamos que si un campo vectorial no logra pasar la prueba de cribado ni siquiera\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B}=0\) en un solo punto, por ejemplo porque el campo vectorial no está definido en ese punto, entonces\(\textbf{B}\) puede fallar en tener un potencial de vector. Un ejemplo es la fuente puntual

\[ \textbf{B}(x,y,z) = \frac{\hat{\textbf{r}} (x,y,z)}{r(x,y,z)^2} \nonumber \]

del Ejemplo 3.4.2. Aquí, como siempre,

\[ r(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\qquad \hat{\textbf{r}} (x,y,z) = \frac{x\hat{\pmb{\imath}} + y\hat{\pmb{\jmath}} + z\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \nonumber \]

Este campo vectorial se define en todos\(\mathbb{R}^3\text{,}\) excepto para el origen, y su divergencia

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B} &=\frac{\partial }{\partial x} \left(\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right) +\frac{\partial }{\partial y} \left(\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right)\\ &\hskip1in +\frac{\partial }{\partial z} \left(\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right)\\ &=\left(\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}-\frac{3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\right)\\ &\hskip1in +\left(\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}-\frac{3y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\right)\\ &\hskip1in +\left(\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}-\frac{3z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\right)\\ &=\frac{3}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}-\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \end{align*}\]

es cero en todas partes excepto en el origen, donde no está definido.

Este campo vectorial no puede tener un potencial vectorial en su dominio de definición, es decir, en\(\mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,0)\} =\left \{(x,y,z)|(x,y,z)\ne(0,0,0)\right \} \text{.}\) Para ver esto, supongamos al contrario que sí tenía un potencial vectorial\(\textbf{A}\text{.}\) Entonces su flujo a través de cualquier superficie cerrada ⁵ (es decir, superficie sin límite)\(S\) sería

\[\begin{gather*} \iint_S\textbf{B}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = \iint_S\vecs{ \nabla} \times\textbf{A}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\oint_{\partial S}\textbf{A}\cdot\text{d}\vecs{r} =0 \end{gather*}\]

por el teorema de Stokes, ya que\(\partial S\) está vacío. Pero encontramos en el Ejemplo 3.4.2, con\(m=1\text{,}\) que el flujo de\(\textbf{B}\) a través de cualquier esfera centrada en el origen es\(4\pi\text{.}\)

La interpretación de Div y Curl revisitada

En las secciones 4.1.4 y 4.1.5 derivamos interpretaciones de la divergencia y del rizo. Ahora que tenemos el teorema de divergencia y el teorema de Stokes, podemos simplificar mucho esas derivaciones.

Divergencia

Dejar\(\varepsilon \gt 0\) ser un pequeño número positivo, y luego dejar

\[ B_\varepsilon(x_0,y_0,z_0) =\left \{(x,y,z)|(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 \lt \varepsilon^2 \right \} \nonumber \]

ser una pequeña bola de radio\(\varepsilon\) centrada en el punto\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Denote por

\[ S_\varepsilon(x_0,y_0,z_0) =\left \{(x,y,z)|(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=\varepsilon^2 \right \} \nonumber \]

su superficie. Porque\(B_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)\) es realmente pequeño,\(\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{v} \) es esencialmente constante en\(B_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)\) y esencialmente tenemos

\[ \iiint_{B_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)} \vecs{ \nabla} \cdot \vecs{v} \ \text{d}V =\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{v} (x_0,y_0,z_0)\ \text{Vol}\big(B_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)\big) \nonumber \]

Por supuesto que realmente estamos haciendo una aproximación aquí, basada en el supuesto de que\(\vecs{v} (x,y,z)\) es continuo y así lleva valores muy cercanos a\(\vecs{v} (x_0,y_0,z_0)\) todas partes en el dominio de la integración. La aproximación se pone mejor y mejor como\(\varepsilon\rightarrow 0\) y una declaración más precisa es

\[ \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (x_0,y_0,z_0)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{\iiint_{B_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)} \vecs{ \nabla} \cdot \vecs{v} \ \text{d}V} {\text{Vol}\big(B_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)\big)} \nonumber \]

Por el teorema de la divergencia, también tenemos

\[ \iiint_{B_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)} \vecs{ \nabla} \cdot \vecs{v} \ \text{d}V =\iint_{S_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)} \vecs{v} \cdot\hat{\textbf{n}} \ \text{d}S \nonumber \]

Piense en el campo vectorial\(\vecs{v} \) como la velocidad de un fluido en movimiento que tiene densidad uno. Ya hemos visto, en §3.4, que la integral de flujo para un campo de velocidad tiene la interpretación

\[\begin{align*} \iint_{S_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)}\hskip-10 pt \vecs{v} \cdot\hat{\textbf{n}} \ \text{d}S &=\left\{ \begin{array}{l} \text{the volume of fluid leaving $B_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)$}\\ \text{through $S_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)$ per unit time} \end{array} \right. \end{align*}\]

Concluimos que, como dijimos en 4.1.19,

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (x_0,y_0,z_0) &=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{\text{the rate at which fluid is exiting $B_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)$}} {\text{Vol}\big(B_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)\big)}\\ &=\left\{ \begin{array}{l} \text{rate at which fluid is exiting an }\\ \text{infinitesimal sphere centred at $(x_0,y_0,z_0)$, }\\ \text{per unit time, per unit volume} \end{array} \right.\\ &=\text{strength of the source at $(x_0,y_0,z_0)$} \end{align*}\]

Si nuestro mundo está lleno de un fluido incompresible, un fluido cuya densidad es constante y así nunca se expande ni comprime, tendremos\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} =0\text{.}\)

Curl

Nuevamente dejó\(\varepsilon \gt 0\) ser un pequeño número positivo y dejar\(D_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)\) ser un minúsculo disco circular plano de radio\(\varepsilon\) centrado en el punto\((x_0,y_0,z_0)\) y denotar por\(C_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)\) su círculo limítrofe. Dejar\(\hat{\textbf{n}}\) ser una unidad vector normal a\(D_\varepsilon\text{.}\) Nos dice la orientación de\(D_\varepsilon\text{.}\) Dar al círculo\(C_\varepsilon\) la orientación correspondiente usando la regla de la mano derecha. Es decir, si los dedos de tu mano derecha están apuntando en la dirección de movimiento correspondiente a lo largo\(C_\varepsilon\) y tu palma está orientada\(D_\varepsilon\text{,}\) entonces tu pulgar apunta en la dirección\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\)

Porque\(D_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)\) es muy pequeño,\(\vecs{ \nabla} \!\times\vecs{v} \) es esencialmente constante\(D_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)\) y esencialmente tenemos

\[\begin{align*} \iint_{D_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)} \vecs{ \nabla} \!\times \vecs{v} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S &=\vecs{ \nabla} \!\times \vecs{v} (x_0,y_0,z_0)\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{Area}\big(D_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)\big)\\ &=\pi\varepsilon^2\ \vecs{ \nabla} \times\! \vecs{v} (x_0,y_0,z_0)\cdot\hat{\textbf{n}} \end{align*}\]

Nuevamente, esta es realmente una declaración aproximada que se vuelve cada vez mejor como\(\varepsilon\rightarrow 0\text{.}\) Una declaración más precisa es

\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \times\! \vecs{v} (x_0,y_0,z_0)\cdot\hat{\textbf{n}} =\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{\iint_{D_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)} \vecs{ \nabla} \!\times \vecs{v} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S} {\pi\varepsilon^2} \end{gather*}\]

Por el teorema de Stokes, también tenemos

\[\begin{gather*} \iint_{D_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)} \vecs{ \nabla} \!\times \vecs{v} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S =\oint_{C_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)} \vecs{v} \cdot d\vecs{r} \end{gather*}\]

De nuevo, piense en el campo vectorial\(\vecs{v} \) como la velocidad de un fluido en movimiento. Entonces\(\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} \cdot d\vecs{r} \) se llama la circulación de\(\vecs{v} \) alrededor\(C_\varepsilon\text{.}\)

Para medir la circulación experimentalmente, coloque una pequeña rueda de paletas en el fluido, con el eje de la rueda de paletas apuntando a lo largo\(\hat{\textbf{n}}\) y cada una de las paletas perpendicular\(C_\varepsilon\) y centrada en\(C_\varepsilon\text{.}\)

Cada paleta se mueve tangencialmente a\(C_\varepsilon\text{.}\) Le gustaría moverse con la misma velocidad que la velocidad tangencial\(\vecs{v} \cdot\hat{\textbf{t}}\) (donde\(\hat{\textbf{t}}\) está el vector tangente unidad apuntando hacia adelante\(C_\varepsilon\) a la ubicación de la paleta) del fluido en su ubicación. Pero todas las paletas están rígidamente fijadas al eje de la rueda de paletas y así todas deben moverse con la misma velocidad. Esa velocidad común será el valor promedio de\(\vecs{v} \cdot\hat{\textbf{t}}\) alrededor\(C_\varepsilon\text{.}\) Si\(\text{d}s\) representa un elemento de longitud de arco\(C_\varepsilon\text{,}\) del valor promedio de\(\vecs{v} \cdot\hat{\textbf{t}}\) alrededor\(C_\varepsilon\) es

\[ \overline{v_T}=\frac{1}{2\pi\varepsilon}\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} \cdot \hat{\textbf{t}}\ \text{d}s =\frac{1}{2\pi\varepsilon}\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} \cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]

ya que\(\text{d}\vecs{r} \) tiene dirección\(\hat{\textbf{t}}\) y longitud\(\text{d}s\) para que\(\text{d}\vecs{r} =\hat{\textbf{t}} \text{d}s\text{,}\) y ya\(2\pi\varepsilon\) sea la circunferencia de\(C_\varepsilon\text{.}\) Si la rueda de paletas gira a\(\Omega\) radianes por unidad de tiempo, cada paleta recorre una distancia\(\Omega\varepsilon\) por unidad de tiempo (recuerde que\(\varepsilon\) es el radio de \(C_\varepsilon\)). Es decir,\(\overline{v_T}=\Omega\varepsilon\text{.}\) Combinando toda esta información,

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\! \vecs{v} (x_0,y_0,z_0)\cdot\hat{\textbf{n}} &=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{\iint_{D_\varepsilon(x_0,y_0,z_0)} \vecs{ \nabla} \!\times \vecs{v} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S} {\pi\varepsilon^2}\\ &=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} \cdot \text{d}\vecs{r} } {\pi\varepsilon^2}\\ &=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{2\pi\varepsilon\ \overline{v_T}} {\pi\varepsilon^2}\\ &=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{2\pi\varepsilon\ (\Omega \varepsilon)} {\pi\varepsilon^2}\\ &=2\Omega \end{align*}\]

para que

\[ \Omega = \frac{1}{2} \vecs{ \nabla} \times\! \vecs{v} (x_0,y_0,z_0)\cdot\hat{\textbf{n}} \nonumber \]

El componente de\(\vecs{ \nabla} \times\!\vecs{v} (x_0,y_0,z_0)\) en cualquier dirección\(\hat{\textbf{n}}\) es el doble de la velocidad a la que gira la rueda de paletas cuando se pone en el fluido\((x_0,y_0,z_0)\) con su eje apuntando en la dirección\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) La dirección de\(\vecs{ \nabla} \times\!\vecs{v} (x_0,y_0,z_0)\) es la dirección del eje que da la velocidad máxima de rotación y la magnitud de \(\vecs{ \nabla} \times\!\vecs{v} (x_0,y_0,z_0)\)es el doble de esa velocidad máxima de rotación. Por esta razón,\(\vecs{ \nabla} \times \vecs{v} \) se llama la “vorticidad”.

Optativa — Una Aplicación del Teorema de Stokes — Ley de Faraday

La inducción magnética se refiere a un proceso físico mediante el cual se crea una tensión eléctrica (“inducida”) por un campo magnético variable en el tiempo. Este proceso se explota en muchas aplicaciones, incluyendo generadores eléctricos, motores de inducción, cocción por inducción, soldadura por inducción y carga inductiva. A Michael Faraday ⁶ se le atribuye generalmente el descubrimiento de la inducción magnética. La ley de Faraday es la siguiente. Dejar\(S\) ser una superficie orientada con límite\(C\text{.}\) Let\(\textbf{E}\) y\(\textbf{B}\) ser los campos eléctricos y magnéticos (dependientes del tiempo) y definir

\[\begin{align*} \oint_C\textbf{E}\cdot \text{d}\vecs{r} &=\text{voltage around }C\\ \iint_S\textbf{B}\cdot \hat{\textbf{n}} \,\text{d}S&=\text{magnetic flux through }S \end{align*}\]

Entonces el voltaje alrededor\(C\) es el negativo de la tasa de cambio del flujo magnético a través\(S\text{.}\) Como ecuación, la Ley de Faraday es

\[ \oint_C\textbf{E}\cdot \text{d}\vecs{r} =-\frac{\partial }{\partial t}\iint_S\textbf{B}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

Podemos reformular esto como una ecuación diferencial parcial. Por el teorema de Stokes,

\[ \oint_C\textbf{E}\cdot \text{d}\vecs{r} =\iint_S(\vecs{ \nabla} \times\textbf{E})\cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

así que la ley de Faraday se convierte en

\[ \iint_S\Big(\vecs{ \nabla} \times\textbf{E}+\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}\Big)\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S=0 \nonumber \]

Esto es cierto para todas las superficies\(S\text{.}\) Así que el integrando, asumiendo que es continuo, debe ser cero.

Para ver esto, vamos\(\textbf{G}=\Big(\vecs{ \nabla} \times\textbf{E}+\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}\Big)\text{.}\) Supongamos que\(\textbf{G}(\textbf{x}_0)\ne 0\text{.}\) Pick un vector unitario\(\hat{\textbf{n}}\) en la dirección de\(\textbf{G}(\textbf{x}_0)\text{.}\) Let\(S\) sea un disco plano muy pequeño centrado en\(\textbf{x}_0\) con normal\(\hat{\textbf{n}}\) (el vector que elegimos). Entonces\(\textbf{G}(\textbf{x}_0)\cdot\hat{\textbf{n}} \gt 0\) y, por continuidad,\(\textbf{G}(\textbf{x})\cdot\hat{\textbf{n}} \gt 0\) para todos\(\textbf{x}\) en\(S\text{,}\) si hemos escogido lo suficientemente\(S\) pequeños. Entonces\(\iint_S\Big(\vecs{ \nabla} \times\textbf{E}+\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}\Big)\cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \gt 0\text{,}\) que es una contradicción. Así que\(\textbf{G}=\vecs{0}\) en todas partes y concluimos que

\[ \vecs{ \nabla} \times\textbf{E}+\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}=0 \nonumber \]

Esta es una de las ecuaciones de campo electromagnético de Maxwell ⁷.

Ejercicios

Etapa 1

1

Cada una de las figuras a continuación contiene un boceto de una superficie\(S\) y su límite El teorema de\(\partial S\text{.}\) Stokes dice que\(\oint_{\partial S}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\iint_S\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) si\(\hat{\textbf{n}}\) es un vector normal unitario correctamente orientado a\(S\text{.}\) Agregar a cada boceto un vector normal típico de este tipo.

a)

b)

c)

 

 

 

2

Let

• \(R\)ser una región finita en el\(xy\) plano,
• el límite,\(C\text{,}\) de\(R\) consiste en una sola curva cerrada lisa por tramos, simple
  • que está orientado (es decir, se pone una flecha\(C\)) de manera consistente\(R\) en el sentido de que si caminas\(C\) en la dirección de la flecha, entonces\(R\) está a tu izquierda

    

• \(F_1(x,y)\)y\(F_2(x,y)\) tener primeras derivadas parciales continuas en cada punto de\(R\text{.}\)

Usa el teorema de Stokes para mostrar que

\[ \oint_{C} \big[F_1(x,y)\,\text{d}x +F_2(x,y)\,\text{d}y\big] =\iint_{R}\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\Big)\ \text{d}x\text{d}y \nonumber \]

es decir, para mostrar el teorema de Green.

3

Verifique la identidad\(\ \oint_C\phi\vecs{ \nabla} \psi\cdot \text{d}\vecs{r} =-\oint_C\psi\vecs{ \nabla} \phi\cdot \text{d}\vecs{r} \ \) de cualquier campo escalar continuamente diferenciable\(\phi\)\(\psi\) y curva\(C\) que sea el límite de una superficie lisa por tramos.

Etapa 2

4

Dejar\(C\) ser la curva de intersección del cilindro\(x^2+y^2=1\) y la superficie\(z=y^2\) orientada en el sentido contrario a las agujas del reloj como se ve desde\((0,0,100)\text{.}\) Let\(\vecs{F} =(x^2-y\,,\,y^2+x\,,\,1)\text{.}\) Calculate\(\oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \)

1. por evaluación directa
2. usando el Teorema de Stokes.

5

Evaluar\(\oint_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) dónde\(\vecs{F} =ye^x\,\hat{\pmb{\imath}}+(x+e^x)\,\hat{\pmb{\jmath}}+z^2\,\hat{\mathbf{k}}\) y\(C\) es la curva

\[ \vecs{r} (t)=(1+\cos t)\,\hat{\pmb{\imath}}+(1+\sin t)\,\hat{\pmb{\jmath}}+(1-\sin t-\cos t)\,\hat{\mathbf{k}}\qquad 0\le t\le 2\pi \nonumber \]

6 ✳

Encuentra el valor de\(\iint_S\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) dónde\(\vecs{F} = \big(z - y\,,\, x\,,\, -x\big)\) y\(S\) es el hemisferio

\[ \left \{(x, y, z) \in\mathbb{R}^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 4,\ z \ge 0\right \} \nonumber \]

orientado de manera que las normales de superficie apuntan lejos del centro del hemisferio.

7 ✳

Dejar\(\mathcal{S}\) ser la parte de la superficie\(z=16-{(x^2+y^2)}^2\) que se encuentra por encima del\(xy\) plano. Dejar\(\vecs{F} \) ser el campo vectorial

\[ \vecs{F} =x\ln(1+z)\,\hat{\pmb{\imath}}+x(3+y)\,\hat{\pmb{\jmath}}+y\cos z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Calcular

\[ \iint_{\mathcal{S}}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

donde\(\hat{\textbf{n}}\) es la normal ascendente en\(\mathcal{S}\text{.}\)

8 ✳

Dejar\(\mathcal{C}\) ser la intersección del paraboloide\(z=4-x^2-y^2\) con el cilindro\(x^2+(y-1)^2=1\text{,}\) orientado en sentido antihorario cuando se ve desde lo alto en el\(z\) eje. Let\(\vecs{F} =xz\,\hat{\pmb{\imath}}+x\,\hat{\pmb{\jmath}}+yz\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Find\(\oint_{\mathcal{C}}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \text{.}\)

9

Dejar\(\vecs{F} = - ye^z\,\hat{\pmb{\imath}} + x^3\cos z\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\sin(xy)\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) y dejar\(S\) ser la parte de la superficie\(z = (1-x^2)(1-y^2)\) que se encuentra por encima del cuadrado\(-1\le x\le 1\text{,}\)\(-1\le y\le 1\) en el\(xy\) plano. Encuentra el flujo de\(\vecs{ \nabla} \times \vecs{F} \) hacia arriba a través\(S\text{.}\)

10

Evaluar la integral\(\oint_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \text{,}\) en la que\(\vecs{F} = (e^{x^2} - yz\,,\,\sin y - yz \,,\,xz + 2y)\) y\(C\) es el camino triangular de\((1, 0, 0)\)\((0, 1, 0)\) a\((0, 0, 1)\) a\((1, 0, 0)\text{.}\)

11 ✳

Let\(\vecs{F} (x,y,z)=-z\,\hat{\pmb{\imath}}+x\,\hat{\pmb{\jmath}}+y\,\hat{\mathbf{k}}\) Ser un campo vectorial. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral de línea\(\oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \) donde\(C\) se encuentra la intersección del plano\(z=y\) y el elipsoide\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}=1\text{,}\) orientado en sentido antihorario cuando se ve desde lo alto en el\(z\) eje.

12 ✳

Considere el campo vectorial\(\vecs{F} (x,y, z) = z^2 \,\hat{\pmb{\imath}} + x^2 \,\hat{\pmb{\jmath}} + y^2\,\hat{\mathbf{k}}\) en\(\mathbb{R}^3\text{.}\)

1. Calcular la integral de línea\(I_1 = \int_{C_1}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) donde\(C_1\) está la curva que consiste en tres segmentos de línea,\(L_1\) desde\((2, 0, 0)\) hasta\((0, 2, 0)\text{,}\) luego\(L_2\) desde\((0, 2, 0)\) hasta\((0, 0, 2)\text{,}\) finalmente\(L_3\) desde\((0, 0, 2)\) hasta\((2, 0, 0)\text{.}\)
2. Una curva cerrada simple\(C_2\) se encuentra en el plano que\(E\,:\, x + y + z = 2\text{,}\) encierra una región\(R\) en el plano del área\(3\text{,}\) y orientada en sentido contrario a las agujas del reloj según se observa desde el\(x\) eje positivo. Calcular la integral de la línea\(I_2 = \int_{C_2}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{.}\)

13 ✳

Dejar\(C = C_1 + C_2 + C_3\) ser la curva dada por la unión de las tres curvas parametrizadas

\[\begin{alignat*}{2} \vecs{r} _1(t) &= \big(2\cos t, 2\sin t, 0\big), &\qquad &0 \le t \le \pi/2\\ \vecs{r} _2(t) &= \big(0, 2\cos t, 2\sin t\big), & &0 \le t \le \pi/2\\ \vecs{r} _3(t) &= \big(2\sin t, 0, 2\cos t\big), & &0 \le t \le \pi/2 \end{alignat*}\]

1. Dibuja una imagen de Marque\(C\text{.}\) claramente cada una de las curvas\(C_1\text{,}\)\(C_2\text{,}\)\(C_3\) e indique las orientaciones dadas por las parametrizaciones.
2. Encontrar y parametrizar una superficie orientada\(S\) cuyo límite es\(C\) (con las orientaciones dadas).
3. Calcular la integral de línea\(\int_C \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) donde

   \[ \vecs{F} = \Big(y + \sin(x^2)\,,\, z - 3x + \ln(1 + y^2)\,,\, y + e^{z^2}\Big) \nonumber \]

14 ✳

Consideramos el cono con ecuación\(z = \sqrt{x^2 + y^2}\text{.}\) Tenga en cuenta que su punta, o vértice, se ubica en\((0, 0, 0)\text{.}\) el origen El cono está orientado de tal manera que los vectores normales apuntan hacia abajo (y lejos del\(z\) eje). En las partes a continuación, ambas\(S_1\) y\(S_2\) están orientadas de esta manera.

Let\(\vecs{F} = \big(-zy, zx, xy \cos(yz)\big)\text{.}\)

1. Dejar\(S_1\) ser la parte del cono que se encuentra entre los planos\(z = 0\) y\(z = 4\text{.}\) Note que\(S_1\) no incluye ninguna parte del plano\(z = 4\text{.}\) Usa el teorema de Stokes para determinar el valor de

   \[ \iint_{S_1} \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

   Hacer un boceto indicando las orientaciones de\(S_1\) y del contorno (s) de integración.
2. Deja\(S_2\) ser la parte del cono que se encuentra debajo del plano\(z = 4\) y arriba\(z = 1\text{.}\) Tenga en cuenta que\(S_2\) no incluye ninguna parte de los planos\(z = 1\) y\(z = 4\text{.}\) Determina el flujo de\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \) través\(S_2\text{.}\) Justifica tu respuesta, incluyendo un boceto que indique las orientaciones de \(S_2\)y del contorno (s) de integración.

15 ✳

Considera la curva\(C\) que es la intersección del plano\(z = x + 4\) y el cilindro\(x^2 + y^2 = 4\text{,}\) y supongamos que\(C\) está orientada de manera que se recorra en sentido horario como se ve desde arriba.

Let\(\vecs{F} (x, y, z) = \big(x^3 + 2y\,,\, \sin(y) + z\,,\, x + \sin(z^2)\big)\text{.}\)

Usar el Teorema de Stokes para evaluar la integral de línea\(\oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{.}\)

16 ✳

1. Considere el campo vectorial\(\vecs{F} (x, y, z) = (z^2 , x^2 , y^2)\) en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Compute la integral de línea\(\oint_C \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{,}\) donde\(C\) está la curva que consiste en los tres segmentos de línea,\(L_1\) de\((2, 0, 0)\) a\((0, 2, 0)\text{,}\) luego\(L_2\) de\((0, 2, 0)\) a\((0, 0, 2)\text{,}\) y finalmente\(L_3\) de\((0, 0, 2)\) a\((2, 0, 0)\text{.}\)
2. Una curva cerrada simple\(C\) se encuentra en el plano\(x + y + z = 2\text{.}\) La superficie que esta curva\(C\) rodea dentro del plano\(x + y + z = 2\) tiene área\(3\text{.}\) La curva\(C\) se orienta en sentido antihorario según se observa desde el eje x positivo. Calcular la integral de línea\(\oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \), donde\(\vecs{F} \) es como en (a).

17 ✳

Evaluar la integral de línea

\[ \int_C\left(z+\frac{1}{1+z}\right)\text{d}x +xz\,\text{d}y +\left(3xy-\frac{x}{(z+1)^2}\right)\text{d}z \nonumber \]

donde\(C\) es la curva parametrizada por

\[ \vecs{r} (t) = \big(\cos t\,,\, \sin t\,,\, 1 - \cos^2 t \sin t\big)\qquad 0 \le t \le 2\pi \nonumber \]

18 ✳

Una curva cerrada simple\(C\) se encuentra en el plano\(x + y + z = 1\text{.}\) La superficie que esta curva\(C\) rodea dentro del plano\(x + y + z = 1\) tiene área\(5\text{.}\) La curva\(C\) se orienta en sentido horario como se observa desde el\(z\) eje positivo mirando hacia abajo al plano\(x + y + z = 1\text{.}\)

Calcular la línea integral de\(\vecs{F} (x, y, z) = (z^2 , x^2 , y^2)\) alrededor\(C\text{.}\)

19 ✳

Let\(C\) Ser la curva orientada que consiste en los 5 segmentos de línea que forman las trayectorias de\((0, 0, 0)\) a\((0, 1, 1)\text{,}\) de\((0, 1, 1)\) a\((0, 1, 2)\text{,}\) de a de\((0, 1, 2)\) a\((0, 2, 0)\text{,}\) de\((0, 2, 0)\) a\((2, 2, 0)\text{,}\) y de\((2, 2, 0)\) a\((0, 0, 0)\text{.}\) Let

\[ \vecs{F} = (-y+e^x\sin x)\,\hat{\pmb{\imath}} +y^4\,\hat{\pmb{\jmath}} +\sqrt{z}\tan z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Evaluar la integral\(\int_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{.}\)

20 ✳

Supongamos que la curva\(C\) es la intersección del cilindro\(x^2 + y^2 = 1\) con la superficie\(z = xy^2\text{,}\) atravesada en el sentido de las agujas del reloj si se ve desde el eje Z positivo, es decir, vista “desde arriba”. Evaluar la integral de línea

\[ \int_C (z + \sin z) \,\text{d}x + (x^3 - x^2 y) \,\text{d}y + (x \cos z - y) \,\text{d}z \nonumber \]

21 ✳

Evaluar\(\iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) dónde\(S\) está esa parte de la esfera\(x^2+y^2+z^2=2\) por encima del plano\(z=1\text{,}\)\(\hat{\textbf{n}}\) es la unidad ascendente normal, y

\[\begin{gather*} \vecs{F} (x,y,z) = -y^2\,\hat{\pmb{\imath}} +x^3\,\hat{\pmb{\jmath}} + \big(e^x + e^y +z\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]

22 ✳

Let

\[ \vecs{F} = x \sin y\,\hat{\pmb{\imath}} - y \sin x\,\hat{\pmb{\jmath}} + (x - y)z^2\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Usar el teorema de Stokes para evaluar

\[ \int_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]

a lo largo de la trayectoria que consiste en los segmentos de línea recta que unen sucesivamente los puntos\(P_0 = (0, 0, 0)\)\(P_1 = (\pi/2, 0, 0)\) a\(P_2 = (\pi/2, 0, 1)\) a\(P_3 = (0, 0, 1)\) a\(P_4 = (0, \pi/2, 1)\) a\(P_5 = (0, \pi/2, 0)\text{,}\) y de vuelta a\((0, 0, 0)\text{.}\)

23 ✳

Let

\[ \vecs{F} =\left(\frac{2z}{1+y}+\sin(x^2)\,,\, \frac{3z}{1+x}+\sin(y^2)\,,\, 5(x+1)(y+2)\right) \nonumber \]

Let\(C\) Ser la curva orientada que consta de cuatro segmentos de línea de\((0,0,0)\) a\((2,0,0)\text{,}\) de\((2,0,0)\) a\((0,0,2)\text{,}\) de\((0,0,2)\) a de a\((0,3,0)\text{,}\) y de\((0,3,0)\) a\((0,0,0)\text{.}\)

1. Dibuja una imagen de Indique\(C\text{.}\) claramente la orientación en cada segmento de línea.
2. Calcular la integral del trabajo\(\int_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{.}\)

24 ✳

Evaluar\(\displaystyle\iint_S\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) dónde\(\vecs{F} =y\,\hat{\pmb{\imath}}+2z\,\hat{\pmb{\jmath}}+3x\,\hat{\mathbf{k}}\) y\(S\) es la superficie\(z=\sqrt{1-x^2-y^2}\text{,}\)\(z\ge 0\) y\(\hat{\textbf{n}}\) es una unidad normal a\(S\) obedecer\(\hat{\textbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{k}}\ge 0\text{.}\)

25 ✳

Dejar\(\mathcal{S}\) ser la superficie curva abajo, orientada por la normal hacia afuera:

\[ x^2 + y^2 + 2(z-1)^2 = 6,\qquad z\ge 0. \nonumber \]

(Por ejemplo, en el punto alto de la superficie, la unidad normal es\(\hat{\mathbf{k}}\text{.}\))

Definir

\[ \textbf{G}= \nabla\times\vecs{F} , \quad\text{where}\quad \vecs{F} = (xz - y^3\cos z)\,\hat{\pmb{\imath}} + x^3 e^z\,\hat{\pmb{\jmath}} + xyze^{x^2+y^2+z^2}\,\hat{\mathbf{k}}. \nonumber \]

Encuentra\(\iint_\mathcal{S} \textbf{G}\cdot \hat{\textbf{n}}\text{d}S\text{.}\)

26 ✳

Dejar\(C\) ser un círculo de radio\(R\) tendido en el plano\(x+y+z=3\text{.}\) Usa el Teorema de Stokes para calcular el valor de

\[ \oint_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]

donde\(\vecs{F} =z^2\hat{\pmb{\imath}}+x^2\hat{\pmb{\jmath}}+y^2\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) (Puede usar cualquiera de las orientaciones del círculo.)

27

Dejar\(S\) ser la superficie orientada que consiste en la parte superior y cuatro lados del cubo cuyos vértices están\((\pm 1,\pm1,\pm1)\text{,}\) orientados hacia afuera. Si\(\vecs{F} (x,y,z)=(xyz,xy^2,x^2yz)\text{,}\) encuentra el flujo de\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \) a través\(S\text{.}\)

28

Dejar\(S\) denotar la parte de la rampa espiral (que es la superficie helicoidal) parametrizada por

\[ x=u\cos v,\ y=u\sin v,\ z=v\qquad 0\le u\le 1,\ 0\le v\le 2\pi \nonumber \]

Dejar\(C\) denotar el límite de\(S\) con orientación especificada por la normal que apunta hacia arriba en\(S\text{.}\) Find

\[ \int_C y\,\text{d}x-x\,\text{d}y+ xy\,\text{d}z \nonumber \]

Etapa 3

29

Dejar\(C\) ser la intersección de\(x+2y-z=7\) y\(x^2-2x+4y^2=15\text{.}\) La curva\(C\) está orientada en sentido antihorario cuando se ve desde lo alto en el\(z\) eje -eje. Let

\[ \vecs{F} =\big(e^{x^2}+yz\big)\,\hat{\pmb{\imath}} +\big(\cos(y^2)-x^2\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +\big(\sin(z^2)+xy\big)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Evaluar\(\oint_C\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \text{.}\)

30 ✳

1. Encuentra el rizo del campo vectorial\(\vecs{F} = \big(2 + x^2 + z\,,\, 0\,,\, 3 + x^2 z\big)\text{.}\)
2. Dejar\(C\) ser la curva en\(\mathbb{R} ^3\) desde el punto\((0, 0, 0)\) hasta el punto\((2, 0, 0)\text{,}\) que consiste en tres segmentos de línea consecutivos que conectan los puntos\((0, 0, 0)\)\((0, 0, 3)\text{,}\)\((0, 0, 3)\) a\((0, 1, 0)\text{,}\) y para\((0, 1, 0)\)\((2, 0, 0)\text{.}\) Evaluar la integral de línea

   \[ \int_C \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

   donde\(\vecs{F} \) es el campo vectorial de (a).

31 ✳

1. Dejar\(S\) ser la superficie en forma de cubo que consiste en la superficie cilíndrica\(y^2 + z^2 = 9\) entre\(x = 0\)\(x = 5\text{,}\) y y el disco dentro del\(yz\) plano de radio\(3\) centrado en el origen. (El cubo\(S\) tiene fondo, pero no tapa.) Orientar\(S\) de tal manera que la unidad normal apunte hacia afuera. Calcular el flujo del campo vectorial\(\vecs{ \nabla} \times\textbf{G}\) a través de\(S\text{,}\) dónde\(\textbf{G} = (x, -z, y)\text{.}\)
2. Calcular el flujo del campo vectorial\(\vecs{F} = (2 + z, xz^2 , x \cos y)\) a través de\(S\text{,}\) donde\(S\) es como en (a).

32 ✳

Let

\[ \vecs{F} (x, y, z) = \Big(\frac{y}{x} +x^{1+x^2}\,,\, x^2-y^{1+y^2}\,,\, \cos^5(\ln z)\Big) \nonumber \]

1. Anota el dominio\(D\) de\(\vecs{F} \text{.}\)
2. Círculo la (s) declaración (s) correcta (s)
   1. D está conectado.
   2. D está simplemente conectado.
   3. D está desconectado.
3. Compute\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \text{.}\)
4. Dejar\(C\) ser el cuadrado con esquinas\((3 \pm 1, 3 \pm 1)\) en el plano\(z = 2\text{,}\) orientado hacia la derecha (visto desde arriba, es decir, hacia abajo\(z\) -eje). Compute

   \[ \int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]

5. ¿Es\(\vecs{F} \) conservador?

33 ✳

Un físico estudia un campo vectorial A\(\vecs{F} (x, y, z)\text{.}\) partir de experimentos, se sabe que\(\vecs{F} \) es de la forma

\[ \vecs{F} (x, y, z) = xz\,\hat{\pmb{\imath}} + (axe^y z + byz)\,\hat{\pmb{\jmath}} + (y^2 - xe^y z^2 )\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

para algunos números reales\(a\) y\(b\text{.}\) Se sabe además que\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \times\textbf{G}\) para algunos campos vectoriales diferenciables\(\textbf{G}\text{.}\)

1. Determinar\(a\) y\(b\text{.}\)
2. Evaluar la integral de la superficie

   \[ \iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

   donde\(S\) es la parte del elipsoide\(x^2 + y^2 + \frac{1}{4} z^2 = 1\) para la cual se\(z \ge 0\text{,}\) orienta de manera que su vector normal tenga un\(z\) componente positivo.

34 ✳

Dejar\(C\) ser la curva en el\(xy\) plano -desde el punto\((0, 0)\) hasta el punto\((5, 5)\) que consiste en los diez segmentos de línea que conectan consecutivamente los puntos\((0,0)\text{,}\)\((0,1)\text{,}\)\((1,1)\text{,}\)\((1,2)\text{,}\)\((2,2)\text{,}\)\((2,3)\text{,}\)\((3,3)\text{,}\)\((3,4)\text{,}\)\((4,4)\text{,}\)\((4,5)\text{,}\) \((5,5)\text{.}\)Evaluar la integral de línea

\[\begin{gather*} \int_C \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \end{gather*}\]

donde

\[\begin{gather*} \vecs{F} = y\,\hat{\pmb{\imath}} + (2x - 10)\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]

35 ✳

Deje\(\vecs{F} = \big(\sin x^2\,,\,xz\,,\,z^2\big)\text{.}\) Evaluar\(\oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) alrededor de la curva\(C\) de intersección del cilindro\(x^2+y^2=4\) con la superficie\(z=x^2\text{,}\) atravesada en sentido contrario a las agujas del reloj según se ve desde lo alto en el\(z\) eje.

36 ✳

Explicar cómo se deduce la forma diferencial

\[ \vecs{ \nabla} \times\textbf{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{H}}{\partial t} \nonumber \]

de la ley de Faraday desde su forma integral

\[ \oint_C\textbf{E}\cdot\text{d}\vecs{r} = -\frac{1}{c}\ \dfrac{d }{dt}\iint_S\textbf{H}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

37 ✳

Dejado\(C\) ser la curva dada por las ecuaciones paramétricas:

\[ x=\cos t,\ y=\sqrt{2}\sin t,\ z=\cos t,\ 0\le t\le 2\pi \nonumber \]

y dejar

\[ \vecs{F} =z\,\hat{\pmb{\imath}}+x\,\hat{\pmb{\jmath}}+y^3z^3\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Usar el teorema de Stokes para evaluar

\[ \oint_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]

38 ✳

Usar el teorema de Stokes para evaluar

\[ \oint_C z\,\text{d}x+x\,\text{d}y-y\,\text{d}z \nonumber \]

donde\(C\) esta la curva cerrada que es la interseccion del plano\(x+y+z=1\) con la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\text{.}\) Supongamos que\(C\) esta orientada en sentido horario según se ve desde el origen.

39 ✳

Dejar\(S\) ser la parte del medio cono

\[ z=\sqrt{x^2+y^2},\quad y\ge 0, \nonumber \]

que se encuentra por debajo del plano\(z=1\text{.}\)

1. Encuentre una parametrización para\(S\text{.}\)
2. Calcular el flujo del campo de velocidad

   \[ \vecs{v} =x\,\hat{\pmb{\imath}} + y\, \hat{\pmb{\jmath}} -2 z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

   hacia abajo a través\(S\text{.}\)
3. Un campo vectorial\(\vecs{F} \) tiene curl\(\vecs{ \nabla} \times \vecs{F} = x\, \hat{\pmb{\imath}} + y\, \hat{\pmb{\jmath}} -2 z\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) En el\(xz\) plano -plano, el campo vectorial\(\vecs{F} \) es constante con\(\vecs{F} (x,0,z)=\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\) Dada esta información, calcule

   \[ \int_\mathcal{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} , \nonumber \]

   donde\(\mathcal{C}\) esta el semicírculo

   \[ x^2+y^2=1,\ z=1,\ y\ge 0 \nonumber \]

   orientado desde\((-1,0,1)\) hasta\((1,0,1)\text{.}\)

40

Considera\(\iint_S(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\cdot\hat{\textbf{n}}\,dS\) dónde\(S\) está la porción de la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\) que obedece\(x+y+z\ge 1\text{,}\)\(\hat{\textbf{n}}\) es la que apunta hacia arriba normal a la esfera y\(\vecs{F} =(y-z)\hat{\pmb{\imath}}+(z-x)\hat{\pmb{\jmath}}+(x-y)\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Encuentra otra superficie\(S'\) con la propiedad que\(\iint_S(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\iint_{S'}(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) y evaluar\(\iint_{S'}(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\)

1. Sir George Gabriel Stokes (1819—1903) fue un físico y matemático irlandés. Además del teorema de Stokes, es conocido por las ecuaciones Navier-Stokes de la dinámica de fluidos y por su trabajo en la teoría de ondas de la luz. Entregó pruebas ante la Real Comisión sobre el Uso del Hierro en las Estructuras Ferroviarias tras el desastre del puente Dee de 1847.
2. De lo contrario, descomponerse\(S\) en piezas más simples, análogamente a lo que hicimos en la prueba del teorema de la divergencia.
3. Por Salvador Dali?
4. Así yace el dolor.
5. Si se siente incómodo con que la superficie no tenga un límite, haga un agujero muy pequeño en la superficie, dándole un límite muy pequeño. Entonces toma el límite ya que el hoyo tiende a cero.
6. Michael Faraday (1791-1867) fue un físico y químico inglés. Terminó siendo un científico extremadamente influyente a pesar de tener sólo la educación formal más básica.
7. Para los demás, véase el Ejemplo 4.1.2.