4.6: Realmente Opcional — Más Interpretación de Div y Curl

Ahora vamos a determinar, con mucho más detalle que antes ¹, qué nos dice la divergencia y el rizo de un campo vectorial sobre el flujo de ese campo vectorial.

Considere un fluido (posiblemente compresible) con campo de velocidad\(\vecs{v} (\textbf{x},t)\text{.}\) Elija en cualquier momento\(t_0\) y una pieza muy pequeña del fluido; suponga que, en el momento\(t_0\text{,}\) es un cubo con esquinas en

\[ \left \{\textbf{x}_0+n_1\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}+n_2\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}+n_3\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (3  \right )}\big|n_1,n_2,n_3\in\{0,1\}\right \} \nonumber \]

Aquí\(\varepsilon \gt 0\) está la longitud de cada borde del cubo y se supone que es realmente pequeño. Los vectores\(\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )},\ \hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}\) y\(\hat{\textbf{e}}^{\left (3  \right )}\) son tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares que dan la orientación de los bordes del cubo. Los vectores de la esquina\(\textbf{x}_0\) a sus tres esquinas vecinas más cercanas son\(\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )},\ \varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}\) y\(\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (3  \right )}\text{.}\)

A medida que avanza el tiempo, el pedazo de líquido se mueve. En particular, las esquinas se mueven. Denotemos por\(\varepsilon\textbf{b}^{(1)}(t)\) el vector, al tiempo\(t\text{,}\) uniendo la\(n_1=n_2=n_3=0\) esquina a la\(n_1=1,\ n_2=n_3=0\) esquina. Definir\(\varepsilon\textbf{b}^{(2)}(t)\) y de\(\varepsilon\textbf{b}^{(3)}(t)\) manera similar. Para tiempos muy cercanos a\(t_0\) podemos pensar en nuestro trozo de fluido como esencialmente un paralelepípedo con bordes\(\varepsilon\textbf{b}^{(k)}(t)\text{.}\)

Al concentrarnos en los bordes\(\varepsilon\textbf{b}^{(k)}(t)\) del trozo de fluido, más que en las esquinas, estamos ignorando cualquier traducción que pudiera haber sufrido el trozo de fluido. Queremos, en cambio, determinar cómo cambia el tamaño y la orientación del paralelepípedo a medida que\(t\) aumenta.

En\(t_0\text{,}\)\(\textbf{b}^{(k)}=\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\) el tiempo Las velocidades de las esquinas del trozo de fluido en el momento\(t_0\) son

\[ \vecs{v} \big(\textbf{x}_0+n_1\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}+n_2\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}+n_3\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (3  \right )},t_0\big) \nonumber \]

En particular, en\(t_0\text{,}\) el momento la cola de\(\varepsilon\textbf{b}^{(k)}\) tiene velocidad\(\vecs{v} (\textbf{x}_0,t_0)\) y la cabeza de\(\varepsilon\textbf{b}^{(k)}\) tiene velocidad\(\vecs{v} (\textbf{x}_0+\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )},t_0)\text{.}\) Consecuentemente (usando una aproximación de Taylor),

\[ \varepsilon\dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t_0)=\vecs{v} \big(\textbf{x}_0+\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )},t_0\big) -\vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big) =\sum_{j=1}^3\varepsilon\frac{\partial\vecs{v} }{\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}_{j} +O(\varepsilon^2) \nonumber \]

y así

\[ \dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t_0) =\sum_{j=1}^3\frac{\partial\vecs{v} }{\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}_j +O(\varepsilon) \nonumber \]

La notación\(O(\varepsilon^n)\) representa una función que está delimitada por tiempos constantes\(\varepsilon^n\) para todos suficientemente pequeños\(\varepsilon\text{.}\) Es decir, estamos diciendo que\(\dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t_0)\) es\(\sum_{j=1}^3\frac{\partial\vecs{v} }{\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}_j\) más un pequeño error que está delimitado por un tiempo constante\(\varepsilon\text{.}\) La notación\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}_j\) solo se refiere a la\(j^{\rm th}\) componente del vector\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)

Denote por\(\mathcal{V}\) la\(3\times 3\) matriz cuyo elemento\((i,j)\) matriz es

\[ \mathcal{V}_{i,j}=\frac{\partial \vecs{v} _i}{\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \qquad 1\le i,j\le 3 \tag{M} \nonumber \]

Entonces podemos escribir lo anterior de manera más compacta:

\[ \dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t_0)=\mathcal{V}\textbf{b}^{(k)}(t_0)+O(\varepsilon) \nonumber \]

Aquí\(\mathcal{V}\textbf{b}^{(k)}(t_0)\) está el producto de la\(3\times 3\) matriz\(\mathcal{V}\) y el vector de\(3\times 1\) columna\(\textbf{b}^{(k)}(t_0)\text{.}\) Estudiamos el comportamiento de\(\textbf{b}^{(k)}(t)\) para pequeños\(\varepsilon\) y\(t\) cercanos\(t_0\text{,}\) estudiando el comportamiento de las soluciones a los problemas de valor inicial

\[ \dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t)=\mathcal{V}\textbf{b}^{(k)}(t)\qquad \textbf{b}^{(k)}(t_0)=\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )} \tag{IVP} \nonumber \]

Para calentarnos, primero miramos dos ejemplos bidimensionales. En ambos ejemplos, el campo de velocidad\(\vecs{v} (x,y)\) es lineal en\((x,y)\text{.}\) Consecuentemente, en estos ejemplos,\(\vecs{v} \big(\textbf{x}_0+\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )},t_0\big)-\vecs{v} \big(\textbf{x}\textbf{x}_0,t_0\big)\) es exactamente\(\sum_{j=1}^3\varepsilon\frac{\partial\vecs{v} } {\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}_j\) y la solución a (IVP) coincide con la exacta\(\textbf{b}^{(k)}(t)\text{.}\) Siguiendo cada ejemplo, discutimos una amplia clase de\(\mathcal{V}\)'s que generan un comportamiento similar al ejemplo.

Ejemplo 4.6.1. \(\vecs{v} (x,y)= 2x\hat{\pmb{\imath}}+3y\hat{\pmb{\jmath}}\)

En este ejemplo

\[ \mathcal{V}=\left[\begin{matrix}2&0\\ 0&3\end{matrix}\right] \nonumber \]

La solución al problema de valor inicial

\[ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)=\left[\begin{matrix}\beta_1\\\beta_2\end{matrix}\right] \quad\text{or equivalently}\quad \begin{matrix}\textbf{b}_1'(t)=2\textbf{b}_1(t) & \textbf{b}_1(0)=\beta_1\\ \textbf{b}_2'(t)=3\textbf{b}_2(t) & \textbf{b}_2(0)=\beta_2\end{matrix} \nonumber \]

es

\[ \begin{matrix}\textbf{b}_1(t)=e^{2t}\beta_1\\ \textbf{b}_2(t)=e^{3t}\beta_2\end{matrix} \quad\text{or equivalently}\quad \textbf{b}(t)=\left[\begin{matrix}e^{2t}&0\\ 0&e^{3t}\end{matrix}\right]\textbf{b}(0) \nonumber \]

Si uno elige\(\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}=\hat{\pmb{\imath}}\) y\(\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}=\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) los bordes,\(\textbf{b}^{(1)}(t)=e^{2t}\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}\) y\(\textbf{b}^{(2)}(t)=e^{3t}\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}\text{,}\) del trozo de fluido nunca cambian de dirección. Pero sus longitudes sí cambian. La tasa relativa de cambio de longitud por unidad de tiempo,\(|\dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t)|/|\textbf{b}^{(k)}(t)|\text{,}\) es\(2\) para\(\textbf{b}^{(1)}\) y 3 para\(\textbf{b}^{(2)}\text{.}\) En la siguiente figura, el rectángulo más oscuro es el cuadrado inicial. Es decir, el cuadrado con bordes\(\textbf{b}^{(k)}(t_0)=\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\) El rectángulo más claro es que con bordes\(\textbf{b}^{(k)}(t)\) para algunos\(t\) un poco más grandes que\(t_0\text{.}\)

A medida que aumenta el tiempo el cubo inicial se convierte en un rectángulo cada vez más grande.

Ejemplo 4.6.2. Ejemplo 4.6.1, generalizado

El comportamiento del Ejemplo 4.6.1 es típico de\(\mathcal{V}\)'s que son matrices simétricas, es decir, que obedecen a ²\(\mathcal{V}_{i,j}=\mathcal{V}_{j,i}\) para todos\(i,j\text{.}\) Cualquier matriz\(d\times d\) simétrica ³ (con entradas reales)

• tiene valores propios\(d\) reales
• tiene vectores propios de unidad real\(d\) mutuamente ortogonales.

Denotar por\(\lambda_k,\ 1\le k\le d\text{,}\) los valores propios de\(\mathcal{V}\) y elegir vectores unitarios reales\(d\) mutuamente perpendiculares,\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{,}\) que obedecen\(\mathcal{V}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}=\lambda_k\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) para todos\(1\le k\le d\text{.}\) Entonces

\[ \textbf{b}^{(k)}(t)=e^{\lambda_k (t-t_0)}\ \hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )} \nonumber \]

obedece

\[ \dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t)=\lambda_ke^{\lambda_k (t-t_0)}\ \hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}=e^{\lambda_k (t-t_0)}\ \mathcal{V}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )} =\mathcal{V}\textbf{b}^{(k)}(t)\quad\text{and}\quad \textbf{b}^{(k)}(t_0)= \hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )} \nonumber \]

Así\(\textbf{b}^{(k)}(t)=e^{\lambda_k (t-t_0)}\ \hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) satisface (IVP) para todos\(t\) y\(1\le k\le d\text{.}\)

Si empezamos, en el momento\(t_0\text{,}\) con un cubo cuyos bordes,\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{,}\) son vectores propios de\(\mathcal{D}\text{,}\) entonces a medida que avanza el tiempo los bordes,\(\textbf{b}^{(k)}(t)\text{,}\) del trozo de fluido nunca cambian de dirección. Pero sus longitudes cambian con la tasa relativa de cambio de longitud por unidad de tiempo siendo\(\lambda_k\) para el número de borde\(k\text{.}\) Esta tasa de cambio puede ser positiva (el borde crece con el tiempo) o negativa (el borde se contrae en el tiempo) dependiendo del signo de\(\lambda_k\text{.}\)

El volumen del trozo de fluido en el tiempo\(t\) es\(V(t)=e^{\lambda_1 (t-t_0)}\cdots e^{\lambda_d (t-t_0)}\text{.}\) La tasa relativa de cambio de volumen por unidad de tiempo es\(V'(t)/V(t)=\lambda_1\cdots+\lambda_d\text{,}\) la suma de los\(d\) valores propios. La suma de los valores propios de cualquier\(d\times d\) matriz\(\mathcal{V}\) viene dada por su traza\(\sum_{i=1}^d \mathcal{V}_{i,i}\text{.}\) Para la matriz (M)

\[ \frac{V'(t_0)}{V(t_0)} =\sum_{i=1}^d \frac{\partial v_i}{\partial x_i}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big) \nonumber \]

Entonces, al menos cuando la matriz\(\mathcal{V}\) definida en (M) es simétrica, la divergencia\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\) da la tasa relativa de cambio de volumen por unidad de tiempo para nuestro pequeño trozo de fluido en el tiempo\(t_0\) y posición\(\textbf{x}_0\text{.}\) Así cuando\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} =0\) el volumen es fijo. En particular, este es el caso cuando el fluido es incompresible.

De hecho podemos relajar la condición de simetría.

Ejemplo 4.6.3. Ejemplo 4.6.1, generalizado una vez más

Para cualquier\(d\times d\) matriz\(\mathcal{V}\text{,}\) la solución de

\[ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(t_0)=\textbf{e} \nonumber \]

es

\[ \textbf{b}(t)=e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\textbf{e} \nonumber \]

donde el exponencial de una\(d\times d\) matriz\(B\) se define por la serie de potencia

\[ e^B=1+B+\frac{1}{2} B^2+\frac{1}{3!}B^3+\cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}B^n \nonumber \]

con\(1\) denotar la matriz de\(d\times d\) identidad. Esta suma converge ⁴

para todas las\(d\times d\) matrices\(B\text{.}\) Además es fácil de verificar, usando la serie power, que\(e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\) obedece\(\dfrac{d}{dt}e^{\mathcal{V} (t-t_0)}=\mathcal{V} e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\) y es la matriz de identidad cuando\(t=t_0\text{.}\) Así\(\textbf{b}(t)=e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\textbf{e}\) realmente obedece\(\textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\) y\(\textbf{b}(t_0)=\textbf{e}\text{.}\)

Escoge cualquier\(d\) vector\(\textbf{e}^{(k)},\ 1\le k\le d\text{,}\) y define\(\textbf{b}^{(k)}(t)=e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\textbf{e}^{(k)}\text{.}\) También deja\(E\) ser la\(d\times d\) matriz cuya\(k^{\rm th}\) columna es\(\textbf{e}^{(k)}\) y\(E(t)\) ser la\(d\times d\) matriz cuya\(k^{\rm th}\) columna es\(\textbf{b}^{(k)}(t)\text{.}\) Entonces el volumen del paralelepípedo con aristas\(\textbf{e}^{(k)},\ 1\le k\le d\text{,}\) es\(V(t_0)=\det E\) y el volumen del paralelepípedo con bordes\(\textbf{b}^{(k)}(t),\ 1\le k\le d\text{,}\) es

\[ V(t)=\det E(t)=\det\big(e^{\mathcal{V} (t-t_0)}E\big) =\det\big(e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\big)\det E =\det\big(e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\big)V(t_0) \nonumber \]

Por supuesto ahora tenemos que computar el determinante de lo exponencial de una matriz. Por suerte, hay una manera fácil de hacer esto. Para cualquier\(d\times d\) matriz\(B\text{,}\) tenemos ⁵\(\det e^B=e^{\mathrm{tr} B}\text{,}\) donde\(\mathrm{tr} B\text{,}\) se llama la traza de la matriz\(B\text{,}\) es la suma de los elementos de matriz diagonal de\(B\text{.}\) So

\[ V(t)=e^{(t-t_0)\mathrm{tr} \mathcal{V} }V(t_0)\qquad\Rightarrow\qquad \frac{V'(t_0)}{V(t_0)}=\mathrm{tr} \mathcal{V}=\sum_{i=1}^d \mathcal{V}_{i,i} \nonumber \]

Entonces, para cualquier matriz\(\mathcal{V}\) definida como en (M) y cualquier elección de\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )},\ 1\le k\le d\text{,}\) la divergencia\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\) da la tasa relativa de cambio de volumen por unidad de tiempo para nuestro pequeño trozo de fluido en el tiempo\(t_0\) y la posición\(\textbf{x}_0\text{.}\)

Ejemplo 4.6.4. \(\vecs{v} (x,y)= -y\hat{\pmb{\imath}}+x\hat{\pmb{\jmath}}\)

En este ejemplo

\[ \mathcal{V}=\left[\begin{matrix}0&-1\\ 1&0\end{matrix}\right] \nonumber \]

La solución ⁶ a

\[ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)=\left[\begin{matrix}\beta_1 \\ \beta_2\end{matrix}\right] \quad\text{or equivalently}\quad \begin{matrix}b_1'(t)=-b_2(t) & b_1(0)=\beta_1\\ b_2'(t)=b_1(t) & b_2(0)=\beta_2\end{matrix} \nonumber \]

es

\[ \begin{matrix}b_1(t)=\beta_1\cos t-\beta_2\sin t\\ b_2(t)=\beta_1\sin t+\beta_2\cos t\end{matrix} \quad\text{or equivalently}\quad \textbf{b}(t)=\left[\begin{matrix}\cos t&-\sin t\\ \sin t& \cos t\end{matrix}\right]\textbf{b}(0) \nonumber \]

En consecuencia el vector\(\textbf{b}(t)\) tiene la misma longitud que\(\textbf{b}(0)\text{.}\) El ángulo entre\(\textbf{b}(t)\) y\(\textbf{b}(0)\) es solo\(t\) radianes. Entonces, en este ejemplo, no importa qué vectores de dirección\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) escojamos, el trozo de fluido simplemente gira a un radián por unidad de tiempo. En la siguiente figura, el rectángulo perfilado es el cuadrado inicial. Es decir, el cuadrado con bordes\(\textbf{b}^{(k)}(t_0)=\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\) El rectángulo sombreado es que con bordes\(\textbf{b}^{(k)}(t)\) para algunos\(t\) un poco más grandes que\(t_0\text{.}\)

Ejemplo 4.6.5. Ejemplo 4.6.4, generalizado

El comportamiento del Ejemplo 4.6.4 es típico de\(\mathcal{V}\)'s que son matrices antisimétricas, es decir, que obedecen\(\mathcal{V}_{i,j}=-\mathcal{V}_{j,i}\) para todos\(i,j\text{.}\) Como ya hemos observado, para cualquier\(d\times d\) matriz\(\mathcal{V}\text{,}\) la solución de\(\ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t),\ \textbf{b}(0)=\textbf{e} \ \) es Ahora\(\ \textbf{b}(t)=e^{\mathcal{V} t}\textbf{e} \text{.}\) mostramos que si\(\mathcal{V}\) es un\(3\times 3\) antisimétrico matriz, entonces\(e^{\mathcal{V} t}\) es una rotación.

Suponiendo que no\(\mathcal{V}\) es la matriz cero (en cuyo caso\(e^{\mathcal{V} t}\) es la matriz de identidad para todos\(t\)), podemos encontrar un número\(\Omega \gt 0\) y un vector unitario\(\hat{\mathbf{k}}=(k_1,k_2,k_3)\) (no necesariamente el vector unitario estándar paralelo al\(z\) eje -eje) tal que

\[ \mathcal{V}=\left[\begin{matrix}0 & -\Omega k_3 & \Omega k_2\\ \Omega k_3& 0 & -\Omega k_1\\ -\Omega k_2& \Omega k_1&0\end{matrix}\right] \tag{R} \nonumber \]

Esto es fácil. Debido a que\(\mathcal{V}\) es antisimétrico, todas las entradas en su diagonal deben ser cero. \(\Omega\)Definir ser\(\sqrt{\mathcal{V}_{1,2}^2+\mathcal{V}_{1,3}^2+\mathcal{V}_{2,3}^2}\) y\(k_1=-\mathcal{V}_{2,3}/\Omega\text{,}\)\(k_2=\mathcal{V}_{1,3}/\Omega\text{,}\)\(k_3=-\mathcal{V}_{1,2}/\Omega\text{.}\) también, dejar\(\hat{\pmb{\imath}}\) ser cualquier vector unitario ortogonal a\(\hat{\mathbf{k}}\) (de nuevo, no necesariamente el estándar) y\(\hat{\pmb{\jmath}}=\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\pmb{\imath}}\text{.}\) Así\(\hat{\pmb{\imath}},\ \hat{\pmb{\jmath}},\ \hat{\mathbf{k}}\) es un sistema diestro de tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares.

Observe que, para cualquier vector\(\textbf{e}=(e_1,e_2,e_3)\)

\[ \mathcal{V}\textbf{e}=\left[\begin{matrix}0 & -\Omega k_3 & \Omega k_2\\ \Omega k_3& 0 & -\Omega k_1\\ -\Omega k_2& \Omega k_1&0\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}e_1\\ e_2\\ e_3\end{matrix}\right] =\Omega\left[\begin{matrix}k_2e_3-k_3e_2\\ k_3e_1-k_1e_3\\ k_1e_2-k_2e_1\end{matrix}\right] =\Omega\hat{\mathbf{k}}\times \textbf{e} \nonumber \]

En particular,

\[\begin{align*} \mathcal{V}\hat{\pmb{\imath}}&=\Omega\hat{\mathbf{k}}\times \hat{\pmb{\imath}}=\Omega\hat{\pmb{\jmath}} & \mathcal{V}\hat{\pmb{\jmath}}&=\Omega\hat{\mathbf{k}}\times \hat{\pmb{\jmath}}=-\Omega\hat{\pmb{\imath}} & \mathcal{V}\hat{\mathbf{k}}&=\Omega\hat{\mathbf{k}}\times \hat{\mathbf{k}}=\vecs{0}\\ \mathcal{V}^2\hat{\pmb{\imath}}&=\Omega \mathcal{V}\hat{\pmb{\jmath}}=-\Omega^2\hat{\pmb{\imath}} & \mathcal{V}^2\hat{\pmb{\jmath}}&=-\Omega \mathcal{V}\hat{\pmb{\imath}}=-\Omega^2\hat{\pmb{\jmath}} & \mathcal{V}^2\hat{\mathbf{k}}&=\mathcal{V}\vecs{0}=\vecs{0}\\ \mathcal{V}^3\hat{\pmb{\imath}}&=\Omega \mathcal{V}^2\hat{\pmb{\jmath}}=-\Omega^3\hat{\pmb{\jmath}} & \mathcal{V}^3\hat{\pmb{\jmath}}&=-\Omega \mathcal{V}^2\hat{\pmb{\imath}}=\Omega^3\hat{\pmb{\imath}} & \mathcal{V}^3\hat{\mathbf{k}}&=\mathcal{V}^2\vecs{0}=\vecs{0}\\ \mathcal{V}^4\hat{\pmb{\imath}}&=\Omega \mathcal{V}^3\hat{\pmb{\jmath}}=\Omega^4\hat{\pmb{\imath}} & \mathcal{V}^4\hat{\pmb{\jmath}}&=-\Omega \mathcal{V}^3\hat{\pmb{\imath}}=\Omega^4\hat{\pmb{\jmath}} & \mathcal{V}^4\hat{\mathbf{k}}&=\mathcal{V}^3\vecs{0}=\vecs{0} \end{align*}\]

y así sucesivamente. Para todos los impares\(n\ge 1\text{,}\)

\[ \mathcal{V}^n\hat{\pmb{\imath}}=(-1)^{(n-1)/2}\Omega^n\hat{\pmb{\jmath}} \qquad \mathcal{V}^n\hat{\pmb{\jmath}}=-(-1)^{(n-1)/2}\Omega^n\hat{\pmb{\imath}} \qquad \mathcal{V}^n\hat{\mathbf{k}}=\vecs{0} \nonumber \]

y todo incluso\(n\ge 2\text{,}\)

\[ \mathcal{V}^n\hat{\pmb{\imath}}=(-1)^{n/2}\Omega^n\hat{\pmb{\imath}} \qquad \mathcal{V}^n\hat{\pmb{\jmath}}=(-1)^{n/2}\Omega^n\hat{\pmb{\jmath}} \qquad \mathcal{V}^n\hat{\mathbf{k}}=\vecs{0} \nonumber \]

De ahí que podamos escribir

\[\begin{align*} e^{\mathcal{V} t}\hat{\pmb{\imath}} &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(\mathcal{V} t)^n\hat{\pmb{\imath}} =\sum_{n\ {\rm even}}\!\! \frac{(-1)^{n/2}}{n!}(\Omega t)^n\hat{\pmb{\imath}} \ +\sum_{n\ {\rm odd}}\! \frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!}(\Omega t)^n\hat{\pmb{\jmath}}\\ &=\phantom{-}\cos(\Omega t)\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin(\Omega t)\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ e^{\mathcal{V} t}\hat{\pmb{\jmath}} &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(\mathcal{V} t)^n\hat{\pmb{\jmath}} =\sum_{n\ {\rm even}}\!\! \frac{(-1)^{n/2}}{n!}(\Omega t)^n\hat{\pmb{\jmath}} \ -\sum_{n\ {\rm odd}}\! \frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!}(\Omega t)^n\hat{\pmb{\imath}}\\ &=-\sin(\Omega t)\,\hat{\pmb{\imath}}+\cos(\Omega t)\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ e^{\mathcal{V} t}\hat{\mathbf{k}} &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(\mathcal{V} t)^n\hat{\mathbf{k}}\\ &=\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

Así\(e^{\mathcal{V} t}\) es la rotación por un ángulo\(\Omega t\) alrededor del eje\(\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

Ejemplo 4.6.6. Ejemplo 4.6.5, continuación

Sea o no la matriz\(\mathcal{V}\) definida en (M) sea antisimétrica, la matriz relacionada con entradas

\[ A_{i,j}=\frac{1}{2}\big(\mathcal{V}_{i,j}-\mathcal{V}_{j,i}\big) \nonumber \]

es. Cuando\(\mathcal{V}\) es antisimétrico,\(A\) y\(\mathcal{V}\) coinciden. La matriz\(A\) es (para escribirla explícitamente)

\[ \frac{1}{2}\!\!\left[\begin{matrix}0 & \!\!\!\frac{\partial \vecs{v} _1}{\partial x_2}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!-\!\frac{\partial \vecs{v} _2}{\partial x_1}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)& \!\!\!\frac{\partial v_1}{\partial x_3}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!-\!\frac{\partial \vecs{v} _3}{\partial x_1}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\\ \!-\frac{\partial \vecs{v} _1}{\partial x_2}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!+\!\frac{\partial \vecs{v} _2}{\partial x_1}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)& 0 & \! \!\!\frac{\partial \vecs{v} _2}{\partial x_3}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!-\!\frac{\partial \vecs{v} _3}{\partial x_2}\big(\\textbf{x}_0,t_0\big)\\ \!-\!\frac{\partial \vecs{v} _1}{\partial x_3}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!+\!\frac{\partial \vecs{v} _3}{\partial x_1}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)& \!\!-\!\frac{\partial \vecs{v} _2}{\partial x_3}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!+\!\frac{\partial \vecs{v} _3}{\partial x_2}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)& 0\end{matrix}\right] \nonumber \]

Comparando esto con (R), vemos que

\[ \Omega \hat{\mathbf{k}}=\frac{1}{2}\nabla\times \vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big) \nonumber \]

Entonces, al menos cuando la matriz\(\mathcal{V}\) definida en (M) es antisimétrica, nuestro pequeño cubo gira alrededor del eje con\(\nabla\times \vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\) a velocidad\(\frac{1}{2}\big|\nabla\times \vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\big|\text{.}\)

Comentario 4.6.7

En la generalización, Ejemplo 4.6.5, del Ejemplo 4.6.4, solo consideramos la dimensión 3. Es un buen ejercicio en valores propios y vectores propios para manejar la dimensión general. Estos son los principales datos sobre las matrices antisimétricas con entradas reales que se utilizan.

• Todos los valores propios de las matrices antisimétricas son cero o imaginarios puros.
• Para matrices antisimétricas con entradas reales, los valores propios distintos de cero vienen en pares conjugados complejos. Los vectores propios correspondientes también pueden elegirse para que sean conjugados complejos.

Elegir como vectores base (como\(\hat{\pmb{\imath}},\ \hat{\pmb{\jmath}},\ \hat{\mathbf{k}}\) arriba)

• los vectores propios del valor propio 0 (actúan como\(\hat{\mathbf{k}}\) arriba)
• las partes real e imaginaria de cada par conjugado complejo de vectores propios (actúan como\(\hat{\pmb{\imath}},\ \hat{\pmb{\jmath}}\) arriba)

Resuélvé hasta el momento:

Ahora hemos visto que

• cuando la matriz\(\mathcal{V}\) definida en (M) es simétrica y los vectores\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) de dirección del cubo son vectores propios de\(\mathcal{V}\text{,}\) entonces, en\(t_0\text{,}\) el momento el trozo de fluido no está cambiando de orientación sino que está cambiando el volumen a una velocidad relativa instantánea\(\nabla\cdot\vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\) y
• cuando la matriz\(\mathcal{V}\) definida en (M) es antisimétrica, entonces, en\(t_0\text{,}\) el momento el trozo de fluido no está cambiando de forma o tamaño sino que está girando alrededor del eje\(\nabla\times \vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\) a velocidad\(\frac{1}{2}\big|\nabla\times \vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\big|\text{.}\) Por esta razón, a menudo\(\nabla\times \vecs{v} \) se le conoce como un medidor de “vorticidad”.

Estos concuerdan con nuestras interpretaciones anteriores de divergencia y rizo.

El caso general:

Ahora considera una matriz\(\mathcal{V}\text{.}\) general Siempre se puede escribir como la suma

\[ \mathcal{V}=S+A \nonumber \]

de una matriz simétrica\(S\) y una matriz antisimétrica\(A\text{.}\) Acaba de definir

\[ S_{i,j}=\frac{1}{2}\big(\mathcal{V}_{i,j}+\mathcal{V}_{j,i}\big)\qquad A_{i,j}=\frac{1}{2}\big(\mathcal{V}_{i,j}-\mathcal{V}_{j,i}\big) \nonumber \]

Como ya hemos observado, la solución de

\[ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)=\textbf{e} \nonumber \]

es

\[ \textbf{b}(t)=e^{\mathcal{V} t}\textbf{e}=e^{(A+S) t}\textbf{e} \nonumber \]

Si\(S\) y\(A\) fueran números ordinarios, tendríamos\(e^{(A+S) t}=e^{At}e^{St}\text{.}\) Pero para las matrices este no tiene por qué ser así, a menos que\(S\) y\(A\) pase a conmutar ⁷. Para matrices arbitrarias, sigue siendo cierto que

\[ e^{(A+S) t}=\lim_{n\rightarrow\infty }\Big[e^{At/n}e^{St/n}\Big]^n \nonumber \]

A esto se le llama la fórmula del producto Lie ⁸. Demuestra que nuestro pequeño trozo de fluido mezcla los comportamientos\(A\) y\(S\text{,}\) escalando un poco, luego girando un poco, luego escalando un poco y así sucesivamente.

Ejemplo 4.6.8. \(\ \vecs{v} (x,y)= 2y\hat{\pmb{\imath}}\)

En este ejemplo

\[ \mathcal{V}=\left[\begin{matrix}0&2\\ 0&0\end{matrix}\right]=S+A\qquad{\rm with}\qquad S=\left[\begin{matrix}0&1\\ 1&0\end{matrix}\right]\qquad A=\left[\begin{matrix}0&1\\ -1&0\end{matrix}\right] \nonumber \]

La solución para el flujo completo

\[ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)= \left[\begin{matrix}\beta_1 \\ \beta_2\end{matrix}\right] \quad\text{or equivalently}\quad \begin{matrix}b_1'(t)=2b_2(t) & b_1(0)=\beta_1\\ b_2'(t)=0 & b_2(0)=\beta_2\end{matrix} \nonumber \]

es

\[ \begin{matrix}b_1(t)=\beta_1+2\beta_2 t\\ b_2(t)=\beta_2\end{matrix} \quad\text{or equivalently}\quad \textbf{b}(t)=\left[\begin{matrix}1& 2t\\ 0&1\end{matrix}\right]\textbf{b}(0) \nonumber \]

La solución a la\(S\) parte del flujo

\[ \textbf{b}'(t)=S\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)=\left[\begin{matrix}\beta_1 \\ \beta_2\end{matrix}\right] \quad\text{or equivalently}\quad \begin{matrix}b_1'(t)=b_2(t) & b_1(0)=\beta_1\\ b_2'(t)=b_1(t) & b_2(0)=\beta_2\end{matrix} \nonumber \]

es ⁹

\[ \begin{matrix}b_1(t)=\beta_1\cosh t+\beta_2\sinh t\\ b_2(t)=\beta_1\sinh t+\beta_2\cosh t\end{matrix} \quad\text{or equivalently}\quad \textbf{b}(t)=\left[ \begin{matrix}\cosh t& \sinh t\\ \sinh t&\cosh t\end{matrix} \right]\textbf{b}(0) \nonumber \]

Los vectores propios de\(S\) son

\[ \hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix}1\\ 1\end{matrix}\right]\qquad \hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix}1\\ -1\end{matrix}\right] \nonumber \]

Los valores propios correspondientes son\(+1\) y\(-1\text{.}\) Los vectores propios obedecen

\[\begin{align*} e^{St}\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}&=\left[\begin{matrix}\cosh t& \sinh t\\ \sinh t&\cosh t\end{matrix}\right]\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )} =e^t\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}\\ e^{St}\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}&=\left[\begin{matrix}\cosh t& \sinh t\\ \sinh t&\cosh t\end{matrix}\right]\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )} =e^{-t}\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )} \end{align*}\]

Bajo la\(S\) parte de las\(\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}\) escalas de flujo por un factor del\(e^t\text{,}\) cual es mayor que uno para\(t \gt 0\) y\(\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}\) escalas por un factor del\(e^{-t}\text{,}\) cual es menor que uno para\(t \gt 0\text{.}\)

La solución a la\(A\) parte del flujo

\[ \textbf{b}'(t)=A\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)=\left[\begin{matrix}\beta_1 \\ \beta_2\end{matrix}\right] \quad\text{or equivalently}\quad \begin{matrix}b_1'(t)=b_2(t) & b_1(0)=\beta_1\\ b_2'(t)=-b_1(t) & b_2(0)=\beta_2\end{matrix} \nonumber \]

es

\[ \begin{matrix}b_1(t)=\beta_1\cos t+\beta_2\sin t\\ b_2(t)=-\beta_1\sin t+\beta_2\cos t\end{matrix} \quad\text{or equivalently}\quad \textbf{b}(t)=\left[ \begin{matrix}\cos t& \sin t\\ -\sin t&\cos t\end{matrix}\right]\textbf{b}(0) \nonumber \]

La\(A\) parte del flujo gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen a un radián por unidad de tiempo.

Aquí algunas cifras que nos ayudan a visualizar esto.

• El primero muestra un cuadrado con bordes\(\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )},\ \hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}\) y su imagen bajo el flujo completo\(t=0.4\) posteriormente. Bajo este flujo completo el vector\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\rightarrow e^{0.4\mathcal{V}}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\) El paralelogramo de sombra oscura tiene bordes\(e^{0.4\mathcal{V}}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)
• El segundo muestra su imagen bajo unidades de\(0.4\) tiempo del\(S\) -flow (es decir,\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\rightarrow e^{0.4S}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\)). El rectángulo ligeramente sombreado tiene bordes\(e^{0.4S}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)
• El tercero aplica unidades de\(0.4\) tiempo del\(A\) flujo al rectángulo sombreado de la segunda figura. Entonces el rectángulo ligeramente sombreado de la tercera figura tiene bordes\(e^{0.4S}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) y el rectángulo sombreado oscuro tiene bordes\(e^{0.4A}e^{0.4S}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)

Por supuesto\(e^{0.4A}e^{0.4S}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) (como en el rectángulo de sombra oscura de la tercera figura) no es una muy buena aproximación para\(e^{0.4(A+S)}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) (como en el paralelogramo de sombra oscura de la primera figura). Es mucho mejor tomar\(\big[e^{0.4A/n}e^{0.4S/n}\big]^{n}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) con\(n\) grandes. Cada una de las siguientes figuras muestra dos paralelogramos. En cada una, la región sombreada tiene bordes\(e^{0.4\mathcal{V}}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}=e^{0.4(A+S)}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) y la región perfilada tiene bordes\(\big[e^{0.4A/n}e^{0.4S/n}\big]^{n}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)

Entonces podemos ver que, a medida que\(n\) aumenta,\(\big[e^{0.4A/n}e^{0.4S/n}\big]^{n}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) se convierte en una mejor y mejor aproximación a\(e^{0.4(A+S)}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)

1. También usaremos algunas matemáticas más que antes. En esta sección, usaremos valores propios de matriz y vectores propios y resolveremos algunos sistemas simples de ecuaciones diferenciales ordinarias. También necesitaremos usar muchos subíndices y superíndices. Sólo se ve intimidante.
2. En cuanto a nuestro campo vector original, esta condición es que\(\frac{\partial \vecs{v} _i}{\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) =\frac{\partial \vecs{v} _j}{\partial x_i}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\text{.}\) Entonces, en tres dimensiones, se reduce al requisito de que\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{v} \) sea cero en el punto\(\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\text{.}\)
3. Así lo demostró el matemático y físico francés Augustin-Louis Cauchy (1789—1857) en 1829.
4. La prueba no es tan dura, aunque sólo la esbozaremos. Simplemente denota por\(\beta\) la magnitud del elemento de matriz más grande de\(B\text{.}\) Luego use la definición del producto de matriz para demostrar que el elemento matriz más grande de\(B^n\) tiene magnitud como máximo\((d\beta)^n\text{.}\)
5. Nuevamente, no vamos a probar esto. Pero para una matriz diagonal, es fácil —solo computa ambos lados. Entonces para una matriz diagonalizable también es fácil — diagonalizar.
6. Puedes encontrar la solución ya sea adivinando, o usando valores propios y vectores propios.
7. Por definición, las matrices\(S\) y\(A\) conmutar cuando\(AS=SA\text{.}\)
8. Esta fórmula lleva el nombre del matemático noruego Marius Sophis Lie (1842—1899). En 1870, fue detenido y encarcelado en Francia durante un mes, debido a que se le sospechaba de ser un espía alemán. Se pensaba que sus notas matemáticas eran mensajes codificados de alto secreto.
9. Recordemos eso\(\sinh t = \frac{1}{2}\big(e^t-e^{-t}\big)\) y\(\cosh t = \frac{1}{2}\big(e^t+e^{-t}\big)\text{.}\)