0.2: Declaraciones matemáticas

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¡Investiga!

Mientras caminas por un bosque ficticio, te encuentras con tres trolls custodiando un puente. Cada uno es o un caballero, que siempre dice la verdad, o un bridon, que siempre miente. Los trolls no te dejarán pasar hasta que identifiques correctamente a cada uno ya sea como un caballero o un bridon. Cada troll hace una sola declaración:

• Troll 1: Si soy un knave, entonces aquí hay exactamente dos caballeros.
• Troll 2: Troll 1 está mintiendo.
• Troll 3: O todos somos knaves o al menos uno de nosotros es caballero.

¿Qué troll es cuál?

Para poder hacer matemáticas, debemos ser capaces de hablar y escribir sobre matemáticas. Quizás tu experiencia con las matemáticas hasta el momento ha consistido principalmente en encontrar respuestas a problemas. A medida que nos embarcamos hacia las matemáticas más avanzadas y abstractas, la escritura jugará un papel más destacado en el proceso matemático.

La comunicación en matemáticas requiere más precisión que muchas otras materias, y así deberíamos tomar algunas páginas aquí para considerar los bloques básicos de construcción: las declaraciones matemáticas.

Declaraciones atómicas y moleculares

Una declaración es toda sentencia declarativa que sea verdadera o falsa. Una declaración es atómica si no se puede dividir en declaraciones más pequeñas, de lo contrario se llama molecular.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Estas son declaraciones (de hecho, declaraciones atómicas):

• Los números de teléfono en Estados Unidos tienen 10 dígitos.
• La luna está hecha de queso.
• 42 es un cuadrado perfecto.
• Cada número par mayor a 2 se puede expresar como la suma de dos primos.
• \(3+7 = 12\)

Y estas no son declaraciones:

• ¿Quieres un poco de pastel?
• La suma de dos cuadrados.
• \(1+3+5+7+\cdots+2n+1\text{.}\)
• ¡Ve a tu habitación!
• \(3+x = 12\)

La razón por la que la última oración no es una declaración es porque contiene una variable. Dependiendo de lo que\(x\) sea, la sentencia es verdadera o falsa, pero en este momento no lo es ni. Una forma de convertir la oración en una declaración es especificar el valor de la variable de alguna manera. Esto podría hacerse de varias maneras. Por ejemplo, “\(3+x = 12\)dónde\(x = 9\)” es una afirmación verdadera, como lo es “\(3+x = 12\)por algún valor de\(x\)”. Este es un ejemplo de cuantificar sobre una variable, de la cual discutiremos más en un poco.

Puedes construir declaraciones más complicadas (moleculares) a partir de otras más simples (atómicas o moleculares) usando conectivos lógicos. Por ejemplo, esta es una declaración molecular:

Los números de teléfono en USA tienen 10 dígitos y 42 es un cuadrado perfecto.

Tenga en cuenta que podemos desglosar esto en dos declaraciones más pequeñas. Las dos declaraciones más cortas están conectadas por un “y”. Consideraremos 5 conectivos: “y” (Sam es hombre y Chris es mujer), “o” (Sam es hombre o Chris es mujer), “si..., entonces...” (si Sam es hombre, entonces Chris es mujer), “si y solo si” (Sam es hombre si y solo si Chris es mujer), y “no” (Sam no es hombre). Los primeros cuatro se llaman conectivos binarios (porque conectan dos sentencias) mientras que “no” es un ejemplo de una conectiva unaria (ya que se aplica a una sola sentencia).

El conectivo que utilicemos para modificar declaración (s) determinará el valor de verdad de la declaración molecular (es decir, si la afirmación es verdadera o falsa), con base en los valores de verdad de las declaraciones que se están modificando. Es importante darnos cuenta de que no necesitamos saber qué dicen realmente las partes, solo si esas partes son verdaderas o falsas. Entonces, para analizar las conectivas lógicas, basta con considerar variables proposicionales (a veces llamadas variables sentenciales), generalmente letras mayúsculas en la mitad del alfabeto:\(P, Q, R, S, \ldots\text{.}\) Estas son variables que pueden tomar uno de dos valores: T o F. También tenemos símbolos para el Conectivos lógicos:\(\wedge\text{,}\)\(\vee\text{,}\)\(\imp\text{,}\)\(\iff\text{,}\)\(\neg\text{.}\)

Conectivos lógicos

• \(P \wedge Q\)significa\(P\) y\(Q\text{,}\) se llama conjunción.
• \(P \vee Q\)significa\(P\) o\(Q\text{,}\) se llama disyunción.
• \(P \imp Q\)significa si\(P\) entonces\(Q\text{,}\) se llama implicación o condicional.
• \(P \iff Q\)significa\(P\) si y sólo si\(Q\text{,}\) se llama un bicondicional.
• \(\neg P\)significa que no\(P\text{,}\) se llama negación.

El valor de verdad de una declaración está determinado por el valor o valores de verdad de su (s) parte (s), dependiendo de los conectivos:

Condiciones de verdad para los conectivos

• \(P \wedge Q\)es cierto cuando ambos\(P\) y\(Q\) son verdaderos
• \(P \vee Q\)es cierto cuando\(P\) o\(Q\) o ambos son ciertos.
• \(P \imp Q\)es cierto cuando\(P\) es falso o\(Q\) es verdadero o ambos.
• \(P \iff Q\)es cierto cuando\(P\) y\(Q\) son ambos verdaderos, o ambos falsos.
• \(\neg P\)es cierto cuando\(P\) es falso.

Tenga en cuenta que para nosotros, o es el significado inclusivo o (y no el exclusivo a veces usado o) que de hecho\(P \vee Q\) es cierto cuando ambos\(P\) y\(Q\) son ciertos. En cuanto a los otros conectivos, “y” se comporta como cabría esperar, al igual que la negación. El bicondicional (si y solo si) puede parecer un poco extraño, pero deberías pensar en esto como decir que las dos partes de las declaraciones son equivalentes. Esto deja solo el condicional\(P \imp Q\) que tiene un significado ligeramente diferente en matemáticas que en el uso ordinario. Sin embargo, las implicaciones son tan comunes y útiles en las matemáticas, que debemos desarrollar fluidez con su uso, y como tales, merecen su propia subsección.

Implicaciones

Implicaciones

Una implicación o condicional es una declaración molecular de la forma

\ comenzar {ecuación*} P\ imp Q\ final {ecuación*}

donde\(P\) y\(Q\) son declaraciones. Decimos que

• \(P\)es la hipótesis (o antecedente).
• \(Q\)es la conclusión (o consecuente).

Una implicación es verdadera siempre que\(P\) sea falsa o\(Q\) sea verdadera (o ambas), y falsa de otra manera. En particualr, la única manera de ser falso es\(P\) para ser verdad y\(Q\) ser falso.\(P \imp Q\)

Fácilmente el tipo de declaración más común en matemáticas es el condicional, o implicación. Incluso las declaraciones que al principio no parecen tener esta forma ocultan una implicación en su corazón. Consideremos el Teorema de Pitágoras. Muchos estudiantes universitarios de primer año citarían este teorema como “\(a^2 + b^2 = c^2\text{.}\)” Esto no es absolutamente correcto. Por un lado, eso no es una declaración ya que tiene tres variables en ella. ¿Quizás implican que esto debería ser cierto para cualquier valor de las variables? Entonces,\(1^2 + 5^2 = 2^2\text{???}\) ¿cómo podemos arreglar esto? Bueno, la ecuación es cierta siempre\(a\) y cuando y\(b\) sean las piernas o un triángulo rectángulo y\(c\) sea la hipotenusa. En otras palabras:

Si\(a\) y\(b\) son las patas de un triángulo rectángulo con hipotenusa\(c\text{,}\) entonces\(a^2 + b^2 = c^2\text{.}\)

Esta es una manera razonable de pensar sobre las implicaciones: nuestra afirmación es que la conclusión (parte “entonces”) es cierta, pero asumiendo que la hipótesis (parte “si”) es verdadera. No hacemos ninguna afirmación sobre la conclusión en situaciones en las que la hipótesis es falsa.

Aún así, es importante recordar que una implicación es una afirmación, y por lo tanto es verdadera o falsa. El valor de verdad de la implicación está determinado por los valores de verdad de sus dos partes. Para estar de acuerdo con el uso anterior, decimos que una implicación es cierta ya sea cuando la hipótesis es falsa, o cuando la conclusión es verdadera. Esto deja sólo un camino para que una implicación sea falsa: cuando la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Considera la declaración:

Si Bob consigue un 90 en la final, entonces Bob pasará la clase.

Esto es definitivamente una implicación:\(P\) es la declaración “Bob obtiene un 90 en la final”, y\(Q\) es la declaración “Bob pasará la clase”.

Supongamos que le hice esa declaración a Bob. ¿En qué circunstancias sería justo llamarme mentiroso? ¿Y si Bob realmente consiguió un 90 en la final, y sí pasó la clase? Entonces no he mentido; mi afirmación es cierta. No obstante, si Bob consiguió un 90 en la final y no pasó la clase, entonces mentí, haciendo falsa la declaración. El caso complicado es este: ¿y si Bob no consiguió un 90 en la final? A lo mejor pasa la clase, a lo mejor no. ¿Mentiré en cualquiera de los dos casos? Yo creo que no. En estos dos últimos casos,\(P\) era falso, y la afirmación\(P \imp Q\) era cierta. En el primer caso,\(Q\) era cierto, y así fue\(P \imp Q\text{.}\) Así\(P \imp Q\) es cierto cuando o\(P\) es falso o\(Q\) es cierto.

Sólo para que quede claro, aunque a veces leemos\(P \imp Q\) como “\(P\)implica\(Q\)”, no estamos insistiendo en que haya alguna relación causal entre las afirmaciones\(P\) y\(Q\text{.}\) en particular, si afirmas que eso\(P \imp Q\) es falso, no estás diciendo que \(P\)no implica\(Q\text{,}\) sino que eso\(P\) es cierto y\(Q\) es falso.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Explique brevemente.

1. \(0=1 ~~ \imp ~~ 1=1\)
2. \(1=1 ~~ \imp ~~\)la mayoría de los caballos tienen 4 patas
3. Si 8 es un número primo, entonces el dígito 7624 de\(\pi\) es un 8.
4. Si el dígito 7624 de\(\pi\) es un 8, entonces\(2+2 = 4\)

Solución

Las cuatro afirmaciones son verdaderas. Recuerden, la única manera de que una implicación sea falsa es que la parte if sea verdadera y la parte de entonces sea falsa.

1. Aquí la hipótesis es falsa y la conclusión es verdadera, por lo que la implicación es verdadera.
2. Aquí tanto la hipótesis como la conclusión es cierta, por lo que la implicación es cierta. No importa que no exista una conexión significativa entre el verdadero hecho matemático y el hecho sobre los caballos.
3. No tengo idea de cuál es el dígito 7624 de\(\pi\) is, but this does not matter. Since the hypothesis is false, the implication is automatically true.
4. De igual manera aquí, independientemente del valor de verdad de la hipótesis, la conclusión es verdadera, haciendo que la implicación sea cierta.

Es importante entender las condiciones bajo las cuales una implicación es verdadera no sólo para decidir si una afirmación matemática es verdadera, sino para demostrar que lo es. Las pruebas pueden parecer aterradoras (especialmente si has tenido una mala experiencia de geometría de secundaria) pero todo lo que realmente estamos haciendo es explicar (con mucho cuidado) por qué una afirmación es cierta. Si entiendes las condiciones de verdad para una implicación, ya tienes el esquema para una prueba.

Pruebas directas de implicaciones

Para probar una implicación\(P \imp Q\text{,}\) basta con asumir\(P\text{,}\) y a partir de ella, deducir\(Q\text{.}\)

Existen otras técnicas para probar afirmaciones (implicaciones y otras) que encontraremos a lo largo de nuestros estudios, y se descubren nuevas técnicas de prueba todo el tiempo. La prueba directa es el estilo de prueba más fácil y elegante y tiene la ventaja de que esa prueba a menudo hace un gran trabajo al explicar por qué la afirmación es cierta.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Demostrar: Si dos números\(a\) y\(b\) son pares, entonces su suma\(a+b\) es par.

Solución

Supongamos que los números\(a\) and \(b\) are even. This means that \(a = 2k\) and \(b=2j\) for some integers \(k\) and \(j\text{.}\) The sum is then \(a+b = 2k+2j = 2(k+j)\text{.}\) Since \(k+j\) is an integer, this means that \(a+b\) is even.

Observe que desde que llegamos a asumir la hipótesis de la implicación inmediatamente tenemos un lugar para comenzar. La prueba procede esencialmente preguntando y respondiendo repetidamente: “¿qué significa eso?”

\(\square\)

Este tipo de argumento también aparece fuera de las matemáticas. Si alguna vez te encontraste iniciando una discusión con “hipotéticamente, supongamos...”, entonces has intentado una prueba directa de tu conclusión deseada.

Dado que las implicaciones son tan frecuentes en las matemáticas, tenemos un lenguaje especial para ayudar a discutirlas:

Converse y Contrapositivo

• Lo contrario de una implicación\(P \imp Q\) es\(Q \imp P\text{.}\) la implicación Lo contrario NO es lógicamente equivalente a la implicación original. Es decir, si lo contrario de una implicación es cierto es independiente de la verdad de la implicación.
• El contrapositivo de una implicación\(P \imp Q\) es el enunciado\(\neg Q \imp \neg P\text{.}\) Una implicación y su contrapositivo son lógicamente equivalentes (ambos son verdaderos o ambos falsos).

Las matemáticas están rebosantes de ejemplos de verdaderas implicaciones con una falsa conversa. Si un número mayor que 2 es primo, entonces ese número es impar. No obstante, el hecho de que un número sea impar no significa que sea primo. Si una forma es un cuadrado, entonces es un rectángulo. Pero es falso que si una forma es un rectángulo, entonces es un cuadrado. Si bien esto sucede a menudo, no siempre sucede. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras tiene una verdadera conversa: si\(a^2 + b^2 = c^2\text{,}\) entonces el triángulo con lados\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\) es un triángulo rectángulo. Siempre que te encuentres con una implicación en las matemáticas, siempre es razonable preguntar si lo contrario es cierto.

El contrapositivo, en cambio, siempre tiene el mismo valor de verdad que su implicación original. Esto puede ser muy útil para decidir si una implicación es cierta: muchas veces es más fácil analizar lo contrapositivo.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Verdadero o falso: Si robas nueve cartas cualquiera de una baraja normal, entonces tendrás al menos tres cartas del mismo palo. ¿Es cierto lo contrario?

Solución

Cierto. La implicación original es un poco difícil de analizar porque hay tantas combinaciones diferentes de nueve cartas. Pero considera lo contrapositivo: Si no tienes al menos tres cartas todas del mismo palo, entonces no tienes nueve cartas. Es fácil ver por qué esto es cierto: puedes tener como máximo dos cartas de cada uno de los cuatro palos, para un total de ocho cartas (o menos).

Lo contrario: Si tienes al menos tres cartas todas del mismo palo, entonces tienes nueve cartas. Esto es falso. Podrías tener tres espadas y nada más. Tenga en cuenta que para demostrar que lo contrario (una implicación) es falso, proporcionamos un ejemplo donde la hipótesis es cierta (sí tienes tres cartas del mismo palo), pero donde la conclusión es falsa (no tienes nueve cartas).

Comprender las conversas y los contrapositivos puede ayudar a comprender las implicaciones y sus valores de verdad:

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Supongamos que le digo a Sue que si obtiene un 93% en su final, entonces obtendrá una A en la clase. Suponiendo que lo que dije es cierto, qué se puede concluir en los siguientes casos:

1. Sue obtiene un 93% en su final.
2. Sue obtiene una A en la clase.
3. Sue no consigue un 93% en su final.
4. Sue no consigue una A en la clase.

Solución

Tenga en cuenta primero que siempre\(P \imp Q\) and \(P\) are both true statements, \(Q\) must be true as well. For this problem, take \(P\) to mean “Sue gets a 93% on her final” and \(Q\) to mean “Sue will get an A in the class.”

1. Tenemos\(P \imp Q\) and \(P\text{,}\) so \(Q\) follows. Sue gets an A.
2. No se puede concluir nada. Sue podría haber conseguido la A porque le hizo crédito extra por ejemplo. Observe que no sabemos que si Sue obtiene un\(A\text{,}\) then she gets a 93% on her final. That is the converse of the original implication, so it might or might not be true.
3. El contrapositivo de lo contrario de\(P \imp Q\) is \(\neg P \imp \neg Q\text{,}\) which states that if Sue does not get a 93% on the final, then she will not get an A in the class. But this does not follow from the original implication. Again, we can conclude nothing. Sue could have done extra credit.
4. ¿Qué pasaría si Sue no consigue una A pero sí obtuvo un 93% en la final? Entonces\(P\) would be true and \(Q\) would be false. This makes the implication \(P \imp Q\) false! It must be that Sue did not get a 93% on the final. Notice now we have the implication \(\neg Q \imp \neg P\) which is the contrapositive of \(P \imp Q\text{.}\) Since \(P \imp Q\) is assumed to be true, we know \(\neg Q \imp \neg P\) is true as well.

Como dijimos anteriormente, una implicación no es lógicamente equivalente a su contrario, sino que es posible que ambas sean verdaderas. En este caso, cuando ambos\(P \imp Q\) y\(Q \imp P\) son ciertos, decimos eso\(P\) y\(Q\) son equivalentes. Este es el bicondicional que mencionamos anteriormente:

Si y solo si

\(P \iff Q\)es lógicamente equivalente a\((P \imp Q) \wedge (Q \imp P)\text{.}\)

Ejemplo: Dado un entero\(n\text{,}\) es cierto que\(n\) es incluso si y solo si\(n^2\) es par. Es decir, si\(n\) es par, entonces\(n^2\) es par, así como lo contrario: si\(n^2\) es par, entonces\(n\) es par.

Se puede pensar en las declaraciones de “si y solo si” como que tienen dos partes: una implicación y su conversa. Podríamos decir que una es la parte del “si”, y la otra es la parte del “único si”. También a veces decimos que las declaraciones “si y solo si” tienen dos direcciones: una dirección hacia adelante\((P \imp Q)\) y una dirección hacia atrás (\(P \leftarrow Q\text{,}\)que en realidad es una notación descuidada para\(Q \imp P\)).

Pensemos un poco en qué parte es cuál. ¿Es\(P \imp Q\) la parte “si” o la parte “sólo si”? Quizás deberíamos mirar un ejemplo:

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que es cierto que canto si y sólo si estoy en la ducha. Sabemos que esto significa tanto que si canto, entonces estoy en la ducha, y también lo contrario, que si estoy en la ducha, entonces canto. Que\(P\) sea la declaración, “canto”, y\(Q\) sé, “estoy en la ducha”. Así\(P \imp Q\) es la declaración “si canto, entonces estoy en la ducha”. ¿Qué parte de la declaración si y sólo si es esta?

Lo que realmente estamos preguntando es cuál es el significado de “canto si estoy en la ducha” y “canto solo si estoy en la ducha”. ¿Cuándo es falsa la primera (la parte “si”)? Cuando estoy en la ducha pero no canto. Esa es la misma condición al ser falso que la declaración “si estoy en la ducha, entonces canto”. Entonces la parte del “si” es\(Q \imp P\text{.}\) Por otro lado, decir, “canto solo si estoy en la ducha” equivale a decir “si canto, entonces estoy en la ducha”, entonces la parte de “solo si” es\(P \imp Q\text{.}\)

No es terriblemente importante saber qué parte es la parte del “si” o “solo si”, pero esto sí llega a algo muy, muy importante: ¡hay muchas maneras de afirmar una implicación! El problema es que, dado que todas estas son formas diferentes de decir la misma implicación, no podemos usar tablas de verdad para analizar la situación. En cambio, solo necesitamos buenas habilidades en inglés.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Reformular la implicación, “si sueño, entonces estoy dormido” de tantas maneras diferentes como sea posible. Entonces haz lo mismo por lo contrario.

Solución

Los siguientes son todos equivalentes a la implicación original:

1. Estoy dormido si sueño.
2. Sueño sólo si estoy dormido.
3. Para soñar, debo estar dormida.
4. Para soñar, es necesario que esté dormido.
5. Para estar dormido, es suficiente soñar.
6. No estoy soñando a menos que esté dormido.

Los siguientes son equivalentes a lo contrario (si estoy dormido, entonces sueño):

1. Sueño si estoy dormido.
2. Estoy dormido sólo si sueño.
3. Es necesario que sueño para poder estar dormida.
4. Es suficiente que esté dormido para poder soñar.
5. Si no sueño, entonces no estoy dormido.

Ojalá esté de acuerdo con el ejemplo anterior. Incluimos las versiones “necesarias y suficientes” porque esas son comunes a la hora de hablar de matemáticas. De hecho, pongamos de acuerdo de una vez por todas lo que significan:

Necesario y Suficiente

• “\(P\)es necesario para\(Q\)” significa\(Q \imp P\text{.}\)
• “\(P\)es suficiente para\(Q\)” significa\(P \imp Q\text{.}\)
• Si\(P\) es necesario y suficiente para\(Q\text{,}\) entonces\(P \iff Q\text{.}\)

Para ser honesto, tengo problemas con estos si no tengo mucho cuidado. Me parece útil tener un ejemplo en mente:

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Recordemos del cálculo, si una función es diferenciable en un punto\(c\text{,}\) entonces es continua en\(c\text{,}\) pero que lo contrario de esta afirmación no es cierto (por ejemplo,\(f(x) = |x|\) en el punto 0). Reafirmar este hecho usando lenguaje “necesario y suficiente”.

Solución

Es cierto que para que una función sea diferenciable en un punto\(c\text{,}\) it is necessary for the function to be continuous at \(c\text{.}\) However, it is not necessary that a function be differentiable at \(c\) for it to be continuous at \(c\text{.}\)

Es cierto que para ser continuo en un punto\(c\text{,}\) it is sufficient that the function be differentiable at \(c\text{.}\) However, it is not the case that being continuous at \(c\) is sufficient for a function to be differentiable at \(c\text{.}\)

Pensar en la necesidad y suficiencia de las condiciones también puede ayudar a la hora de redactar pruebas y justificar conclusiones. Si quieres establecer algún hecho matemático, es útil pensar qué otros hechos serían suficientes (serían suficientes) para probar tu hecho. Si tienes una suposición, piensa en lo que también debe ser necesario si esa hipótesis es cierta.

Cuantificadores

¡Investiga!

Considera el enunciado a continuación. Decidir si alguno es equivalente entre sí, o si alguno implica otros.

1. Puedes engañar a algunas personas todo el tiempo.
2. Puedes engañar a todos alguna parte del tiempo.
3. Siempre se puede engañar a algunas personas.
4. A veces puedes engañar a todos.

Sería bueno usar variables en nuestras oraciones matemáticas. Por ejemplo, supongamos que quisiéramos afirmar que si\(n\) es primo, entonces no\(n+7\) es primo. Esto parece una implicación. me gustaría escribir algo así como

\ comenzar {ecuación*} P (n)\ imp\ neg P (n+7)\ final {ecuación*}

donde\(P(n)\) significa “\(n\)es primo”. Pero esto no es del todo correcto. Por un lado, debido a que esta frase tiene una variable libre (es decir, una variable de la que no hemos especificado nada), no es una sentencia. Ahora bien, si enchufamos un valor específico para\(n\text{,}\) nosotros sí obtenemos una declaración. De hecho, resulta que no importa para qué valor\(n\text{,}\) conectemos obtenemos una verdadera implicación. Lo que realmente queremos decir es que para todos los valores de\(n\text{,}\) si\(n\) es primo, entonces no lo\(n+7\) es. Necesitamos cuantificar la variable.

Aunque hay muchos tipos de cuantificadores en inglés (por ejemplo, muchos, pocos, la mayoría, etc.) en matemáticas nosotros, en su mayor parte, nos apegamos a dos: existencial y universal.

Cuantificadores universales y existenciales

El cuantificador existencial es\(\exists\) y se lee “existe” o “hay”. Por ejemplo,

\[\exists x (x < 0) \]

afirma que hay un número menor que 0.

El cuantificador universal es\(\forall\) y se lee “para todos” o “todos”. Por ejemplo,

\ comenzar {ecuación*}\ para todos x (x\ ge 0)\ fin {ecuación*}

afirma que cada número es mayor o igual a 0.

Al igual que con todas las afirmaciones matemáticas, nos gustaría decidir si las declaraciones cuantificadas son verdaderas o falsas. Considerar la declaración

\ begin {ecuación*}\ forall x\ existe y (y < x). \ end {ecuación*}

Leerías esto, “por cada\(x\) hay algo\(y\) tal que\(y\) es menor que\(x\text{.}\)” ¿Es esto cierto? La respuesta depende de cuál sea nuestro dominio de discurso: cuando decimos “para todos”\(x\text{,}\) ¿nos referimos a todos los enteros positivos o a todos los números reales o a todos los elementos de algún otro conjunto? Por lo general, esta información está implícita. En matemáticas discretas, casi siempre cuantificamos sobre los números naturales, 0, 1, 2,..., así que tomemos eso para nuestro dominio del discurso aquí.

Para que la afirmación sea cierta, necesitamos que sea el caso de que no importa qué número natural seleccionemos, siempre hay algún número natural que sea estrictamente menor. Quizás podríamos dejar\(y\) ser\(x-1\text{?}\) Pero aquí está el problema: ¿y si\(x = 0\text{?}\) Entonces\(y = -1\) y eso no es un número! (en nuestro dominio del discurso). Así vemos que la declaración es falsa porque hay un número que es menor o igual a todos los demás números. En símbolos,

\ begin {ecuación*}\ existe x\ para todos y (y\ ge x). \ end {ecuación*}

Para demostrar que la afirmación original es falsa, probamos que la negación era cierta. Observe cómo se comparan la negación y la declaración original. Esto es típico.

Cuantificadores y Negación

\(\neg \forall x P(x)\)es equivalente a\(\exists x \neg P(x)\text{.}\)

\(\neg \exists x P(x)\)es equivalente a\(\forall x \neg P(x) \text{.}\)

Esencialmente, podemos pasar el símbolo de negación sobre un cuantificador, pero eso hace que el cuantificador cambie de tipo. Esto no debería sorprender: si no todo tiene una propiedad, entonces algo no tiene esa propiedad. Y si no hay algo con una propiedad, entonces todo no tiene esa propiedad.