11.3: Resolver mediante iteración
- Page ID
- 118044
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Dada una secuencia definida recursivamente\(\{a_k\}\text{,}\) podemos “desentrañar” la definición recursiva para determinar una fórmula explícita para el término general\(a_k\) que involucra solo el índice\(k\text{.}\)
Resolver la relación de recurrencia del Ejemplo 11.2.1.
Solución
La secuencia en el ejemplo fue definida recursivamente por\(h_0 = 100\) y
\ begin {align*} h_k & =\ dfrac {3} {4}\, h_ {k-1}\ text {,} & k &\ ge 1\ text {.} \ end {align*}
Podemos aplicar esta fórmula a cada término de la secuencia, excepto al primero, usando el patrón “cada término es tres cuartas partes del término anterior”. Es decir,
\ begin {alinear*} h_k & =\ dfrac {3} {4}\, h_ {k-1}\ text {,} & h_ {k-1} & =\ dfrac {3} {4}\, h_ {k-2}\ text {,} & h_ {k-2} & =\ dfrac {3} {4}\, h_ {k-3}\ texto {,} & &\ lpuntos\ texto {.} \ end {align*}
Por lo tanto, para\(k \ge 1\text{,}\) nosotros podemos calcular
\ begin {align*} h_k & =\ dfrac {3} {4}\, h_ {k-1}\\ & =\ dfrac {3} {4}\ izquierda (\ dfrac {3} {4}\, h_ {k-2}\ derecha) =\ izquierda (\ dfrac {3} {4}\ derecha) ^2 h_ {k-2}\ & =\ izquierda (\ dfrac {3} {4}\ derecha) ^2\ izquierda (\ dfrac {3} {4}\, h_ {k-3}\ derecha) =\ izquierda (\ dfrac {3} {4}\ derecha) ^3 h_ {k-3}\ &\ vdots\\ & =\ izquierda (\ dfrac {3} {4} derecha) ^k h_0 = \ izquierda (\ dfrac {3} {4}\ derecha) ^k (100). \ end {align*}
(Tenga en cuenta que esta fórmula también es válida para\(k=0\text{.}\))
Podemos verificar nuestra fórmula sustituyéndola en la relación de recurrencia original:
\ begin {ecuación*}\ texto {RHS} =\ dfrac {3} {4}\, h_ {k-1} =\ dfrac {3} {4}\,\ izquierda (\ dfrac {3} {4}\ derecha) ^ {k-1} h_0 =\ izquierda (\ dfrac {3} {4}\ derecha) ^k h_0 = h_k =\ texto {LHS}\ texto {.} \ end {equation*} También
podríamos probar que nuestra fórmula es correcta por inducción.
Resolver la relación de recurrencia\(a_k = r a_{k-1}\) para\(k\ge 1\text{,}\) donde\(r\) es una constante y\(a_0\) se elige arbitrariamente el primer término.
- Comparar.
-
Este ejemplo generaliza el ejemplo anterior.
Solución
A través de la iteración, obtenemos
\ begin {ecuación*} a_k = r a_ {k-1} = r (r a_ {k-2}) = r (r (r a_ {n-3})) =\ cdots = r^k a_0\ texto {.} \ end {ecuación*}
Resolver la relación de recurrencia del Ejemplo 11.2.2.
Solución
La secuencia en el ejemplo fue definida recursivamente por\(a_0 = 1\) y
\ begin {align*} a_k & = ka_ {k-1}\ text {,} & k &\ ge 1\ text {.} \ end {align*}
Por lo tanto, pues\(k \ge 1\text{,}\) tenemos
\ begin {alinear*} a_k & = k a_ {k-1}\\ & = k ((k-1) a_ {k-2})\\ & = k ((k-1) ((k-2) a_ {k-3}))\\ &\ vdots\\ & = k (k-1) (k-2)\ cdots (k - (k-1)) a_ {k-k}\ texto {.} \ end {alinear*}
Simplificar esta última expresión lleva a
\ begin {ecuación*} a_k = k (k-1) (k-2)\ cdots 1\ cdot a_0 = k! \ texto {.} \ end {equation*}
Tenga en cuenta que la fórmula también\(a_k = k!\) es válida para\(k=0\) cuando adoptemos la convención\(0! = 1\text{.}\)
Verificar que la fórmula en la solución al ejemplo trabajado anterior satisfaga la relación de recurrencia.
Resolver la relación de recurrencia\(a_0 = 1\text{,}\)\(a_1 = \dfrac{1}{2}\text{,}\) y
\ begin {align*} a_k & =\ dfrac {k} {2 (k-1)}\, a_ {k-1}\ texto {,} & k &\ ge 2\ texto {.} \ end {alinear*}
Solución
Iterando, obtenemos
\ begin {align*} a_k & =\ dfrac {k} {2 (k-1)}\, a_ {k-1}\\ & =\ dfrac {k} {2 (k-1)}\ izquierda (\ dfrac {k-1} {2 (k-2)}\, a_ {k-2}\ derecha) =\ dfrac {k} {2^2 (k-2))}\, a_ {k-2}\\ & =\ dfrac {k} {2^2 (k-2)}\ izquierda (\ dfrac {k-2} {2 (k-3)}\, a_ {k-3}\ derecha) =\ dfrac {k} {2^3 (k-3)}\, a_ {k-3}\\ &\ vdots\ & =\ dfrac {k} {2^ {k-1} (k- (k-1)})\, a_ {k- (k-1)}\ texto {.} \ end {align*}
Simplificando esta última expresión, obtenemos
\ begin {ecuación*} a_k =\ dfrac {k} {2^ {k-1}}\, a_1 =\ dfrac {k} {2^k}\ text {.} \ end {ecuación*}