3.0: Preludio a la lógica simbólica y las pruebas

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La lógica es el estudio de las consecuencias. Dados algunos enunciados matemáticos o hechos, nos gustaría poder sacar algunas conclusiones. Por ejemplo, si te dijera que una función particular de valor real era continua en el intervalo\([0,1]\text{,}\)\(f(0) = -1\) y\(f(1) = 5\text{,}\) ¿podemos concluir que hay algún punto entre\([0,1]\) donde la gráfica de la función cruza el\(x\) eje -eje? Sí, podemos, gracias al Teorema del Valor Intermedio del Cálculo. ¿Podemos concluir que hay exactamente un punto? No. Siempre que encontramos una “respuesta” en matemáticas, realmente tenemos un argumento (quizás oculto). Las matemáticas se trata realmente de probar declaraciones generales (como el Teorema del Valor Intermedio), y esto también se hace a través de un argumento, generalmente llamado prueba. Comenzamos con algunas condiciones dadas, las premisas de nuestro argumento, y a partir de éstas encontramos una consecuencia de interés, nuestra conclusión.

El problema es que, como sin duda sabes por discutir con amigos, no todos los argumentos son buenos argumentos. Un argumento “malo” es aquel en el que la conclusión no se desprende de las premisas, es decir, la conclusión no es consecuencia de las premisas. La lógica es el estudio de lo que hace que un argumento sea bueno o malo. Es decir, la lógica pretende determinar en qué casos una conclusión es, o no, consecuencia de un conjunto de premisas.

Por cierto, “argumento” es en realidad un término técnico en matemáticas (y filosofía, otra disciplina que estudia la lógica):

Definición: Argumentos

Un argumento es un conjunto de declaraciones, una de las cuales se llama la conclusión y el resto de las cuales se llaman premisas. Se dice que un argumento es válido si la conclusión debe ser verdadera siempre que todas las premisas sean verdaderas. Un argumento es inválido si no es válido; es posible que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa.

Por ejemplo, considere los siguientes dos argumentos:

	Si Edith se come sus verduras, entonces puede tomar una galleta.
	Edith se come sus verduras.
\(\therefore\)	Edith recibe una galleta.

	Florence debe comer sus verduras para obtener una galleta.
	Florence se come sus verduras.
\(\therefore\)	Florence recibe una galleta.

(El símbolo “\(\therefore\)” significa “por lo tanto”)

¿Son válidos estos argumentos? Ojalá estés de acuerdo en que el primero es pero el segundo no lo es. La lógica nos dice por qué analizando la estructura de los enunciados en el argumento. Observe que los dos argumentos anteriores parecen casi idénticos. Edith y Florence comen sus verduras. En ambos casos existe una conexión entre el consumo de verduras y galletas. Pero afirmamos que es válido concluir que Edith recibe una galleta, pero no que Florence sí. La diferencia debe estar en la conexión entre comer verduras y obtener galletas. Necesitamos ser expertos en la lectura y comprensión de estas oraciones. ¿Las dos frases significan lo mismo? Desafortunadamente, en el lenguaje cotidiano a menudo somos descuidados, y es posible que se sienta tentado a decir que son equivalentes. Pero fíjense que solo porque Florencia deba comerse sus verduras, no hemos dicho que hacerlo sería suficiente (también podría necesitar limpiar su habitación, por ejemplo). En la práctica cotidiana (no matemática), podrías sentirte tentado a decir que esta “otra dirección” está implícita. En matemáticas, nunca conseguimos ese lujo.

Antes de continuar, podría ser una buena idea revisar rápidamente la Sección 0.2 donde encontramos por primera vez declaraciones y las diversas formas que pueden tomar. El objetivo ahora es ver qué herramientas matemáticas podemos desarrollar para analizarlas mejor, y luego ver cómo esto ayuda a leer y escribir pruebas