A.6: Sistemas de coordenadas 3d

A.6.1 Coordenadas cartesianas

Aquí hay una figura que muestra las definiciones de las tres coordenadas cartesianas\((x,y,z)\)

y aquí hay tres figuras que muestran una superficie de constante\(x\text{,}\) una superficie de constante\(x\text{,}\) y una superficie de constante\(z\text{.}\)

Finalmente aquí hay una figura que muestra el elemento volumen\(\text{d}V\) en coordenadas cartesianas.

A.6.2 Coordenadas cilíndricas

Aquí hay una figura que muestra las definiciones de las tres coordenadas cilíndricas

\[\begin{align*} r&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,0)\\ \theta&=\text{ angle between the the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$}\\ z&=\text{ signed distance from }(x,y,z) \text{ to the $xy$-plane} \end{align*}\]

Las coordenadas cartesianas y cilíndricas están relacionadas por

\[\begin{align*} x&=r\cos\theta & y&=r\sin\theta & z&=z\\ r&=\sqrt{x^2+y^2} & \theta&=\arctan\frac{y}{x} & z&=z \end{align*}\]

Aquí hay tres figuras que muestran una superficie de constante,\(r\text{,}\) una superficie de constante\(\theta\text{,}\) y una superficie de constante\(z\text{.}\)

Finalmente aquí hay una figura que muestra el elemento de volumen\(\text{d}V\) en coordenadas cilíndricas.

A.6.3 Coordenadas esféricas

Aquí hay una figura que muestra las definiciones de las tres coordenadas esféricas

\[\begin{align*} \rho&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,z)\\ \varphi&=\text{ angle between the $z$ axis and the line joining $(x,y,z)$ to $(0,0,0)$}\\ \theta&=\text{ angle between the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$} \end{align*}\]

y aquí hay dos figuras más dando las vistas laterales y superiores de la figura anterior.

Las coordenadas cartesianas y esféricas están relacionadas por

\[\begin{align*} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta & y&=\rho\sin\varphi\sin\theta & z&=\rho\cos\varphi\\ \rho&=\sqrt{x^2+y^2+z^2} & \theta&=\arctan\frac{y}{x} & \varphi&=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \end{align*}\]

Aquí hay tres figuras que muestran una superficie de constante,\(\rho\text{,}\) una superficie de constante\(\theta\text{,}\) y una superficie de constante\(\varphi\text{.}\)

Aquí hay una figura que muestra el elemento de superficie\(\text{d}S\) en coordenadas esféricas

y dos extractos de la figura anterior para que sea más fácil ver cómo\(\rho\sin\varphi\ \text{d}\theta\) surgen los factores\(\rho\ \text{d}\varphi\) y.

Finalmente, aquí hay una figura que muestra el elemento de volumen\(\text{d}V\) en coordenadas esféricas