0.1: ¿Qué es la matemática discreta?

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dis·crete/dis'krët.

Adjetivo: Individualmente separados y distintos.

Sinónimos: separado - separado - distinto - abstracto.

Definir matemáticas discretas es difícil porque definir matemáticas es difícil. ¿Qué es la matemática? ¿El estudio de los números? En parte, pero también estudias funciones y líneas y triángulos y paralelepípedos y vectores y... O tal vez quieras decir que las matemáticas son una colección de herramientas que te permiten resolver problemas. ¿Qué tipo de problemas? Bien, los que involucran números, funciones, líneas, triángulos,... Cualquiera que sea tu concepción de lo que es la matemática, intenta aplicarle el concepto de “discreto”, como se definió anteriormente. Algunas matemáticas tratan fundamentalmente con cosas que son individualmente separadas y distintas.

En una clase de álgebra o cálculo, es posible que haya encontrado un conjunto particular de números (tal vez el conjunto de números en el rango de una función). Usted representaría este conjunto como un intervalo:$[0,\infty)$ es el rango de$f(x) = x^2$ ya que el conjunto de salidas de la función son todos números reales 0 y mayores. Este conjunto de números NO es discreto. Los números en el conjunto no están separados por mucho en absoluto. De hecho, toma dos números cualesquiera en el set y hay infinitamente muchos más entre ellos que también están en el set. Las matemáticas discretas aún podrían preguntar sobre el rango de una función, pero el conjunto no sería un intervalo. Considera la función que da el número de hijos de cada persona que lee esto. ¿Cuál es el rango? Estoy adivinando que es algo así como$\{0, 1, 2, 3\}\text{.}$ Quizás 4 está ahí también. Pero ciertamente no hay nadie leyendo esto que tenga 1.32419 hijos. Este conjunto es discreto porque los elementos están separados. También observe que las entradas a la función son un conjunto discreto ya que cada entrada es una persona individual. No considerarías entradas fraccionarias (no nos importa nada$2/3$ entre un par de lectores).

Una forma de tener una idea del tema es considerar los tipos de problemas que resuelves en matemáticas discretas. Aquí hay algunos ejemplos simples:

¡Investiga!

Nota: A lo largo del texto verás ¡Investigar! actividades como ésta. Responde las preguntas en estos lo mejor que puedas para darte una idea de lo que viene a continuación.

El matemático más popular del mundo está organizando una fiesta para todos sus amigos. Como forma de dar inicio a las cosas, deciden que todos deben estrechar la mano. Suponiendo que las 10 personas en la fiesta se den la mano cada una de las demás personas (pero no ellas mismas, obviamente) exactamente una vez, ¿cuántos apretones de manos se llevan a cabo?
En el evento de calentamiento para el concurso All Star Hot Dog Eating Contest de Oscar, Al se comió un hot dog. Bob luego lo mostró comiendo tres perritos calientes. Para no quedarse atrás, Carl se comió cinco. Esto continuó con cada concursante comiendo dos hot dogs más que el concursante anterior. ¿Cuántos perritos calientes comió Zenón (el concursante número 26 y final)? ¿Cuántos perritos calientes se comieron todos juntos?
Después de excavar durante semanas, finalmente llegas a la cámara funeraria. La habitación está vacía a excepción de dos cofres grandes. En cada uno está tallado un mensaje (extrañamente en inglés):

$two-chests.svg$

Sabes exactamente uno de estos mensajes es cierto. ¿Qué debes hacer?

En los días de antaño, cinco pueblos pequeños decidieron que querían construir carreteras que conectaran directamente cada par de pueblos. Si bien los pueblos tenían mucho dinero para construir caminos tan largos y tan sinuosos como quisieran, era muy importante que los caminos no se cruzaran entre sí (ya que las señales de alto aún no se habían inventado). Además, no se permitieron túneles y puentes. ¿Es posible que cada uno de estos pueblos construya un camino hacia cada uno de los otros cuatro pueblos sin crear intersecciones?

Una razón por la que es difícil definir la matemática discreta es que se trata de una descripción muy amplia que encapsula un gran número de sujetos. En este curso estudiaremos cuatro temas principales: combinatoria (la teoría de las formas en que se combinan las cosas; en particular, cómo contar estas formas), secuencias, lógica simbólica y teoría gráfica. Sin embargo, hay otros temas que pertenecen bajo el paraguas discreto, como la informática, el álgebra abstracta, la teoría de números, la teoría de juegos, la probabilidad y la geometría (algunos de estos, particularmente los dos últimos, tienen variantes discretas y no discretas).

En definitiva, la mejor manera de aprender de qué se trata la matemática discreta es hacerlo. ¡Empecemos! Antes de que podamos comenzar a responder problemas más complicados (y divertidos), debemos sentar algunas bases. Comenzamos por revisar los enunciados matemáticos, conjuntos y funciones en el marco de las matemáticas discretas.