16.3: Anillos polinomiales

En las secciones anteriores examinamos las soluciones de algunas ecuaciones sobre diferentes anillos y campos. Resolver la ecuación\(x^2- 2 = 0\) sobre el campo de los números reales significa encontrar todas las soluciones de esta ecuación que se encuentran en este campo en particular\(\mathbb{R}\text{.}\) Esta declaración se puede sustituir de la siguiente manera: Determinar todas\(a \in \mathbb{R}\) tales que el polinomio\(f(x) = x^2 - 2\) sea igual a cero cuando se evalúa en\(x=a\text{.}\) En esta sección, nos concentraremos en la teoría de los polinomios. Desarrollaremos conceptos utilizando la configuración general de polinomios sobre anillos ya que los resultados probados sobre anillos son ciertos para campos (y dominios integrales). El lector debe tener en cuenta que en la mayoría de los casos solo estamos formalizando conceptos que aprendió en álgebra de secundaria sobre el campo de los reales.

Definición \(\PageIndex{1}\): Polynomial over a Ring

\([R; +, \cdot ]\)Déjese ser un anillo. Un polinomio,\(f(x)\text{,}\) sobre\(R\) es una expresión de la forma

\ begin {ecuación*} f (x) =\ suma _ {i=0} ^n a_i x^i=a_0 + a_1 x+a_2 x^2+\ cdots +a_n x^n\ end {ecuación*}

donde\(n\geq 0\text{,}\) y\(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \in R\text{.}\) Si\(a_n \neq 0\text{,}\) entonces el grado de\(f(x)\) es\(n\text{.}\) Si\(f(x) = 0\text{,}\) entonces el grado de\(f(x)\) es indefinido, pero por conveniencia decimos que\(\deg 0 = -\infty\text{.}\) Si el grado de\(f(x)\) es\(n\text{,}\) escribimos\(\deg f(x) = n\text{.}\) El conjunto de todos los polinomios en el indeterminado \(x\)con coeficientes en\(R\) se denota por\(R[x]\text{.}\)

Nota\(\PageIndex{1}\)

• El símbolo\(x\) es un objeto llamado indeterminado, que no es un elemento del anillo\(R\text{.}\)
• Tenga en cuenta que\(R\subseteq R[x]\text{.}\) Los elementos de se\(R\) denominan polinomios constantes, con los elementos distintos de cero de\(R\) ser los polinomios de grado 0.
• \(R\)se llama el suelo, o base, anillo para\(R[x]\text{.}\)
• En la definición anterior, hemos escrito los términos en grado creciente comenzando por la constante. El orden de los términos se puede revertir sin cambiar el polinomio. Por ejemplo,\(1 + 2 x -3x^4\) y\(-3x^4+2 x+1\) son el mismo polinomio.
• Un término de la forma\(x^k\) en un polinomio se entiende como\(1 x^k\text{.}\)
• Se entiende que si\(\deg f(x) = n\text{,}\) entonces coeficientes de potencias\(x\) superiores a\(n\) son iguales al cero del anillo base.

Definición\(\PageIndex{2}\): Polynomial Addition

Dejar\(f(x) =a_0 + a_1 x+a_2 x^2+ \cdots +a_m x^m\) y\(g(x) =b_0 + b_1 x+b_2 x^2+ \cdots +b_n x^n\) ser elementos en\(R[x]\) así que\(a_i \in R\) y\(b_i\in R\) para todos i. dejar\(k\) ser el máximo de\(m\) y\(n\text{.}\) Entonces\(f(x) + g(x) =c_0 + c_1 x+c_2 x^2+ \cdots +c_k x^k\text{,}\) donde\(c_i=a_i+b_i\) para\(i = 0, 1, 2, \ldots , k\text{.}\)

Definición\(\PageIndex{3}\): Polynomial Multiplication

Let\(f(x) =a_0 + a_1 x+a_2 x^2+ \cdots +a_m x^m\) y\(g(x) =b_0 + b_1 x+b_2 x^2+ \cdots +b_n x^n\text{.}\) Entonces

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c} f (x)\ cdot g (x) = d_0 + d_1 x+d_2 x^2+\ cdots +d_p x^p\ quad\ textrm {donde} p=m+n\ textrm {y}\\ d_s=\ sum_ {i=0} ^s a_i b_ {s-i} =a_0 b_s+a_1 b_ {s-1} +a_2 b_ {s-2} +\ cdots +a_ {s-1} b_1+a_s b_0\\\ textrm {para} 0\ leq s\ leq p\\\ final {array}\ final {ecuación*}

El hecho importante a tener en cuenta es que la suma y la multiplicación en\(R[x]\) depende de la suma y la multiplicación en\(R\text{.}\) Los poderes de\(x\) meramente sirven al propósito de “colocadores”. Todos los cálculos que involucran coeficientes se realizan sobre el anillo dado. Los poderes de los indeterminados se computan aplicando formalmente la regla de sumar exponentes al multiplicar poderes.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(f(x) = 3\text{,}\)\(g(x) = 2 - 4x +7x^2\), y todos\(h(x) = 2 + x^4\) son polinomios en\(\mathbb{Z}[x]\text{.}\) Sus grados son 0, 2 y 4, respectivamente.

La suma y multiplicación de polinomios se realizan como en álgebra de secundaria. Sin embargo, debemos hacer nuestros cálculos en el anillo de tierra de los polinomios.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

En\(\mathbb{Z}_3[x]\text{,}\) si\(f(x) = 1+x\) y\(g(x) = 2+x\text{,}\) entonces

\ begin {ecuation*}\ begin {split} f (x) + g (x) &= (1+x) + (2+x)\\ & =\ left (1 +_3 2\ right) +\ left (1 +_3 1\ right) x\\ & = 0 + 2x\\ & = 2x\ end {split}\ end {equation*}

y

\ begin {ecuation*}\ begin {split} f (x) g (x) &= (1+x)\ cdot (2 +x)\\ &= 1\ times_3 2+ (1\ times_3 1 +_3 1\ times_3 2) x + (1\ times_3 2) x^2\\ & =2 + 0 x + x^2\ & =2 + x^^2\\\ final {dividir}\ final {ecuación*}

Sin embargo, para los mismos polinomios que arriba,\(f(x)\) y\(g(x)\) en el entorno más familiar de\(\mathbb{Z}[x]\text{,}\) tenemos

\ begin {ecuación*} f (x) + g (x) = (1+x) + (2+x) = (1 +2) + (1 +1) x = 3 + 2x\ end {ecuación*}

y

\ begin {ecuación*}\ begin {split} f (x) g (x) = (1+x)\ cdot (2 +x)\\ & = 1\ cdot 2+ (1\ cdot 1 + 1\ cdot 2) x + (1\ cdot 1) x^2\\ & = 2 +3x + x^2\\ end {split}\ end {ecuación*}

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Let\(f(x) = 2 + x^2\) y\(g(x) = -1 + 4x + 3x^2\text{.}\) Vamos a computar\(f(x) \cdot g(x)\) en Por\(\mathbb{Z}[x]\text{.}\) supuesto este producto se puede obtener por los métodos habituales de álgebra de secundaria. Nosotros, con fines ilustrativos, utilizaremos la definición anterior. Utilizando la notación de la definición anterior,\(a_0=2\text{,}\)\(a_1=0\text{,}\)\(a_2=1\text{,}\)\(b_0=-1\text{,}\)\(b_1= 4\text{,}\) y\(b_2 = 3\text{.}\) queremos calcular los coeficientes\(d_0\text{,}\)\(d_1\text{,}\)\(d_2\text{,}\)\(d_3\text{,}\) y\(d_4\). Calcularemos\(d_3\), el coeficiente del\(x^3\) término del producto, y dejaremos el resto al lector (ver Ejercicio\(\PageIndex{2}\) de esta sección). Dado que los grados de ambos factores es 2,\(a_i= b_i= 0\) para\(i\geq 3\text{.}\) El coeficiente de\(x^3\) es

\ begin {ecuación*} d_3=a_0 b_3+a_1 b_2+a_2 b_1+a_3b_0 =2\ cdot 0+0\ cdot 3+1\ cdot 4+0\ cdot (-1) =4\ final {ecuación*}

Las pruebas del siguiente teorema no son difíciles sino más bien largas, por lo que las omitimos.

Teorema \(\PageIndex{1}\): Properties of Polynomial Rings

\([R; +, \cdot]\)Déjese ser un anillo. Entonces:

1. \(R[x]\)es un anillo bajo las operaciones de adición polinómica y multiplicación.
2. Si\(R\) es un anillo conmutativo, entonces\(R[x]\) es un anillo conmutativo.
3. Si\(R\) es un anillo con unidad,\(\text{ 1}\text{,}\) entonces\(R[x]\) es un anillo con unidad (la unidad en\(R[x]\) es\(1 + 0x + 0 x^2 + \cdots\)).
4. Si\(R\) es un dominio integral, entonces\(R[x]\) es un dominio integral.
5. Si\(F\) es un campo, entonces no\(F[x]\) es un campo. Sin embargo,\(F[x]\) es un dominio integral.

A continuación pasamos a la división de polinomios, que no es una operación ya que el resultado es un par de polinomios, ni uno solo. De álgebra de secundaria todos aprendimos el procedimiento estándar para dividir un polinomio\(f(x)\) por un segundo polinomio\(g(x)\text{.}\) Este proceso de polinomio división larga se conoce como la propiedad de división para polinomios. Bajo este esquema seguimos dividiendo hasta que el resultado sea un cociente\(q(x)\) y un resto\(r(x)\) cuyo grado sea estrictamente menor que el del divisor\(g(x)\text{.}\) Esta propiedad es válida sobre cualquier campo. Antes de dar una descripción formal, consideramos algunos ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Polynomial Division

Seamos\(f(x) = 1 + x + x^3\) y\(g(x) = 1 + x\) seamos dos polinomios en\(\mathbb{Z}_2[x]\text{.}\) Dividamos\(f(x)\) por\(g(x)\text{.}\) Ten en cuenta que estamos en\(\mathbb{Z}_2[x]\) y que, en particular,\(-1=1\) en\(\mathbb{Z}_2\). Este es un caso donde se prefiere reordenar los términos en grado decreciente.

Figura\(\PageIndex{1}\)

Por lo tanto,

\ begin {ecuación*}\ frac {x^3 + x + 1} {x+ 1} = x^2+ x +\ frac {1} {x + 1}\ fin {ecuación*}

o equivalentemente,

\ begin {ecuación*} x^3 + x + 2=\ izquierda (x^2+ x\ derecha)\ cdot (x+1) + 1\ end {ecuación*}

Es decir,\(f(x) = g(x)\cdot q(x) + r(x)\) dónde\(q(x) = x^2+x\) y\(r(x) = 1\text{.}\) Observe\(\deg (r(x)) = 0\text{,}\) lo que es estrictamente menor que\(\deg (g(x)) = 1\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Seamos\(f(x) = 1 +x^4\) polinomios en\(\mathbb{Z}_2[x]\text{.}\) Dividamos\(f(x)\) por\(g(x) = 1 + x\)\(g(x)\text{:}\)

Figura\(\PageIndex{2}\)

Así\(x^4+ 1 = \left(x^3+x^2+ x + 1\right)(x+1) \text{.}\) ya que tenemos 0 como resto,\(x + 1\) debe ser un factor de\(x^4+ 1\text{.}\) También, ya que\(x + 1\) es un factor de\(x^4 + 1\text{,}\) 1 es un cero (o raíz) por\(x^4 + 1\text{.}\) supuesto que podríamos haber determinado que 1 es una raíz de\(f(x)\) simplemente computando\(f(1) =1^4 +_2 1 = 1 +_2 1 = 0\text{.}\)

Antes de resumir los principales resultados sugeridos por los ejemplos anteriores, probablemente deberíamos considerar lo que podría haber sucedido si hubiéramos intentado realizar divisiones de polinomios en el anillo en\(\mathbb{Z}[x]\) lugar de en los polinomios sobre el campo\(\mathbb{Z}_2\text{.}\) Por ejemplo,\(f(x) = x^2 - 1\) y\(g(x) = 2x - 1\) son ambos elementos del anillo\(\mathbb{Z}[x]\text{,}\) todavía\(x^2-1=(\frac{1}{2} x+\frac{1}{2})(2x-1)-\frac{3}{4}\) El cociente y el resto no son polinomios sobre\(\mathbb{Z}\) sino polinomios sobre el campo de los números racionales. Por esta razón sería prudente describir todos los resultados sobre un campo\(F\) en lugar de sobre un anillo arbitrario para\(R\) que no tengamos que expandir nuestro posible conjunto de coeficientes.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Division Property for Polynomials

Dejar\([F; +, \cdot ]\) ser un campo y dejar\(f(x)\) y\(g(x)\) ser dos elementos de\(F[x]\) con\(g(x) \neq 0\text{.}\) Entonces existen polinomios únicos\(q(x)\) y\(r(x)\) en\(F[x]\) tal que\(f(x) = g(x) q(x) + r(x)\text{,}\) donde\(\deg r(x) < \deg g(x)\text{.}\)

Prueba

Este teorema puede ser probado por inducción en\(\deg f(x)\text{.}\)

Teorema \(\PageIndex{3}\): The Factor Theorem

\([F; +, \cdot ]\)Déjese ser un campo. Un elemento\(a \in F\) es un cero de\(f(x) \in F[x]\) si y solo si\(x - a\) es un factor de\(f(x)\) in\(F[x]\text{.}\)

Prueba

(⇒) Supongamos que\(a \in F\) es un cero de\(f(x) \in F[x]\text{.}\) Deseamos demostrar que\(x - a\) es un factor de\(f(x)\text{.}\) Para ello, aplicar la propiedad de división a\(f(x)\) y\(g(x) = x - a\text{.}\) Por lo tanto, existen polinomios únicos\(q(x)\) y\(r(x)\) de\(F[x]\) tal que\(f(x) = (x - a)\cdot q(x) + r(x)\) y el\(\deg r(x) < \deg(x - a) = 1\text{,}\) así \(r (x) = c \in F\text{,}\)es decir,\(r(x)\) es una constante. También, el hecho de que\(a\) sea un cero de\(f(x)\) significa que\(f(a) = 0\text{.}\) Así\(f(x) = (x - a)\cdot q(x) + c\) se vuelve\(0 = f(a) = (a - a) q(a) + c\text{.}\) De ahí\(c = 0\text{,}\) así\(f(x) = (x - a) \cdot q(x)\text{,}\) y\(x - a\) es un factor de\(f(x)\text{.}\) El lector debe señalar que un punto crítico de la prueba de esta mitad del teorema fue la parte de la división propiedad que declaró que\(\deg r(x) < \deg g(x)\text{.}\)

(＊) Dejamos esta mitad al lector como ejercicio.

Teorema \(\PageIndex{4}\)

Un polinomio\(f(x) \in F[x]\) de grado distinto de cero\(n\) puede tener como máximo\(n\) ceros.

Prueba

\(a \in F\)Sea un cero de\(f(x)\text{.}\) Entonces\(f(x) = (x - a) \cdot q_1(x)\text{,}\)\(q_1(x)\in F[x]\text{,}\) por el Teorema del Factor. Si\(b \in F\) es un cero de\(q_1(x)\text{,}\) entonces otra vez por Teorema de Factor,\(f(x) = (x -a)(x - b)q_2(x)\text{,}\)\(q_2(x)\in F[x]\text{.}\) Continuar este proceso, el cual debe terminar en la mayoría de\(n\) pasos ya que el grado de\(q_k(x)\) sería\(n-k\text{.}\)

A partir de El teorema del factor\(\PageIndex{3}\), podemos obtener otra visión más de los problemas asociados con la resolución de ecuaciones polinómicas; es decir, encontrar los ceros de un polinomio. La idea inicial importante aquí es que el cero\(a\) es del campo terrestre\(F\text{.}\) Segundo,\(a\) es un cero solo si\((x - a)\) es un factor de\(f(x)\) en\(F[x]\text{;}\) eso es, sólo cuando se\(f(x)\) puede factorizar (o reducir) al producto de\((x - a)\) veces algún otro polinomio en \(F[x]\text{.}\)

Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

Considera el polinomio\(f(x) = x^2-2\) tomado como en\(\mathbb{Q}\) [x]. Desde álgebra de secundaria sabemos que\(f(x)\) tiene dos ceros (o raíces), es decir\(\pm \sqrt{2}\text{,}\) y se\(x^2 - 2\) puede factorizar como\(\left(x - \sqrt{2}\right) \left(x + \sqrt{2}\right)\text{.}\) Sin embargo, estamos trabajando en\(\mathbb{Q}[x]\text{,}\) estos dos factores no están en el conjunto de polinomios sobre los números racionales,\(\mathbb{Q}\) ya que\(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\). Por lo tanto,\(x^2 - 2\) no tiene un cero en\(\mathbb{Q}\) ya que no se puede\(\mathbb{Q}\text{.}\) factorizar sobre Cuando esto sucede, decimos que el polinomio es irreducible sobre\(\mathbb{Q}\text{.}\)

El problema de factorizar polinomios está ligado de la mano con el de la reducibilidad de los polinomios. Damos una definición precisa de este concepto.

Definición\(\PageIndex{4}\): Reducibility over a Field

Dejar\([F; +, \cdot]\) ser un campo y dejar\(f(x) \in F[x]\) ser un polinomio no constante. \(f(x)\)es reducible sobre\(F\) si y solo si no se puede factorizar como un producto de dos polinomios no constantes en\(F[x]\text{.}\) Un polinomio es irreducible sobre\(F\) si no es reducible sobre\(F\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

El polinomio\(f(x) = x^4 + 1\) es reducible\(\mathbb{Z}_2\) desde\(x^4 + 1 = (x + 1)\left(x^3 + x^2 + x - 1\right).\)

Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

Es el polinomio\(f(x) = x^3 + x + 1\) reducible sobre\(\mathbb{Z}_2\text{?}\) Dado que una factorización de un polinomio cúbico solo puede ser como producto de factores lineales y cuadráticos, o como producto de tres factores lineales,\(f(x)\) es reducible si y solo si tiene al menos un factor lineal. Del Teorema del Factor,\(x - a\) es un factor de\(x^3 + x + 1\) más\(\mathbb{Z}_2\) si y sólo si\(a \in \mathbb{Z}_2\) es un cero de\(x^3 + x + 1\text{.}\) So\(x^3 + x + 1\) es reducible sobre\(\mathbb{Z}_2\) si y sólo si tiene un cero en\(\mathbb{Z}_2\). Ya que\(\mathbb{Z}_2\) tiene solo dos elementos, 0 y 1, esto es bastante fácil de verificar. \(f(0) = 0^3 +_2 0+_2 1= 1\)y\(f(1) =1^3 +_2 1 +_2 1 = 1\text{,}\) así ni 0 ni 1 es un cero de\(f(x)\) más\(\mathbb{Z}_2\text{.}\) Por lo tanto,\(x^3 + x + 1\) es irreducible sobre\(\mathbb{Z}_2\text{.}\)

Desde álgebra de secundaria sabemos que\(x^3 + x + 1\) tiene tres ceros de algún campo. ¿Podemos encontrar este campo? Para ser más precisos, podemos construir el campo que contiene\(\mathbb{Z}_2\) y todos los ceros de\(x^3 + x + 1\text{?}\) Consideraremos esta tarea en la siguiente sección.

Cerramos esta sección con una analogía final. Los números primos juegan un papel importante en las matemáticas. El concepto de polinomios irreducibles (sobre un campo) es análogo al de un número primo. Basta pensar en la definición de un número primo. Un dato útil respecto a los primos\(p\) es: Si es un primo y si\(p \mid a b\text{,}\) entonces\(p \mid a\) o\(p \mid b\text{.}\) Dejamos al lector pensar en la veracidad de lo siguiente: Si\(p(x)\) es un polinomio irreducible sobre\(F\text{,}\)\(a(x), b(x) \in F[x]\) y\(p(x) \mid a(x) b(x)\text{,}\) entonces\(p(x) \mid a(x)\) o\(p(x) \mid b(x)\text{.}\)

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(f(x) = 1 + x\) y\(g(x) = 1 + x + x^2\text{.}\) Calcular las siguientes sumas y productos en los anillos indicados.

1. \(f(x) + g(x)\)y\(f(x) \cdot g(x)\) en\(\mathbb{Z}[x]\)
2. \(f(x) + g(x)\)y\(f(x) \cdot g(x)\) en\(\mathbb{Z}_2[x]\)
3. \((f(x)\cdot g(x))\cdot f(x)\)en\(\mathbb{Q}[x]\)
4. \((f(x) \cdot g(x)) \cdot f(x)\)en\(\mathbb{Z}_2[x]\)
5. \(f(x) \cdot f(x) + f(x)\cdot g(x)\)en\(\mathbb{Z}_2[x]\)

Contestar

1. \(f(x) + g(x) = 2 + 2x + x^2\),\(f(x)\cdot g(x) =1 +2x +2x^2+x^3\)
2. \(f(x)+g(x)=x^2\text{,}\)\(f(x)\cdot g(x) =1+x^3\)
3. \(\displaystyle 1 + 3x + 4x ^2 + 3x^3 + x^4\)
4. \(\displaystyle 1 + x + x^3 + x^4\)
5. \(\displaystyle x^2+ x^3\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Completar los cálculos iniciados en Ejemplo\(\PageIndex{3}\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que:

1. El anillo\(\mathbb{R}\) es un subring del anillo\(\mathbb{R}[x]\text{.}\)
2. El anillo\(\mathbb{Z}[x]\) es un subring del\(\mathbb{Q}[x]\text{.}\)
3. El anillo\(\mathbb{Q}[x]\) es un subring del anillo\(\mathbb{R}[x]\text{.}\)

Contestar

1. Si\(a, b \in \mathbb{R}\text{,}\)\(a - b\) y\(a b\) están en\(\mathbb{R}\) ya que\(\mathbb{R}\) es un anillo por derecho propio. Por lo tanto,\(\mathbb{R}\) es un subring de\(\mathbb{R}[x]\text{.}\) Las pruebas de las partes b y c son similares.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. Encuentra todos los ceros de\(x^4+ 1\) en\(\mathbb{Z}_3\text{.}\)
2. Encuentra todos los ceros de\(x^5 + 1\) en\(\mathbb{Z}_5\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Determinar cuáles de los siguientes son reducibles sobre\(\mathbb{Z}_2\text{.}\) Explique.

1. \(\displaystyle f(x) = x^3 + 1\)
2. \(g(x) = x^3 + x^2 + x\text{.}\)
3. \(h(x) = x^3+ x^2 + 1\text{.}\)
4. \(k(x) = x^4 +x^2+ 1\text{.}\)(Tenga cuidado.)

Contestar

1. Rereducible,\((x+1)\left(x^2+ x+1\right)\)
2. Rereducible,\(x\left(x^2+x+1\right)\)
3. Irreducible. Si pudieras factorizar este polinomio, un factor sería cualquiera\(x\) o\(x + 1\text{,}\) que te daría una raíz de 0 o 1, respectivamente. Por sustitución de 0 y 1 en este polinomio, claramente no tiene raíces.
4. Rereducible,\((x+1)^{4 }\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar la segunda mitad del Teorema del Factor, Teorema\(\PageIndex{3}\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dé un ejemplo de la contención hecha en el último párrafo de esta sección.

Contestar

Ilustramos esta propiedad de polinomios mostrando que no es cierto para un polinomio no primo en\(\mathbb{Z}_2[x]\text{.}\) Supongamos que\(p(x) = x^2+ 1\text{,}\) lo que se puede reducir a\((x+1)^2\),\(a(x) = x^2 + x\text{,}\) y\(b(x) = x^3 + x^2\text{.}\) Desde\(a(x)b(x) =x^5+x^3= x^3\left(x^2+1\right)\text{,}\)\(p(x)|a(x)b(x)\text{.}\) Sin embargo, no\(p(x)\) es un factor de ninguno\(a(x)\) o\(b(x)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Determinar todos los ceros de\(x^4+ 3x^3 + 2x + 4\) in\(\mathbb{Z}_5[x]\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Demostrar que\(x^2 - 3\) es irreducible\(\mathbb{Q}\) pero reducible sobre el campo de los números reales.

Contestar

Los únicos factores propios posibles de\(x^2- 3\) son\(\left(x - \sqrt{3}\right)\) y\(\left(x+\sqrt{3}\right)\text{,}\) que no están en\(\mathbb{Q}[x]\) sino que están en\(\mathbb{R}\) [x].

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

La definición de un espacio vectorial dada en el Capítulo 13 se mantiene sobre cualquier campo,\(F\text{,}\) no solo sobre el campo de números reales, donde los elementos de\(F\) se denominan escalares.

1. Mostrar que\(F[x]\) es un espacio vectorial sobre\(F\text{.}\)
2. Encuentre una base para\(F[x]\) más\(F\text{.}\)
3. ¿Cuál es la dimensión de\(F[x]\) más\(F\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Demostrar teorema\(\PageIndex{2}\), la propiedad de división para polinomios

Contestar

Para\(n \geq 0\text{,}\) que\(S(n)\) sea la proposición: Para todos\(g(x)\neq 0\) y\(f(x)\) con\(\deg f(x) = n\text{,}\) existen polinomios únicos\(q(x)\) y\(r(x)\) tal que\(f(x)=g(x)q(x)+r(x)\text{,}\) y\(r(x)=0\) o\(\deg r(x) < \deg g(x)\text{.}\)

Base:\(S(0)\) es verdadera, porque si\(f(x)\) tiene grado 0, es una constante distinta de cero,\(f(x)=c\neq 0,\) y así o bien\(f(x) =g(x)\cdot 0 + c\) si no\(g(x)\) es una constante, o\(f(x) = g(x)g(x)^{-1}+0\) si también\(g(x)\) es una constante.

Inducción: Supongamos que para algunos\(n\geq 0\text{,}\)\(S(k)\) es cierto para todos\(k \leq n\text{,}\) Si\(f(x)\) tiene grado\(n+1\text{,}\) entonces hay dos casos a considerar. Si\(\deg g(x) > n + 1\text{,}\)\(f(x) = g(x)\cdot 0 + f(x)\text{,}\) y ya terminamos. De lo contrario, si\(\deg g(x) =m \leq n + 1\text{,}\) realizamos la división larga de la siguiente manera, donde los LDT representan términos de menor grado que\(n+1\text{.}\)

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {rll} & f_ {n+1}\ cdot g_m {} ^ {-1} x^ {n+1-m}\\ g_mx^m+\ textrm {LDT}'s &\ overline {\ left) f_ {n+1} x^ {n+1}\ derecha.+\ textrm {LDT}'s textrm {}} &\\ &\ subrayado {\ textrm {} f_ {n+1} x^ {n+1} +\ textrm {LDT}'s}\ textrm {}\\ &\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple h (x)\\\ end {array}\ end {array}\ end { ecuación*}

Por lo tanto,

\ begin {ecuación*} h (x) = f (x) -\ izquierda (f_ {n+1}\ cdot g_m {} ^ {-1} x^ {n+1-m}\ derecha) g (x)\ Rightarrow\ textrm {} f (x) =\ izquierda (f_ {n+1}\ cdot g_m {} ^ {-1} x^ {n++1-m}\ derecha) g (x) +h (x)\ final {ecuación*}

Ya que\(\deg h(x)\) es menor de\(n+1\text{,}\) lo que podemos aplicar la hipótesis de inducción:\(h(x) = g(x)q(x) + r(x)\) con\(\deg r(x) < \deg g(x)\text{.}\)

Por lo tanto,

\ begin {ecuación*} f (x) = g (x)\ izquierda (f_ {n+1}\ cdot g_m {} ^ {-1} x^ {n+1-m} + q (x)\ derecha) + r (x)\ final {ecuación*}

con\(\deg r(x) < \deg g(x)\text{.}\) Esto establece la existencia de un cociente y resto. La singularidad de\(q(x)\) y\(r(x)\) como se afirma en el teorema se demuestra de la siguiente manera: si también\(f(x)\) es igual a\(g(x)\bar{q}(x) + \bar{r}(x)\) con grados\(\bar{r}(x) < \deg g(x)\text{,}\) entonces

\ begin {ecuación*} g (x) q (x) + r (x) = g (x)\ bar {q} (x) +\ overline {r} (x)\ Rightarrow g (x)\ left (\ bar {q} (x) -q (x)\ right) = r (x) -\ bar {r} (x)\ end {ecuación*}

Ya que\(\deg r(x) - \bar{r}(x) < \deg g(x)\text{,}\) el grado de ambos lados de la última ecuación es menor que\(\deg g(x)\text{.}\) Por lo tanto, debe ser eso\(\bar{q}(x) - q(x) = 0\text{,}\) o\(q(x) =\bar{q}(x)\) Y así\(r(x) = \bar{r}(x)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

1. Mostrar que el campo\(\mathbb{R}\) de números reales es un espacio vectorial sobre\(\mathbb{R}\text{.}\) Encontrar una base para este espacio vectorial. Lo que es tenue\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}\text{?}\)
2. Repita la parte a para un campo arbitrario F.
3. Mostrar que\(\mathbb{R}\) es un espacio vectorial sobre\(\mathbb{Q}\text{.}\)