4.2: Leyes de la Teoría de Conjuntos

Tablas de Leyes

Las siguientes leyes básicas del conjunto se pueden derivar utilizando la definición básica o el enfoque de Set-Membership y se pueden ilustrar mediante diagramas de Venn.

Tabla \(\PageIndex{1}\): Leyes básicas de la teoría de conjuntos

Leyes conmutativas
(\(1\))\(A \cup B = B \cup A\)	(\(1^{\prime}\))\(A \cap B = B\cap A\)
Leyes asociativas
(\(2\))\(A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\)	(\(2^{\prime}\))\(A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\)
Leyes Distributivas
(\(3\))\(A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\)	(\(3^{\prime}\))\(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\)
Leyes de Identidad
(\(4\))\(A\cup\emptyset =\emptyset\cup A=A\)	(\(4^{\prime}\))\(A\cap U=U\cap A=A\)
Leyes Complementarias
(\(5\))\(A\cup A^{c}=U\)	(\(5^{\prime}\))\(A\cap A^c=\emptyset\)
Leyes idempotentes
(\(6\))\(A\cup A=A\)	(\(6^{\prime}\))\(A\cap A=A\)
Leyes nulas
(\(7\))\(A\cup U=U\)	(\(7^{\prime}\))\(A\cap\emptyset=\emptyset\)
Leyes de Absorción
(\(8\))\(A\cup (A\cap B)=A\)	(\(8^{\prime}\))\(A\cap (A\cup B)=A\)
Leyes de DeMorgan
(\(9\))\((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\)	(\(9^{\prime}\))\((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\)
Ley de Involución
(\(10\))\((A^c)^c=A\)

Es bastante claro que la mayoría de estas leyes se asemejan o, de hecho, son análogas de leyes en álgebra básica y álgebra de proposiciones.

Prueba usando teoremas previamente probados

Una vez que se han establecido algunas leyes o teoremas básicos, frecuentemente las usamos para probar teoremas adicionales. Este método de prueba suele ser más eficiente que el de prueba por Definición. Para ilustrar, probemos el siguiente Corolario a la Ley Distributiva. El término “corolario” se utiliza para teoremas que se pueden probar con relativa facilidad a partir de teoremas previamente probados.

Corolario\(\PageIndex{1}\): A Corollary to the Distributive Law of Sets

Deja que A y B sean conjuntos. Entonces\((A\cap B) \cup (A\cap B^c) = A\text{.}\)

Prueba

\ begin {ecuación*}\ begin {split} (A\ cap B)\ copa (A\ cap B^c) & = A\ cap (B\ copa b^C)\\ &\ quad\ textrm {¿Por qué?} \\ & = A\ cap U\\ &\ quad\ textrm {¿Por qué?} \\ & = A\\ &\ quad\ textrm {¿Por qué?} \ end {dividir}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Prueba con el Método Indirecto/Contradicción

El procedimiento que se utiliza con mayor frecuencia para probar un teorema en matemáticas es el Método Directo, como se ilustra en el Teorema 4.1.1 y el Teorema 4.1.2. Ocasionalmente hay situaciones en las que este método no es aplicable. Considera lo siguiente:

Teorema\(\PageIndex{1}\): An Indirect Proof in Set Theory

\(A, B, C\)Dejen ser conjuntos. Si\(A\subseteq B\) y\(B\cap C = \emptyset\text{,}\) entonces\(A\cap C = \emptyset\text{.}\)

Prueba

Comentario: El enfoque habitual y primero sería asumir\(A\subseteq B\) y\(B\cap C = \emptyset\) es cierto e intentar probar\(A\cap C = \emptyset\) es cierto. Para ello necesitarías demostrar que nada está contenido en el set\(A \cap C\text{.}\) Piensa en cómo demostrarías que algo no existe. Es muy difícil de hacer directamente.

El Método Indirecto es mucho más fácil: Si asumimos que la conclusión es falsa y obtenemos una contradicción —entonces el teorema debe ser cierto. Este enfoque se encuentra en una sólida base lógica ya que es exactamente el mismo método de prueba indirecta que discutimos en la Subsección 3.5.3.

Asumir\(A\subseteq B\)\(B\cap C = \emptyset\text{,}\) y y\(A\cap C \neq \emptyset\text{.}\) Para probar que esto no puede ocurrir,\(x\in A \cap C\text{.}\)

\ begin {equation*}\ begin {split} x\ in A\ cap C &\ Rightarrow x\ in A\ textrm {y} x\ in C\\ &\ Rightarrow x\ in B\ textrm {y} x\ in C\ &\ Rightarrow x\ in B\ cap C\ end {split}\ text {.} \ end {ecuación*}

Pero esto contradice la segunda premisa. De ahí que se pruebe el teorema.

Ejercicios

En los ejercicios que siguen es de lo más importante que delinear los procedimientos lógicos o métodos que utilice.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

1. Demostrar la ley asociativa para intersección (Ley\(2^{\prime}\)) con un diagrama de Venn.
2. Demostrar la Ley de DeMorgan (Ley 9) con una mesa de membresía.
3. Demostrar la Ley Idempotente (Ley 6) utilizando definiciones básicas.

Contestar

1.  
2. \ begin {ecuación*}\ begin {array} {ccccccc} A & B &a^C & B^C & A\ copa B & (A\ copa B) ^c &a^C\ cap b^C\\ hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & amp; 1 & 0 & 0\\\ end {array}\ end {equation*}
   Las dos últimas columnas son iguales por lo que los dos conjuntos deben ser iguales.
3. \ begin {ecuation*}\ begin {split} x\ in A\ cup A &\ Rightarrow (x\ in A)\ lor (x\ in A)\ quad\ textrm {por la definición de}\ cap\\ &\ Rightarrow x\ in A\ quad\ textrm {por la ley idempotente de la lógica}\ end {split}\ end {ecuación*}
   Por lo tanto,\(A\cup A\subseteq A\text{.}\)
   \ comenzar {ecuación*}\ begin {split} x\ in A &\ Rightarrow (x\ in A)\ lor (x\ in A)\ quad\ textrm {por suma conjuntiva}\\ &\ Rightarrow x\ in A\ copa A\\ end {split}\ end {equation*}
   Por lo tanto,\(A \subseteq A\cup A\) y así tenemos\(A\cup A=A\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

1. Demostrar la Ley de Absorción (Ley\(8^{\prime}\)) con un diagrama de Venn.
2. Demostrar la Ley de Identidad (Ley 4) con una mesa de membresía.
3. Demostrar la Ley de Involución (Ley 10) utilizando definiciones básicas.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar lo siguiente utilizando las leyes de teoría de conjuntos, así como cualquier otro teorema probado hasta el momento.

1. \(\displaystyle A \cup (B - A) = A \cup B\)
2. \(\displaystyle A - B = B^c - A ^c\)
3. \(\displaystyle A\subseteq B, A\cap C \neq \emptyset \Rightarrow B\cap C \neq \emptyset\)
4. \(\displaystyle A\cap (B - C) = (A\cap B) - (A\cap C)\)
5. \(\displaystyle A - (B \cup C) = (A - B)\cap (A - C)\)

Contestar

Para todas las partes de este ejercicio, se debe proporcionar una razón para cada paso. Hemos proporcionado razones solo para la parte a y las hemos dejado fuera de las otras partes para darle más práctica.

 

1. \ begin {ecuación*}\ begin {split} A\ copa (B-A) &=A\ copa (B\ cap A^C)\ textrm {por el Ejercicio 4.1.1 de la Sección 4.1}\\ & = (A\ copa B)\ cap (A\ copa A^C)\ textrm {por la ley distributiva}\\ &= (A\ copa B)\ cap U\ textrm {por la ley nula}\\ &= (A\ copa B)\ textrm {por la ley de identidad}\ square\ end {split}\ text {.} \ end {ecuación*}
2. \ begin {ecuación*}\ begin {split} A - B & = A\ cap B ^c\\ & =b^c\ cap A\\ &=b^c\ cap (a^c) ^c\\ &=b^c-a^c\\ end {split}\ text {.} \ end {ecuación*}
3. Seleccione cualquier elemento,\(x \in A\cap C\text{.}\) Uno de esos elementos existe ya que no\(A\cap C\) está vacío.
   \ begin {ecuation*}\ begin {split} x\ in A\ cap C\ &\ Rightarrow x\ in A\ land x\ in C\\ &\ Rightarrow x\ in B\ land x\ in C\\ &\ Rightarrow x\ in B\ cap C\ &\ Rightarrow B\ cap C\ neq\ emptyset quad\ square\\ end split {}\ texto {.} \ end {ecuación*}
4. \ begin {ecuation*}\ begin {split} A\ cap (B-C) &=A\ cap (B\ cap C^c)\\ & = (A\ cap B\ cap A^c)\ copa (A\ cap B\ cap C^c)\\ & = (A\ cap B)\ cap (A^c\ copa C^C)\ & = (A\ cap B) cap\ (A\ copa C) ^c\\ & = (A-B)\ cap (A-C)\ quad\ cuadrado\\ final {split}\ text {.} \ end {ecuación*}
5. \ begin {ecuation*}\ begin {split} A- (B\ copa C) & = A\ cap (B\ copa C) ^c\\ & =A\ cap (B^c\ cap C^c)\\ & = (A\ cap b^c)\ cap (A\ cap c^c)\\ & = (A-B)\ cap (A-C)\ quad\ square\ end\ {dividir}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Utilizar teoremas previamente probados para probar lo siguiente.

1. \(\displaystyle A \cap (B\cap C)^c= (A\cap B^c)\cup (A\cap C^{c })\)
2. \(\displaystyle A \cap (B\cap (A\cap B)^c)= \emptyset\)
3. \(\displaystyle (A\cap B) \cup B^c = A \cup B^c\)
4. \(A \cup (B - C) = (A \cup B) - (C - A)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\): Hierarchy of Set Operations

Las reglas que determinan el orden de evaluación en una expresión de conjunto que involucra más de una operación son similares a las reglas para la lógica. A falta de paréntesis, las complementaciones se hacen primero, las intersecciones en segundo lugar y las uniones en tercer lugar. Los paréntesis se utilizan para anular este orden. Si la misma operación aparece dos o más veces consecutivas, evalúe de izquierda a derecha. ¿En qué orden se realizan las siguientes expresiones?

1. \(A \cup B^c\cap C\text{.}\)
2. \(A\cap B \cup C\cap B\text{.}\)
3. \(\displaystyle A \cup B \cup C^c\)

Contestar

1. \(\displaystyle A\cup ((B^c)\cap C)\)
2. \(\displaystyle (A\cap B)\cup (C\cap B)\)
3. \(\displaystyle (A\cup B)\cup (C^c)\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Hay varias formas que podemos usar para formatear las pruebas en este capítulo. Uno que le debería ser familiar del Capítulo 3 se ilustra con la siguiente prueba alternativa de la parte (a) en el Teorema 4.1.1:

Cuadro\(\PageIndex{2}\): Un formato alternativo para la prueba del Teorema 4.1.1

(1)	\(x \in A \cap (B \cup C)\)	Premisa
(2)	\((x \in A) \land (x \in B \cup C)\)	(1), definición de intersección
(3)	(\(x \in A) \land ((x \in B) \lor (x \in C))\)	(2), definición de unión
(4)	\((x \in A)\land (x\in B)\lor (x \in A)\land (x\in C)\)	(3), distribuir\(\land\) sobre\(\lor\)
(5)	\((x \in A\cap B) \lor (x \in A \cap C)\)	(4), definición de intersección
(6)	\(x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)\)	(5), definición de unión\(\blacksquare\)

Demostrar la parte (b) del Teorema 4.1.2 y Teorema 4.2.1 utilizando este formato.