1.3: Teoría de Ramsey
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Ramsey era lógico. Resultado que consideró un lema menor en uno de sus papeles de lógica ahora lleva el nombre de “Teorema de Ramsey” y fue la base de esta rama de las matemáticas. Su enunciado requiere un poco de teoría gráfica: dados\(c\) colores y tamaños fijos\(n_1, . . . , n_c\), hay un entero\(r = R(n_1, . . . , n_c)\) tal que para cualquier coloración de los bordes de una gráfica completa en r vértices, debe haber algunos\(i\) entre\(1\) y\(c\) tal que haya un subgrafo completo en \(n_i\)vértices, todos cuyos bordes están coloreados con color\(i\).
Además de requerir alguna teoría gráfica, esa afirmación fue un poco técnica. En términos mucho menos precisos que no requieren tanto conocimiento previo (pero podrían ser engañosos en situaciones específicas), Ramsey Theory afirma que si la estructura es lo suficientemente grande y contiene una propiedad que nos interesa, entonces no importa cómo la cortemos en pedazos, al menos una de las piezas también debería tener esa propiedad. Un teorema importante en la Teoría de Ramsey es el Teorema de van der Waerden, que establece que para dos constantes cualesquiera\(c\) y\(n\), hay una constante\(V(c, n)\) tal que si tomamos números\(V(c, n)\) consecutivos y los coloreamos con\(c\) colores, debe haber una progresión aritmética de longitud \(n\)todos cuyos miembros han sido coloreados con el mismo color.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Aquí hay un pequeño ejemplo del teorema de van der Waerden. Con dos colores y una longitud deseada de 3 para la progresión aritmética, podemos demostrar que\(V (2, 3) > 8\) usando el siguiente color:
3 4 5 6 7 8 9 10
(Por si es difícil de ver, señalamos que 3, 4, 7 y 8 son negros, mientras que 5, 6, 9 y 10 son grises, de un color diferente). Observe que con ocho enteros consecutivos, la diferencia en una progresión aritmética de tres términos no puede ser mayor que tres. Por cada progresión aritmética de tres términos con diferencia de uno, dos o tres, es sencillo verificar que no todos los números hayan recibido el mismo color.
De hecho,\(V (2, 3) = 9\), pero probarlo requiere de pruebas exhaustivas.
Tocaremos a la ligera la Teoría de Ramsey en este curso, específicamente sobre el teorema de Ramsey mismo, en el contexto de la teoría gráfica.