11.3: Algunas propiedades generales de los grupos

En esta sección, presentaremos algunos de los teoremas más básicos de la teoría de grupos. Hay que tener en cuenta que cada uno de estos teoremas nos dice algo de cada grupo. Ilustraremos este punto con ejemplos concretos al cierre de la sección.

Primeros teoremas

Teorema\(\PageIndex{1}\): Identities are Unique

La identidad de un grupo es única.

Una dificultad que suelen encontrar los estudiantes es cómo comenzar a probar un teorema como este. La dificultad ciertamente no está en la complejidad del teorema. ¡Es demasiado escueto! Antes de comenzar realmente la prueba, reformulamos el teorema para que quede clara la implicación que afirma.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Identities are Unique - Rephrased

Si\(G= [G; *]\) es un grupo y\(e\) es una identidad de\(G\text{,}\) entonces ningún otro elemento de\(G\) es una identidad de\(G\text{.}\)

Prueba

(Indirecto): Supongamos que\(f\in G\text{,}\)\(f\neq e\text{,}\) y\(f\) es una identidad de\(G\text{.}\) Demostraremos aquello\(f = e\text{,}\) que es una contradicción, completando la prueba.

\ begin {ecuation*}\ begin {split} f &= f * e\ quad\ textrm {Desde} e\ textrm {es una identidad}\\ &= e\ quad\ textrm {Desde} f\ textrm {es una identidad}\ end {split}\ end {ecuación*}

A continuación justificamos la frase “... la inversa de un elemento de un grupo”.

Teorema \(\PageIndex{3}\): Inverses are Unique

La inversa de cualquier elemento de un grupo es única.

Aquí se encuentra el mismo problema que en el teorema anterior. Dejaremos que el lector reformule este teorema. El comprobante también se deja al lector para que escriba a detalle. Aquí hay una pista: Si\(b\) y\(c\) son ambas inversas de\(a\text{,}\) entonces puedes probar que\(b = c\text{.}\) Si tienes dificultad con esta prueba, ten en cuenta que ya la hemos probado en un escenario concreto en el Capítulo 5.

Como se mencionó anteriormente, la significación del Teorema\(\PageIndex{3}\) es que podemos referirnos a la inversa de un elemento sin ambigüedad. La notación para la inversa de\(a\) suele ser\(a^{-1}\) (tenga en cuenta la excepción a continuación).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Some Inverses

1. En cualquier grupo,\(e^{-1}\) es la inversa de la identidad\(e\text{,}\) que siempre es\(e\text{.}\)
2. \(\left(a^{-1}\right)^{-1}\)es la inversa de\(a^{-1}\), que siempre es igual a\(a\) (ver Teorema\(\PageIndex{4}\) a continuación).
3. \((x*y*z)^{-1}\)es la inversa de\(x * y * z\text{.}\)
4. En un grupo concreto con una operación que se basa en la suma, la inversa de\(a\) suele escribirse\(-a\text{.}\) Por ejemplo, la inversa de\(k - 3\) en el grupo\([\mathbb{Z}; +]\) se escribe\(-(k- 3)=3-k\text{.}\) En el grupo de\(2 \times 2 \) matrices sobre los números reales bajo suma de matriz, la inversa de \(\left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 1 & -3 \\ \end{array} \right)\)se escribe\(-\left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 1 & -3 \\ \end{array} \right)\text{,}\) lo que es igual\(\left( \begin{array}{cc} -4 & -1 \\ -1 & 3 \\ \end{array} \right)\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{4}\): Inverse of Inverse Theorem

Si a es un elemento de grupo\(G\text{,}\) entonces\(\left(a^{-1}\right)^{-1}=a\text{.}\)

Nuevamente, reformulamos el teorema para dejar claro cómo proceder.

Teorema\(\PageIndex{5}\): Inverse of Inverse Theorem (Rephrased)

Si\(a\) tiene inversa\(b\) y\(b\) tiene inversa\(c\text{,}\) entonces\(a = c\text{.}\)

Prueba

\ begin {ecuation*}\ begin {split} a &=a*e\ quad\ quad e\ textrm {es la identidad de} G\\ &= a * (b * c)\ quad\ textrm {porque} c\ textrm {es la inversa de} b\\ & = (a * b) * c\ quad\ textrm {por qué?} \\ & = e * c\ quad\ textrm {¿por qué?} \\ & = c\ quad\ textrm {por la propiedad de identidad}\\\ end {split}\ end {equation*}

El siguiente teorema nos da una fórmula para la inversa de\(a * b\text{.}\) Esta fórmula debería ser familiar. En el capítulo 5 vimos que si\(A\) y\(B\) son matrices invertibles, entonces\((A B)^{-1}= B^{-1} A^{-1}\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{6}\): Inverse of a Product

Si\(a\) y\(b\) son elementos de grupo\(G\text{,}\) entonces\((a*b)^{-1}= b^{-1}*a^{-1}\text{.}\)

Prueba

Vamos\(x = b^{-1}*a^{-1}\text{.}\) Vamos a demostrar que\(x\) invierte\(a * b\text{.}\) Ya que sabemos que la inversa es única, habremos probado el teorema.

\ begin {ecuación*}\ begin {split} (a * b) * x &= (a * b) *\ izquierda (b^ {-1} *a^ {-1}\ derecha)\\ &= a*\ izquierda (b*\ izquierda (b^ {-1} *a^ {-1}\ derecha)\\ derecha)\\ &= a*\ izquierda (\ izquierda (b*b^ {-1} derecha\) *a^ {-1}\ derecha)\\ &= a *\ izquierda (e * a^ {-1}\ derecha)\\ &= a * a^ {-1}\\ &= e\ end {split}\ end {ecuación*}

Del mismo modo,\(x * (a * b) = e\text{;}\) por consiguiente,\((a*b)^{-1}=x= b^{-1}*a^{-1}\)

Teorema\(\PageIndex{7}\): Cancellation Laws

Si\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\) son elementos de grupo\(G\text{,}\) entonces

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {lc}\ textrm {cancelación izquierda:} & (a * b = a * c)\ Rightarrow b = c\\\ textrm {cancelación derecha:} & (b * a = c * a)\ Rightarrow b = c\\ end {array}\ end {ecuación*}

Prueba

Demostraremos la ley de cancelación izquierda. La ley correcta puede probarse exactamente de la misma manera. Comenzando con\(a * b = a * c\text{,}\) podemos operar en ambos\(a * b\) y\(a * c\) a la izquierda con\(a^{-1}\text{:}\)

\ begin {ecuación*} a^ {-1} * (a * b) = a^ {-1} * (a * c)\ end {ecuación*}

Aplicando la propiedad asociativa a ambos lados obtenemos

\ begin {ecuación*}\ begin {split} (a^ {-1} * a) * b = (a^ {-1} * a) * c &\ Rightarrow e * b = e * c\\ &\ Rightarrow b = c\ end {split}\ end {equation*}

Teorema\(\PageIndex{8}\): Linear Equations in a Group

Si\(G\) es un grupo y\(a, b \in G\text{,}\) la ecuación\(a * x = b\) tiene una solución única,\(x = a^{-1} * b\text{.}\) además, la ecuación\(x * a = b\) tiene una solución única,\(x = b * a^{-1}\text{.}\)

Prueba

Demostramos el teorema sólo para\(a * x = b\text{,}\) ya que el segundo enunciado está probado de manera idéntica.

\ start {ecuación*}\ start {split} a*x = b & =e * b\\ &= (a* a^ {-1}) * b\\ & = a * (a^ {-1} * b)\ end {split}\ end {ecuación*}

Por la ley de cancelación, podemos concluir que\(x = a ^{-1} * b\text{.}\)

Si\(c\) y\(d\) son dos soluciones de la ecuación\(a * x = b\text{,}\) entonces\(a * c = b = a * d\) y, por la ley de cancelación,\(c = d\text{.}\) Esto verifica que\(a ^{-1} * b\) es la única solución de\(a * x = b\text{.}\)

Nota\(\PageIndex{1}\)

Nuestra prueba de teorema\(\PageIndex{8}\) fue análoga a resolver la ecuación concreta\(4x = 9\) de la siguiente manera:

\ begin {ecuación*} 4 x=9=\ izquierda (4\ cdot\ frac {1} {4}\ derecha) 9=4\ izquierda (\ frac {1} {4} 9\ derecha)\ end {ecuación*}

Por lo tanto, al cancelar 4,

\ comenzar {ecuación*} x =\ frac {1} {4}\ cdot 9 =\ frac {9} {4}\ fin {ecuación*}

Exponentes

Si\(a\) es un elemento de un grupo\(G\text{,}\) entonces establecemos la notación que

\ begin {ecuación*} a * a = a^2\ quad\ quad a*a*a=a^3\ quad\ quad\ textrm {etc.} \ end {ecuación*}

Además, permitimos exponente negativo y definimos, por ejemplo,

\ begin {ecuación*} a^ {-2} =\ izquierda (a^2\ derecha) ^ {-1}\ final {ecuación*}

Aunque esto debería quedar claro, probar las propiedades de exponenciación requiere una definición recursiva más precisa.

Definición\(\PageIndex{1}\): Exponentiation in Groups

Para\(n \geq 0\text{,}\) definir\(a^n\) recursivamente por\(a ^0 = e\) y si\(n > 0, a^n= a^{n-1} *a\text{.}\) También, si\(n >1\text{,}\)\(a^{-n}= \left(a^n\right)^{-1}\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Some Concrete Exponentiations

1. En el grupo de números reales positivos con multiplicación,
   \ comienzan {ecuación*} 5^3= 5^2\ cdot 5 =\ izquierda (5^1\ cdot 5\ derecha)\ cdot 5=\ izquierda (\ izquierda (5^0\ cdot 5\ derecha)\ cdot 5\ derecha)\ cdot 5 =( (1\ cdot 5)\ cdot 5)\ cdot 5= 5\ cdot 5\ cdot 5=125\ end {ecuación*}
   y
   \ start { ecuación*} 5^ {-3} = (125) ^ {-1} =\ frac {1} {125}\ final {ecuación*}
2. En un grupo con adición, utilizamos una forma diferente de notación, reflejando el hecho de que además los términos repetidos son múltiplos, no poderes. Por ejemplo, en\([\mathbb{Z}; +]\text{,}\)\(a + a\) se escribe como\(2a\text{,}\)\(a + a + a\) se escribe como\(3a\text{,}\) etc. La inversa de un múltiplo de\(a\) tales como\(- (a + a + a + a + a) = -(5a)\) se escribe como\((-5)a\text{.}\)

Aunque definimos, por ejemplo,\(a^5=a^4* a\text{,}\) necesitamos poder extraer el factor único de la izquierda. El siguiente lema justifica hacer precisamente eso.

Lema\(\PageIndex{1}\)

Seamos\(G\) un grupo. Si\(b\in G\) y\(n\geq 0\text{,}\) entonces\(b^{n+1}=b* b^n\text{,}\) y por lo tanto\(b* b^n= b^n*b\text{.}\)

Prueba

(Por inducción): Si\(n=0\text{,}\)

\ begin {ecuation*}\ begin {split} b^1 &= b^0*b\ textrm {por la definición de exponenciación}\\ & =e*b\ textrm {por la base para la exponenciación}\\ &= b * e\ textrm {por la propiedad de identidad}\\ &= b * b^0\ textrm {por la base para la exponenciación}\ end {split}\ end {ecuación*}

Ahora supongamos que la fórmula del lema es cierta para algunos\(n\geq 0\text{.}\)

\ begin {ecuation*}\ begin {split} b^ {(n+1) +1} &= b^ {(n+1)} * b\ textrm {por la definición de exponenciación}\\ &=\ left (b*b^n\ right) *b\ textrm {por la hipótesis de inducción}\\ & = b*\ izquierda (b^n*b\ derecha)\ textrm {asociatividad}\\ & = b*\ izquierda (b^ {n+1}\ derecha)\ textrm {definición de exponenciación}\\\ end {split} \ end {ecuación*}

Con base en las definiciones de exponenciación anteriores, existen varias propiedades que se pueden probar. Todos ellos son idénticos a las propiedades de exponenciación del álgebra elemental.

Teorema \(\PageIndex{9}\): Properties of Exponentiation

Si a es un elemento de un grupo\(G\text{,}\)\(m\) y y\(n\) son enteros,

1. \(a^{-n}= \left(a^{-1}\right)^n\)y por lo tanto\(\left(a^n\right)^{-1}= \left(a^{-1}\right)^n\)
2. \(\displaystyle a^{n+m}= a^n*a^m\)
3. \(\displaystyle \left(a^n\right)^m= a^{n m}\)

Prueba

Dejaremos al lector las pruebas de estas propiedades. Las tres partes se pueden hacer por inducción. Por ejemplo la prueba de la segunda parte comenzaría definiendo la proposición\(p(m)\),\(m\geq 0\text{,}\) ser\(a^{n+m}=a^n*a^m \textrm{ for all } n\text{.}\) La base es\(p(0): a^{n+0}=a^n*a^0\text{.}\)

Nuestro teorema final es el único que contiene una hipótesis sobre el grupo en cuestión. El teorema sólo se aplica a grupos finitos.

Teorema \(\PageIndex{10}\)

Si\(G\) es un grupo finito,\(\left| G\right| = n\text{,}\) y\(a\) es un elemento de\(G\text{,}\) entonces existe un entero positivo\(m\) tal que\(a^m= e\) y\(m\leq n\text{.}\)

Prueba

Considera la lista\(a, a^2,\ldots , a^{n+1}\). Ya que hay\(n + 1\) elementos de\(G\) en esta lista, debe haber alguna duplicación. Supongamos que\(a^p=a^q\text{,}\) con\(p < q\text{.}\) Let\(m = q - p\text{.}\) Then

\ begin {ecuación*}\ begin {split} a^m & =a^ {q-p}\\ &= a^q*a^ {-p}\\ &= a^q*\ izquierda (a^p\ derecha) ^ {-1}\\ &= a^q *\ izquierda (a^q\ derecha) ^ {-1}\\ &= e\\\ end {split}\ end\\ end ecuación*}

Además, desde\(1\leq p < q \leq n+1\text{,}\)\(m= q-p\leq n\text{.}\)

Considerar el grupo concreto\([\mathbb{Z}; +]\text{.}\) Todos los teoremas que hemos expuesto en esta sección excepto el último dicen algo al respecto\(\mathbb{Z}\text{.}\) Entre los hechos que concluimos de los teoremas sobre\(\mathbb{Z}\) son:

• Dado que la inversa de 5 es\(-5\text{,}\) la inversa de\(-5\) es 5.
• La inversa de\(-6 + 71\) es\(-(71) + -(-6) = -71 + 6\text{.}\)
• La solución de\(12 + x = 22\) es\(x = -12 + 22\text{.}\)
• \(-4(6) + 2(6) = (-4 + 2)(6) = -2(6) = -(2)(6)\text{.}\)
• \(7(4(3)) = (7\cdot 4)(3) = 28(3)\)(veintiocho 3s).

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\([G; * ]\) ser un grupo y\(a\) ser un elemento de\(G\text{.}\) Definir\(f:G \to G\) por\(f(x) = a * x\text{.}\)

1. Demostrar que\(f\) es una biyección.
2. A partir de la parte a, describir un conjunto de bijecciones sobre el conjunto de enteros.

Contestar

1. \(f\) is injective:
   \ begin {equation*}\ begin {split} f (x) = f (y) &\ Derecha a la derecha a * x = a * y\\ &\ Rightarrow x = y\ textrm {por cancelación izquierda}\\ end {split}\ text {.} \ end {equation*}
   \(f\) es suryectiva: Para todos\(b \in G\text{,}\)\(f(x) = b\) tiene la solución\(a^{-1}*b\text{.}\)
2. Funciones de la forma\(f(x) = a + x\text{,}\) donde\(a\) es cualquier entero, son bijecciones

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Reformular el teorema\(\PageIndex{3}\) y escribir una prueba clara.

Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

Demostrar por inducción sobre\(n\) que si\(a_1\text{,}\)\(a_2,\ldots , a_n\) son elementos de un grupo\(G\text{,}\)\(n\geq 2\text{,}\) entonces\(\left(a_1*a_2*\cdots *a_n\right)^{-1}= a_n^{-1}*\cdots *a_2^{-1}*a_1^{-1}\text{.}\) Interpreta este resultado en términos de\([\mathbb{Z}; +]\) y\([\mathbb{R}^*;\cdot]\text{.}\)

Contestar

Bases: (\(n = 2\))\(\left(a_1*a_2\right)^{-1}= a_2^{-1}*a_1^{-1}\) por Teorema\(\PageIndex{6}\).

Inducción: Supongamos que para algunos\(n \geq 2\text{,}\)

\ begin {ecuación*}\ izquierda (a_1*a_2*\ cdots *a_n\ derecha) ^ {-1} =a_n^ {-1} *\ cdots * a_2^ {-1} *a_1^ {-1}\ end {ecuación*}

Debemos demostrar que

\ start {ecuación*}\ izquierda (a_1*a_2*\ cdots *a_n*a_ {n+1}\ derecha) ^ {-1} =a_ {n+1} ^ {-1} *a_n^ {-1} *\ cdots * a_2^ {-1} *a_1^ {-1}\ end {ecuación*}

Esto se puede lograr de la siguiente manera:

\ begin {ecuation*}\ begin {split}\ left (a_1*a_2*\ cdots *a_n*a_ {n+1}\ right) ^ {-1} &=\ left (\ left (a_1*a_2*\ cdots *a_n\ right) *a_ {n+1}\ right) ^ {-1}\ textrm {por la ley asociativa}\\ &=_ {n+1} ^ {-1} *\ izquierda (a_1*a_2*\ cdots *a_n\ derecha) ^ {-1}\ textrm {por la base}\\ &=a_ {n+1} ^ {-1} *\ izquierda (a_n^ {-1} *\ cdots * a_2^ {-1} *a_1^ {-1}\ derecha)\ textrm {por la hipótesis de inducción}\\ &= a_ {n+1} ^ {-1} *a_n^ {-1} *\ cdots * a_2^ {-1} *a_1^ {-1}\ textrm {por la ley asociativa}\\\ end {split}\ end {equation*}

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

¿Verdadero o falso? Si\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\) son elementos de un grupo\(G\text{,}\) y\(a * b = c * a\text{,}\) luego\(b = c\text{.}\) Explica tu respuesta.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar teorema\(\PageIndex{9}\).

Contestar

En esta respuesta, nos referiremos a Lemma\(\PageIndex{1}\) simplemente como “el lema”.

 

1. Let\(p(n)\) be\(a^{-n}= \left(a^{-1}\right)^n\text{,}\) where\(a\) is any element of group\([G; *]\text{.}\) First we will prove that\(p(n)\) is true for all\(n \geq 0\text{.}\)
   Base: Si\(n = 0\text{,}\) Usar la definición del exponente cero,\(\left(a^0\right)^{-1} = e^{-1} = e\text{,}\) mientras que\(\left(a^{-1}\right)^0= e\text{.}\) Por lo tanto,\(p(0)\) es cierto.
   Inducción: Supongamos que para algunos\(n \geq 0\text{,}\)\(p(n\)) es cierto.
   \ begin {equation*}\ begin {split}\ left (a^ {n+1}\ right) ^ {-1} &=\ left (a^n*a\ right) ^ {-1}\ textrm {por la definición de exponenciación}\\ & =a^ {-1} *\ left (a^n\ right) ^ {-1}\ textrm {por el lema}\ & = a^ {-1} *\ left (a^ {-1}\ right) ^n\ textrm {por la hipótesis de inducción}\\ & =\ left (a^ { -1}\ derecha) ^ {n+1}\ textrm {por el lema}\ end {split}\ end {ecuación*}
   Si\(n\) es negativo, entonces\(-n\) es positivo y
   \ begin {equation*}\ begin {split} a^ {-n} & =\ left (\ left (\ left (a^ {-1}\ right) ^ {-1}\ right) ^ {-n}\ right)\ & =\ izquierda (a^ {-1}\ derecha) ^ {- (-n)}\ textrm {ya que la propiedad es verdadera para los números positivos}\\ & =\ left (a^ {-1}\ right) ^n\ end {split}\ end {equation*}
2. Para\(m > 1\text{,}\) dejar\(p(m)\) ser\(a^{n+m}=a^n*a^m\) para todos\(n\geq 1\text{.}\) La base de esta prueba se desprende directamente de la base para la definición de exponenciación.
   Inducción: Supongamos que para algunos\(m > 1\text{,}\)\(p(m)\) es cierto. Entonces
   \ begin {equation*}\ begin {split} a^ {n+ (m+1)} &= a^ {(n+m) +1}\ textrm {por la asociatividad de la suma entera}\\ &=a^ {n+m} *a^1\ textrm {por la definición de exponenciación}\\ &=\ izquierda (a^n*a^m\ derecha) *a^1\ textrm {por la hipótesis de inducción}\\ &= a^n*\ izquierda (a^m*a^1\ derecha)\ textrm {por asociatividad}\\ &= a^n*a^ {m+1}\ textrm {por la definición de exponenciación}\ end {split}\ end {equation*}
   Para completar la prueba, es necesario considerar los casos donde\(m\) y/o\(n\) son negativos.
3. \(p(m)\)Sea\(\left(a^n\right)^m= a^{n m}\) para todos los enteros\(n\text{.}\)
   Base:\(\left(a^m\right)^0= e\) y\(a^{m\cdot 0}=a^0= e\) por lo tanto,\(p(0)\) es cierto.
   Inducción; Supongamos que eso\(p(m)\) es cierto para algunos\(m >\) 0,
   \ begin {equation*}\ begin {split}\ left (a^n\ right) ^ {m+1} &=\ left (a^n\ right) ^m*a^n\ textrm {por la definición de exponenciación}\\ &=a^ {n m} *a^n\ textrm {por la hipótesis de inducción}\ & = a^ {n m + n}\ textrm {por parte (b) de esta prueba}\\ & =a^ {n (m+1)}\ end {split}\ end {equation*}
   Finalmente, si\(m\) es negativo, podemos verificar eso\(\left(a^n\right)^m= a^{n m}\) usando muchos de los mismos pasos que el caso positivo.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Cada uno de los siguientes hechos se puede derivar identificando un determinado grupo y luego aplicándole uno de los teoremas de esta sección. Para cada hecho, enumere el grupo y el teorema que se utilizan.

1. \(\left(\frac{1}{3}\right)5\)es la única solución de\(3x = 5\text{.}\)
2. \(-(-(-18)) = -18\text{.}\)
3. Si\(A, B, C\) son\(3\times 3\) matrices sobre los números reales, con\(A + B = A + C\text{,}\) entonces\(B = C\text{.}\)
4. Solo hay un subconjunto de los números naturales para los cuales\(K \oplus A = A\) para cada\(A \subseteq N\text{.}\)