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4: Teoría de las Gráficas

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    La Teoría de las Gráficas es un área relativamente nueva de las matemáticas, estudiada por primera vez por el súper famoso matemático Leonhard Euler en 1735. Desde entonces se ha convertido en una poderosa herramienta utilizada en casi todas las ramas de la ciencia y actualmente es un área activa de investigación matemática.

    • 4.0: Preludio a la teoría de las gráficas
      Las imágenes como el dibujo de puntos y líneas se llaman gráficas. Las gráficas están compuestas por una colección de puntos llamados vértices y líneas que conectan esos puntos llamados bordes. Cuando dos vértices están conectados por un borde, decimos que son adyacentes.
    • 4.1: Definiciones
      La forma en que evitamos ambigüedades en matemáticas es proporcionar definiciones concretas y rigurosas. Elaborar buenas definiciones no es fácil, pero es increíblemente importante. La definición es el punto de partida acordado a partir del cual proceden todas las verdades en matemáticas. ¿Hay una gráfica sin bordes? Tenemos que mirar la definición para ver si esto es posible. Queremos que nuestra definición sea precisa e inequívoca, pero también debe estar de acuerdo con nuestra intuición para los objetos que estamos estudiando.
    • 4.2: Gráficas Planares
      ¿Cuándo es posible dibujar una gráfica para que ninguno de los bordes se cruce? Si esto es posible, decimos que la gráfica es plana (ya que la puedes dibujar en el plano). Observe que la definición de planar incluye la frase “es posible”. Esto quiere decir que aunque una gráfica no parezca plana, aún así podría serlo.
    • 4.3: Colorear
      Dado algún mapa de países, estados, condados, etc., ¿cuántos colores se necesitan para colorear cada región en el mapa para que las regiones vecinas tengan un color diferente? ¿Cómo se relaciona esto con la teoría gráfica? Bueno, si colocamos un vértice en el centro de cada región (digamos en la capital de cada estado) y luego conectamos dos vértices si sus estados comparten una frontera, obtenemos una gráfica.
    • 4.4: Caminos y circuitos de Euler
      Un camino de Euler, en una gráfica o multígrafo, es un recorrido por el gráfico que usa cada borde exactamente una vez. Un circuito de Euler es un camino de Euler que comienza y se detiene en el mismo vértice. Nuestro objetivo es encontrar una manera rápida de verificar si una gráfica (o multígrafo) tiene una ruta o circuito de Euler.
    • 4.5: Coincidencia en Gráficas Bipartitas
      Dada una gráfica bipartita, una coincidencia es un subconjunto de los bordes para los que cada vértice pertenece exactamente a uno de los bordes. Nuestro objetivo en esta actividad es descubrir algún criterio para cuando una gráfica bipartita tiene una coincidencia.
    • 4.E: Teoría de Gráficas (Ejercicios)
    • 4.S: Teoría de Gráficas (Resumen)
      Ojalá este capítulo te haya dado algún sentido para la amplia variedad de temas de teoría de grafos así como por qué estos estudios son interesantes. Hay muchas más áreas interesantes a considerar y la lista va en aumento todo el tiempo; la teoría de grafos es un área activa de la investigación matemática.


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