A.8: Secciones Cónicas y Superficies Cuádricas
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Una sección cónica es la curva de intersección de un cono y un plano que no pasa por el vértice del cono. Esto se ilustra en las siguientes figuras.
Una definición equivalente 1 (y de uso frecuente) es que una sección cónica es el conjunto de todos los puntos en el\(xy\) plano que obedecen\(Q(x,y)=0\) con
\[ Q(x,y) = Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F =0 \nonumber \]
siendo un polinomio de grado dos 2. Al rotar y traducir nuestro sistema de coordenadas, la ecuación de la sección cónica se puede llevar a una de las formas 3
- \(\alpha x^2 + \beta y^2 =\gamma \)con\(\alpha ,\be,\gamma \gt 0\text{,}\) el que es una elipse (o un círculo),
- \(\alpha x^2 - \beta y^2 =\gamma \)con\(\alpha ,\beta \gt 0\text{,}\)\(\gamma \ne0\text{,}\) la que se encuentra una hipérbola,
- \(x^2 = \delta y\text{,}\)con\(\delta\ne 0\) lo que es una parábola.
Los análogos tridimensionales de secciones cónicas, superficies en tres dimensiones dadas por ecuaciones cuadráticas, se denominan cuadricos. Un ejemplo es la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\text{.}\)
Aquí hay algunas tablas que dan todas las superficies cuádricas.
nombre | cilindro elíptico | cilindro parabólico | cilindro hiperbólico | esfera |
ecuación en forma estándar | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) | \(y=ax^2\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) | \(x^2\!+\!y^2\!+\!z^2=r^2\) |
\(x=\)sección transversal constante | dos líneas | una línea | dos líneas | círculo |
\(y=\)sección transversal constante | dos líneas | dos líneas | dos líneas | círculo |
\(z=\)sección transversal constante | elipse | parábola | hipérbola | círculo |
bosquejo |
Figura A.8.1. Tabla de secciones cónicas
nombre | elipsoide | paraboloide elíptico | cono elíptico |
ecuación en forma estándar | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}\) |
\(x=\)sección transversal constante | elipse | parábola | dos líneas si\(x=0\text{,}\) hipérbola si\(x\ne 0\) |
\(y=\)sección transversal constante | elipse | parábola | dos líneas si\(y=0\text{,}\) hipérbola si\(y\ne 0\) |
\(z=\)sección transversal constante | elipse | elipse | elipse |
bosquejo |
Figura A.8.2. Tabla de superficies cuádricas-1
nombre | hiperboloide de una hoja | hiperboloide de dos hojas | paraboloide hiperbólico |
ecuación en forma estándar | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=\frac{z}{c}\) |
\(x=\)sección transversal constante | hipérbola | hipérbola | parábola |
\(y=\)sección transversal constante | hipérbola | hipérbola | parábola |
\(z=\)sección transversal constante | elipse | elipse | dos líneas si\(z=0\text{,}\) hipérbola si\(z\ne 0\) |
bosquejo |
Figura A.8.3. Tabla de superficies cuádricas-2
Está fuera de nuestro alcance probar esta equivalencia. Técnicamente, también debemos exigir que las constantes\(A\text{,}\)\(B\text{,}\)\(C\text{,}\)\(D\text{,}\)\(E\text{,}\)\(F\text{,}\) sean números reales, que no\(A\text{,}\)\(B\text{,}\)\(C\) sean todos cero, que\(Q(x,y)=0\) tenga más de una solución real, y que el polinomio no pueda ser factorizado en el producto de dos polinomios de grado uno.