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LibreTexts Español

4.5: Ejercicios

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    118143

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

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    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

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    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)

    Interpretación del lenguaje simbólico

    Dejar\(A(x)\) representar el predicado “\(x\)es una experiencia de aprendizaje maravillosa”, donde\(x\) es una variable libre en el dominio de todos los cursos universitarios.

    Traduzca cada uno de los siguientes a una oración en inglés que sea gramaticalmente correcta.

    1. \(A(\text{AUMAT 250})\)
    2. \((\exists x)A(x)\)
    3. \((\forall x)A(x)\)
    4. \(\neg (\forall x)A(x)\)
    5. \((\exists x)\neg A(x)\)

    La traducción al lenguaje simbólico.

    Dejar\(B(x)\) representar el predicado “\(x\)es excelente”, donde\(x\) es una variable libre en el dominio de todos los profesores agustanos.

    Traducir cada una de las siguientes cosas al lenguaje simbólico.

    1. El instructor para este curso es un excelente profesor.
    2. Cada profesor de tu universidad es excelente.
    3. Algún profesor de tu universidad es excelente.
    4. Algunos profesores de tu universidad son excelentes.
    5. Hay al menos un profesor en tu universidad que es excelente.
    6. Algún profesor de tu universidad no es excelente.
    7. Algunos profesores de tu universidad no son excelentes.
    8. Cualquier profesor de tu universidad es excelente.
    9. Ningún profesor en tu universidad es excelente.

    Analizar declaraciones de predicado sobre números enteros

    Let\(P(m,n)\) representar el predicado\(2m - 45n > 101\text{,}\) donde\(m\) y\(n\) son variables libres en el dominio de los enteros.

    Para cada una de las siguientes, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Explica tu razonamiento.

    1. \(P(25,-1)\)
    2. \(P(30,-1)\)
    3. \(P(100,2)\lor P(100,3)\)
    4. \(P(100,2) \land P(100,3)\)
    5. \((\exists m)(\exists n) P(m,n)\)
    6. \((\forall m)(\forall n) P(m,n)\)
    7. \((\forall m)(\exists n) P(m,n)\)
    8. \((\exists m)(\forall n) P(m,n)\)
    9. \((\forall m)(\exists q)(\forall n)(P(q,n)\rightarrow P(m,n))\)

    Analizar declaraciones predicadas sobre funciones

    (Requiere cálculo.) Let\(P(f,g)\) representar el predicado\(\frac{df}{dx} = g\text{,}\) donde\(f\) y\(g\) son variables libres en el dominio de las funciones continuas en la variable real\(x\text{.}\)

    Para cada una de las siguientes, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Explica tu razonamiento.

    1. \((\exists f)(\exists g) P(f,g)\)
    2. \((\forall f)(\forall g) P(f,g)\)
    3. \((\forall f)(\exists g) P(f,g)\)
    4. \((\exists f)(\forall g) P(f,g)\)
    5. \((\forall g)(\exists f) P(f,g)\)
    6. \((\exists g)(\forall f) P(f,g)\)

    7. Considere la afirmación “cada número impar es\(1\) más o\(3\) más de un muliple de\(4\text{.}\)”

      1. Asignar predicados apropiados (con dominios explicadamente declarados), y luego traducir la declaración a lógica simbólica.
      2. Negar la declaración, y simplificar la expresión lógica para que cualquier/todos los símbolos de negación aparezcan directamente a la izquierda de un predicado.
      3. Traduce tu declaración negada simplificada de la Tarea b al inglés.
    1. Dejar\(P(f,g)\) representar el predicado\(\dfrac{df}{dx} = g\text{,}\) y dejar\(E(f,g)\) representar el predicado\(g = f\text{,}\) donde\(f\) y\(g\) son variables libres en el dominio de funciones en la variable real\(x\text{.}\) Considerar la sentencia
    \ comenzar {ecuación*} (\ forall f) (\ forall g)\ {(\ existe h)\ {P (f, h)\ tierra P (g, h)\}\ fila derecha E (f, g)\}\ texto {.} \ end {ecuación*}
    1. Traducir la declaración al inglés.
    2. Determinar si la afirmación es verdadera.
    3. Trabajando con la versión simbólica originalmente proporcionada anteriormente, negar la declaración. Simplifique la versión negada para que todos los símbolos de negación aparezcan directamente a la izquierda de uno de los predicados\(P\) o\(E\text{.}\)
    4. Traduce tu declaración negada simplificada de la Parte c al inglés.
    1. Te has convertido en un experto en lógica de predicados, y ahora haces asignaciones de lógica de calificación (muy exiguas) para una universidad grande. Aquí está la pregunta que te han asignado para marcar dos mil veces.

    Dejar\(x\) representar una variable libre del dominio de todos los seres humanos vivos.

    Traducir las siguientes dos declaraciones en sentencias predicadas debidamente cuantificadas en la variable\(x\text{.}\)

    1. Todos los universitarios estudian diligentemente.
    2. Algunos universitarios estudian diligentemente.

    Recoges la primera tarea. Aquí está la respuesta del alumno.

    Que\(U(x)\) signifique “\(x\)es un estudiante universitario”. \(S(x)\)Digamos “\(x\)estudia diligentemente”.

    1. \((\forall x)[ U(x) \rightarrow S(x) ]\text{.}\)
    2. \((\exists x)[ U(x) \rightarrow S(x) ]\text{.}\)

    ¿Son correctas las respuestas del alumno? Justifica tu valoración.

    Pista

    Intente traducir las declaraciones de lenguaje simbólico del estudiante de nuevo al inglés, utilizando explícitamente el dominio declarado de\(x\), y vea lo que obtiene.

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