2.2: Secuencias aritméticas y geométricas

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¡Investiga!

Para los patrones de puntos a continuación, dibuje el siguiente patrón en la secuencia. Luego dé una definición recursiva y una fórmula cerrada para el número de puntos en el patrón\(n\) th.

1. 
2. 
3. 

Pasamos ahora a la cuestión de encontrar fórmulas cerradas para tipos particulares de secuencias.

Secuencias Aritméticas

Si los términos de una secuencia difieren por una constante, decimos que la secuencia es aritmética. Si el término inicial (\(a_0\)) de la secuencia es\(a\) y la diferencia común es\(d\text{,}\) entonces tenemos,

Definición recursiva:\(a_n = a_{n-1} + d\) con\(a_0 = a\text{.}\)

Fórmula cerrada:\(a_n = a + dn\text{.}\)

¿Cómo sabemos esto? Para la definición recursiva, necesitamos especificar\(a_0\text{.}\) Entonces necesitamos expresarnos\(a_n\) en términos de\(a_{n-1}\text{.}\) Si llamamos al primer término\(a\text{,}\) entonces\(a_0 = a\text{.}\) Para la relación de recurrencia, por la definición de una secuencia aritmética, la diferencia entre términos sucesivos es alguna constante, digamos \(d\text{.}\)Así\(a_n - a_{n-1} = d\text{,}\) o en otras palabras,

\ begin {ecuación*} a_0 = a\ qquad a_n=a_ {n-1} +d.\ end {ecuación*}

Para encontrar una fórmula cerrada, primero escriba la secuencia en general:

\ begin {alinear*} a_0 & = a\\ a_1 & = a_0 + d = a+d\\ a_2 & = a_1 + d = a+d+d = a+2d\\ a_3 & = a_2 + d = a+2d+d = a+3d\ &\ vdots\ end {align*}

Vemos que para encontrar el término\(n\) th, necesitamos comenzar con\(a\) y luego agregar\(d\) un montón de veces. De hecho, agrégalo\(n\) veces. Así\(a_n = a+dn\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentre definiciones recursivas y fórmulas cerradas para las siguientes secuencias. Supongamos que el primer término enumerado es\(a_0\text{.}\)

1. \(2, 5, 8, 11, 14, \ldots\text{.}\)
2. \(50, 43, 36, 29, \ldots\text{.}\)

Solución

Primero debemos comprobar que estas secuencias realmente son aritméticas tomando diferencias de términos sucesivos. Hacerlo revelará la diferencia común\(d\text{.}\)

1. \(5-2 = 3\text{,}\) \(8-5 = 3\text{,}\) etc. To get from each term to the next, we add three, so \(d = 3\text{.}\) The recursive definition is therefore \(a_n = a_{n-1} + 3\) with \(a_0 = 2\text{.}\) The closed formula is \(a_n = 2 + 3n\text{.}\)
2. Aquí la diferencia común es\(-7\text{,}\) since we add \(-7\) to 50 to get 43, and so on. Thus we have a recursive definition of \(a_n = a_{n-1} - 7\) with \(a_0 = 50\text{.}\) The closed formula is \(a_n = 50 - 7n\text{.}\)

Lo que pasa con las secuencias como\(2, 6, 18, 54, \ldots\text{?}\) This is not arithmetic because the difference between terms is not constant. However, the relación entre términos sucesivos es constante. A tales secuencias las llamamos geométricas.

La definición recursiva para la secuencia geométrica con término inicial\(a\) y relación común\(r\) es\(a_n = a_{n}\cdot r; a_0 = a\text{.}\) Para obtener el siguiente término multiplicamos el término anterior por\(r\text{.}\) Podemos encontrar la fórmula cerrada como hicimos para la progresión aritmética. Escribir

\ begin {alinear*} a_0 & = a\\ a_1 & = a_0\ cdot r\\ a_2 & = a_1\ cdot r = a_0\ cdot r\ cdot r = a_0\ cdot r^2\\ &\ vdots\ end {alinear*}

Debemos multiplicar el primer término\(a\) por\(r\) un número de veces,\(n\) veces para ser precisos. Obtenemos\(a_n = a\cdot r^{n}\text{.}\)

Secuencias Geométricas

Una secuencia se llama geométrica si la relación entre términos sucesivos es constante. Supongamos que el término inicial\(a_0\) es\(a\) y la proporción común es\(r\text{.}\) Entonces tenemos,

• Definición recursiva:\(a_n = ra_{n-1}\) con\(a_0 = a\text{.}\)
• Fórmula cerrada:\(a_n = a\cdot r^{n}\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentre la fórmula recursiva y cerrada para las secuencias a continuación. Nuevamente, el primer término enumerado es\(a_0\text{.}\)

1. \(3, 6, 12, 24, 48, \ldots\)
2. \(27, 9, 3, 1, 1/3, \ldots\)

Solución

Nuevamente, primero debemos comprobar que estas secuencias realmente son geométricas, esta vez dividiendo cada término por su término anterior. Asumiendo que esta relación es constante, habremos encontrado\(r\text{.}\)

1. \(6/3 = 2\text{,}\) \(12/6 = 2\text{,}\) \(24/12 = 2\text{,}\) etc. Yes, to get from any term to the next, we multiply by \(r = 2\text{.}\) So the recursive definition is \(a_n = 2a_{n-1}\) with \(a_0 = 3\text{.}\) The closed formula is \(a_n = 3\cdot 2^{n}\text{.}\)
2. La relación común es\(r = 1/3\text{.}\) So the sequence has recursive definition \(a_n = \frac{1}{3}a_{n-1}\) with \(a_0 = 27\) and closed formula \(a_n = 27\cdot \frac{1}{3}^{n}\text{.}\)

En los ejemplos y fórmulas anteriores, asumimos que el término inicial era\(a_0\text{.}\) If your sequence starts with \(a_1\text{,}\) you can easily find the term that would have been \(a_0\) and use that in the formula. For example, if we want a formula for the sequence \(2, 5, 8,\ldots\) and insist that \(2= a_1\text{,}\) then we can find \(a_0 = -1\) (since the sequence is arithmetic with common difference 3, we have \(a_0 + 3 = a_1\)). Then the closed formula will be \(a_n = -1 + 3n\text{.}\)

Si miras otros libros de texto o en línea, podrías encontrar que sus fórmulas cerradas para secuencias aritméticas y geométricas difieren de las nuestras. Específicamente, podrías encontrar las fórmulas\(a_n = a +(n-1)d\) (aritmética) y\(a_n = a\cdot r^{n-1}\) (geométrica). ¿Cuál es el correcto? ¡Ambos! En nuestro caso, tomamos\(a\) para ser\(a_0\text{.}\) Si en cambio tuviéramos\(a_1\) como nuestro término inicial, obtendríamos las fórmulas (un poco más complicadas) que encuentras en otra parte.

Sumas de secuencias aritméticas y geométricas

¡Investiga!

La tienda de comestibles de tu vecindario tiene una máquina de dulces llena de bolos.

1. Supongamos que la máquina de dulces actualmente contiene exactamente 650 Skittles, y cada vez que alguien inserta un cuarto, exactamente 7 Skittles salen de la máquina.
   1. ¿Cuántos bolos quedarán en la máquina después de que se hayan insertado 20 cuartos?
   2. ¿Alguna vez quedarán exactamente cero bolos en la máquina? Explicar.
2. ¿Y si la máquina de dulces le da 7 Skittles al primer cliente que pone en un cuarto, 10 al segundo, 13 al tercero, 16 al cuarto, etc. ¿Cuántos Skittles ha entregado la máquina después de que 20 cuartos se ponen en la máquina?
3. Ahora bien, ¿y si la máquina le da 4 Skittles al primer cliente, 7 al segundo, 12 al tercero, 19 al cuarto, etc. ¿Cuántos Skittles ha entregado la máquina después de que 20 cuartos se ponen en la máquina?

Mira la secuencia\((T_n)_{n\ge 1}\) que inicia\(1, 3, 6, 10, 15,\ldots\text{.}\) Estos se llaman los números triangulares ya que representan el número de puntos en un triángulo equilátero (piensa en cómo arreglas 10 boleras: una fila de 4 más una fila de 3 más una fila de 2 y una fila de 1).

¿Esta secuencia es aritmética? No, ya\(3-1 = 2\) y\(6-3 = 3 \ne 2\text{,}\) así no hay diferencia común. ¿La secuencia es geométrica? No. \(3/1 = 3\)pero\(6/3 = 2\text{,}\) entonces no hay una relación común. ¿Qué hacer?

Observe que las diferencias entre términos forman una secuencia aritmética:\(2, 3, 4, 5, 6,\ldots\text{.}\) Esto dice que el término\(n\) th de la secuencia\(1,3,6,10,15,\ldots\) es la suma de los primeros\(n\) términos en la secuencia\(1,2,3,4,5,\ldots\text{.}\) Decimos que la primera secuencia es la secuencia de sumas parciales de la segunda secuencia (sumas parciales porque no estamos tomando la suma de todos infinitamente muchos términos). Si sabemos sumar los términos de una secuencia aritmética, podríamos usar esto para encontrar una fórmula cerrada para una secuencia cuyas diferencias son los términos de esa secuencia aritmética.

Esto debería quedar más claro si escribimos los números triangulares así:

\ begin {alinear*} 1 & = 1\\ 3 & = 1+2\\ 6 & = 1 + 2 + 3\\ 10 & = 1+2 + 3+ 4\\ vdots &\ qquad\ vdots\\ t_n & = 1 + 2 + 3 +\ cdots + n.\ end {align*}

Consideremos cómo podríamos encontrar la suma de los primeros 100 enteros positivos (es decir,\(T_{100}\)). En lugar de agregarlos en orden, nos reagruparemos y agregamos\(1+100 = 101\text{.}\) El siguiente par a combinar es\(2+99 = 101\text{.}\) Then\(3+98 = 101\text{.}\) Keep going. Esto da 50 pares que suman cada uno\(101\text{,}\) así\(T_{100} = 101\cdot 50 = 5050\text{.}\) ¹ Esta perspicacia suele atribuirse a Carl Friedrich Gauss, uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos, quien la descubrió cuando era niño cuando su desagradable maestro de primaria pensó que lo haría mantener ocupada a la clase exigiéndoles que computen la suma larga.

En general, usando este mismo tipo de reagrupamiento, encontramos que\(T_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}\) Por cierto, esto es exactamente lo mismo\({n+1 \choose 2}\text{,}\) que tiene sentido si piensas en los números triangulares como contar el número de apretones de\(n\) manos que tienen lugar en una fiesta con la\(n+1\) gente: la primera persona le da la mano , el siguiente sacude una\(n-1\) mano adicional y así sucesivamente.

El punto de todo esto es que algunas secuencias, si bien no son aritméticas o geométricas, pueden interpretarse como la secuencia de sumas parciales de secuencias aritméticas y geométricas. Por suerte hay métodos que podemos usar para calcular estas sumas rápidamente.

Sumando Secuencias Aritméticas: Reverse y Agregar

Aquí hay una técnica que nos permite encontrar rápidamente la suma de una secuencia aritmética.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra la suma:\(2 + 5 + 8 + 11 + 14 + \cdots + 470\text{.}\)

Solución

La idea es imitar cómo encontramos la fórmula para los números triangulares. Si agregamos los términos primero y último, obtenemos 472. El segundo término y el penúltimo término también suman 472. Para hacer un seguimiento de todo, podríamos expresarlo de la siguiente manera. Llamar a la suma\(S\text{.}\) Then,

\(S =\)	\(2\)	\(+\)	\(5\)	\(+\)	\(8\)	\(+ \cdots +\)	\(467\)	\(+\)	470
\(+ \quad S =\)	\(470\)	\(+\)	\(467\)	\(+\)	\(464\)	\(+ \cdots +\)	\(5\)	\(+\)	2
\(2S =\)	\(472\)	\(+\)	\(472\)	\(+\)	\(472\)	\(+ \cdots +\)	\(472\)	\(+\)	\(472\)

Para encontrar\(2S\) then we add 472 to itself a number of times. What number? We need to decide how many terms (summands) are in the sum. Since the terms form an arithmetic sequence, the \(n\)th term in the sum (counting \(2\) as the 0th term) can be expressed as \(2 + 3n\text{.}\) If \(2 + 3n = 470\) then \(n = 156\text{.}\) So \(n\) ranges from 0 to 156, giving 157 terms in the sum. This is the number of 472's in the sum for \(2S\text{.}\) Thus

\ begin {ecuación*} 2S = 157\ cdot 472 = 74104\ final {ecuación*}

Ahora es fácil encontrar\(S\text{:}\)

\ begin {ecuación*} S = 74104/2 = 37052\ fin {ecuación*}

Esto funcionará para cualquier suma de secuencias aritméticas. Llamar a la suma\(S\text{.}\) Reverse y agregar. Esto produce un solo número agregado a sí mismo muchas veces. Encuentra el número de veces. Multiplicar. Dividir por 2. Hecho.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentre una fórmula cerrada para\(6 + 10 + 14 + \cdots + (4n - 2)\text{.}\)

Solución

Nuevamente, tenemos una suma de una secuencia aritmética. Necesitamos saber cuántos términos hay en la secuencia. Claramente cada término en la secuencia tiene la forma\(4k -2\) (as evidenced by the last term). For which values of \(k\) though? To get 6, \(k = 2\text{.}\) To get \(4n-2\) take \(k = n\text{.}\) So to find the number of terms, we need to know how many integers are in the range \(2,3,\ldots, n\text{.}\) The answer is \(n-1\text{.}\) (There are \(n\) numbers from 1 to \(n\text{,}\) so one less if we start with 2.)

Ahora invierta y agregue:

\(S =\)	\(6\)	\(+\)	\(10\)	\(+ \cdots +\)	\(4n-6\)	\(+\)	\(4n-2\)
\(+ \quad S =\)	\(4n-2\)	\(+\)	\(4n-6\)	\(+ \cdots +\)	\(10\)	\(+\)	6
\(2S =\)	\(4n+4\)	\(+\)	\(4n+4\)	\(+ \cdots +\)	\(4n+4\)	\(+\)	\(4n+4\)

Ya que hay\(n-2\) terms, we get

\ begin {ecuación*} 2S = (n-2) (4n+4)\ qquad\ mbox {so}\ qquad S =\ frac {(n-2) (4n+4)} {2}\ end {ecuación*}

Además de encontrar sumas, podemos usar esta técnica para encontrar fórmulas cerradas para secuencias que reconocemos como secuencias de sumas parciales.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Use sumas parciales para encontrar una fórmula cerrada para la\((a_n)_{n\ge 0}\) que comience\(2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots \ldots\)

Solución

Primero, si miras las diferencias entre términos, obtienes una secuencia de diferencias:\(1,4,7,10,13, \ldots\text{,}\) which is an arithmetic sequence. Written another way:

\ begin {alinear*} a_0 & = 2\\ a_1 & = 2+1\\ a_2 & = 2+1+4\\ a_3 & = 2+1+4+7\ end {alinear*}

y así sucesivamente. Podemos escribir el término general de\((a_n)\) in terms of the arithmetic sequence as follows:

\ start {ecuación*} a_n = 2 + 1 + 4 + 7 + 10 +\ cdots + (1+3 (n-1))\ end {ecuación*}

(utilizamos\(1+3(n-1)\) instead of \(1+3n\) to get the indices to line up correctly; for \(a_3\) we add up to 7, which is \(1+3(3-1)\)).

Podemos revertir y sumar, pero el 2 inicial no se ajusta a nuestro patrón. Esto solo significa que necesitamos mantener el 2 fuera de la parte inversa:

\(a_n =\)	\(2\)	\(+\)	\(1\)	\(+\)	\(4\)	\(+ \cdots +\)	\(1+3(n-1)\)
\(+ ~ a_n =\)	\(2\)	\(+\)	\(1+3(n-1)\)	\(+\)	\(1+3(n-2)\)	\(+ \cdots +\)	\(1\)
\(2a_n =\)	\(4\)	\(+\)	\(2+3(n-1)\)	\(+\)	\(2+3(n-1)\)	\(+ \cdots +\)	\(2+3(n-1)\)

Sin contar el primer término (el 4) hay\(n\) summands of \(2+3(n-1) = 3n-1\) so the right-hand side becomes \(2+(3n-1)n\text{.}\)

Finalmente, resolviendo\(a_n\) we get

\ begin {ecuación*} a_n =\ d\ frac {4+ (3n-1) n} {2}. \ end {ecuación*}

Solo para estar seguros, verificamos\(a_0 = \frac{4}{2} = 2\text{,}\) \(a_1 = \frac{4+2}{2} = 3\text{,}\) etc. We have the correct closed formula.

Sumando secuencias geométricas: Multiplicar, desplazar y restar

Para encontrar la suma de una secuencia geométrica, no podemos simplemente invertir y sumar. ¿Ves por qué? La razón por la que conseguimos que el mismo término se le agregara muchas veces es porque había una diferencia constante. Entonces al sumar esa diferencia en una dirección, restamos la diferencia yendo hacia el otro lado, dejando un total constante. Para las sumas geométricas, tenemos una técnica diferente.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Qué es\(3 + 6 + 12 + 24 + \cdots + 12288\text{?}\)

Solución

Multiplique cada término por 2, la proporción común. Obtienes\(2S = 6 + 12 + 24 + \cdots + 24576\). Now subtract: \(2S - S = -3 + 24576 = 24573\text{.}\) Since \(2S - S = S\text{,}\) we have our answer.

Para ver mejor lo que sucedió en el ejemplo anterior, intente escribirlo de esta manera:

\(S=\)	\(3 \, +\)	\(6 + 12 + 24 + \cdots + 12288\)
\(-~2S=\)		\(6 + 12 + 24 + \cdots + 12288\)	\(+ 24576\)
\(-S = \)	\(3 \, +\)	\(0 + 0 + 0 + \cdots + 0 \)	\(-24576\)

Entonces dividimos ambos lados por\(-1\) y tenemos el mismo resultado para\(S\text{.}\) La idea es, al multiplicar la suma por la proporción común, cada término se convierte en el siguiente término. Nos desplazamos sobre la suma para conseguir que la resta se cancele mayormente, dejando solo el primer término y el nuevo último término.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Encuentre una fórmula cerrada para\(S(n) = 2 + 10 + 50 + \cdots + 2\cdot 5^n\text{.}\)

Solución

El cociente común es de 5. Así que tenemos

\(S\)	\(= 2 + 10 + 50 + \cdots + 2\cdot 5^n\)
\(-~~5S\)	\(= ~~~~~~10 + 50 + \cdots + 2\cdot 5^n + 2\cdot5^{n+1}\)
\(-4S\)	\(= 2 - 2\cdot5^{n+1}\)

Por lo tanto\(S = \dfrac{2-2\cdot 5^{n+1}}{-4}\)

A pesar de que esto pueda parecer una técnica nueva, probablemente la hayas usado antes.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Expresar\(0.464646\ldots\) como una fracción.

Solución

Let\(N = 0.46464646\ldots\text{.}\) Consider \(0.01N\text{.}\) We get:

	\(N =\)	\(0.4646464\ldots\)
\(-\)	\(0.01N =\)	\(0.00464646\ldots\)
	\(0.99N =\)	\(0.46\)

Entonces\(N = \frac{46}{99}\text{.}\) What have we done? We viewed the repeating decimal \(0.464646\ldots\) as a sum of the geometric sequence \(0.46, 0.0046, 0.000046, \ldots\) The common ratio is \(0.01\text{.}\) The only real difference is that we are now computing an infinite geometric sum, we do not have the extra “last” term to consider. Really, this is the result of taking a limit as you would in calculus when you compute infinite geometric sums.

\ (\ sum\) y\(\prod\) notación” class="título tipo escondite lt-math-14755">\(\sum\) y\(\prod\) notación

Para simplificar la escritura de sumas, usaremos notación como\(\d\sum_{k=1}^n a_k\text{.}\) Esto significa sumar los\(a_k\)'s donde\(k\) cambia de 1 a\(n\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Usa\(\sum\) notación para reescribir las sumas:

1. \(1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 100\)
2. \(1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{50}\)
3. \(6 + 10 + 14 + \cdots + (4n - 2)\text{.}\)

Solución

\(\d\sum_{k=1}^{100} k\)\(\d\sum_{k=0}^{50} 2^k\)\(\d\sum_{k=2}^{n} (4k -2)\)

Si queremos multiplicar el\(a_k\) lugar, escribiríamos\(\d\prod_{k=1}^n a_k\text{.}\) Por ejemplo,\(\d\prod_{k=1}^n k = n!\text{.}\)