3.2: Pruebas

Template:MathJaxLevin

¡Investiga!

Decidir cuáles de las siguientes son pruebas válidas de la siguiente declaración:

Si\(a b\) es un número par, entonces\(a\) o\(b\) es par.

1. Supongamos\(a\) y\(b\) son impares. Es decir,\(a=2k+1\) y\(b=2m+1\) para algunos enteros\(k\) y\(m\text{.}\) Entonces\ comienzan {alinear*} ab & =( 2k+1) (2m+1)\\ & =4km+2k+2m+1\\ & =2 (2km+k+m) +1. \ end {alinear*}

   Por lo tanto,\(ab\) es extraño.

2. Supongamos que\(a\) o\(b\) es par - digamos que es\(a\) (el caso donde\(b\) está incluso será idéntico). Es decir,\(a=2k\) para algún entero\(k\text{.}\) Entonces\ begin {align*} ab & =( 2k) b\\ & =2 (kb). \ end {alinear*}

   Así\(ab\) es parejo.

3. Supongamos que\(ab\) es par pero\(a\) y ambos\(b\) son impares. A saber,\(ab = 2n\text{,}\)\(a=2k+1\) y\(b=2j+1\) para algunos enteros\(n\text{,}\)\(k\text{,}\) y\(j\text{.}\) Entonces\ begin {align*} 2n & =( 2k+1) (2j+1)\\ 2n & =4kj+2k+2j+1\\ n & = 2kj+k+j+\ frac {1} {2}. \ end {alinear*}

   Pero como\(2kj+k+j\) es un entero, esto dice que el entero\(n\) es igual a un no entero, lo cual es imposible.

4. \(ab\)Sea un número par, digamos\(ab=2n\text{,}\) y\(a\) sea un número impar, digamos\(a=2k+1\text{.}\)\ begin {align*} ab & =( 2k+1) b\\ 2n & =2kb+b\\ 2n-2kb& =b\\ 2 (n-kb) & =b.\ end {align*}

   Por lo tanto,\(b\) debe ser parejo.

Cualquiera que no crea que hay creatividad en las matemáticas claramente no ha tratado de escribir pruebas. Encontrar una manera de convencer al mundo de que una declaración en particular es necesariamente cierta es una empresa poderosa y a menudo puede ser bastante desafiante. No hay un camino garantizado hacia el éxito en la búsqueda de pruebas. Por ejemplo, en el verano de 1742, un matemático alemán llamado Christian Goldbach se preguntó si cada entero par mayor que 2 podría escribirse como la suma de dos primos. Siglos después, todavía no tenemos una prueba de este hecho aparente (las computadoras han comprobado que “La conjetura de Goldbach” contiene para todos los números menos de\(4\times 10^{18}\text{,}\) lo que deja solo infinitamente muchos más números para verificar).

Escribir pruebas es un poco un arte. Como cualquier arte, para ser realmente genial en ello, necesitas algún tipo de inspiración, así como alguna técnica fundacional. Así como los músicos pueden aprender la digitación adecuada, y los pintores pueden aprender la forma correcta de sostener un pincel, podemos ver la forma correcta de construir argumentos. Un buen lugar para comenzar podría ser estudiar un clásico.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Hay infinitamente muchos primos.

Prueba

Supongamos que este no fuera el caso. Es decir, supongamos que sólo hay finitamente muchos primos. Entonces debe haber un último, el prime más grande, llámalo\(p\text{.}\) Considera el número

\ begin {ecuación*} N = p! + 1 = (p\ cdot (p-1)\ cdot\ cdots 3\ cdot 2\ cdot 1) + 1. \ end {ecuación*}

Ahora\(N\) es ciertamente mayor que\(p\text{.}\) También, no\(N\) es divisible por ningún número menor o igual a\(p\text{,}\) ya que cada número menor o igual a\(p\) divide\(p!\text{.}\) Así la factorización primo de\(N\) contiene números primos (posiblemente solo\(N\) en sí mismo) todos mayor que\(p\text{.}\) Así no\(p\) es el prime más grande, una contradicción. Por lo tanto hay infinitamente muchos primos.

\(\square\)

Esta prueba es un ejemplo de una prueba por contradicción, uno de los estilos estándar de la prueba matemática. Ante todo, la prueba es un argumento. Contiene secuencia de declaraciones, siendo la última la conclusión que se desprende de las declaraciones anteriores. El argumento es válido por lo que la conclusión debe ser verdadera si las premisas son verdaderas. Pasemos por la prueba línea por línea.

1. Supongamos que sólo hay finitamente muchos primos. [esta es una premisa. Tenga en cuenta el uso de “suponga”.]
2. Debe haber un prime más grande, llámalo\(p\text{.}\) [se desprende de la línea 1, por la definición de “finitamente muchos”.]
3. Vamos\(N = p! + 1\text{.}\) [básicamente solo notación, aunque esta es la parte inspirada de la prueba; mirar\(p! + 1\) es la visión clave.]
4. \(N\)es mayor que\(p\text{.}\) [por la definición de\(p!\)]
5. \(N\)no es divisible por ningún número menor o igual a\(p\text{.}\) [por definición,\(p!\) es divisible por cada número menor o igual que\(p\text{,}\) así no lo\(p! + 1\) es.]
6. La descomposición de\(N\) contiene números primos mayores que\(p\text{.}\) [ya que\(N\) es divisible por cada número primo en la descomposición primo de\(N\text{,}\) y por la línea 5.]
7. Por lo tanto, no\(p\) es el prime más grande. [por la línea 6,\(N\) es divisible por un primo mayor que\(p\text{.}\)]
8. Esto es una contradicción. [de la línea 2 y la línea 7: el prime más grande es\(p\) y hay un primo mayor que\(p\text{.}\)]
9. Por lo tanto hay infinitamente muchos primos. [de la línea 1 y la línea 8: nuestra única premisa lleva a una contradicción, por lo que la premisa es falsa.]

Deberíamos decir un poco más sobre la última línea. Hacia arriba a través de la línea 8, tenemos un argumento válido con la premisa “solo hay finitamente muchos primos” y la conclusión “hay un primo mayor que el prime más grande”. Este es un argumento válido ya que cada línea sigue de líneas anteriores. Entonces, si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión debe ser cierta. Sin embargo, la conclusión NO es cierta. La única salida: la premisa debe ser falsa.

El tipo de análisis línea por línea que hicimos anteriormente es una excelente manera de entender realmente lo que está pasando. Siempre que te encuentres con una prueba en un libro de texto, realmente debes asegurarte de entender lo que dice cada línea y por qué es verdad. Adicionalmente, es igualmente importante comprender la estructura general de la prueba. Aquí es donde es útil usar herramientas de la lógica. Por suerte hay un número relativamente pequeño de estilos de prueba estándar que siguen apareciendo una y otra vez. Estar familiarizado con estos puede ayudar a entender las pruebas, así como dar ideas de cómo escribir las suyas propias.

Prueba Directa

El estilo de prueba más simple (desde una perspectiva lógica) es una prueba directa. Muchas veces todo lo que se requiere para probar algo es una explicación sistemática de lo que todo significa. Las pruebas directas son especialmente útiles a la hora de demostrar implicaciones. El formato general a probar\(P \imp Q\) es el siguiente:

Asumir\(P\text{.}\) Explicar, explicar,..., explicar. Por lo tanto\(Q\text{.}\)

Muchas veces queremos probar declaraciones universales, quizás de la forma\(\forall x (P(x) \imp Q(x))\text{.}\) Una vez más, vamos a querer asumir\(P(x)\) es verdad y deducir\(Q(x)\text{.}\) Pero que pasa con el\(x\text{?}\) Queremos que esto funcione para todos\(x\text{.}\) Logramos esto fijando\(x\) que sea un elemento arbitrario (de la sort que nos interesa).

Aquí hay algunos ejemplos. Primero, configuraremos la estructura de prueba para una prueba directa, luego rellenaremos los datos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Demostrar: Para todos los enteros\(n\text{,}\) si\(n\) es par, entonces\(n^2\) es par.

Solución

El formato de la prueba con ser este: Vamos\(n\) be an arbitrary integer. Assume that \(n\) is even. Explain explain explain. Therefore \(n^2\) is even.

Para rellenar los detalles, básicamente vamos a explicar lo que significa para\(n\) to be even, and then see what that means for \(n^2\text{.}\) Here is a complete proof.

Prueba

Let\(n\) be an arbitrary integer. Suppose \(n\) is even. Then \(n = 2k\) for some integer \(k\text{.}\) Now \(n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\text{.}\) Since \(2k^2\) is an integer, \(n^2\) is even.

\(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Demostrar: Para todos los enteros\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(a|b\) y\(c\text{,}\) si y\(b|c\) luego\(a|c\text{.}\) Aquí\(x|y\text{,}\) leer “\(x\)divide\(y\)” significa que\(y\) es un múltiplo de\(x\) (así\(x\) se dividirá en\(y\) sin resto).

Solución

Incluso antes de que sepamos lo que significa el símbolo divide, podemos establecer una prueba directa para esta afirmación. Va a ir algo como esto: Vamos\(a\text{,}\) \(b\text{,}\) and \(c\) be arbitrary integers. Assume that \(a|b\) and \(b|c\text{.}\) Dot dot dot. Therefore \(a|c\text{.}\)

¿Cómo conectamos los puntos? Decimos cuál es nuestra hipótesis (\(a|b\) and \(b|c\)) really means and why this gives us what the conclusion (\(a|c\)) really means. Another way to say that \(a|b\) is to say that \(b = ka\) for some integer \(k\) (that is, that \(b\) is a multiple of \(a\)). What are we going for? That \(c = la\text{,}\) for some integer \(l\) (because we want \(c\) to be a multiple of \(a\)). Here is the complete proof.

Prueba

Let\(a\text{,}\) \(b\text{,}\) and \(c\) be integers. Assume that \(a|b\) and \(b|c\text{.}\) In other words, \(b\) is a multiple of \(a\) and \(c\) is a multiple of \(b\text{.}\) So there are integers \(k\) and \(j\) such that \(b = ka\) and \(c = jb\text{.}\) Combining these (through substitution) we get that \(c = jka\text{.}\) But \(jk\) is an integer, so this says that \(c\) is a multiple of \(a\text{.}\) Therefore \(a|c\text{.}\)

\(\square\)

Prueba por Contrapositivo

Recordemos que una implicación\(P \imp Q\) es lógicamente equivalente a su contrapositiva\(\neg Q \imp \neg P\text{.}\) Hay muchos ejemplos de afirmaciones que son difíciles de probar directamente, pero cuyo contrapositivo puede probarse fácilmente directamente. Esto es todo lo que prueba por contrapositivo hace. Da una prueba directa de lo contrapositivo de la implicación. Esto es suficiente porque lo contrapositivo es lógicamente equivalente a la implicación original.

El esqueleto de la prueba de\(P \imp Q\) por contrapositivo siempre se verá más o menos así:

Asumir\(\neg Q\text{.}\) Explicar, explicar,... explicar. Por lo tanto\(\neg P\text{.}\)

Como antes, si hay variables y cuantificadores, los establecemos como elementos arbitrarios de nuestro dominio. Aquí hay un par de ejemplos:

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

¿Es verdad la afirmación “para todos los enteros\(n\text{,}\) si\(n^2\) es par, entonces\(n\) es par”?

Solución

Esto es lo contrario de la declaración que probamos anteriormente utilizando una prueba directa. De probar algunos ejemplos, esta afirmación definitivamente aparece que esto es cierto. Entonces probémoslo.

Una prueba directa de esta afirmación requeriría fijar un\(n\) and assuming that \(n^2\) is even. But it is not at all clear how this would allow us to conclude anything about \(n\text{.}\) Just because \(n^2 = 2k\) does not in itself suggest how we could write \(n\) as a multiple of 2.

Prueba otra cosa: escribe el contrapositivo de la declaración. Obtenemos, para todos los enteros\(n\text{,}\) if \(n\) is odd then \(n^2\) is odd. This looks much more promising. Our proof will look something like this:

Let\(n\) be an arbitrary integer. Suppose that \(n\) is not even. This means that …. In other words …. But this is the same as saying …. Therefore \(n^2\) is not even.

Ahora rellenamos los datos:

Prueba

Demostraremos lo contrapositivo. Let\(n\) be an arbitrary integer. Suppose that \(n\) is not even, and thus odd. Then \(n= 2k+1\) for some integer \(k\text{.}\) Now \(n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\text{.}\) Since \(2k^2 + 2k\) is an integer, we see that \(n^2\) is odd and therefore not even.

\(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Probar: para todos los enteros\(a\) y\(b\text{,}\) si\(a + b\) es impar, entonces\(a\) es impar o\(b\) es impar.

Solución

El problema de probar una prueba directa es que será difícil separar\(a\) and \(b\) from knowing something about \(a+b\text{.}\) On the other hand, if we know something about \(a\) and \(b\) separately, then combining them might give us information about \(a+b\text{.}\) The contrapositive of the statement we are trying to prove is: for all integers \(a\) and \(b\text{,}\) if \(a\) and \(b\) are even, then \(a+b\) is even. Thus our proof will have the following format:

Let\(a\) and \(b\) be integers. Assume that \(a\) and \(b\) are both even. la la la. Therefore \(a+b\) is even.

Aquí hay una prueba completa:

Prueba

Let\(a\) and \(b\) be integers. Assume that \(a\) and \(b\) are even. Then \(a = 2k\) and \(b = 2l\) for some integers \(k\) and \(l\text{.}\) Now \(a + b = 2k + 2l = 2(k+1)\text{.}\) Since \(k + l\) is an integer, we see that \(a + b\) is even, completing the proof.

Tenga en cuenta que nuestra suposición de que\(a\) and \(b\) are even is really the negation of \(a\) or \(b\) is odd. We used De Morgan's law here.

Hemos visto cómo probar algunas afirmaciones en forma de implicaciones: ya sea directamente o por contrapositivo. Algunas declaraciones no están escritas como implicaciones para empezar.

\(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Considera el enunciado, por cada número primo\(p\text{,}\) ya sea\(p = 2\) o\(p\) sea impar. Podemos reformular esto: por cada número primo\(p\text{,}\) si\(p \ne 2\text{,}\) entonces\(p\) es impar. Ahora trata de probarlo.

Solución

Prueba

Let\(p\) be an arbitrary prime number. Assume \(p\) is not odd. So \(p\) is divisible by 2. Since \(p\) is prime, it must have exactly two divisors, and it has 2 as a divisor, so \(p\) must be divisible by only 1 and 2. Therefore \(p = 2\text{.}\) This completes the proof (by contrapositive).

\(\square\)

Prueba por Contradicción

Podría haber declaraciones que realmente no se pueden reformular como implicaciones. Por ejemplo, “\(\sqrt 2\)es irracional”. En este caso, es difícil saber por dónde empezar. ¿Qué podemos asumir? Bueno, digamos que queremos probar la declaración\(P\text{.}\) ¿Y si pudiéramos probar que\(\neg P \imp Q\) donde\(Q\) fue falso? Si esta implicación es verdadera, y\(Q\) es falsa, ¿qué podemos decir al respecto\(\neg P\text{?}\) también debe ser falsa, lo que hace\(P\) verdad!

Por ello funciona la prueba por contradicción. Si podemos probar que eso\(\neg P\) lleva a una contradicción, entonces la única conclusión es que\(\neg P\) es falsa, así\(P\) es verdad. Eso es lo que queríamos probar. Es decir, si es imposible que\(P\) sea falso,\(P\) debe ser cierto.

Aquí hay un par de ejemplos de pruebas por contradicción:

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que\(\sqrt{2}\) es irracional.

Solución

Prueba

Supongamos que no. Entonces\(\sqrt 2\) is equal to a fraction \(\frac{a}{b}\text{.}\) Without loss of generality, assume \(\frac{a}{b}\) is in lowest terms (otherwise reduce the fraction). So,

\ comenzar {ecuación*} 2 =\ frac {a^2} {b^2}\ final {ecuación*}\ comenzar {ecuación*} 2b^2 = a^2\ final {ecuación*}

Así\(a^2\) is even, and as such \(a\) is even. So \(a = 2k\) for some integer \(k\text{,}\) and \(a^2 = 4k^2\text{.}\) We then have,

\ begin {ecuación*} 2b^2 = 4k^2\ end {ecuación*}\ start {ecuación*} b^2 = 2k^2\ end {ecuación*}

Así\(b^2\) is even, and as such \(b\) is even. Since \(a\) is also even, we see that \(\frac{a}{b}\) is not in lowest terms, a contradiction. Thus \(\sqrt 2\) is irrational.

\(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Demostrar: No hay enteros\(x\) y\(y\) tal que\(x^2 = 4y + 2\text{.}\)

Solución

Prueba

Procedemos por contradicción. Entonces, supongamos que hay números enteros\(x\) and \(y\) such that \(x^2 = 4y + 2 = 2(2y + 1)\text{.}\) So \(x^2\) is even. We have seen that this implies that \(x\) is even. So \(x = 2k\) for some integer \(k\text{.}\) Then \(x^2 = 4k^2\text{.}\) This in turn gives \(2k^2 = (2y + 1)\text{.}\) But \(2k^2\) is even, and \(2y + 1\) is odd, so these cannot be equal. Thus we have a contradiction, so there must not be any integers \(x\) and \(y\) such that \(x^2 = 4y + 2\text{.}\)

\(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

El Principio del\(n\) Paloma: Si más de\(n\) palomas vuelan a los hoyos de las palomas, entonces al menos un hoyo de paloma contendrá al menos dos palomas. ¡Demuestra esto!

Solución

Prueba

Supongamos, contrariamente a lo estipulado, que cada una de las pichones contiene como máximo una paloma. Entonces a lo sumo, habrá\(n\) pigeons. But we assumed that there are more than \(n\) pigeons, so this is impossible. Thus there must be a pigeonhole with more than one pigeon.

Si bien formulamos esta prueba como una prueba por contradicción, también podríamos haber utilizado una prueba por contrapositiva ya que nuestra contradicción era simplemente la negación de la hipótesis. A veces esto sucederá, en cuyo caso se puede utilizar cualquiera de los dos estilos de prueba. Sin embargo, hay ejemplos donde la contradicción ocurre “lejos” de la afirmación original.

\(\square\)

Prueba por (contador) Ejemplo

Casi NUNCA está bien probar una declaración con solo un ejemplo. Ciertamente ninguna de las afirmaciones demostradas anteriormente se puede probar a través de un ejemplo. Esto se debe a que en cada uno de esos casos estamos tratando de demostrar que algo sostiene de todos los enteros. Afirmamos que\(n^2\) ser incluso implica que\(n\) es par, no importa qué entero\(n\) escojamos. Demostrar que esto funciona para ni siquiera\(n = 4\) es suficiente.

Esto no se puede recalcar lo suficiente. Si estás tratando de probar una declaración del formulario, absolutamente NO\(\forall x P(x)\text{,}\) PUEDES probarlo con un ejemplo. ¹

Sin embargo, las afirmaciones existenciales se pueden probar de esta manera. Si queremos demostrar que hay un entero\(n\) tal que no\(n^2-n+41\) es primo, todo lo que tenemos que hacer es encontrar uno. Esto puede parecer una tontería querer probar hasta que pruebes algunos valores para\(n\text{.}\)

\(n\)	1	2	3	4	5	6	7
\(n^2 - n + 41\)	41	43	47	53	61	71	83

Hasta el momento sólo hemos conseguido primos. Podrías estar tentado a conjeturar: “Para todos los enteros positivos\(n\text{,}\) el número\(n^2 - n + 41\) es primo”. Si quisieras probar esto, necesitarías usar una prueba directa, una prueba por contrapositivo, u otro estilo de prueba, pero ciertamente no basta con dar ni siquiera 7 ejemplos. De hecho, podemos probar que esta conjetura es falsa probando su negación: “Hay un entero positivo\(n\) tal que no\(n^2 - n + 41\) es primo”. Al tratarse de una afirmación existencial, basta con mostrar que efectivamente existe tal número.

De hecho, podemos ver rápidamente que\(n = 41\) va a dar\(41^2\) lo que desde luego no es primo. Se podría decir que esto es un contraejemplo a la conjetura que siempre\(n^2 - n + 41\) es prime. Dado que tantas afirmaciones en matemáticas son universales, haciendo existenciales sus negaciones, muchas veces podemos probar que una afirmación es falsa (si es así) proporcionando un contraejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Arriba probamos, “para todos los enteros\(a\) y\(b\text{,}\) si\(a+b\) es impar, entonces\(a\) es impar o\(b\) es impar”. ¿Es cierto lo Conversar?

Solución

Lo contrario es la declaración, “para todos los enteros\(a\) and \(b\text{,}\) if \(a\) is odd or \(b\) is odd, then \(a + b\) is odd.” This is false! How do we prove it is false? We need to prove the negation of the converse. Let's look at the symbols. The converse is

\ comenzar {ecuación*}\ forall a\ forall b ((O (a)\ vee O (b))\ imp O (a+b)). \ end {ecuación*}

Queremos probar la negación:

\ comenzar {ecuación*}\ neg\ forall a\ forall b ((O (a)\ vee O (b))\ imp O (a+b)). \ end {ecuación*}

Simplificar el uso de las reglas de las secciones anteriores:

\ begin {ecuación*}\ existe a\ existe b ((O (a)\ vee O (b))\ cuña\ neg O (a+b)). \ end {ecuación*}

A medida que la negación pasaba por los cuantificadores, cambiaban de\(\forall\) to \(\exists\text{.}\) We then needed to take the negation of an implication, which is equivalent to asserting the if part and not the then part.

Ahora ya sabemos qué hacer. Para probar que lo contrario es falso necesitamos encontrar dos enteros\(a\) and \(b\) so that \(a\) is odd or \(b\) is odd, but \(a+b\) is not odd (so even). That's easy: 1 and 3. (remember, “or” means one or the other or both). Both of these are odd, but \(1+3 = 4\) is not odd.

\(\square\)

Prueba por Casos

Podríamos seguir y seguir sobre diferentes estilos de prueba (aquí ni siquiera hemos mencionado pruebas de inducción o combinatorias), sino que terminaremos con una técnica final útil: prueba por casos. La idea es probar que eso\(P\) es cierto demostrando eso\(Q \imp P\) y\(\neg Q \imp P\) para alguna afirmación\(Q\text{.}\) Así que pase lo que pase, sea o no\(Q\) cierto, sabemos que eso\(P\) es cierto. De hecho, podríamos generalizar esto. Supongamos que queremos probar\(P\text{.}\) Sabemos que al menos una de\(Q_1, Q_2, \ldots, Q_n\) las afirmaciones es cierta. Si podemos demostrar eso\(Q_1 \imp P\)\(Q_2 \imp P\) y así sucesivamente todo el camino hasta\(Q_n \imp P\text{,}\) entonces podemos concluir\(P\text{.}\) La clave es que queremos estar seguros de que uno de nuestros casos (\(Q_i\)el's) debe ser cierto pase lo que pase.

Si ese último párrafo resultaba confuso, quizá un ejemplo mejore las cosas.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Probar: Para cualquier entero\(n\text{,}\) el número\((n^3 -n)\) es par.

Solución

Es difícil saber por dónde empezar esto, porque no sabemos mucho de nada sobre\(n\text{.}\) We might be able to prove that \(n^3 - n\) is even if we knew that \(n\) was even. In fact, we could probably prove that \(n^3-n\) was even if \(n\) was odd. But since \(n\) must either be even or odd, this will be enough. Here's the proof.

Prueba

Consideramos dos casos: si\(n\) is even or if \(n\) is odd.

Caso 1:\(n\) is even. Then \(n = 2k\) for some integer \(k\text{.}\) This gives

\ begin {align*} n^3 - n & = 8k^3 - 2k\\ & = 2 (4k^2 - k),\ end {align*}

y desde\(4k^2 - k\) is an integer, this says that \(n^3-n\) is even.

Caso 2:\(n\) is odd. Then \(n = 2k+1\) for some integer \(k\text{.}\) This gives

\ begin {alinear*} n^3 - n & = (2k+1) ^3 - (2k+1)\\ & = 8k^3 + 6k^2 + 6k + 1 - 2k - 1\\ & = 2 (4k^3 + 3k^2 + 2k),\ end {align*}

y desde\(4k^3 + 3k^2 + 2k\) is an integer, we see that \(n^3 - n\) is even again.

Desde\(n^3 - n\) is even in both exhaustive cases, we see that \(n^3 - n\) is indeed always even.

---

¹ Esto no quiere decir que mirar ejemplos sea una pérdida de tiempo. Hacerlo a menudo te dará una idea de cómo escribir una prueba. Pero los ejemplos no pertenecen a la prueba.