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A.6: Sistemas de coordenadas 3d

  • Page ID
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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

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    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

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    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

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    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

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    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

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    A.6.1 Coordenadas cartesianas

    Aquí hay una figura que muestra las definiciones de las tres coordenadas cartesianas\((x,y,z)\)

    cart1.svg

    y aquí hay tres figuras que muestran una superficie de constante\(x\text{,}\) una superficie de constante\(x\text{,}\) y una superficie de constante\(z\text{.}\)

    cart3.svgcart4.svgcart2.svg

    Finalmente aquí hay una figura que muestra el elemento volumen\(\text{d}V\) en coordenadas cartesianas.

    cart5.svg

    A.6.2 Coordenadas cilíndricas

    Aquí hay una figura que muestra las definiciones de las tres coordenadas cilíndricas

    \[\begin{align*} r&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,0)\\ \theta&=\text{ angle between the the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$}\\ z&=\text{ signed distance from }(x,y,z) \text{ to the $xy$-plane} \end{align*}\]

    cyl1.svg

    Las coordenadas cartesianas y cilíndricas están relacionadas por

    \[\begin{align*} x&=r\cos\theta & y&=r\sin\theta & z&=z\\ r&=\sqrt{x^2+y^2} & \theta&=\arctan\frac{y}{x} & z&=z \end{align*}\]

    Aquí hay tres figuras que muestran una superficie de constante,\(r\text{,}\) una superficie de constante\(\theta\text{,}\) y una superficie de constante\(z\text{.}\)

    cyl3.svgcyl4.svgcyl2.svg

    Finalmente aquí hay una figura que muestra el elemento de volumen\(\text{d}V\) en coordenadas cilíndricas.

    cyl5.svg

    A.6.3 Coordenadas esféricas

    Aquí hay una figura que muestra las definiciones de las tres coordenadas esféricas

    \[\begin{align*} \rho&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,z)\\ \varphi&=\text{ angle between the $z$ axis and the line joining $(x,y,z)$ to $(0,0,0)$}\\ \theta&=\text{ angle between the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$} \end{align*}\]

    spherical.svg

    y aquí hay dos figuras más dando las vistas laterales y superiores de la figura anterior.

    sphericalSide.svgsphericalTop.svg

    Las coordenadas cartesianas y esféricas están relacionadas por

    \[\begin{align*} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta & y&=\rho\sin\varphi\sin\theta & z&=\rho\cos\varphi\\ \rho&=\sqrt{x^2+y^2+z^2} & \theta&=\arctan\frac{y}{x} & \varphi&=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \end{align*}\]

    Aquí hay tres figuras que muestran una superficie de constante,\(\rho\text{,}\) una superficie de constante\(\theta\text{,}\) y una superficie de constante\(\varphi\text{.}\)

    spher2.svgspher3.svgspher4.svg

    Aquí hay una figura que muestra el elemento de superficie\(\text{d}S\) en coordenadas esféricas

    spher11.svg

    y dos extractos de la figura anterior para que sea más fácil ver cómo\(\rho\sin\varphi\ \text{d}\theta\) surgen los factores\(\rho\ \text{d}\varphi\) y.

    spher9.svgspher10.svg

    Finalmente, aquí hay una figura que muestra el elemento de volumen\(\text{d}V\) en coordenadas esféricas

    spher5.svg


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