18.3: Planos afín

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Joy Morris
University of Lethbridge

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Probablemente estés familiarizado con al menos algunos de los axiomas geométricos de Euclides. Los siguientes se encuentran entre los axiomas de Euclides (no hemos utilizado los mismos términos que Euclides usó en sus Elementos, sino declaraciones de uso común que son equivalentes a las de Euclides):

Axiomas Euclidian Clave:

Dos puntos cualesquiera determinan (y así se encuentran juntos en) una línea única.
(Postulado paralelo) Para cualquier línea$L$, y cualquier punto p que no se encuentre en la línea$L$, hay una línea única$L'$ a través de la$p$ que es paralela a$L$; es decir,$L$ y no$L'$ tienen puntos en común.

Si no has tomado clases de geometría en la universidad, quizás no sepas que podemos aplicar estos axiomas a conjuntos finitos de puntos, y descubrir estructuras que denominamos geometrías euclidianas finitas, o más comúnmente, planos afines. Para evitar algunas situaciones triviales, también requerimos que la estructura tenga al menos tres puntos, y que no todos los puntos se encuentren en una sola línea.

La siguiente definición probablemente parece obvia.

Definición: Paralelo

Decimos que dos líneas son paralelas si no hay punto en ambas líneas.

Hemos tomado nota especial de esta definición porque en el caso finito, las líneas “paralelas” podrían dibujarse de tal manera que no se vean paralelas según nuestra comprensión habitual del término. Ya que cada línea tiene sólo un número finito de puntos en ella, dos líneas$L_1$ y$L_2$ son paralelas siempre y cuando ninguno de los puntos sobre$L_1$ también se encuentre$L_2$, aunque en un dibujo en particular aparece que estas líneas se reunirán si las extendemos. En la siguiente figura, las líneas$L_1$ y$L_2$ tienen tres puntos cada una, y las líneas son paralelas.

$clipboard_e2e4b4e7281913f6bf985520797d99f13.png$

Definición: Plano afín

Un plano afín (finito) consiste en un conjunto (finito) de puntos, un conjunto (finito) de líneas y una relación de incidencia entre los puntos y las líneas. La relación de incidencia debe satisfacer estos axiomas euclidianos:

Dos puntos cualesquiera se encuentran juntos en una línea única.
Para cualquier línea$L$, y cualquier punto$p$ que no se encuentre en la línea$L$, hay una línea única$L'$ que pasa a través$p$ y es disjunta de$L$ (es decir, es paralela a$L$).
Hay al menos tres puntos que no están todos en la misma línea.

Para los efectos de este libro, solo consideraremos planos afinos finitos, así que supongamos a partir de ahora que el conjunto de puntos es finito. No es muy obvio, pero el postulado paralelo (junto con el axioma final) aseguran que no sea posible tener una línea que no contenga ningún punto, por lo que el conjunto de líneas también será finito.

Hay un argumento biyectiva muy agradable que se puede utilizar para mostrar que el número de puntos en cualquiera de dos líneas es igual. Antes de presentar esto, mostramos que no puede haber una línea que contenga sólo un punto.

Proposición$\PageIndex{1}$

En un plano afín finito, ninguna línea contiene solo un punto.

Prueba

El siguiente diagrama puede ser una ayuda visual útil a medida que lee la prueba a continuación.

$clipboard_e47a527208048e8a2f82f7d9319acb2be.png$

Hacia una contradicción, supongamos que había una línea$L$ que contenía sólo un punto,$p$. Por el axioma final, hay al menos otros dos puntos en el plano afín finito,$q$ y$r$, que no se encuentran ambos en una línea con$p$. Por el primer axioma, hay una línea$L'$ que contiene tanto$p$ y$q$ (pero por nuestra elección de$q$ y$r$,$L,$ no contiene$r$). Ahora por el postulado paralelo, hay una línea$M$ a través de la$r$ que es paralela a$L'$. Además, hay una línea única a través$p$ que es paralela a$M$. Pero sabemos que M es paralelo a$L'$; además,$M$ no contiene$p$, por lo que también es paralelo a$L$; esto es una contradicción.

Ahora podemos demostrar que cada línea contiene el mismo número de puntos.

Proposición$\PageIndex{2}$

En un plano afín finito, si una línea contiene exactamente$n$ puntos, entonces cada línea contiene exactamente$n$ puntos.

Prueba

Nuevamente, comenzamos con un diagrama que puede ser una ayuda visual útil para comprender esta prueba.

$clipboard_e32fdf0c5f53f7ec8d3c348276bd0c535.png$

Dejar$L$ ser una línea que contiene exactamente$n$ puntos, y dejar$L'$ ser cualquier otra línea del plano afín finito. Por la Proposición 18.3.1, lo sabemos$n > 1$, y eso$L'$ también contiene al menos dos puntos (observamos arriba que ninguna línea puede estar vacía de puntos). Ya que dos puntos cualesquiera se encuentran juntos en una línea única, si$L$ y se$L'$ encuentran, se encuentran en un solo punto, entonces hay un punto$p$ de$L$ que no está en$L'$, y un punto$q$ de$L'$ eso no está en$L$. Por el primer axioma, hay una línea$M$ que contiene los puntos$p$ y$q$.

Definimos un mapa$ψ$ de puntos de$L$ a puntos de la$L'$ siguiente manera. Vamos$ψ(p) = q$. Para cualquier otro punto$p'$ de$L$ (con$p' \neq p$), por el postulado paralelo hay una línea única$M'$ a través de la$p'$ que es paralela a$M$. Dado que$M$ pasa a través$q$ y es paralela a$M'$, es la línea única con esta propiedad, por lo que en particular,$L'$ no puede ser paralela a$M'$. Por lo tanto,$M'$ tiene un punto de intersección único, digamos$q'$, con$L'$. Definir$ψ(p') = q'$. Dado que$M'$ y$q'$ fueron determinados de manera única, el mapa$ψ$ está bien definido (es decir, no hay ambigüedad sobre qué punto$L'$ se encuentra$ψ(p')$).

Afirmamos que$ψ$ es una biyección entre los puntos de$L$ y los puntos de$L'$; acreditando esto completará la prueba. Primero mostramos que$ψ$ es uno a uno. Supongamos que$ψ(p_1) = q_1$$ψ(p_2) = q_2$,,$q_1$ y$q_2$ son en realidad el mismo punto de$L'$. Entonces por la definición de$ψ$,$q_1$ está en alguna línea$M_1$ que es paralela a$M$, y contiene$p_1$, mientras que$q_2$ está en alguna línea$M_2$ que es paralela a$M$, y contiene$p_2$. Ya que$q_1 = q_2$, el postulado paralelo nos dice que debemos tener$M_1 = M_2$. Esta línea sólo puede encontrarse$L$ en un solo punto, por lo que debemos tener$p_1 = p_2$. Así,$ψ$ es uno a uno.

Para mostrar que$ψ$ es sobre, dejar$q''$ ser cualquier punto de$L'$ con$q'' \neq q$ (ya sabemos que$q$ tiene una pre-imagen,$p$). Por el postulado paralelo, hay una línea única$M''$ a través de la$q''$ que es paralela a$M$. Ya que$M$ es la línea única a través de la$p$ que es paralela a$M''$, vemos que no$L$ es paralela a$M''$, así que$L$ debemos reunirnos$M''$ en algún momento que vamos a llamar$p''$. Ahora por la definición de$ψ$, tenemos$ψ(p'') = q''$. Así,$q''$ tiene una pre-imagen, así$ψ$ es sobre.

Nos referimos al número de puntos en cada línea de un plano afín finito como el orden del plano. Ahora podemos averiguar cuántos puntos hay en un plano de orden afín finito$n$.

Proposición$\PageIndex{3}$

Un plano de orden afín finito$n$ tiene$n^2$ puntos.

Prueba

Dado que el plano tiene al menos tres puntos, no todos los cuales se encuentran en la misma línea, tiene al menos dos líneas$L$ y$L'$ que se cruzan en un punto q pero no son iguales. Sabemos que cada una de estas líneas contiene$n$ puntos. Por el postulado paralelo, para cada uno de los$n − 1$ puntos sobre$L'$ eso no está encendido$L$, hay una línea a través de ese punto que es paralela a$L$. Ahora,$L$ y estas$n−1$ líneas que son paralelas a$L$ cada una contienen n puntos, y como todas son paralelas (es un ejercicio, ver abajo, para probar que si$M$ es paralelo a$L$ y$N$ es paralelo a$L$, entonces$N$ es paralelo a$M$ ), todos estos puntos son distintos. Por lo tanto el avión tiene al menos$n^2$ puntos.

Considera cualquier punto$p$ que no esté encendido$L$. Por el postulado paralelo, debe haber una línea$P$ a través de la$p$ que sea paralela a$L$. Ahora bien,$L$ es la línea única a través de la$q$ que es paralela a$P$, por lo que en particular, no$L'$ es paralela a$P$. Por lo tanto,$L'$ y$P$ tener un punto de intersección, que es uno de los$n − 1$ puntos de$L'$ que no está encendido$L$. Así$P$ fue una de las$n − 1$ líneas que encontramos en nuestro primer párrafo, es decir, que$p$ es uno de los$n^2$ puntos que ahí encontramos. Así, el avión tiene exactamente$n^2$ puntos.

Quizás ya te estés preguntando por qué estamos pasando tanto tiempo mirando planos afín, cuando son una estructura geométrica. A pesar de que provienen de la geometría, los planos afín finitos pueden considerarse como un tipo especial de diseño.

Piense en los puntos de un plano afín finito como puntos de un diseño, y las líneas como bloques, estando un punto en un bloque si incide con (sobre) la línea correspondiente. El primer axioma para la relación de incidencia garantiza que cada par de puntos aparezcan juntos en exactamente un bloque, así lo ha hecho nuestro diseño$λ = 1$. Por la Proposición 18.3.2, vemos que un plano afín de orden$n$ es uniforme, con$k = n$. Por la Proposición 18.3.3, un plano afín de orden$n$ tiene$v = n^2$. Aunque no hemos incluido una prueba de ello, también se puede demostrar que este diseño es regular, por lo que de hecho es un BIBD$(n^2 , n, 1)$.

Usando

\[b \binom{k}{t} = λ \binom{v}{t} \]

del Teorema 18.2.1, vemos que en un plano afín finito de orden$n$ mirado como un diseño, tenemos$b \binom{n}{2} = \binom{n^2}{2} $, así$bn(n − 1) = n^2(n^2 − 1)$. De ahí$b = n(n + 1)$. En otras palabras, un plano afín finito de orden$n$ tiene$n(n + 1)$ líneas.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Un plano de orden afín finito$3$ tiene$3^2 = 9$ puntos. Cada línea tiene$3$ puntos, y hay$3(4) = 12$ líneas. Dado que cada línea tiene tres puntos, cada línea se encuentra en una clase paralela que consiste en tres líneas mutuamente paralelas, por lo que hay cuatro clases paralelas de este tipo. Podemos elegir dos de las clases paralelas de líneas para que sean líneas “horizontales” y “verticales”. Las otras dos clases serán los dos tipos de líneas diagonales. No podemos dibujar todos estos como líneas rectas, así que hemos dibujado una clase paralela de líneas como conjuntos de tres puntos unidos por guiones, y el otro como conjuntos de tres puntos unidos por puntos.

$clipboard_efee7bf8cdba384e9daf01aca685ba13b.png$

Los guiones y puntos que unen conjuntos de puntos que no están en línea recta pueden no proporcionar una imagen muy clara de lo que está pasando; probablemente sea más claro pensar en las líneas diagonales como “envolventes” cuando salen de la parte inferior, superior o de cualquier lado de la imagen, y reapareciendo en el lado opuesto.

Hay una buena conexión entre los planos afín y los cuadrados latinos mutuamente ortogonales.

Teorema$\PageIndex{1}$

Hay un plano afín de orden$n > 1$ si y sólo si hay cuadrados latinos$n−1$ mutuamente ortogonales de orden$n$.

Prueba

$(⇒)$Un plano afín de orden$n$ tiene$n+ 1$ clases de líneas paralelas (cada clase contiene$n$ líneas). Considera dos de estos conjuntos como las líneas horizontales y las verticales:$H_1, . . . , H_n$ y$V_1, . . . , V_n$. Etiquetar un punto como$(i, j)$ si estuviera en la intersección de$V_i$ y$H_j$. Dado que cada uno de los$n^2$ puntos se encuentra en una línea vertical y en una línea horizontal, y dado que cada par de puntos se encuentran juntos en una sola línea, esto es en realidad una biyección entre$\{1, . . . , n\} \times \{1, . . . , n\}$ y los puntos del plano afín; es decir, esto proporciona$n^2$ coordenadas que determinan de manera única el $n^2$puntos del avión.

Considere cualquiera de las clases paralelas restantes de$n$ líneas,$L_1, . . . , L_n$. Observe que cada punto del plano afín se encuentra precisamente sobre una de estas líneas. Crea un cuadrado latino a partir de esta clase paralela colocando$k$ en posición$(i, j)$ del cuadrado latino si y solo si el punto$(i, j)$ del plano afín se encuentra en línea$L_k$. Dado que cada línea de$L_1, . . . , L_n$ cumple con cada línea de$H_1, . . . , H_n$ exactamente una vez (por los axiomas de un plano afín), cada entrada aparecerá exactamente una vez en cada fila. Del mismo modo, dado que cada línea de$L_1, . . . , L_n$ cumple con cada línea de$V_1, . . . , V_n$ exactamente una vez (por los axiomas de un plano afín), cada entrada aparecerá exactamente una vez en cada columna. Por lo que efectivamente hemos creado un cuadrado latino.

Ahora mostraremos que los cuadrados$n − 1$ latinos creados por este método (utilizando las clases$n − 1$ paralelas de líneas que quedan después de excluir las que hemos designado como líneas horizontales y verticales) son mutuamente ortogonales. Esto lo haremos considerando dos cuadrados latinos arbitrarios,$L$ (provenientes de las líneas$L_1, . . . , L_n)$ y$M$ (viniendo de las líneas$M_1, . . . , M_n)$. En posición$(i, j)$, la entrada de$L$ ser$i'$ significa que la línea$L_{i'}$ pasa por el punto$(i, j)$ (que es la intersección de líneas$V_i$ y$H_j$). De igual manera, esta entrada de$M$ ser$j'$ significa que la línea$M_{j'}$ pasa por el punto$(i, j)$ (que es la intersección de líneas$V_i$ y$H_j$). Dado que las líneas$L_{i'}$ y$M_{j'}$ tienen un punto de intersección único, no puede haber ninguna otra posición en la que la entrada de$L$ es$i'$ mientras la entrada de$M$ es$j'$. Así, cada par ordenado$(i', j') ∈ \{1, . . . , n\} \times \{1, . . . , n\}$ debe aparecer exactamente en una posición como las entradas de$L$ y$M$ (en ese orden), y por lo tanto$L$ y$M$ son ortogonales. Al ser arbitrarios, tenemos cuadrados latinos$n−1$ mutuamente ortogonales.

$(⇐)$Lo contrario de esta prueba utiliza la misma idea, en sentido contrario. Dados$n − 1$ mutuamente ortogonales$n$ por cuadrados$n$ latinos, tomar las posiciones de$n^2$ coordenadas para ser los puntos de nuestro plano afín. Definir dos clases paralelas de líneas (cada una conteniendo$n$ líneas) para que sean los puntos cuya primera coordenada sea igual (así que todos los puntos con la primera coordenada$1$ forman una línea, y todos los puntos con la primera coordenada$2$ forman una segunda línea, etc.), y los puntos cuya segunda coordenada es igual. Cada uno de los cuadrados$n−1$ latinos determina una clase paralela adicional de$n$ líneas: es decir, cada línea consiste en los puntos para los cuales la entrada del cuadrado latino tiene algún valor fijo. Ya que$n > 1$, claramente hay al menos tres puntos que no están todos en la misma línea. Lo dejamos como un ejercicio para demostrar que dos puntos cualesquiera se encuentran juntos en una línea única y que se satisface el postulado paralelo.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Utilice la fórmula de la prueba del Teorema 16.3.2 para construir$6$ MOLS de orden$7$. Utilice la construcción dada en la prueba del Teorema 18.3.1 para construir un plano afín de orden$7$ a partir de sus cuadrados.

Solución

Las plazas serán:

\ [0\;\; 1\;\; 2\;\; 3\;\; 4\;\; 5\;\; 6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0\;\; 1\; 2\; 3\; 4\;\; 5\;\; 6\\\ 1\; 2\;\;\; 3\;\; 4\;\; 5\;\; 6\;\; 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2\;\; 3\;\; 4\;\; 5\;\; 6\; 0\;\; 0\;\; 1\\ 2\;\; 3\;\; 4\;; 5\;\; 6\;\; 0\;\;\; 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 4\;\;\; 5\;\;\;\; 6\ ;\; 0\;\; 1\;\; 2\;\; 3\\ 3\;\; 4\;\; 5\;\; 6\;\; 0\;\; 1\;\; 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 6\;\; 0\;\; 1\;\; 2\; 3\;\; 4\;\; 5\\ 4\;\; 5\;\; 6\;\; 0\;\; 1\;\; 2\;\; 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 1\;\; 2\; 3\;\; 4\;\; 5\;\; 6\;\; 0\\ 5\;\; 6\;\; 0\;\;\; 1\;\; 2\;\; 3\;\; 4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3\;\;\; 4 \;\; 5\;\; 6\;\; 0\;\; 1\;\; 2\\
6\;\; 0\;\; 1\;\; 2\;\; 3\;\; 4\;\; 5\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 5\;\; 6\;\; 0\;; 1\;\; 2\;\; 3\;\; 4\\[0.5in] 0\; \; 1\; \; 2\; \; 3\; \; 4\; \; 5\; \; 6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0\; \; 1\; \; 2\; \; 3\; \; 4\; \; 5\; \; 6 \\ 3\; \; 4\; \; 5\; \; 6 \;\; 0\;\;1\; \; 2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 4\; \; 5\; \; 6 \;\; 0\; \; 1\; \; 2\; \; 3 \\ 6\;\;0\; \; 1\;\;2\; \; 3\; \; 4\; \; 5 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 1\; \; 2\; \; 3\;\;4\; \; 5\;\;6 \;\; 0 \\ 2\;\;3\; \; 4\; \; 5\; \; 6\;\;0\; \; 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 5\;\; 6 \;\; 0\; \; 1\; \; 2\; \; 3\;\;4 \\ 5\; \; 6\;\;0\; \; 1\;\;2\;\;3\; \; 4 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2\; \; 3\;\;4\; \; 5\;\;6 \;\; 0\;\;1 \\ 1\;\;2\;\;3\; \; 4\;\;5\; \; 6\;\;0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 6 \;\; 0\; \; 1\; \; 2\;\;3\;\;4\; \; 5 \\ 4\; \; 5 \;\;6\;\;0\; \; 1\;\;2\;\;3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3\;\;4\; \; 5\;\;6 \;\; 0\; \; 1\; \; 2 \\[0.5in] 0\; \; 1\; \; 2\; \; 3\; \; 4\; \; 5\; \; 6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0\; \; 1\; \; 2\; \; 3\; \; 4\; \; 5\; \; 6 \\ 5\; \; 6\;\;0\; \; 1\;\;2\;\;3\; \; 4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 6 \;\; 0\; \; 1\; \; 2\;\;3\;\;4\; \; 5\\ 3\; \; 4\; \; 5\; \; 6 \;\; 0\;\;1\; \; 2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 5\;\; 6 \;\; 0\; \; 1\; \; 2\; \; 3\;\;4 \\ 1\;\;2\;\;3\; \; 4\;\;5\; \; 6\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 4\; \; 5\; \; 6 \;\; 0\; \; 1\; \; 2\; \; 3\\ 6\;\;0\; \; 1\;\;2\; \; 3\; \; 4\; \; 5 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3\;\;4\; \; 5\;\;6 \;\; 0\; \; 1\; \; 2 \\ 4\; \; 5 \;\;6\;\;0\; \; 1\;\;2\;\;3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2\; \; 3\;\;4\; \; 5\;\;6 \;\; 0\;\;1 \\ 2\;\;3\; \; 4\; \; 5\; \; 6\;\;0\; \; 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 1\;\;2\;\;3\; \; 4\;\;5\; \; 6\;\;0 \]

El plano afín tendrá$7^2 = 49$ puntos, y los denotaremos como pares ordenados$(a, b)$, donde$a$,$b ∈ \{1, . . . , 7\}$ y los consideraremos para representar las$49$ posiciones en un$7$ por cuadrado$7$ latino. Habrá$7(8) = 56$ líneas, en clases$8$ paralelas de siete líneas cada una. Aunque podríamos dibujar el plano afín, ya has visto desde el plano afín de orden$3$ que una imagen en blanco y negro toda la cual está pre-dibujada puede ser más confusa que útil, así que en su lugar enumeraremos cada una de las$56$ líneas como un conjunto de$7$ puntos.

La primera clase paralela representará las filas horizontales:

\[\begin{equation} \begin{split} &\{(1, 1),(2, 1),(3, 1),(4, 1),(5, 1),(6, 1),(7, 1)\}, \;\;\;\;&\{(1, 2),(2, 2),(3, 2),(4, 2),(5, 2),(6, 2),(7, 2)\}, \\ &\{(1, 3),(2, 3),(3, 3),(4, 3),(5, 3),(6, 3),(7, 3)\}, \;\;\;\;&\{(1, 4),(2, 4),(3, 4),(4, 4),(5, 4),(6, 4),(7, 4)\}, \\ &\{(1, 5),(2, 5),(3, 5),(4, 5),(5, 5),(6, 5),(7, 5)\}, \;\;\;\;&\{(1, 6),(2, 6),(3, 6),(4, 6),(5, 6),(6, 6),(7, 6)\}, \\ &\{(1, 7),(2, 7),(3, 7),(4, 7),(5, 7),(6, 7),(7, 7)\} \end{split} \end{equation}\]

y de manera similar la segunda clase paralela representará las filas verticales:

\ [\ begin {ecuación}\ begin {split} &\ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7)\},\;\;\;\; &\ {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7)\},\\
&\ {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7)\},\;\;\;\; &\ {(4, 1), (4, 2), (4, 2), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7)\},\\ &\ {( 5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (5, 7)\},\;\;\;\; &\ {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (6, 7)\},\\ &\ {(7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (7, 7)\}. \ end {split}\ end {ecuación}\]

Las seis clases paralelas restantes representarán cada una de las casillas latinas. En la siguiente clase paralela, la primera línea consiste en todos los puntos donde la entrada del primer cuadrado latino es 0; la segunda consiste en todos los puntos donde la entrada es 1, y así sucesivamente.

\[\begin{equation} \begin{split} &\{(1, 1),(7, 2),(6, 3),(5, 4),(4, 5),(3, 6),(2, 7)\}, \;\;\;\;&\{(2, 1),(1, 2),(7, 3),(6, 4),(5, 5),(4, 6),(3, 7)\},\\ &\{(3, 1),(2, 2),(1, 3),(7, 4),(6, 5),(5, 6),(4, 7)\}, \;\;\;\;&\{(4, 1),(3, 2),(2, 3),(1, 4),(7, 5),(6, 6),(5, 7)\},\\ &\{(5, 1),(4, 2),(3, 3),(2, 4),(1, 5),(7, 6),(6, 7)\}, \;\;\;\;&\{(6, 1),(5, 2),(4, 3),(3, 4),(2, 5),(1, 6),(7, 7)\},\\ &\{(7, 1),(6, 2),(5, 3),(4, 4),(3, 5),(2, 6),(1, 7)\}. \end{split} \end{equation}\]

La siguiente clase paralela proviene del segundo cuadrado latino (leyendo a través, por lo que el segundo cuadrado es el segundo en la primera línea):

\[\begin{equation} \begin{split} &\{(1, 1),(6, 2),(4, 3),(2, 4),(7, 5),(5, 6),(3, 7)\},\;\;\;\; &\{(2, 1),(7, 2),(5, 3),(3, 4),(1, 5),(6, 6),(4, 7)\}, \\ &\{(3, 1),(1, 2),(6, 3),(4, 4),(2, 5),(7, 6),(5, 7)\},\;\;\;\; &\{(4, 1),(2, 2),(7, 3),(5, 4),(3, 5),(1, 6),(6, 7)\}, \\ &\{(5, 1),(3, 2),(1, 3),(6, 4),(4, 5),(2, 6),(7, 7)\},\;\;\;\; &\{(6, 1),(4, 2),(2, 3),(7, 4),(5, 5),(3, 6),(1, 7)\}, \\ &\{(7, 1),(5, 2),(3, 3),(1, 4),(6, 5),(4, 6),(2, 7)\}. \end{split} \end{equation}\]

A partir de la tercera plaza latina:

\[\begin{equation} \begin{split} &\{(1, 1),(5, 2),(2, 3),(6, 4),(3, 5),(7, 6),(4, 7)\},\;\;\;\; &\{(2, 1),(6, 2),(3, 3),(7, 4),(4, 5),(1, 6),(5, 7)\}, \\ &\{(3, 1),(7, 2),(4, 3),(1, 4),(5, 5),(2, 6),(6, 7)\},\;\;\;\; &\{(4, 1),(1, 2),(5, 3),(2, 4),(6, 5),(3, 6),(7, 7)\}, \\ &\{(5, 1),(2, 2),(6, 3),(3, 4),(7, 5),(4, 6),(1, 7)\},\;\;\;\; &\{(6, 1),(3, 2),(7, 3),(4, 4),(1, 5),(5, 6),(2, 7)\}, \\ &\{(7, 1),(4, 2),(1, 3),(5, 4),(2, 5),(6, 6),(3, 7)\}. \end{split} \end{equation}\]

De la cuarta plaza latina:

\ [\ begin {ecuación}\ begin {split} &\ {(1, 1), (4, 2), (7, 3), (3, 4), (6, 5), (2, 6), (5, 7)\},\;\;\;\; &\ {(2, 1), (5, 2), (1, 3), (4, 4), (7, 5), (3, 6), (6, 7)\},\\
&\ {(3, 1), (6, 2), (2, 3), (5, 4), (1, 5), (4, 6), (7, 7)\},\;\;\;\; &\ {(4, 1), (7, 2), (3, 3), (6, 4), (2, 5), (5, 6), (1, 7)\},\\ &\ {(5) 1), (1, 2), (4, 3), (7, 4), (3, 5), (6, 6), (2, 7)\},\;\;\;\; &\ {(6, 1), (2, 2), (5, 3), (1, 4), (4, 5), (7, 6), (3, 7)\},\\ &\ {(7, 1), (3, 2), (6, 3), (2, 4), (5, 5), (1, 6), (4, 7)\}. \ end {split}\ end {ecuación}\]

De la quinta plaza latina:

\[\begin{equation} \begin{split} &\{(1, 1),(3, 2),(5, 3),(7, 4),(2, 5),(4, 6),(6, 7)\},\;\;\;\; &\{(2, 1),(4, 2),(6, 3),(1, 4),(3, 5),(5, 6),(7, 7)\},\\ &\{(3, 1),(5, 2),(7, 3),(2, 4),(4, 5),(6, 6),(1, 7)\},\;\;\;\; &\{(4, 1),(6, 2),(1, 3),(3, 4),(5, 5),(7, 6),(2, 7)\},\\ &\{(5, 1),(7, 2),(2, 3),(4, 4),(6, 5),(1, 6),(3, 7)\},\;\;\;\; &\{(6, 1),(1, 2),(3, 3),(5, 4),(7, 5),(2, 6),(4, 7)\},\\ &\{(7, 1),(2, 2),(4, 3),(6, 4),(1, 5),(3, 6),(5, 7)\}. \end{split} \end{equation}\]

Y finalmente,

\ [\ begin {ecuación}\ begin {split} &\ {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7)\},\;\;\;\; &\ {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5), (7, 6), (1, 7)\},\\
&\ {(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4), (7, 5), (1, 6), (2, 7)\},\;\;\;\; &\ {(4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 7)\},\\ &\ {(5) 1), (6, 2), (7, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)\},\;\;\;\; &\ {(6, 1), (7, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)\},\\ &\ {(7, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)\}. \ end {split}\ end {ecuación}\]

proviene de la sexta plaza latina.

Cada plano afín que conocemos, tiene como orden alguna potencia primordial. Anteriormente hemos visto (a través de la conexión con MOLS) que hay planos afín de cada orden principal. Muchos teóricos del diseño han tratado de responder a la pregunta de si el orden de un plano afín debe ser siempre o no una potencia primordial, pero la respuesta aún no se conoce. De hecho, actualmente no se sabe si existe o no un plano afín de orden$12$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

1) Demostrar que si$L$$M$,, y$N$ son líneas de un plano afín, y$L$ es paralelo a ambos$M$ y$N$, entonces$M$ es paralelo a$N$.

2) Dibuja un plano afín finito de orden$5$. ¿Cuántas líneas tiene?

3) ¿Cuántos puntos y cuántas líneas hay en un plano afín finito de orden$19$?

4) Demostrar los detalles omitidos de la prueba del Teorema 18.3.1: es decir, que la construcción dada produce una estructura que satisface los axiomas de un plano afín.

5) Dibuja un plano afín de orden$5$. Utilice la construcción dada en la prueba del Teorema 18.3.1 para producir cuadrados latinos de orden$4$ mutuamente ortogonales$5$ a partir de su plano.

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