A.7: Notación del sistema de coordenadas ISO

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En este texto hemos elegido símbolos para las diversas coordenadas polares, cilíndricas y esféricas que son estándar para las matemáticas. Hay otro, diferente, conjunto de símbolos que se utilizan comúnmente en las ciencias físicas y la ingeniería. En efecto, existe una convención internacional, llamada ISO 80000-2, que especifica esos símbolos ¹. En este apéndice, resumimos las definiciones y propiedades estándar de los sistemas de coordenadas polares, cilíndricos y esféricos utilizando los símbolos ISO.

A.7.1 Coordenadas polares

En la convención ISO los símbolos$\rho$ y$\phi$ se utilizan (en lugar de$r$ y$\theta$) para coordenadas polares.

\[\begin{align*} \rho&=\text{ the distance from }(0,0)\text{ to }(x,y)\\ \phi&=\text{ the (counter-clockwise) angle between the $x$-axis }\\ & \qquad \text{ and the line joining $(x,y)$ to $(0,0)$} \end{align*}\]

$ISOpolar.svg$

Las coordenadas cartesianas y polares están relacionadas por

\[\begin{align*} x&=\rho\cos\phi & y&=\rho\sin\phi \\ \rho&=\sqrt{x^2+y^2} & \phi&=\arctan\frac{y}{x} \end{align*}\]

Las dos figuras siguientes muestran una serie de líneas de constante a$\phi\text{,}$ la izquierda, y curvas de constante a$\rho\text{,}$ la derecha.

$ISOpolarTh.svg$ $ISOpolarR.svg$

Tenga en cuenta que el ángulo polar solo$\phi$ se define hasta múltiplos enteros de$2\pi\text{.}$ Por ejemplo, el punto$(1,0)$ en el$x$ eje -podría tener$\phi=0\text{,}$ pero también podría tener$\phi=2\pi$ o$\phi=4\pi\text{.}$ A veces es conveniente asignar valores$\phi$ negativos. Cuando$\phi\lt 0\text{,}$ el ángulo antihorario$\phi$ se refiere al ángulo en sentido horario$|\phi|\text{.}$ Por ejemplo, el punto$(0,-1)$ en el$y$ eje negativo puede tener$\phi=-\frac{\pi}{2}$ y también puede tener$\phi=\frac{3\pi}{2}\text{.}$

$ISOpolarNegTh.svg$

También a veces es conveniente extender las definiciones anteriores diciendo eso$x=\rho\cos\phi$ e$y=\rho\sin\phi$ incluso cuando$\rho$ es negativo. Por ejemplo, la siguiente figura muestra$(x,y)$ para$\rho=1\text{,}$$\phi=\frac{\pi}{4}$ y para$\rho=-1\text{,}$$\phi=\frac{\pi}{4}\text{.}$

$ISOpolarNeg.svg$

Ambos puntos se encuentran en la línea a través del origen que hace un ángulo de$45^\circ$ con el$x$ eje y ambos están a una distancia uno del origen. Pero están en lados opuestos del origen.

El elemento de área en coordenadas polares es

\[ \mathrm{d}A = \rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi \nonumber \]

$ISOpolarA.svg$

A.7.2 Coordenadas cilíndricas

En la convención ISO los símbolos$\rho\text{,}$$\phi$ y$z$ se utilizan (en lugar de$r\text{,}$$\theta$ y$z$) para coordenadas cilíndricas.

\[\begin{align*} \rho&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,0)\\ \phi&=\text{ angle between the the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$}\\ z&=\text{ signed distance from }(x,y,z) \text{ to the $xy$-plane} \end{align*}\]

$ISOcyl1.svg$

Las coordenadas cartesianas y cilíndricas están relacionadas por

\[\begin{align*} x&=\rho\cos\phi & y&=\rho\sin\phi & z&=z\\ \rho&=\sqrt{x^2+y^2} & \phi&=\arctan\frac{y}{x} & z&=z \end{align*}\]

Aquí hay tres figuras que muestran una superficie de constante,$\rho\text{,}$ una superficie de constante$\phi\text{,}$ y una superficie de constante$z\text{.}$

$ISOcyl3.svg$ $ISOcyl4.svg$ $ISOcyl2.svg$

Finalmente aquí hay una figura que muestra el elemento de volumen$\mathrm{d}V$ en coordenadas cilíndricas.

$ISOcyl5.svg$

A.7.3 Coordenadas esféricas

En la convención ISO los símbolos$r$ (en lugar de$\rho$),$\phi$ (en lugar de$\theta$) y$\theta$ (en lugar de$\phi$) se utilizan para coordenadas esféricas.

\[\begin{align*} r&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,z)\\ \theta&=\text{ angle between the $z$ axis and the line joining $(x,y,z)$ to $(0,0,0)$}\\ \phi&=\text{ angle between the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$} \end{align*}\]

$ISOspherical.svg$

Aquí hay dos figuras más dando las vistas laterales y superiores de la figura anterior.

$ISOsphericalSide.svg$ $ISOsphericalTop.svg$

Las coordenadas cartesianas y esféricas están relacionadas por

\[\begin{align*} x&=r\sin\theta\cos\phi & y&=r\sin\theta\sin\phi & z&=r\cos\theta\\ r&=\sqrt{x^2+y^2+z^2} & \phi&=\arctan\frac{y}{x} & \theta&=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \end{align*}\]

Aquí hay tres figuras que muestran una superficie de constante,$r\text{,}$ una superficie de constante$\phi\text{,}$ y una superficie de constante$\theta\text{.}$

$ISOspher2.svg$ $ISOspher3.svg$ $ISOspher4.svg$