6.1: Definiciones
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\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Las definiciones se utilizan en matemáticas para etiquetar objetos que tienen propiedades especiales y para agrupar todos esos objetos juntos. Tenga cuidado con las definiciones: como lo afirman los matemáticos, a menudo contienen condiciones implícitas.
Un número se llama primo si sus únicos divisores son\(1\) y en sí mismo.
Esta definición tiene algunas partes ocultas: una definición más completa sería la siguiente.
Un número se llama primo si
- es un entero,
- es estrictamente mayor que\(1\text{,}\) y
- no existe ningún otro número mayor que el\(1\) que lo divide.
Debe ver una definición como una prueba técnica o colección de pruebas técnicas que un objeto debe pasar antes de que se le pueda dar una etiqueta específica.
Demostrar que, según la definición técnica de prime,\(17\) es prime pero no lo\(21\) es.
Solución
Vamos a probar\(17\text{.}\)
- Sí,\(17\) es un entero.
- Sí,\(17 \gt 1\text{.}\)
- Ninguno de los números de la siguiente lista es un número entero:
\ begin {ecuación*}\ dfrac {17} {2},\ dfrac {17} {3},\ dfrac {17} {4},\ dotsc,\ dfrac {17} {16},\ dfrac {17} {18},\ dfrac {17} {19},\ dotsc\ text {.} \ end {ecuación*}
Entonces\(17\) es prime ya que pasa las pruebas técnicas que definen el concepto de prime.
Ahora vamos a probar\(21\text{.}\)
- Sí,\(21\) es un entero.
- Sí,\(21 \gt 1\text{.}\)
- Sin embargo, claramente\(21/3 = 7\) es un número entero, por lo que\(3\) divide\(21\text{.}\)
Entonces no\(21\) es prime, ya que falla al menos una de las pruebas técnicas que definen el concepto de prime.
A menudo, lo primero que hacemos en matemáticas es buscar formas de facilitar las pruebas de nuestra definición.
Supongamos que\(n\) es un entero con\(n \ge 2\text{.}\) Then\(n\) es primo si y solo si no\(n/m\) es un entero para cada entero\(m\) con\(2 \le m \lt \dfrac{n}{2}\text{.}\)
El comprobante se le deja como Ejercicio 6.12.1.
Demostrar que\(17\) es primo.
Solución (boceto)
Por la proposición, para verificar que\(17\) es primo ahora solo necesitamos tener en cuenta que ninguno de los números en la siguiente lista más corta es un entero: