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A.8: Secciones Cónicas y Superficies Cuádricas

  • Page ID
    119215
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    Una sección cónica es la curva de intersección de un cono y un plano que no pasa por el vértice del cono. Esto se ilustra en las siguientes figuras.

    conePlaneCircle.svgconePlaneEllipse.svgconePlaneParabola.svgconePlaneHyperbola.svg

    Una definición equivalente 1 (y de uso frecuente) es que una sección cónica es el conjunto de todos los puntos en el\(xy\) plano que obedecen\(Q(x,y)=0\) con

    \[ Q(x,y) = Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F =0 \nonumber \]

    siendo un polinomio de grado dos 2. Al rotar y traducir nuestro sistema de coordenadas, la ecuación de la sección cónica se puede llevar a una de las formas 3

    Esta afirmación puede justificarse utilizando un análisis de álgebra lineal de valores propios y vectores propios. Está más allá de lo que podemos cubrir aquí, pero no es demasiado difícil para un curso de álgeba lineal estándar.
    • \(\alpha x^2 + \beta y^2 =\gamma \)con\(\alpha ,\be,\gamma \gt 0\text{,}\) el que es una elipse (o un círculo),
    • \(\alpha x^2 - \beta y^2 =\gamma \)con\(\alpha ,\beta \gt 0\text{,}\)\(\gamma \ne0\text{,}\) la que se encuentra una hipérbola,
    • \(x^2 = \delta y\text{,}\)con\(\delta\ne 0\) lo que es una parábola.

    Los análogos tridimensionales de secciones cónicas, superficies en tres dimensiones dadas por ecuaciones cuadráticas, se denominan cuadricos. Un ejemplo es la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\text{.}\)

    Aquí hay algunas tablas que dan todas las superficies cuádricas.

    nombre cilindro elíptico cilindro parabólico cilindro hiperbólico esfera
    ecuación en forma estándar \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) \(y=ax^2\) \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) \(x^2\!+\!y^2\!+\!z^2=r^2\)
    \(x=\)sección transversal constante dos líneas una línea dos líneas círculo
    \(y=\)sección transversal constante dos líneas dos líneas dos líneas círculo
    \(z=\)sección transversal constante elipse parábola hipérbola círculo
    bosquejo cylinder.svg parabolic_cylinder.svg hyperbolic_cylinder.svg sphere.svg

    Figura A.8.1. Tabla de secciones cónicas

    nombre elipsoide paraboloide elíptico cono elíptico
    ecuación en forma estándar \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}\)
    \(x=\)sección transversal constante elipse parábola dos líneas si\(x=0\text{,}\) hipérbola si\(x\ne 0\)
    \(y=\)sección transversal constante elipse parábola dos líneas si\(y=0\text{,}\) hipérbola si\(y\ne 0\)
    \(z=\)sección transversal constante elipse elipse elipse
    bosquejo ellipsoid.svg elliptic_paraboloid.svg cone.svg

    Figura A.8.2. Tabla de superficies cuádricas-1

    nombre hiperboloide de una hoja hiperboloide de dos hojas paraboloide hiperbólico
    ecuación en forma estándar \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\) \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=\frac{z}{c}\)
    \(x=\)sección transversal constante hipérbola hipérbola parábola
    \(y=\)sección transversal constante hipérbola hipérbola parábola
    \(z=\)sección transversal constante elipse elipse dos líneas si\(z=0\text{,}\) hipérbola si\(z\ne 0\)
    bosquejo hyperboloid1.svg hyperboloid2.svg hyperbolic_paraboloid.svg

    Figura A.8.3. Tabla de superficies cuádricas-2

    Está fuera de nuestro alcance probar esta equivalencia. Técnicamente, también debemos exigir que las constantes\(A\text{,}\)\(B\text{,}\)\(C\text{,}\)\(D\text{,}\)\(E\text{,}\)\(F\text{,}\) sean números reales, que no\(A\text{,}\)\(B\text{,}\)\(C\) sean todos cero, que\(Q(x,y)=0\) tenga más de una solución real, y que el polinomio no pueda ser factorizado en el producto de dos polinomios de grado uno.


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