6.10: Existencia y singularidad
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Demostrar que no\(851\) es primo.
Solución
Queremos probar el enunciado cuantificado
con dominio el positivo, números enteros. Probando cada número, uno por uno, a partir de\(n = 2\text{,}\) nos encontramos con que el uso\(n=23\) se ajusta a la factura.
Una vez que hemos encontrado un ejemplo para una afirmación existencial, también a menudo queremos saber si hay más ejemplos, o si el que hemos encontrado es único. Supongamos que\(x_0\) es nuestro ejemplo concreto demostrando\((\exists x)A(x)\text{.}\) Para mostrar que\(x_0\) es único, debemos probar la afirmación universal:\((\forall y)(A(y) \rightarrow (y = x_0) )\text{.}\) Esto se traduce como lo siguiente.
Para todos\(y\text{,}\) si\(A(y)\) es verdad, entonces\(y=x_0\text{.}\)
Es decir, la única forma en que el objeto\(y\) puede satisfacer\(A(y)\)\(y\) es si en realidad es nuestro ejemplo original\(x_0\text{.}\)
Para probar que\(x = x_0\) es la instancia única de un objeto\(x\) tal que\(A(x)\) es cierto, asumir que también\(y\) es un objeto tal que\(A(y)\) es cierto, y probar que\(y = x_0\text{.}\)
Demostrar que\(2\) es el número positivo único que es a la vez primo y par.
Solución
Supongamos que\(n\) es un número positivo que es a la vez primo y par. Ya que\(n\) es par, es divisible por\(2\text{.}\) Pero como\(n\) es primo, es divisible por solo\(1\) y por sí mismo. Por lo tanto,\(2\) y “sí mismo” debe ser el mismo, i.e.\(n = 2\text{.}\)