1.E: Fundamentos (Ejercicios)

1.2: Ejemplos

Ejercicio\(\PageIndex{2.1}\)

Explique por qué una\(m\times n\) tabla puede ser cubierta si cualquiera\(m\) o\(n\) es par. Explique por qué no se puede cubrir si ambos\(m\) y\(n\) son impares.

Ejercicio\(\PageIndex{2.2}\)

Supongamos que se eliminan dos esquinas diagonalmente opuestas de una\(8\times8\) tabla ordinaria. ¿Se puede cubrir el tablero resultante?

Ejercicio\(\PageIndex{2.3}\)

Supongamos que\(m\) y ambos\(n\) son impares. En una\(m\times n\) tabla, coloreada como de costumbre, las cuatro esquinas serán del mismo color, digamos blanco. Supongamos que se quita un cuadrado blanco del tablero. Demostrar que el tablero resultante puede ser cubierto.

Ejercicio\(\PageIndex{2.4}\)

Supongamos que se quita una esquina de una\(8\times 8\) tabla. ¿Se puede cubrir el resto con\(1\times 3\) azulejos? Muestre un alicatado o demuestre que no se puede hacer.

Ejercicio\(\PageIndex{2.5}\)

Supongamos que se retira el cuadrado en la fila 3, columna 3 de una\(8\times8\) tabla. ¿Se puede cubrir el resto con\(1\times 3\) azulejos? Muestre un alicatado o demuestre que no se puede hacer.

Ejercicio\(\PageIndex{2.6}\)

Retire dos esquinas diagonalmente opuestas de una\(m\times n\) tabla, donde\(m\) es impar y\(n\) es par. Demuestre que el resto se puede cubrir con dominó.

Ejercicio\(\PageIndex{2.7}\)

Supongamos que un cuadrado blanco y otro negro se quitan de una\(n\times n\) tabla,\(n\) incluso. Demostrar que el resto puede ser cubierto por dominó.

Ejercicio\(\PageIndex{2.8}\)

Supongamos que una\(n\times n\) tabla,\(n\) incluso, está cubierta de dominó. Mostrar que el número de dominó horizontales con un cuadrado blanco debajo del extremo izquierdo es igual al número de dominó horizontales con un cuadrado negro debajo del extremo izquierdo.

Ejercicio\(\PageIndex{2.9}\)

En la gráfica completa sobre cinco vértices que se muestra arriba, hay cinco pares de aristas que se cruzan. Dibuja esta gráfica para que solo se crucen un par de bordes. Recuerda que los “bordes” no tienen que ser líneas rectas.

Ejercicio\(\PageIndex{2.10}\)

La gráfica bipartita completa\(K_{3,3}\) consta de dos grupos de tres vértices cada uno, con todas las aristas posibles entre los grupos y ninguna otra arista:

Figura\(\PageIndex{1}\)

Dibuja esta gráfica con un solo cruce.

1.3: Combinaciones y permutaciones

Ejercicio\(\PageIndex{3.1}\)

¿Cuántos factores positivos\(2\cdot3^4\cdot7^3\cdot11^2\cdot47^5 \) tiene? ¿Cuántos\(p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n} \) tiene, donde\(p_i \) están los primos distintos?

Ejercicio\(\PageIndex{3.2}\)

Una mano de póquer consta de cinco cartas de una baraja estándar de 52 cartas con cuatro palos y trece valores en cada palo; el orden de las cartas en una mano es irrelevante. ¿Cuántas manos constan de 2 tarjetas con un valor y 3 tarjetas de otro valor (una casa llena)? ¿Cuántas constan de 5 tarjetas del mismo palo (una descarga)?

Ejercicio\(\PageIndex{3.3}\)

Seis hombres y seis mujeres deben estar sentados alrededor de una mesa, alternando hombres y mujeres. Las sillas no importan, sólo quién está al lado de quién, pero derecha e izquierda son diferentes. ¿Cuántos arreglos de asientos son posibles?

Ejercicio\(\PageIndex{3.4}\)

Ocho personas van a estar sentadas alrededor de una mesa; las sillas no importan, sólo quién está al lado de quién, pero derecha e izquierda son diferentes. Dos personas, X e Y, no pueden sentarse una al lado de la otra. ¿Cuántos arreglos de asientos son posibles?

Ejercicio\(\PageIndex{3.5}\)

En el ajedrez, una torre ataca cualquier pieza en la misma fila o columna que la torre, siempre que ninguna otra pieza esté entre ellas. ¿De cuántas maneras se pueden colocar ocho torres en un tablero de ajedrez para que no se ataquen dos? ¿Y ocho gradas en una\(10\times 10 \) tabla?

Ejercicio\(\PageIndex{3.6}\)

Supongamos que queremos colocar 8 gradas no atacantes en un tablero de ajedrez. ¿De cuántas maneras podemos hacer esto si las 16 plazas más `noroestes' deben estar vacías? ¿Qué tal si solo las 4 plazas más `noroestes' deben estar vacías?

Ejercicio\(\PageIndex{3.7}\)

Una secuencia “legal” de paréntesis es aquella en la que los paréntesis pueden coincidir correctamente, como\(()(())\). No es difícil ver que esto es posible precisamente cuando el número de paréntesis izquierdo y derecho es el mismo, y cada segmento inicial de la secuencia tiene al menos tantos paréntesis izquierdos como derecho. Por ejemplo,\(())\ldots \) no es posible que se extienda a una secuencia legal. Demostrar que el número de secuencias legales de longitud\(2n \) es\(C_n={2n\choose n}-{2n\choose n+1}\). A los números\(C_n \) se les llama números catalanes.

1.4: Coeficientes binomiales

Ejercicio\(\PageIndex{4.1}\)

Supongamos que una cuadrícula de calle comienza en la posición\((0,0)\) y se extiende hacia arriba y hacia la derecha:

Figura\(\PageIndex{1}\)

Una ruta más corta por calles de\((0,0)\) a\((i,j)\) es\(i+j\) cuadras de largo, yendo\(i\) cuadras al este y\(j\) cuadras al norte. ¿Cuántas rutas de este tipo hay? Supongamos que el bloque entre\((k,l)\) y\((k+1,l)\) está cerrado, donde\(k< i\) y\(l\le j\). ¿Cuántas rutas más cortas hay de\((0,0)\) a\((i,j)\)?

Ejercicio \(\PageIndex{4.2}\)

Demostrar por inducción que\(\sum_{k=0}^n {k\choose i} = {n+1\choose i+1}\) para\(n\ge 0\) y\(i\ge 0\).

Ejercicio\(\PageIndex{4.3}\)

Usa un argumento combinatorio para probarlo\(\sum_{k=0}^n {k\choose i} = {n+1\choose i+1}\) para\(n\ge 0\) y\(i\ge 0\); es decir, explicar por qué el lado izquierdo cuenta lo mismo que el lado derecho.

Ejercicio\(\PageIndex{4.4}\)

Usa un argumento combinatorio para probarlo\({k \choose 2} + {n-k \choose 2}+k(n-k) = {n \choose 2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{4.5}\)

Usa un argumento combinatorio para demostrar que\({2n\choose n}\) es parejo.

Ejercicio\(\PageIndex{4.6}\)

Supongamos que\(A\) es un conjunto finito no vacío. Demuestre que\(A\) tiene tantos subconjuntos de tamaño par como subconjuntos de tamaño impar.

Ejercicio\(\PageIndex{4.7}\)

Demostrar que\(\sum_{k=0}^n {k\choose i}k = {n+1\choose i+1}n-{n+1\choose i+2}\) para\(n\ge 0\) y\(i\ge 0\).

Ejercicio\(\PageIndex{4.8}\)

Verifica eso\({n+1\choose2}+{n\choose2}=n^2\). Use Ejercicio\(\PageIndex{4.2}\) para encontrar una expresión simple para\(\sum_{i=1}^n i^2\).

Ejercicio\(\PageIndex{4.9}\)

Haz una conjetura sobre las sumas de las diagonales ascendentes en el Triángulo de Pascal como se indica. Demuestra que tu conjetura es cierta.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4.10}\)

Encuentra el número de formas de escribir\(n\) como una suma ordenada de unos y dos,\(n\ge 0\). Por ejemplo, cuando\(n=4\), hay cinco formas:\(1+1+1+1\)\(2+1+1\),\(1+2+1\),\(1+1+2\), y\(2+2\).

Ejercicio\(\PageIndex{4.11}\)

Utilízalo\((x+1)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}x^i\) para encontrar una expresión simple para\(\sum_{i=0}^n{1\over i+1}{n\choose i}x^{i+1}\). Entonces encuentra una expresión simple para\(\sum_{i=0}^n{1\over i+1}{n\choose i}\).

Ejercicio\(\PageIndex{4.12}\)

Utilice el ejercicio anterior para encontrar una expresión simple para\(\sum_{i=0}^n(-1)^i{1\over i+1}{n\choose i}\).

Ejercicio\(\PageIndex{4.13}\)

Dar una prueba combinatoria de\[\sum_{i=0}^k {m\choose i}{n\choose k-i}={m+n\choose k}.\nonumber\] Reescribir esta identidad en forma más simple si\(m=n\), y cuando\(k=m=n\).

Ejercicio\(\PageIndex{4.14}\)

Terminar la prueba del Teorema 1.4.3.

Ejercicio\(\PageIndex{4.15}\)

Dar una prueba alterna del Teorema 1.4.3 caracterizando aquellos\(i\) para los cuales\({n\choose i}/{n\choose i-1} > 1\).

Ejercicio\(\PageIndex{4.16}\)

¿Cuándo es\({n\choose i}/{n\choose i-1}\) un máximo? ¿Cuándo es\({n\choose i}/{n\choose i-1}=2\)?

Ejercicio\(\PageIndex{4.17}\)

¿Cuándo es\({n\choose i}-{n\choose i-1}\) un máximo?

Ejercicio\(\PageIndex{4.18}\)

Una placa Galton es una superficie plana vertical con pasadores horizontales sobresalientes dispuestos como se muestra a continuación. En la parte inferior hay un número de bins; si el número de filas es\(n\), el número de bins es\(n+1\). Una bola se deja caer directamente sobre el pin superior, y en cada pin rebota a la izquierda o a la derecha con igual probabilidad. Asumimos que la bola a continuación golpea el pin de abajo e inmediatamente a la izquierda o derecha del pin que ha golpeado, y esto continúa por el tablero, hasta que la pelota cae en un contenedor en la parte inferior. Si numeramos los contenedores de 0 a\(n\), ¿cuántos caminos puede recorrer una bola para terminar en bin\(k\)?

Esto puede interpretarse en términos de probabilidad, que era la intención de Sir Francis Galton cuando la diseñó. Cada camino es igualmente probable que sea tomado por una pelota. Si se dejan caer muchas bolas, el número de bolas en bin\(k\) corresponde a la probabilidad de terminar en ese contenedor. Cuantos más caminos terminen en un bin, mayor será la probabilidad. Cuando se deja caer un número muy grande de bolas, las bolas formarán una aproximación a la curva de campana familiar a partir de la probabilidad y las estadísticas.

Hay una animación del proceso en http://www.math.uah.edu/stat/apps/GaltonBoardExperiment.html. Hubo una vez una implementación física muy agradable en el Pacific Science Center en Seattle.

Figura\(\PageIndex{3}\)

1.5: Números de Campana

Ejercicio\(\PageIndex{5.1}\)

Mostrar que si\(\{A_1,A_2,\ldots,A_k\}\) es una partición de\(\{1,2,\ldots,n\}\), entonces hay una relación de equivalencia única\(\equiv\) cuyas clases de equivalencia son\(\{A_1,A_2,\ldots,A_k\}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5.2}\)

Supongamos que\(n\) es un número libre de cuadrados, es decir, ningún número\(m^2\) divide\(n\); dicho de otra manera, los números libres de cuadrados son productos de factores primos distintos, es decir\(n=p_1p_2\cdots p_k\), donde cada uno\(p_i\) es primo y no hay dos factores primos iguales. Encuentra el número de factorizaciones de\(n\). Por ejemplo,\(30=2\cdot 3\cdot 5\), y las factorizaciones de 30 son 30\(6\cdot 5\),\(10\cdot 3\),\(2\cdot 15\), y\(2\cdot 3\cdot 5\). Tenga en cuenta que contamos 30 solos como factorización, aunque en cierto sentido una factorización trivial.

Ejercicio\(\PageIndex{5.3}\)

El esquema de rima de una estrofa de poesía indica qué líneas riman. Esto suele expresarse en la forma ABAB, es decir, la primera y tercera líneas de una rima de estrofa de cuatro líneas, al igual que la segunda y cuarta, o ABCB, que significa solo las líneas dos y cuatro rimas, y así sucesivamente. Un limerick es un poema de cinco líneas con esquema de rima AABBA. ¿Cuántos esquemas de rima diferentes son posibles para una estrofa de\(n\) línea? Para evitar patrones duplicados, solo permitimos una nueva letra en el patrón cuando todas las letras anteriores se hayan utilizado a la izquierda del nuevo. Por ejemplo, no se permite ACBA, ya que cuando C se coloca en la posición 2, B no se ha utilizado a la izquierda. Este es el mismo esquema de rima que ABCA, que está permitido.

Ejercicio\(\PageIndex{5.4}\)

Otra forma de expresar los números de Bell para\(n>0\) es\[B_n=\sum_{k=1}^n S(n,k),\nonumber\] dónde\(S(n,k)\) está el número de particiones de\(\{1,2,\ldots,n\}\) en exactamente\(k\) partes,\(1\le k\le n\). Los\(S(n,k)\) son los números de Stirling del segundo tipo. Encontrar una relación de recurrencia para\(S(n,k)\). Su recurrencia debería permitir una construcción de triángulo bastante simple que contenga los valores\(S(n,k)\), y luego los números de Bell se pueden calcular sumando las filas de este triángulo. Mostrar las primeras cinco filas del triángulo,\(n\in\{1,2,\ldots,5\}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5.5}\)

\(A_n\)Sea el número de particiones de\(\{1,2,\ldots,n+1\}\) en las que no hay enteros consecutivos en la misma parte de la partición. Por ejemplo, cuando\(n=3\) estas particiones son\(\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\}\),\(\{\{1\},\{2,4\},\{3\}\}\),\(\{\{1,3\},\{2\},\{4\}\}\),\(\{\{1,3\},\{2,4\}\}\),\(\{\{1,4\},\{2\},\{3\}\}\), así\(A_3=5\). Dejar\(A(n,k)\) ser el número de particiones de\(\{1,2,\ldots,n+1\}\) en exactamente\(k\) partes, en las que no hay números enteros consecutivos en la misma parte de la partición. Así\[A_n=\sum_{k=2}^{n+1} A(n,k).\nonumber\] Encuentra una recurrencia para\(A(n,k)\) y luego mostrar eso\(A_n=B_n\).

1.6: Elección con repetición

Ejercicio\(\PageIndex{6.1}\)

Supongamos que una caja contiene 18 bolas numeradas 1—6, tres bolas con cada número. Cuando se dibujan 4 bolas sin reemplazo, ¿cuántos resultados son posibles? Haga esto de dos maneras: asumiendo que importa el orden en que se dibujan las bolas, y luego asumiendo que ese orden no importa.

Ejercicio\(\PageIndex{6.2}\)

¿Cuántas permutaciones hay de las letras en Mississippi?

Ejercicio\(\PageIndex{6.3}\)

¿Cuántas permutaciones hay del multiset\(\{1\cdot a_1,1\cdot a_2,\ldots,1\cdot a_n\}\)?

Ejercicio\(\PageIndex{6.4}\)

Vamos\(M=\sum_{i=1}^n m_i\). Si\(k_i< 0\), digamos\[ {M\choose k_1\;k_2\;\ldots\; k_n}=0.\nonumber\]

Demostrar que\[{M\choose m_1\;m_2\;\ldots\; m_n}= \sum_{i=1}^n {M-1\choose m_1\;m_2\;\ldots\;(m_i-1)\;\ldots\; m_n}. \nonumber\]

Tenga en cuenta que cuando\(n=2\) esto se convierte\[{M\choose m_1\;m_2}= {M-1\choose (m_1-1)\;m_2}+{M-1\choose m_1\;(m_2-1)}.\nonumber\]

Como se señaló anteriormente en la Ecuación (1.6.1), cuando realmente\(n=2\) estamos viendo coeficientes binomiales ordinarios, y esto se puede reescribir como\[ {M\choose m_1}={M-1\choose m_1-1}+{M-1\choose m_1},\nonumber\] lo que por supuesto ya conocemos.

Ejercicio\(\PageIndex{6.5}\)

El Teorema Binomial 1.4.1 se puede escribir\[(x+y)^n=\sum_{i+j=n} {n\choose i\;j}x^i\,y^j,\nonumber\] donde la suma está sobre todos los enteros no negativos\(i\) y\(j\) esa suma a\(n\). Demostrar que para\(m\ge 2\),\[ (x_1+x_2+\cdots+x_m)^n= \sum {n\choose i_1\;i_2\;\ldots\;i_m}x_1^{i_1}\,x_2^{i_2}\ldots x_m^{i_m}.\nonumber\] donde la suma es sobre todo\(i_1,\ldots,i_m\) tal que\(i_1+\cdots+i_m=n\).

1.7: El principio del encasillamiento

Ejercicio\(\PageIndex{7.1}\)

Supongamos que la relación “amigo” es simétrica. Demuestre que si\(n\ge2\), entonces en cualquier grupo de\(n\) personas hay dos con el mismo número de amigos en el grupo.

Ejercicio\(\PageIndex{7.2}\)

Supongamos que se seleccionan 501 enteros distintos de\(1\ldots1000\). Demostrar que hay distintos números enteros seleccionados\(a\) y\(b\) tal que\(a | b\). Demuestre que esto no siempre es cierto si se seleccionan 500 enteros.

Ejercicio\(\PageIndex{7.3}\)

Cada una de 15 bolas rojas y 15 bolas verdes está marcada con un número entero entre 1 y 100 inclusive; no aparece ningún número entero en más de una bola. El valor de un par de bolas es la suma de los números en las bolas. Mostrar que hay al menos dos pares, que consisten en una bola roja y otra verde, con el mismo valor. Demuestre que esto no es cierto si hay 13 bolas de cada color.

Ejercicio\(\PageIndex{7.4}\)

Supongamos que\((a_1,a_2,\ldots,a_{52})\) son enteros, no necesariamente distintos. Demostrar que hay dos,\(a_i\) y\(a_j\) con\(i\ne j\), tal que cualquiera\(a_i+a_j\) o\(a_i-a_j\) es divisible por 100. Demostrar que esto no es necesariamente cierto para los enteros\((a_1,a_2,\ldots,a_{51})\).

Ejercicio\(\PageIndex{7.5}\)

Supongamos que se eligen cinco puntos de un cuadrado cuyos lados son largos\(s\). (Los puntos pueden estar en el interior de la plaza o en el límite.) Demuestre que dos de los puntos están a lo sumo\(s\sqrt2/2\) separados. Encuentra cinco puntos para que no haya dos menos que\(s\sqrt2/2\) separados.

Ejercicio\(\PageIndex{7.6}\)

Mostrar que si los bordes de\(K_6\) están coloreados con dos colores, hay al menos dos triángulos monocromáticos. (Dos triángulos son diferentes si cada uno contiene al menos un vértice no en el otro. Por ejemplo, dos triángulos rojos que comparten un borde cuentan como dos triángulos.) Colorea los bordes de\(K_6\) para que haya exactamente dos triángulos monocromáticos.

Ejercicio\(\PageIndex{7.7}\)

Supongamos que los bordes de a\(K_5\) están coloreados con dos colores, digamos rojo y azul, para que no haya triángulos monocromáticos. Mostrar que los bordes rojos forman un ciclo, y los bordes azules forman un ciclo, cada uno con cinco bordes. (Un ciclo es una secuencia de bordes\(\{v_1,v_2\},\{v_2,v_3\},\ldots,\{v_k,v_1\}\), donde todos los\(v_i\) son distintos. Obsérvese que esto es cierto en la Figura 1.7.1).

Ejercicio\(\PageIndex{7.8}\)

\(8< R(3,4)\le 10\)Demuéstralo.

Ejercicio\(\PageIndex{7.9}\)

\(R(3,4)=9\)Demuéstralo.

1.8: Teorema de Sperner

Ejercicio\(\PageIndex{8.1}\)

El Teorema de Sperner (1.8.1) nos dice que\(\left[\begin{array}{c}6\\3\end{array}\right]\), con el tamaño 20, es el anticadena más grande único para\(2^{[6]}\). Los siguientes anticadena más grandes de la forma\(\left[\begin{array}{c}6\\k\end{array}\right]\) son\(\left[\begin{array}{c}6\\2\end{array}\right]\) y\(\left[\begin{array}{c}6\\4\end{array}\right]\), con talla 15. Encuentra una anticadena máxima con un tamaño mayor a 15 pero menor a 20. (Como de costumbre, máximo aquí significa que el anticadena no se puede agrandar simplemente agregando elementos. Por lo tanto, no puede simplemente usar un subconjunto de\(\left[\begin{array}{c}6\\3\end{array}\right]\).)

1.9: Números de Stirling

Ejercicio\(\PageIndex{9.1}\)

Encuentra una expresión simple para\(\left[\begin{array}{c}n\\n-1\end{array}\right]\).

Ejercicio\(\PageIndex{9.2}\)

Encuentra una expresión simple para\(\left[\begin{array}{c}n\\1\end{array}\right]\).

Ejercicio\(\PageIndex{9.3}\)

¿Qué es\(\sum_{k=0}^n \left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]\)?

Ejercicio\(\PageIndex{9.4}\)

¿Qué es\(\sum_{k=0}^n s(n,k)\)?

Ejercicio\(\PageIndex{9.5}\)

Demostrar que\(x^{\underline n}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)=\sum_{i=0}^n s(n,i)x^i\),\(n\ge 1\);\(x^{\underline n}\) se llama un factorial descendente. Encontrar una identidad similar para\(x^{\overline n}=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)\);\(x^{\overline n}\) es un factorial ascendente.

Ejercicio\(\PageIndex{9.6}\)

Demostrar que\( \sum_{k=0}^n \left\{\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right\} x^{\underline k} = x^n\),\(n\ge 1\);\(x^{\underline k}\) se define en el ejercicio anterior. El ejercicio anterior muestra cómo expresar la caída factorial en términos de poderes de\(x\); este ejercicio muestra cómo expresar los poderes de\(x\) en términos de caída factoriales.

Ejercicio\(\PageIndex{9.7}\)

Demostrar:\( S(n,k)=\sum_{i=k-1}^{n-1} {n-1\choose i}S(i,k-1)\).

Ejercicio\(\PageIndex{9.8}\)

Demostrar:\( \left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]=\sum_{i=k-1}^{n-1} (n-i-1)! {n-1\choose i}\left[\begin{array}{c}i\\k-1\end{array}\right]\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Utilice el ejercicio anterior para acreditar\( s(n,k)=\sum_{i=k-1}^{n-1} (-1)^{n-i-1}(n-i-1)! {n-1\choose i}s(i,k-1)\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Hemos definido\(\left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]\) y\(\left\{\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right\}\) para\(n,k\ge 0\). Queremos extender las definiciones a todos los enteros. Sin algunas estipulaciones adicionales, hay muchas formas de hacerlo. Supongamos que para nosotros\(n\not=0\) queremos\(\left[\begin{array}{c}n\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\n\end{array}\right]=\left\{\begin{array}{c}n\\0\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}0\\n\end{array}\right\}=0\), y queremos que las relaciones de recurrencia de la ecuación 1.9.1 y en el Teorema 1.9.1 sean ciertas. Demostrar que bajo estas condiciones existe una manera única de extender las definiciones a todos los enteros, y que cuando esto se hace,\(\left\{\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{c}-k\\-n\end{array}\right]\) para todos los enteros\(n\) y\(k\). Así, la tabla extendida de valores para cualquiera\(\left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]\) o\(\left\{\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right\}\) contendrá todos los valores de ambos\(\left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]\) y\(\left\{\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right\}\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Bajo los supuestos que\(s(n,0)=s(0,n)=0\) para\(n\not=0\), y\(s(n,k) = s(n-1,k-1) - (n-1)s(n-1,k)\), extender la tabla para\(s(n,k)\) a todos los enteros, y encontrar una conexión\(S(n,k)\) similar a la del problema anterior.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Demostrar Corolario 1.9.1.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Demostrar la parte restante del Teorema 1.9.2.