4.7: Opcional — Un teorema generalizado de Stokes

Como hemos visto, el teorema fundamental del cálculo, el teorema de divergencia, el teorema de los Verdes y el teorema de Stokes comparten una serie de características comunes. De hecho, existe un marco único que los engloba y generaliza a todos ellos, y hay un solo teorema del que todos son casos especiales. Ahora damos una introducción básica a este marco y teorema. Un tratamiento adecuado normalmente toma buena parte de un curso completo. Aquí hay un bosquejo de lo que haremos:

• Primero, definiremos formas diferenciales. Para tratar de mantener las cosas lo más simples y concretas posible, solo definiremos ¹ formas diferenciales en\(\mathbb{R}^3\) — todas nuestras funciones se definirán en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Muy aproximadamente hablando, una\(k\) forma es lo que escribes después del signo integral de una integral sobre una\(k\) dimensión objeto. Aquí\(k\) está uno de\(0\text{,}\)\(1\text{,}\)\(2\text{,}\)\(3\text{.}\) Como ejemplo, una\(1\) -forma es una expresión de la forma\(F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z\text{.}\) Para\(k=0\text{,}\) pensar en un punto como un objeto dimensional cero y pensar en evaluar una función en un punto como “integrar la función sobre el punto”.
• Entonces definiremos algunas operaciones sobre formas diferenciales, para que podamos sumarlas, multiplicarlas, diferenciarlas y, eventualmente, integrarlas. La derivada de una\(k\) -forma\(\omega\) es una\((k+1)\) -forma que se denota\(\text{d}\omega\text{.}\) Resulta que
  • diferenciar una\(0\) forma equivale a tomar un gradiente,
  • diferenciar una\(1\) forma equivale a tomar un rizo, y
  • diferenciar una\(2\) forma equivale a tomar una divergencia.
• Finalmente llegaremos al teorema generalizado de Stokes que dice que, si\(\omega\) es una\(k\) -forma (con\(k=0,1,2\)) y\(D\) es un dominio\((k+1)\) -dimensional de integración, entonces

  \[ \int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega \nonumber \]

  Se va a resultar que

  • cuando\(k=0\text{,}\) esto es solo el teorema fundamental del cálculo y
  • cuando\(k=1\text{,}\) esto es tanto el teorema de Green como el teorema de nuestro Stokes, y
  • cuando\(k=2\text{,}\) este es el teorema de la divergencia.

Ahora pongámonos a trabajar. Por simplicidad, asumiremos a lo largo de esta sección que todas las derivadas de todas las funciones existen y son continuas. Nuestra primera tarea es definir formas diferenciales.

Como dijimos anteriormente definiremos una forma 1 como expresión de la forma\(F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z\text{.}\) Cuando aprendiste la definición de la integral al símbolo “\(\text{d}x\)” no se le dio ningún significado matemático por sí mismo. Se le dio un significado sólo a colecciones de símbolos como la integral indefinida “\(\int f(x)\ \text{d}x\)” y la integral definida “\(\int_a^b f(x)\ \text{d}x\)”. Posteriormente en esta sección, le daremos un significado a\(\text{d}x\text{.}\) Vamos a definir, en la Definición 4.7.9, un operador de diferenciación al que llamaremos\(\text{d}}\text{.\) Entonces\(\text{d}x\) será ese operador de diferenciación aplicado a la función\(f(x)=x\text{.}\) Sin embargo, hasta entonces tendremos que tratar\(\text{d}x\) y \(\text{d}y\)y\(\text{d}z\) así como símbolos. Su único papel en\(F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z\) es permitirnos distinguir ²\(F_1(x,y,z)\text{,}\)\(F_2(x,y,z)\) y\(F_3(x,y,z)\text{.}\)

De igual manera, definiremos una forma 2 como expresión de la forma\(F_1(x,y,z)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2(x,y,z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\text{.}\) Una vez más hay un símbolo, a saber, “\(\wedge\)”, al que aún no le hemos dado sentido. Vamos a definir, en la Definición 4.7.3, un producto, llamado producto cuña, con\(\wedge\) como símbolo de multiplicación. Entonces\(\text{d}x\wedge\text{d}y\) será el producto de cuña de\(\text{d}x\) y\(\text{d}y\text{.}\) Hasta entonces tendremos que tratar\(\text{d}y\wedge\text{d}z\text{,}\)\(\text{d}z\wedge\text{d}x\) y\(\text{d}x\wedge\text{d}y\) así como tres símbolos más sin sentido.

Finalmente aquí está la definición.

Definición 4.7.1

1. A\(0\) -form es una función\(f(x,y,z)\text{.}\)
2. A\(1\) -form es una expresión de la forma

   \[ F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z \nonumber \]

   con\(F_1(x,y,z)\text{,}\)\(F_2(x,y,z)\) y\(F_3(x,y,z)\) siendo funciones de tres variables.
3. A\(2\) -form es una expresión de la forma

   \[ F_1(x,y,z)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2(x,y,z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y \nonumber \]

   con\(F_1(x,y,z)\text{,}\)\(F_2(x,y,z)\) y\(F_3(x,y,z)\) siendo funciones de tres variables.
4. A\(3\) -form es una expresión de la forma\(f(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\text{,}\) con\(f(x,y,z)\) ser una función de tres variables.

En esta etapa (habrá más adelante), basta pensar en “\(\text{d}x\)”, “\(\text{d}y\)”, “\(\text{d}z\)”, “\(\text{d}x\wedge\text{d}y\)”, y así sucesivamente, como símbolos. Aún no intentes darles ningún significado.

Hay cuatro operaciones que involucran formas diferenciales: suma, multiplicación (\(\wedge\)), diferenciación (\(\mathrm{d}\)) e integración. Aquí están sus definiciones. Primero, se define la adición, y funciona, justo de la manera que esperarías que lo hiciera.

Definición 4.7.2. Adición de formas diferenciales

1. La suma de las\(0\) -formas\(f\) y\(g\) es la\(0\) -forma\(f+g\text{.}\)
2. La suma de dos\(1\) formas es la\(1\) forma -

   \[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big]\\ +&\big[G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y + G_3\,\text{d}z\big]\\ =& (F_1+G_1)\,\text{d}x + (F_2+G_2)\,\text{d}y + (F_3+G_3)\,\text{d}z \end{align*}\]

3. La suma de dos\(2\) formas es la\(2\) forma -

   \[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ +&\big[G_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + G_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + G_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ =&(F_1+G_1)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + (F_2+G_2)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + (F_3+G_3)\,\text{d}x\wedge\text{d}y \end{align*}\]

4. La suma de dos\(3\) formas es la\(3\) forma -

   \[\begin{gather*} f\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \ +\ g\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \ =\ \big(f+g\big)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{gather*}\]

Hay una arruga en la multiplicación. No es conmutativo, es decir que no\(\alpha\wedge\beta\) tiene por qué ser\(\beta\wedge\alpha\text{.}\) lo mismo que Ya has visto algunos productos no conmutativos. Si\(\textbf{a}\) y\(\textbf{b}\) son dos vectores en\(\mathbb{R}^3\text{,}\) entonces\(\textbf{a}\times\textbf{b} = -\textbf{b}\times \textbf{a}\text{.}\) También, si\(A\) y\(B\) son dos\(n\times n\) matrices, el producto de la matriz no\(AB\) necesita ser el mismo que\(BA\text{.}\)

Definición 4.7.3. Multiplicación de formas diferenciales

Ahora definimos una regla de multiplicación para formas diferenciales. Si\(\omega\) es un\(k\) -form y\(\omega'\) es un\(k'\) -form entonces el producto será un\((k+k')\) -form y será denotado\(\omega\wedge\omega'\) (léase “omega wedge omega prime”). Se determina por las siguientes propiedades.

1. Si\(f\) es una función (es decir, una\(0\) forma), entonces

   \[\begin{align*} f\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] &= (fF_1)\,\text{d}x \!+\! (fF_2)\,\text{d}y \!+\! (fF_3)\,\text{d}z\\ f\big[F_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z \!+\! F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x \!+\! F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big] &=(fF_1)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + (fF_2)\,\text{d}z\wedge\text{d}x\\ &\hskip1.25in + (fF_3)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\\ f\big[g\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\big] &= (fg)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

   Tradicionalmente, el no\(\wedge\) se escribe cuando se multiplica una forma diferencial por una función (es decir, a\(0\) -form).
2. \(\omega\wedge\omega'\)es lineal en\(\omega\) y en\(\omega'\text{.}\) Esto significa que si\(\omega = f_1\omega_1+f_2\omega_2\text{,}\) donde\(f_1\text{,}\)\(f_2\) están las funciones y\(\omega_1,\omega_2\) son formas, entonces

   \[ \big(f_1\omega_1+f_2\omega_2\big)\wedge \omega'= f_1 (\omega_1\wedge\omega') +f_2 (\omega_2\wedge\omega') \nonumber \]

   Del mismo modo,

   \[ \omega\wedge\big(f_1\omega'_1+f_2\omega'_2\big)= f_1 (\omega\wedge\omega'_1) +f_2 (\omega\wedge\omega'_2) \nonumber \]

3. Si\(\omega\) es un\(k\) -form y\(\omega'\) es un\(k'\) -form entonces

   \[ \omega\wedge\omega'=(-1)^{kk'}\omega'\wedge\omega \nonumber \]

   Es decir, si al menos uno de\(k\) y\(k'\) es par, entonces

   \[ \omega\wedge\omega'=\omega'\wedge\omega \nonumber \]

   (para que el producto de cuña sea conmutativo) y si\(k\) y\(k'\) son ambos impares entonces

   \[ \omega\wedge\omega'=-\omega'\wedge\omega \nonumber \]

   (para que el producto de cuña sea anticonmutativo). En particular, si\(\omega\) es una\(d\) forma con\(d\) impar

   \[ \omega\wedge\omega = 0 \nonumber \]

4. El producto de cuña es asociativo. Esto significa que

   \[ (\omega\wedge\omega')\wedge\omega''=\omega\wedge\big(\omega'\wedge\omega''\big) \nonumber \]

Entonces el producto de cuña obedece a la mayoría de las reglas de multiplicación habituales, con la única gran excepción de que si\(\omega\) es\(k\) -form y\(\omega'\) es un\(k'\) -form con\(k\) y\(k'\) ambos impar entonces\(\omega\wedge\omega'=-\omega'\wedge\omega\text{.}\)

La mejor manera de conseguir un asa en el producto de cuña es trabajar a través de algunos ejemplos, como estos.

Ejemplo 4.7.4

Dejar\(\omega = F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\) y\(\omega' = G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y + G_3\,\text{d}z\) ser cualesquiera dos\(1\) formas. Su producto es

\[\begin{align*} \omega\wedge\omega' &=\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y + G_3\,\text{d}z\big]\\ &= \ \big(F_1\,\text{d}x\big)\wedge\big(G_1\,\text{d}x\big) +\big(F_1\,\text{d}x\big)\wedge\big(G_2\,\text{d}y\big) +\big(F_1\,\text{d}x\big)\wedge\big(G_3\,\text{d}z\big)\\ &\hskip0.1in +\big(F_2\,\text{d}y\big)\wedge\big(G_1\,\text{d}x\big) +\big(F_2\,\text{d}y\big)\wedge\big(G_2\,\text{d}y\big) +\big(F_2\,\text{d}y\big)\wedge\big(G_3\,\text{d}z\big)\\ &\hskip0.1in+ \big(F_3\,\text{d}z\big)\wedge\big(G_1\,\text{d}x\big) +\big(F_3\,\text{d}z\big)\wedge\big(G_2\,\text{d}y\big) +\big(F_3\,\text{d}z\big)\wedge\big(G_3\,\text{d}z\big)\\ &\hskip0.5in\text{(by linearity, i.e. by part (b) of the last Definition)}\\ &= \ F_1G_1\,\text{d}x\wedge\,\text{d}x + F_1G_2\,\text{d}x\wedge\,\text{d}y + F_1G_3\,\text{d}x\wedge\,\text{d}z\\ &\hskip0.1in +F_2G_1\,\text{d}y\wedge\,\text{d}x + F_2G_2\,\text{d}y\wedge\,\text{d}y + F_2G_3\,\text{d}y\wedge\,\text{d}z\\ &\hskip0.1in+ F_3G_1\,\text{d}z\wedge\,\text{d}x + F_3G_2\,\text{d}z\wedge\,\text{d}y + F_3G_3\,\text{d}z\wedge\,\text{d}z\\ &= \big(F_1G_2-F_2G_1)\,\text{d}x\wedge\text{d}y +\big(F_3G_1-F_1G_3)\,\text{d}z\wedge\text{d}x\\ &\hskip0.1in +\big(F_2G_3-F_3G_2)\,\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

porque

\[ \text{d}x\wedge\,\text{d}x=\text{d}y\wedge\,\text{d}y=\text{d}z\wedge\,\text{d}z=0 \nonumber \]

y

\[ \text{d}x\wedge\,\text{d}y=-\text{d}y\wedge\,\text{d}x\qquad \text{d}x\wedge\,\text{d}z=-\text{d}z\wedge\,\text{d}x\qquad \text{d}z\wedge\,\text{d}y=-\text{d}y\wedge\,\text{d}z \nonumber \]

Tenga en cuenta que, mirando el último ejemplo, si vemos\(\vecs{F} =(F_1,F_2,F_3)\) y\(\textbf{G}=(G_1,G_2,G_3)\) como vectores, podemos escribir el producto simplemente como

Ecuación 4.7.5

\[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y + G_3\,\text{d}z\big]\\ &\hskip1in=(\vecs{F} \times\textbf{G})_1\, \text{d}y\wedge\text{d}z +(\vecs{F} \times\textbf{G})_2\, \text{d}z\wedge\text{d}x +(\vecs{F} \times\textbf{G})_3\, \text{d}x\wedge\text{d}y \end{align*}\]

donde estamos usando\((\vecs{F} \times\textbf{G})_\ell\) para denotar el\(\ell^{\rm th}\) componente del producto cruzado\(\vecs{F} \times\textbf{G}\text{.}\) En el caso especial que\(F_3=G_3=0\text{,}\) tenemos

Ecuación 4.7.6

\[\begin{align*} \big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y\big] &=\big(F_1G_2-F_2G_1)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\\ &=\det\left[\begin{matrix} F_1 & F_2 \\ G_1 & G_2\end{matrix}\right] \text{d}x\wedge\text{d}y \end{align*}\]

Ahora podemos ver por qué en la Definición 4.7.1.c de\(2\) -formas

• no hubo\(\text{d}x\wedge\text{d}x\) ni\(\text{d}y\wedge\text{d}y\) ni\(\text{d}z\wedge\text{d}z\) términos — todos son cero y
• no hubo\(\text{d}y\wedge\text{d}x\) o\(\text{d}z\wedge\text{d}y\) o\(\text{d}x\wedge\text{d}z\) términos — todos pueden ser reescritos usando\(\text{d}x\wedge\text{d}y\text{,}\)\(\text{d}y\wedge\text{d}z\) y\(\text{d}z\wedge\text{d}x\) términos (o viceversa).

La razón por la que elegimos escribir la Definición 4.7.1.c como

\[ F_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y \nonumber \]

a diferencia de en la forma, por ejemplo,

\[ f_1\,\text{d}x\wedge\text{d}y + f_2\,\text{d}x\wedge\text{d}z + f_3\,\text{d}y\wedge\text{d}z \nonumber \]

era hacer funcionar fórmulas como 4.7.5. La manera fácil de recordar

\[ F_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y \nonumber \]

es renombrar (en tu cabeza)\(x,y,z\) a\(x_1,x_2,x_3\text{.}\) Luego los subíndices en los tres términos de

\[ F_1\,\text{d}x_2\wedge\text{d}x_3 + F_2\,\text{d}x_3\wedge\text{d}x_1 + F_3\,\text{d}x_1\wedge\text{d}x_2 \nonumber \]

son justas\(1,2,3\) y\(2,3,1\) y\(3,1,2\) — las tres permutaciones cíclicas de\(1,2,3\text{.}\)

Ejemplo 4.7.7

El producto de la forma (general)\(\omega = F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\) y la\(1\) forma (general)\(2\)\(\omega'=\big[G_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + G_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + G_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\) (nuevamente anote la numeración de los coeficientes en la\(2\) forma -) es

\[\begin{align*} \omega\wedge\omega' &=\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + G_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + G_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ &= \ F_1G_1\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2G_2\,\text{d}y\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3G_3\,\text{d}z\wedge\text{d}x\wedge\text{d}y\\ & = \big(F_1G_1+F_2G_2+F_3G_3)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

Aquí hemos usado eso, para\(1\) -formularios,\(\alpha\wedge\beta=-\beta\wedge\alpha\text{,}\) para que

\[\begin{align*} \text{d}y\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x &=-\text{d}y\wedge\text{d}x\wedge\text{d}z=\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\\ \text{d}z\wedge\text{d}x\wedge\text{d}y &=-\text{d}x\wedge\text{d}z\wedge\text{d}y =\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

También hemos usado que cualquier producto de cuña de\(\text{d}\{x\text{ or y\text{ or }z\}}\) tres's con al menos dos de las coordenadas siendo iguales es cero. Por ejemplo

\[ \text{d}x\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x = - \text{d}x\wedge\text{d}x\wedge\text{d}z =0 \nonumber \]

Entonces

\[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + G_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + G_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ &\hskip4in = \vecs{F} \cdot\textbf{G}\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

Ejemplo 4.7.8

Combinando los Ejemplos 4.7.4 y 4.7.7, tenemos el producto de cuña de cualquiera de tres\(1\) formas (generales)\(F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\) y\(G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y + G_3\,\text{d}z\) y\(H_1\,\text{d}x + H_2\,\text{d}y + H_3\,\text{d}z\) es

\[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}x \!+\! F_2\,\text{d}y \!+\! F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}x \!+\! G_2\,\text{d}y \!+\! G_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[H_1\,\text{d}x + H_2\,\text{d}y + H_3\,\text{d}z\big]\\ &\hskip0.1in=\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] \wedge\\ &\hskip1in \big[(\textbf{G}\times\textbf{H})_1\, \text{d}y\wedge\text{d}z +(\textbf{G}\times\textbf{H})_2\, \text{d}z\wedge\text{d}x +(\textbf{G}\times\textbf{H})_3\, \text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ &\hskip0.1in =\big\{F_1(\textbf{G}\times\textbf{H})_1 + F_2(\textbf{G}\times\textbf{H})_2 + F_3(\textbf{G}\times\textbf{H})_3\big\} \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\\ &\hskip0.1in =\big\{F_1(G_2H_3\!-\!G_3H_2) \!+\! F_2(G_3H_1\!-\!G_1H_3) \!+\! F_3(G_1H_2\!-\!G_2H_1\big\} \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

Esto se puede expresar limpiamente en términos de determinantes. Recordando la regla para expandir un determinante a lo largo de su fila superior

\[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}x \!+\! F_2\,\text{d}y \!+\! F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}x \!+\! G_2\,\text{d}y \!+\! G_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[H_1\,\text{d}x \!+\! H_2\,\text{d}y \!+\! H_3\,\text{d}z\big]\\ &\hskip3in =\det\left[\begin{matrix} F_1 & F_2 & F_3 \\ G_1 & G_2 & G_3 \\ H_1 & H_2 & H_3 \end{matrix}\right] \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

Nuestra siguiente operación es un operador diferencial que unifica y generaliza gradiente, rizo y divergencia.

Definición 4.7.9. Diferenciación de formas diferenciales

Si\(\omega\) es un\(k\) -form, entonces\(\text{d}\omega\) es un\(k+1\) -form,\(\mathrm{d}\) siendo el único ³ tal operador que obedece

1. \(\text{d}\)es lineal. Es decir, si\(\omega_1,\omega_2\) son\(k\) -formas y\(a_1,a_2\in\mathbb{R}\text{,}\) luego

   \[ \text{d}\big(a_1\omega_1+a_2\omega_2\big) =a_1\text{d}\omega_1+a_2\text{d}\omega_2 \nonumber \]

2. \(\text{d}\)obedece a una “regla de producto calificado”. Precisamente, si\(\omega^{(k)}\) es una\(k\) -forma y\(\omega^{(\ell)}\) es una\(\ell\) -forma, entonces

   \[ \text{d}\big(\omega^{(k)\wedge\omega^{(\ell)}\big)} =\big(d\omega^{(k)}\big)\wedge\omega^{(\ell)} +(-1)^k\omega^{(k)} \wedge \big(\text{d}\omega^{(\ell)}\big) \nonumber \]

3. Si\(f(x,y,z)\) es una\(0\) forma, entonces

   \[\begin{align*} \text{d}f &=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)\ \text{d}x +\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)\ \text{d}y +\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \text{d}z\\ &=\vecs{ \nabla} f(x,y,z)\cdot\text{d}\vecs{r} \qquad\text{where } \text{d}\vecs{r} = \text{d}x\,\hat{\pmb{\imath}} + \text{d}y\,\hat{\pmb{\jmath}} + \text{d}z\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

4. Para cualquier forma diferencial\(\omega\text{,}\)

   \[ \text{d}\big(\mathrm{d}\omega\big)=0 \nonumber \]

Ejemplo 4.7.10

1. Si\(f(x,y,z) = x\text{,}\) entonces

   \[ \text{d}f =\frac{\partial x}{\partial x}(x,y,z)\ \text{d}x +\frac{\partial x}{\partial y}(x,y,z)\ \text{d}y +\frac{\partial x}{\partial z}(x,y,z)\ \text{d}z =\text{d}x \nonumber \]

   Es decir,\(\text{d}x\) realmente es el operador\(\text{d}\) aplicado a la función\(x\text{.}\) Del mismo modo,\(\text{d}y\) realmente es el operador\(\text{d}\) aplicado a la función\(y\) y\(\mathrm{d}z\) realmente es el operador\(\text{d}\) aplicado a la función\(z\text{.}\)
2. Para cualquier\(k\) forma\(\omega\)

   \[\begin{align*} \text{d}\big[\omega\wedge\mathrm{d}x\big] &=\text{d}\omega\wedge\text{d}x + (-1)^k\omega\wedge\text{d}\big(\mathrm{d}x\big)\\ &=\text{d}\omega\wedge\text{d}x \end{align*}\]

   Del mismo modo

   \[ \text{d}\big[\omega\wedge\mathrm{d}y\big]=\text{d}\omega\wedge\text{d}y\qquad \text{d}\big[\omega\wedge\mathrm{d}z\big]=\text{d}\omega\wedge\text{d}z \nonumber \]

3. Para cualquier\(1\) forma

   \[\begin{align*} &\text{d}\big[F_1\mathrm{d}x + F_2\text{d}y + F_3\text{d}z\big] =\text{d}F_1\wedge\text{d}x + \text{d}F_2\wedge\text{d}y + \text{d}F_3\wedge\text{d}z\\ &\hskip0.5in=\Big(\frac{\partial F_1}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_1}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_1}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}x\\ &\hskip2in +\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_2}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_2}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}y\\ &\hskip2in +\Big(\frac{\partial F_3}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_3}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_3}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}z\\ &\hskip0.5in= \Big(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\Big) \ \text{d}y\wedge\text{d}z +\Big(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\Big) \ \text{d}z\wedge\text{d}x\\ &\hskip2in +\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big) \ \text{d}x\wedge\text{d}y\\ &\hskip0.5in= (\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y \end{align*}\]

4. Para cualquier\(2\) forma

   \[\begin{align*} &\text{d}\big[F_1\,\mathrm{d}y\wedge\text{d}z + F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ &\hskip0.5in=\text{d}F_1\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z + \text{d}F_2\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x + \text{d}F_3\wedge\text{d}x\wedge\text{d}y\\ &\hskip0.5in=\Big(\frac{\partial F_1}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_1}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_1}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\\ &\hskip2in +\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_2}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_2}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x\\ &\hskip2in +\Big(\frac{\partial F_3}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_3}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_3}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}x\wedge\text{d}y\\ &\hskip0.5in= \Big(\frac{\partial F_1}{\partial x} +\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z}\Big) \ \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\\ &\hskip0.5in= \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

5. Para cualquier\(3\) forma

   \[\begin{align*} \text{d}\big[f\,\mathrm{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\big] &=\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial f}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial f}{\partial z}\ \text{d}z\Big) \wedge\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\\ &=0 \end{align*}\]

Ejemplo 4.7.11

En la Definición 4.7.9.c, definimos, para cualquier función\(f(x,y,z)\) de tres variables

\[\begin{align*} \text{d}f &=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)\ \text{d}x +\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)\ \text{d}y +\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \text{d}z \end{align*}\]

También se aplican las fórmulas análogas ⁴ para funciones de una o dos variables.

\[\begin{align*} \text{d}f(t) & = \dfrac{df}{dt}(t)\,\text{d}t\\ \text{d}f(u,v) &=\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)\ \text{d}u +\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\ \text{d}v \end{align*}\]

1. Dejar\(F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z\) ser una\(1\) -forma. Supongamos que sustituimos\(x=x(t)\text{,}\)\(y=y(t)\) y\(z=z(t)\text{,}\) para que estemos restringiendo nuestra\(1\) forma a una curva parametrizada. Luego, escribiendo\(\vecs{r} (t) = \big(x(t),y(t),z(t)\big)\text{,}\)

   \[\begin{align*} &F_1\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\text{d}x(t) + F_2\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\text{d}y(t)\\ &\hskip2in + F_3\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\text{d}z(t)\\ &\hskip0.5in=F_1\big(\vecs{r} (t)\big)\dfrac{dx}{dt}(t)\,\text{d}t + F_2\big(\vecs{r} (t)\big)\dfrac{dy}{dt}(t)\,\text{d}t + F_3\big(\vecs{r} (t)\big)\dfrac{dz}{dt}(t)\,\text{d}t\\ &\hskip0.5in= \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\,\text{d}t \end{align*}\]

2. Dejar\(F_1(x,y,z)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2(x,y,z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\) ser una\(2\) -forma. Supongamos que sustituimos\(x=x(u,v)\text{,}\)\(y=y(u,v)\) y\(z=z(u,v)\text{,}\) para que estemos restringiendo nuestra\(2\) forma a una superficie parametrizada. Luego, escribiendo\(\vecs{r} (u,v) = \big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)\text{,}\)

   \[\begin{align*} &F_1\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)\,\text{d}y(u,v)\wedge\text{d}z(u,v)\\ &\hskip1in + F_2\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)\,\text{d}z(u,v)\wedge\text{d}x(u,v)\\ &\hskip1in + F_3\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)\,\text{d}x(u,v)\wedge\text{d}y(u,v)\\ &=F_1\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial y}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial y}{\partial v}\text{d}v\Big)\wedge \Big(\frac{\partial z}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial z}{\partial v}\text{d}v\Big)\\ &\hskip1in + F_2\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial z}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial z}{\partial v}\text{d}v\Big)\wedge \Big(\frac{\partial x}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial x}{\partial v}\text{d}v\Big)\\ &\hskip1in + F_3\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial x}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial x}{\partial v}\text{d}v\Big)\wedge \Big(\frac{\partial y}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial y}{\partial v}\text{d}v\Big)\\ &=\Big[F_1\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v} -\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial z}{\partial u}\Big) +F_2\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} -\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u}\Big)\\ &\hskip1in +F_3\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} -\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\Big) \Big] \text{d}u\wedge\text{d}v\\ &=\Big[\vecs{F} \big(\vecs{r} (u,v)\big)\cdot \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u,v)\Big] \text{d}u\wedge\text{d}v \end{align*}\]

Resumamos lo que hemos visto en el Ejemplo 4.7.10.

Lema 4.7.12

1. Para cualquier\(0\) forma

   \[ \text{d}f =\vecs{ \nabla} f(x,y,z)\cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

2. Para cualquier\(1\) forma

   \[\begin{align*} &\text{d}\big[F_1\mathrm{d}x + F_2\text{d}y + F_3\text{d}z\big]\\ &\hskip1in = (\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y \end{align*}\]

3. Para cualquier\(2\) forma

   \[ \text{d}\big[F_1\,\mathrm{d}y\wedge\text{d}z + F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big] = \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \nonumber \]

4. Para cualquier\(3\) forma

   \[ \text{d}\big[f\,\mathrm{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\big]=0 \nonumber \]

Nuestra operación final es la integración de formas diferenciales.

Definición 4.7.13. Integración de formas diferenciales

1. Dejar\(f(x,y,z)\) ser una\(0\) -forma y\(P=(x_0,y_0,z_0)\in\mathbb{R}^3\) ser un punto. Entonces

   \[ \int_{P} f = f\big(x_0,y_0,z_0\big) \nonumber \]

   Más generalmente si, para cada uno\(1\le i\le \ell\text{,}\)\(P_i=(x_i,y_i,z_i)\in\mathbb{R}^3\) es un punto y\(n_i\) es un número entero, entonces

   \[ \int_{\Sigma_{i=1}^\ell n_iP_i} f = \sum_{i=1}^\ell n_i f\big(x_i,y_i,z_i\big) \nonumber \]

2. Dejar\(\omega = \vecs{F} (\vecs{r} )\cdot\text{d}\vecs{r} = F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z \) ser una\(1\) -forma. \(\mathcal{C}\)Sea una curva que sea parametrizada por\(\vecs{r} (t) = \big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\text{,}\)\(a\le t\le b\text{.}\) Entonces, motivada por el Ejemplo 4.7.11.a anterior,

   \[ \int_{\mathcal{C}}\omega = \int_a^b \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\ \text{d}t =\int_{\mathcal{C}} \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

3. Dejar\(\omega = F_1(x,y,z)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2(x,y,z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\) ser una\(2\) -forma. Let\(S\) ser una superficie orientada que es parametrizada por\(\vecs{r} (u,v) = \big(x(u,v)\,,\,y(u,v)\,,\,z(u,v)\big)\text{,}\) con\((u,v)\) correr sobre una región\(R\) en el\(uv\) plano. Supongamos que\(\vecs{r} (u,v)\) es la orientación preservando en el sentido de que\(\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = +\frac{\partial \vecs{r} }{\partial u} \times \frac{\partial \vecs{r} }{\partial v}\,\text{d}u\,\text{d}v\text{.}\) Entonces, motivado por el Ejemplo 4.7.11.b anterior,

   \[\begin{align*} \int_{S}\omega &= \iint_R \Big[\vecs{F} \big(\vecs{r} (u,v)\big)\cdot \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u,v)\Big] \text{d}u\wedge\text{d}v = \iint_S \vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

4. Dejar\(\omega = f(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\) ser una\(3\) -forma. Dejar\(V\) ser un sólido en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Entonces

   \[\begin{align*} \int_{V}\omega &= \iiint_V f(x,y,z)\,\text{d}x\text{d}y\text{d}z \end{align*}\]

Finalmente, después de todas estas definiciones, tenemos un teorema muy compacto que abarca simultáneamente el teorema fundamental del cálculo, el teorema de Green. El teorema de Stokes y el teorema de la divergencia. Si hubiéramos dado todas nuestras definiciones en\(n\) dimensiones, en lugar de solo tres dimensiones, cubriría mucho más. Este teorema general también se llama teorema de Stokes.

Teorema 4.7.14. Teorema de Stokes

Si\(\omega\) es un\(k\) -form (con\(k=0,1,2\)) y\(D\) es un dominio\((k+1)\) -dimensional de integración, entonces

\[ \int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega \nonumber \]

Aquí\(\partial D\) está el límite de\(D\) (adecuadamente orientado).

Para ver la conexión entre el teorema general de Stokes 4.7.14 y los teoremas de Stokes y divergencia de la parte anterior de este capítulo, aquí están los\(k=1\) y\(k=2\) casos del Teorema 4.7.14 nuevamente.

• Dejar\(\omega = F_1 \text{d}x + F_2 \text{d}y + F_3 \text{d}z\) ser una\(1\) -forma y dejar\(S\) ser una superficie orientada lisa por partes como en (nuestro original) teorema de Stokes 4.4.1. Entonces, por Lema 4.7.12.b,

  \[ d\omega = (\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y \nonumber \]

  Entonces, por las partes (c) (pero con\(\vecs{F} \) sustituidas por\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \)) y (b) de la Definición 4.7.13, la conclusión\(\int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega\) del teorema (general) de Stokes 4.7.14 es

  \[\begin{gather*} \iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\int_S d\omega=\int_{\partial S}\omega =\int_{\partial S}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \end{gather*}\]

  que es la conclusión de (nuestro original) teorema de Stokes 4.4.1.
• \(\omega = F_1(x,y,z)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2(x,y,z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\)ser una\(2\) forma y dejar\(V\) ser un sólido como en el teorema de divergencia 4.2.2. Entonces, por Lema 4.7.12.c,

  \[ d\omega = \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \nonumber \]

  Entonces, por las partes (d) (con\(f =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \)) y (c) de la Definición 4.7.13, la conclusión\(\int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega\) del teorema (general) de Stokes 4.7.14 es

  \[\begin{gather*} \iiint_V \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \,\text{d}x\text{d}y\text{d}z =\int_V d\omega=\int_{\partial V}\omega =\iint_{\partial V}\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{gather*}\]

  que es la conclusión del teorema de divergencia 4.2.2.

 

1. En general, se define una forma diferencial sobre un colector, que es una generalización abstracta de una superficie multidimensional, como una esfera o un toro.
2. También podríamos definir, por ejemplo, un\(1\) -form como una lista ordenada\(\big( F_1(x,y,z)\,,\, F_2(x,y,z)\,,\, F_3(x,y,z)\big)\) de tres funciones y simplemente ver\(F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z\) como otra notación para\(\big( F_1(x,y,z)\,,\, F_2(x,y,z)\,,\, F_3(x,y,z)\big)\text{.}\)
3. Eso\(\text{d}\) es único solo significa que la acción de\(\text{d}\) sobre cualquier forma diferencial está completamente determinada por las cuatro reglas (a), (b), (c), (d). Veremos en el Ejemplo 4.7.10.c, d, e, que éste es efectivamente el caso.
4. En efecto, se puede ver\(f(t)\) como una función de tres variables que resultan ser independientes de dos de las tres variables. De igual manera se puede ver\(f(u,v)\) como una función de tres variables que resultan ser independientes de una de las tres variables.