6.5: Declaraciones que involucran disyunción

Primero, consideremos una declaración condicional con una disyunción en el lado de la hipótesis. Para probar una declaración de la forma\((P_1 \lor P_2) \Rightarrow Q\text{,}\) podemos usar Fact 6.4.1 para descomponerse en dos condicionales:

\ begin {ecuación*} (P_1\ or P_2)\ fila derecha Q\ Izquierdafila (P_1\ fila derecha Q)\ tierra (P_2\ fila derecha Q)\ texto {.} \ end {ecuación*}

Apelando a las propiedades de la conjunción, como en nuestra discusión de reducción a casos, vemos que podemos probar\(P_1 \Rightarrow Q\) y\(P_2 \Rightarrow Q\) por pruebas separadas.

¿Qué pasa con un condicional con una disyunción en el lado de la conclusión? Para probar una declaración de la forma\(P \Rightarrow (Q_1 \lor Q_2)\text{,}\) podemos volver a reducir a casos, pero de una manera algo complicada. Para cualquier enunciado, sólo hay dos posibilidades —o bien la afirmación es verdadera o es falsa. (Ver Tautología Básica 3 en el Ejemplo 1.4.1. Aplicar este hecho a una de las afirmaciones que estamos tratando de probar.

Procedimiento\(\PageIndex{1}\): Proof of conditional involving disjunction

Para probar una declaración de la forma\(P \Rightarrow (Q_1 \lor Q_2)\text{,}\) empieza asumiendo que eso\(P\) es verdadero y\(Q_1\) es falso. Trate de demostrar que estos supuestos llevan a\(Q_2\) ser ciertos.

Idea\(\PageIndex{1}\)

Sólo hay dos posibilidades\(Q_1\text{:}\) ya sea porque es verdad o es falsa. Si\(Q_1\) es cierto, entonces ya\(Q_1 \lor Q_2\) es cierto, independientemente de los valores de verdad de\(P\) y\(Q_2\text{,}\) entonces no hay nada que probar en este caso. Por otro lado, si\(Q_1\) es falso, la única manera que\(Q_1 \lor Q_2\) podría ser verdadera es si\(Q_2\) es verdadera.

Nota\(\PageIndex{1}\)

• Ver también Ejercicio 2.5.3.
• Por supuesto, puedes intercambiar los roles de\(Q_1\) y\(Q_2\) superiores: también podrías comenzar asumiendo que eso\(P\) es cierto y\(Q_2\) es falso, luego tratar de demostrar que esto lleva a\(Q_1\) ser cierto.
• Otra estrategia es intentar una prueba por contradicción (discutida en la Sección 6.9 infra). Por DeMorgan,\(\neg(Q_1 \lor Q_2) \Leftrightarrow \neg Q_1 \land \neg Q_2\text{,}\) así que para esta estrategia, debes comenzar asumiendo que eso\(P\) es cierto y ambos\(Q_1\) y\(Q_2\) son falsos. Entonces, trata de llegar a una contradicción.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Probar: Cada número impar es\(1\) más o\(3\) más de un múltiplo de\(4\text{.}\)

Solución

Dejar\(P(n)\) representar el predicado “\(n\)es impar”, dejar\(Q_1(n)\) representar el predicado “\(n\)es\(1\) más que un múltiplo de\(4\)”, y vamos a\(Q_2(n)\) representar el predicado “\(n\)es\(3\) más que un múltiplo de\(4\)”, cada uno con dominio los enteros.

Empezar asumiendo que\(n\) es un número impar que no es\(1\) más que un múltiplo de Ahora\(4\text{.}\) debemos tratar de mostrar que\(n\) es\(3\) más de un múltiplo de\(4\text{.}\) Sabemos que\(n\) es impar, entonces existe un número\(m\) tal que \(n = 2m + 1\text{.}\)Sin embargo, ya que no\(n\) es\(1\) más que un múltiplo de\(4\text{,}\)\(2m\) no puede ser un múltiplo de\(4\text{,}\) y así\(m\) no puede ser un múltiplo de\(2\text{.}\) Por lo tanto, también\(m\) es impar, y así existe otro número\(\ell\) tal que \(m = 2\ell + 1\text{.}\)Entonces

\ start {ecuación*} n = 2m + 1 = 2 (2\ ell + 1) + 1 = 4\ ell + 3\ texto {,}\ final {ecuación*}

que dice que\(n\) es\(3\) más que un múltiplo de\(4\text{,}\) lo deseado.