Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

3.1: Lógica Proposicional

  • Page ID
    115871
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Template:MathJaxLevin

    ¡Investiga!

    Te encuentras con dos trolls jugando Stratego®. Te dicen:

    Troll 1: Si somos primos, entonces los dos somos knaves.

    Troll 2: Somos primos o los dos somos knaves.

    ¿Podrían ambos trolls ser caballeros? Recordemos que todos los trolls son caballeros siempre reveladores de la verdad o bien son siempre puñetazos.

    Una proposición es simplemente una declaración. La lógica proposicional estudia las formas en que las declaraciones pueden interactuar entre sí. Es importante recordar que a la lógica proposicional no le importa realmente el contenido de las declaraciones. Por ejemplo, en términos de lógica proposicional, las afirmaciones, “si la luna está hecha de queso entonces las pelotas de baloncesto son redondas”, y “si las arañas tienen ocho patas entonces Sam camina cojeando” son exactamente las mismas. Ambas son implicaciones: declaraciones de la forma,\(P \imp Q\text{.}\)

    Tablas de la Verdad

    Aquí hay una pregunta sobre jugar Monopoly:

    Si obtienes más dobles que cualquier otro jugador entonces perderás, o si pierdes entonces debes haber comprado la mayor cantidad de propiedades.

    ¿Verdadero o falso? Vamos a responder a esta pregunta, y no necesitaremos saber nada sobre Monopoly. En cambio veremos la forma lógica de la declaración.

    Tenemos que decidir cuándo\((P \imp Q) \vee (Q \imp R)\) es verdadera la afirmación. Utilizando las definiciones de los conectivos en la Sección 0.2, vemos que para que esto sea cierto, o bien\(P \imp Q\) debe ser cierto o\(Q \imp R\) debe ser cierto (o ambos). Esos son verdaderos si o\(P\) es falso o\(Q\) es verdadero (en el primer caso) y\(Q\) es falso o\(R\) es verdadero (en el segundo caso). Entonces, sí, se pone un poco desordenado. Por suerte, podemos hacer un gráfico para hacer un seguimiento de todas las posibilidades. Ingresa tablas de verdad. La idea es esta: en cada fila, enumeramos una posible combinación de T y F (para verdadero y falso) para cada una de las variables sentenciales, y luego marcamos si la afirmación en cuestión es verdadera o falsa en ese caso. Hacemos esto por cada combinación posible de T's y F's. Entonces podemos ver claramente en qué casos la afirmación es verdadera o falsa. Para declaraciones complicadas, primero rellenaremos valores para cada parte de la declaración, como una forma de dividir nuestra tarea en piezas más pequeñas y manejables.

    Dado que el valor de verdad de una declaración está completamente determinado por los valores de verdad de sus partes y cómo están conectadas, todo lo que realmente necesitas saber son las tablas de verdad para cada una de las conectivas lógicas. Aquí están:

    \(P\) \(Q\) \(P\wedge Q\)
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">T \ (P\ cuña Q\) ">T
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">F \ (P\ cuña Q\) ">F
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">T \ (P\ cuña Q\) ">F
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">F \ (P\ cuña Q\) ">F
    \(P\) \(Q\) \(P\vee Q\)
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">T \ (P\ vee Q\) ">T
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">F \ (P\ vee Q\) ">T
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">T \ (P\ vee Q\) ">T
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">F \ (P\ vee Q\) ">F
    \(P\) \(Q\) \(P\imp Q\)
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">T \ (P\ imp Q\) ">T
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">F \ (P\ imp Q\) ">F
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">T \ (P\ imp Q\) ">T
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">F \ (P\ imp Q\) ">T
    \(P\) \(Q\) \(P\iff Q\)
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">T \ (P\ iff Q\) ">T
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">F \ (P\ iff Q\) ">F
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">T \ (P\ iff Q\) ">F
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">F \ (P\ iff Q\) ">T

    La tabla de la verdad para la negación se ve así:

    \(P\) \(\neg P\)
    \ (P\) ">T \ (\ neg P\) ">F
    \ (P\) ">F \ (\ neg P\) ">T

    Ninguna de estas tablas de la verdad debería ser una sorpresa; todas solo están reformulando las definiciones de los conectivos. Intentemos con otro.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Hacer una tabla de verdad para la declaración\(\neg P \vee Q\text{.}\)

    Solución

    Tenga en cuenta que esta afirmación no es\(\neg(P \vee Q)\text{,}\) the negation belongs to \(P\) alone. Here is the truth table:

    \(P\) \(Q\) \(\neg P\) \(\neg P \vee Q\)
    \ (P\) "> T \ (Q\) "> T \ (\ neg P\) "> F \ (\ neg P\ vee Q\) "> T
    \ (P\) "> T \ (Q\) "> F \ (\ neg P\) "> F \ (\ neg P\ vee Q\) "> F
    \ (P\) "> F \ (Q\) "> T \ (\ neg P\) "> T \ (\ neg P\ vee Q\) "> T
    \ (P\) "> F \ (Q\) "> F \ (\ neg P\) "> T \ (\ neg P\ vee Q\) "> T

    Agregamos una columna para\(\neg P\) to make filling out the last column easier. The entries in the \(\neg P\) column were determined by the entries in the \(P\) column. Then to fill in the final column, look only at the column for \(Q\) and the column for \(\neg P\) and use the rule for \(\vee\text{.}\)

    Ahora vamos a responder a nuestra pregunta sobre el monopolio:

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Analiza el enunciado, “si consigues más dobles que cualquier otro jugador perderás, o que si pierdes debes haber comprado la mayor cantidad de propiedades”, usando tablas de verdad.

    Solución

    Representar la declaración en símbolos como\((P \imp Q) \vee (Q \imp R)\text{,}\) where \(P\) is the statement “you get more doubles than any other player,” \(Q\) is the statement “you will lose,” and \(R\) is the statement “you must have bought the most properties.” Now make a truth table.

    La tabla de verdad necesita contener 8 filas para dar cuenta de cada combinación posible de verdad y falsedad entre las tres afirmaciones. Aquí está la tabla completa de la verdad:

    \(P\) \(Q\) \(R\) \(P \imp Q\) \(Q \imp R\) \((P \imp Q) \vee (Q \imp R)\)
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (P\ imp Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ imp Q)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (P\ imp Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ ((P\ imp Q)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (P\ imp Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ imp Q)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (P\ imp Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ imp Q)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (P\ imp Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ imp Q)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (P\ imp Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ ((P\ imp Q)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (P\ imp Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ imp Q)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (P\ imp Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ imp Q)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T

    Las tres primeras columnas son simplemente una lista sistemática de todas las combinaciones posibles de T y F para las tres declaraciones (¿ve cómo enumeraría las 16 combinaciones posibles para cuatro declaraciones?). Las siguientes dos columnas están determinadas por los valores de\(P\text{,}\) \(Q\text{,}\) and \(R\) and the definition of implication. Then, the last column is determined by the values in the previous two columns and the definition of \(\vee\text{.}\) It is this final column we care about.

    Observe que en cada uno de los ocho posibles casos, la afirmación en cuestión es cierta. Entonces nuestra afirmación sobre el monopolio es cierta (independientemente de cuántas propiedades poseas, cuántos dobles rodes, o si ganas o pierdes).

    El enunciado sobre el monopolio es un ejemplo de una tautología, una afirmación que es cierta solo sobre la base de su forma lógica. Las tautologías siempre son ciertas pero no nos dicen mucho del mundo. No se requirió conocimiento sobre monopolio para determinar que la afirmación era cierta. De hecho, es igualmente cierto que “Si la luna está hecha de queso, entonces Elvis sigue vivo, o si Elvis sigue vivo, entonces los unicornios tienen 5 patas”.

    Equivalencia lógica

    Es posible que hayas notado que la columna final en la tabla de verdad de\(\neg P \vee Q\) es idéntica a la columna final en la tabla de verdad para\(P \imp Q\text{:}\)

    \(P\) \(Q\) \(P \imp Q\) \(\neg P \vee Q\)
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">T \ (P\ imp Q\) ">T \ (\ neg P\ vee Q\) ">T
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">F \ (P\ imp Q\) ">F \ (\ neg P\ vee Q\) ">F
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">T \ (P\ imp Q\) ">T \ (\ neg P\ vee Q\) ">T
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">F \ (P\ imp Q\) ">T \ (\ neg P\ vee Q\) ">T

    Esto dice que no importa qué\(P\) y\(Q\) sean, las afirmaciones\(\neg P \vee Q\) y\(P \imp Q\) ya sea ambas verdaderas o ambas falsas. Por lo tanto, decimos que estas afirmaciones son lógicamente equivalentes.

    Equivalencia lógica

    Dos declaraciones (moleculares)\(P\) y\(Q\) son lógicamente equivalentes siempre\(P\) que sea cierto precisamente cuando\(Q\) es cierto. Es decir,\(P\) y\(Q\) tienen el mismo valor de verdad bajo cualquier asignación de valores de verdad a sus partes atómicas.

    Para verificar que dos sentencias sean lógicamente equivalentes, puede hacer una tabla de verdad para cada una y verificar si las columnas de las dos declaraciones son idénticas.

    Reconocer dos afirmaciones como lógicamente equivalentes puede ser muy útil. Reformular una declaración matemática a menudo puede dar una idea de lo que está diciendo, o cómo probarlo o refutarlo. Usando tablas de verdad podemos verificar sistemáticamente que dos afirmaciones son, en efecto, lógicamente equivalentes.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    ¿Son lógicamente equivalentes las declaraciones, “no va a llover ni nevar” y “no va a llover y no va a nevar”?

    Solución

    Queremos saber si\(\neg(P \vee Q)\) is logically equivalent to \(\neg P \wedge \neg Q\text{.}\) Make a truth table which includes both statements:

    \(P\) \(Q\) \(\neg(P \vee Q)\) \(\neg P \wedge \neg Q\)
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (\ neg (P\ vee Q)\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (\ neg P\ cuña\ neg Q\)” style="vertical-align:middle; "> F
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (\ neg (P\ vee Q)\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (\ neg P\ cuña\ neg Q\)” style="vertical-align:middle; "> F
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (\ neg (P\ vee Q)\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (\ neg P\ cuña\ neg Q\)” style="vertical-align:middle; "> F
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (\ neg (P\ vee Q)\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (\ neg P\ cuña\ neg Q\)” style="vertical-align:middle; "> T

    Dado que en cada fila los valores de verdad para las dos declaraciones son iguales, las dos declaraciones son lógicamente equivalentes.

    Observe que este ejemplo nos da una manera de “distribuir” una negación sobre una disyunción (una “o”). Tenemos una regla similar para distribuir sobre conjunciones (“y” s):

    Leyes de De Morgan

    \ begin {ecuación*}\ neg (P\ wedge Q)\ text {es lógicamente equivalente a}\ neg P\ vee\ neg Q.\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*}\ neg (P\ vee Q)\ text {es lógicamente equivalente a}\ neg P\ cuña\ neg Q.\ end {ecuación*}

    Esto sugiere que podría haber una especie de “álgebra” que podría aplicar a las declaraciones (bien, hay: se llama álgebra booleana) para transformar una declaración en otra. Podemos comenzar a recopilar ejemplos útiles de equivalencia lógica, y aplicarlos sucesivamente a una declaración, en lugar de escribir una complicada tabla de verdad. Probablemente también querremos una manera de lidiar con la doble negación:

    Doble negación

    \ begin {ecuación*}\ neg\ neg P\ mbox {es lógicamente equivalente a} P.\ end {ecuación*}

    Ejemplo: “No es el caso que no\(c\) es impar” significa “\(c\)es impar”.

    Veamos cómo podemos aplicar las equivalencias que hemos encontrado hasta ahora.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar que las declaraciones\(\neg(P \imp Q)\) y\(P\wedge \neg Q\) son lógicamente equivalentes sin usar tablas de verdad.

    Solución

    Queremos comenzar con una de las declaraciones, y transformarla en la otra a través de una secuencia de declaraciones lógicamente equivalentes. Empezar con\(\neg(P \imp Q)\text{.}\) We can rewrite the implication as a disjunction this is logically equivalent to

    \ begin {ecuación*}\ neg (\ neg P\ vee Q). \ end {ecuación*}

    Ahora aplica la ley de DeMorgan para obtener

    \ comenzar {ecuación*}\ neg\ neg P\ cuña\ neg Q.\ fin {ecuación*}

    Finalmente, use doble negación para llegar a\(P \wedge \neg Q\)

    Observe que el ejemplo anterior ilustra que la negación de una implicación NO es una implicación: ¡es una conjunción!

    Para verificar que dos sentencias sean lógicamente equivalentes, puede usar tablas de verdad o una secuencia de reemplazos lógicamente equivalentes. El método de la tabla de verdad, aunque engorroso, tiene la ventaja de que puede verificar que dos declaraciones NO son lógicamente equivalentes.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    ¿Son las declaraciones\((P \vee Q) \imp R\) y\((P \imp R) \vee (Q \imp R)\) lógicamente equivalentes?

    Solución

    Tenga en cuenta que si bien podríamos comenzar a reescribir estas declaraciones con reemplazos lógicamente equivalentes con la esperanza de transformarnos unas en otras, nunca estaremos seguros de que nuestro fracaso se deba a su falta de equivalencia lógica más que a nuestra falta de imaginación. Entonces, en cambio, hagamos una tabla de la verdad:

    \(P\) \(Q\) \(R\) \((P\vee Q) \imp R\) \((P\imp R) \vee (Q \imp R)\)
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ vee Q)\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ imp R)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ ((P\ vee Q)\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ ((P\ imp R)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> F
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ vee Q)\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ imp R)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ ((P\ vee Q)\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ ((P\ imp R)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ vee Q)\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ imp R)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> T \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ ((P\ vee Q)\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ ((P\ imp R)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ vee Q)\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ imp R)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T
    \ (P\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (Q\)” style="vertical-align:middle; "> F \ (R\)” style="vertical-align:middle; "> F \ ((P\ vee Q)\ imp R\)” style="vertical-align:middle; "> T \ ((P\ imp R)\ vee (Q\ imp R)\)” style="vertical-align:middle; "> T

    Mira la cuarta (o sexta) fila. En este caso,\((P \imp R) \vee (Q \imp R)\) is true, but \((P \vee Q) \imp R\) is false. Therefore the statements are not logically equivalent.

    Si bien no tenemos equivalencia lógica, es el caso que siempre que\((P \vee Q) \imp R\) is true, so is \((P \imp R) \vee (Q \imp R)\text{.}\) This tells us that we can deduce \((P \imp R) \vee (Q \imp R)\) from \((P \vee Q) \imp R\text{,}\) just not the reverse direction.

    Deducciones

    ¡Investiga!

    Holmes posee dos trajes: uno negro y otro tweed. Siempre lleva ya sea traje de tweed o sandalias. Siempre que usa su traje de tweed y una camisa morada, elige no usar corbata. Nunca usa el traje de tweed a menos que también esté usando una camisa morada o sandalias. Siempre que usa sandalias, también lleva una camisa morada. El día de ayer, Holmes vestía una pajarita. ¿Qué más llevaba puesto?

    Anteriormente afirmamos que el siguiente era un argumento válido:

    Si Edith se come sus verduras, entonces puede tomar una galleta. Edith se comió sus verduras. Por lo tanto Edith recibe una galleta.

    ¿Cómo sabemos que esto es válido? Veamos la forma de las declaraciones. Que\(P\) denote “Edith se come sus verduras” y\(Q\) denote “Edith puede tener una galleta”. La forma lógica del argumento es entonces:

    \(P \imp Q\)
    \(P\)
    \(\therefore\) \(Q\)

    Este es un ejemplo de una regla de deducción, una forma de argumento que siempre es válida. Esta es una regla particularmente famosa llamada modus ponens. ¿Estás convencido de que es una regla de deducción válida? Si no, considere la siguiente tabla de verdad:

    \(P\) \(Q\) \(P\imp Q\)
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">T \ (P\ imp Q\) ">T
    \ (P\) ">T \ (Q\) ">F \ (P\ imp Q\) ">F
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">T \ (P\ imp Q\) ">T
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">F \ (P\ imp Q\) ">T

    Esta es solo la tabla de la verdad para\(P \imp Q\text{,}\) pero lo que importa aquí es que todas las líneas en la regla de deducción tengan su propia columna en la tabla de la verdad. Recuerde que un argumento es válido siempre que la conclusión deba ser cierta dado que las premisas son verdaderas. Las premisas en este caso son\(P \imp Q\) y\(P\text{.}\) ¿Qué filas de la tabla de la verdad corresponden a que ambas sean verdaderas? \(P\)es cierto en las dos primeras filas, y de esas, solo la primera fila tiene\(P \imp Q\) verdad también. Y loy-he aquí, en este caso, también\(Q\) es cierto. Entonces, si\(P\imp Q\) y ambos\(P\) son ciertos, vemos que eso también\(Q\) debe ser cierto.

    Aquí hay algunos ejemplos más.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Demostrar que

    \(P \imp Q\)
    \(\neg P \imp Q\)
    \(\therefore\) \(Q\)

    es una regla de deducción válida.

    Solución

    Hacemos una tabla de verdad que contiene todas las líneas de la forma argumental:

    \(P\) \(Q\) \(P\imp Q\) \(\neg P\) \(\neg P \imp Q\)
    \ (P\) "> T \ (Q\) "> T \ (P\ imp Q\) "> T \ (\ neg P\) "> F \ (\ neg P\ imp Q\) "> T
    \ (P\) "> T \ (Q\) "> F \ (P\ imp Q\) "> F \ (\ neg P\) "> F \ (\ neg P\ imp Q\) "> T
    \ (P\) "> F \ (Q\) "> T \ (P\ imp Q\) "> T \ (\ neg P\) "> T \ (\ neg P\ imp Q\) "> T
    \ (P\) "> F \ (Q\) "> F \ (P\ imp Q\) "> T \ (\ neg P\) "> T \ (\ neg P\ imp Q\) "> F

    (incluimos una columna para\(\neg P\) just as a step to help getting the column for \(\neg P \imp Q\)).

    Ahora mira todas las filas para las que tanto\(P \imp Q\) and \(\neg P \imp Q\) are true. This happens only in rows 1 and 3. Hey! In those rows \(Q\) is true as well, so the argument form is valid (it is a valid deduction rule).

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Decidir si

    \(P \imp R\)
    \(Q \imp R\)
    \(R\)
    \(\therefore\) \(P \vee Q\)

    es una regla de deducción válida.

    Solución

    Hagamos una tabla de verdad que contenga las cuatro afirmaciones.

    \(P\) \(Q\) \(R\) \(P \imp R\) \(Q \imp R\) \(P \vee Q\)
    \ (P\) "> T \ (Q\) "> T \ (R\) "> T \ (P\ imp R\) "> T \ (Q\ imp R\) "> T \ (P\ vee Q\) "> T
    \ (P\) "> T \ (Q\) "> T \ (R\) "> F \ (P\ imp R\) "> F \ (Q\ imp R\) "> F \ (P\ vee Q\) "> T
    \ (P\) "> T \ (Q\) "> F \ (R\) "> T \ (P\ imp R\) "> T \ (Q\ imp R\) "> T \ (P\ vee Q\) "> T
    \ (P\) "> T \ (Q\) "> F \ (R\) "> F \ (P\ imp R\) "> F \ (Q\ imp R\) "> T \ (P\ vee Q\) "> T
    \ (P\) "> F \ (Q\) "> T \ (R\) "> T \ (P\ imp R\) "> T \ (Q\ imp R\) "> T \ (P\ vee Q\) "> T
    \ (P\) "> F \ (Q\) "> T \ (R\) "> F \ (P\ imp R\) "> T \ (Q\ imp R\) "> F \ (P\ vee Q\) "> T
    \ (P\) "> F \ (Q\) "> F \ (R\) "> T \ (P\ imp R\) "> T \ (Q\ imp R\) "> T \ (P\ vee Q\) "> F
    \ (P\) "> F \ (Q\) "> F \ (R\) "> F \ (P\ imp R\) "> T \ (Q\ imp R\) "> T \ (P\ vee Q\) "> F

    Mira la segunda a la última fila. Aquí las tres premisas del argumento son ciertas, pero la conclusión es falsa. Por lo tanto, esta no es una regla de deducción válida.

    Si bien tenemos la tabla de la verdad frente a nosotros, miren las filas 1 y 5. Estas son las únicas filas en las que todas las declaraciones declaraciones\(P \imp R\text{,}\) \(Q \imp R\text{,}\) and \(P\vee Q\) are true. It also happens that \(R\) is true in these rows as well. Thus we have discovered a new deduction rule we know is valid:

    \(P \imp R\)
    \(Q \imp R\)
    \(P \vee Q\)
    \(\therefore\) \(R\)

    Más allá de las Proposiciones

    Como vimos en la Sección 0.2, no todas las declaraciones pueden ser analizadas usando solo conectivas lógicas. Por ejemplo, podríamos querer trabajar con la declaración:

    Todos los primos mayores a 2 son impares.

    Para escribir esta afirmación simbólicamente, debemos usar cuantificadores. Podemos traducir de la siguiente manera:

    \ begin {ecuación*}\ para todos x ((P (x)\ cuña x\ gt 2)\ imp O (x)). \ end {ecuación*}

    En este caso, estamos usando\(P(x)\) para denotar “\(x\)es primo” y\(O(x)\) para denotar “\(x\)es impar”. Estas no son proposiciones, ya que su valor de verdad depende de la entrada\(x\text{.}\) Mejor pensar\(P\) y\(O\) como denotar propiedades de su insumo. El término técnico para estos es predicados y cuando los estudiamos en lógica, necesitamos usar la lógica predicada.

    Es importante enfatizar que la lógica predicada extiende la lógica proposicional (mucho en la forma en que la mecánica cuántica extiende la mecánica clásica). Notarás que nuestra declaración anterior todavía usaba las conectivas lógicas (proposicionales). Todo lo que aprendimos sobre equivalencia lógica y deducciones sigue aplicándose. Sin embargo, la lógica predicada nos permite analizar declaraciones a mayor resolución, indagando en las proposiciones individuales\(P\text{,}\)\(Q\text{,}\) etc.

    Un tratamiento completo de la lógica predicada está más allá del alcance de este texto. Una razón es que no existe un procedimiento sistemático para decidir si dos declaraciones en la lógica del predicado son lógicamente equivalentes (es decir, aquí no hay tablas analógicas a la verdad). Más bien, terminamos con un par de ejemplos de equivalencia lógica y deducción, para despertar tu interés.

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Supongamos que afirmamos que no hay número menor. Podemos traducir esto en símbolos como

    \ comenzar {ecuación*}\ neg\ existe x\ forall y (x\ le y)\ fin {ecuación*}

    (literalmente, “no es cierto que haya un número\(x\) tal que para todos los números\(y\text{,}\)\(x\) sea menor o igual a\(y\)”).

    Sin embargo, sabemos cómo la negación interactúa con los cuantificadores: podemos pasar una negación sobre un cuantificador cambiando el tipo de cuantificador (entre universal y existencial). Entonces, la declaración anterior debería ser lógicamente equivalente a

    \ begin {ecuación*}\ forall x\ existe y (y\ lt x). \ end {ecuación*}

    Observe que\(y \lt x\) es la negación de\(x \le y\text{.}\) Esto literalmente dice, “por cada número\(x\) hay un número\(y\) que es menor que\(x\text{.}\)” Vemos que esta es otra manera de hacer nuestro reclamo original

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    ¿Se puede cambiar el orden de los cuantificadores? Por ejemplo, considere las dos afirmaciones:

    \ begin {ecuación*}\ para todo x\ existe y P (x, y)\ qquad\ mathrm {y}\ qquad\ existe y\ para todos x P (x, y). \ end {ecuación*}

    ¿Estos son lógicamente equivalentes?

    Solución

    Estas declaraciones NO son lógicamente equivalentes. Para ver esto, debemos proporcionar una interpretación del predicado\(P(x,y)\) which makes one of the statements true and the other false.

    Let\(P(x,y)\) be the predicate \(x \lt y\text{.}\) It is true, in the natural numbers, that for all \(x\) there is some \(y\) greater than it (since there are infinitely many numbers). However, there is not a natural number \(y\) which is greater than every number \(x\text{.}\) Thus it is possible for \(\forall x \exists y P(x,y)\) to be true while \(\exists y \forall x P(x,y)\) is false.

    Sin embargo, no podemos hacer lo contrario de esto. Si hay alguna\(y\) for which every \(x\) satisfies \(P(x,y)\text{,}\) then certainly for every \(x\) there is some \(y\) which satisfies \(P(x,y)\text{.}\) The first is saying we can find one \(y\) that works for every \(x\text{.}\) The second allows different \(y\)'s to work for different \(x\)'s, but there is nothing preventing us from using the same \(y\) that work for every \(x\text{.}\) In other words, while we don't have logical equivalence between the two statements, we do have a valid deduction rule:

    \(\exists y \forall x P(x,y)\)
    \(\therefore\) \(\forall x \exists y P(x,y)\)

    Dicho de otra manera, esto dice que la declaración única

    \ comenzar {ecuación*}\ existe y\ para todos x P (x, y)\ imp\ para todos x\ existe y P (x, y)\ fin {ecuación*}

    siempre es cierto. Esto es como una tautología, aunque reservamos ese término para verdades necesarias en la lógica proposicional. Una afirmación en la lógica predicada que es necesariamente cierta obtiene la designación más prestigiosa de una ley de lógica (o a veces lógicamente válida, pero eso es menos divertido).


    This page titled 3.1: Lógica Proposicional is shared under a CC BY-SA license and was authored, remixed, and/or curated by Oscar Levin.