19.8: Ejercicios
- Page ID
- 118231
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Reconocer un orden parcial a partir de su gráfica.
En cada uno de los Ejercicios 1—2, se le da una gráfica dirigida para una relación en el conjunto\(A = \{a,b,c,d\}\text{.}\) Determinar si la relación es un orden parcial. Justifica tus respuestas.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Prueba de órdenes parciales.
En cada uno de los Ejercicios 3—6, se le da un conjunto\(A\) y una relación\(R\) sobre\(A\text{.}\) Determinar si la relación es un orden parcial. Justifica tus respuestas.
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
\(A\)es el conjunto de todos los estudiantes Augustana;\(a \mathrel{R} b\) significa que el estudiante\(a\) tiene un GPA más alto que el estudiante\(b\text{.}\)
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
\(A\)es el conjunto de potencia de algún conjunto finito;\(S \mathrel{R} T\) significa\(\vert S \vert \le \vert T \vert \text{.}\)
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
\(A\)es el conjunto de palabras en algún alfabeto;\(w \mathrel{R} w'\) significa\(\vert w \vert \le \vert w' \vert \text{,}\) donde\(\vert w \vert\) significa la longitud de la palabra\(w\text{.}\)
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
\(A = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\text{;}\)\((x_1, y_1) \mathrel{R} (x_2,y_2)\)medios\(x_1 \le x_2\) y\(y_1 \le y_2\text{.}\)
Dibujando diagramas de Hasse.
En cada uno de los Ejercicios 7—8, se te da un conjunto finito, parcialmente ordenado\(A\text{.}\) Dibuja el diagrama de Hasse.
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
\(A = \mathscr{P}(\{1,2,3,4\})\)bajo la relación de subconjunto.
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
\(A = \Sigma^\ast_4\text{,}\)el conjunto de palabras de longitud\(4\) en el alfabeto\(\Sigma = \{0,1\}\text{,}\) bajo el orden del diccionario.
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
Dibuja todos los diagramas Hasse válidos posibles para cada uno de los conjuntos\(A = \{a,b\}\) y\(B = \{a,b,c\}\text{.}\) (Así, habrás determinado todos los pedidos parciales posibles en esos conjuntos.)
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
Considere la relación “divide”\(\mathord{\mid}\) en\(\mathbb{N}_{>0}\text{.}\) Proporcionar un ejemplo de un conjunto\(A \subseteq \mathbb{N}_{>0}\)
- eso es finito, y sobre el cual\(\mathord{\mid}\) es un orden total.
- eso es infinito, y sobre el cual\(\mathord{\mid}\) hay un orden total.
- sobre el cual\(\mathord{\mid}\) es una orden parcial pero no una orden total.
Ejercicio\(\PageIndex{11}\)
Dejar\(A = \{0,1,2\}\text{,}\) y considerar el orden parcial\(\mathord{\subseteq}\) en el conjunto de potencia\(\mathscr{P}(A)\text{.}\) Listar todos los pares de elementos incomparables en\(\mathscr{P}(A)\text{.}\)
Determinar elementos máximo/máximo/mínimo/
En cada uno de los Ejercicios 12—16, se le da un conjunto parcialmente ordenado\(A\text{.}\) Determinar todos y cada uno de los elementos máximos, máximos, mínimos y mínimos.
Ejercicio\(\PageIndex{12}\)
\(A = \mathbb{N}_{>0}\)bajo lo habitual\(\mathord{\le}\text{.}\)
Ejercicio\(\PageIndex{13}\)
\(A = \mathbb{Q}_{>0}\)bajo lo habitual\(\mathord{\le}\text{.}\)
Ejercicio\(\PageIndex{14}\)
\(A = \mathbb{N} \setminus \{0,1\}\)bajo la relación “divide”\(\mathord{\mid}\text{.}\)
Ejercicio\(\PageIndex{15}\)
\(A = \{2,5,11,13,22,65,110,143,496\}\)bajo la relación “divide”\(\mathord{\mid}\text{.}\)
Ejercicio\(\PageIndex{16}\)
\(A\)es el conjunto de los diez primeros números primos bajo la relación “divide”\(\mathord{\mid}\text{.}\)
Ejercicio\(\PageIndex{17}\)
Supongamos que\(\mathord{\preceq}\) es un orden parcial en el conjunto\(A = \{0,1,2\}\) tal que\(1\) es un elemento máximo. ¿Cuáles son las posibilidades para el diagrama de Hasse de\(\mathord{\preceq}\text{?}\)
Clasificación topológica.
En cada uno de los Ejercicios 18—19, se le da el diagrama de Hasse para un conjunto parcialmente ordenado\(A\text{.}\) Utilice el algoritmo de clasificación topológica para determinar un orden total compatible en\(A\text{.}\)
Ejercicio\(\PageIndex{18}\)
Ejercicio\(\PageIndex{19}\)
