2: Números primos

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Los números primos, los bloques de construcción de los enteros, se han estudiado extensamente a lo largo de los siglos. Poder presentar un entero de manera única como producto de primos es la razón principal detrás de toda la teoría de los números y detrás de los interesantes resultados de esta teoría. Muchos teoremas, aplicaciones y conjeturas interesantes se han formulado en base a las propiedades de los números primos. En este capítulo, presentamos métodos para determinar si un número es primo o compuesto utilizando un método griego antiguo inventado por Eratóstenes. También mostramos que hay infinitamente muchos números primos. Luego procedemos a demostrar que cada entero puede escribirse de manera única como producto de primos. Introducimos también el concepto de ecuaciones diofantinas donde las soluciones enteras de ecuaciones dadas se determinan usando el divisor más común. Luego mencionamos el teorema de los números primos sin dar una prueba, por supuesto, además de otras conjeturas y resultados importantes relacionados con los números primos.

2.1: El Tamiz de Eratóstenes
El tamiz de Eratóstenes es un método antiguo para encontrar números primos hasta un entero especificado. Este método fue inventado por el antiguo matemático griego Eratóstenes. Hay varios otros métodos utilizados para determinar si un número es primo o compuesto.
2.2: La infinitud de los Primes
Ahora demostramos que hay infinitamente muchos primos. Hay varias formas de probar este resultado. Como ejercicio se da una prueba alternativa a la que aquí se presenta. La prueba que proporcionaremos fue presentada por Euclides en su libro Los Elementos.
2.3: El teorema fundamental de la aritmética
El Teorema Fundamental de la Aritmética es uno de los resultados más importantes de este capítulo. Simplemente dice que cada entero positivo puede escribirse de manera única como un producto de primos. La factorización única es necesaria para establecer gran parte de lo que viene después. Hay sistemas donde la factorización única no logra sostenerse. Muchos de estos ejemplos provienen de la teoría algebraica de números. De hecho, podemos enumerar un ejemplo fácil donde falla la factorización única.
2.4: Mínimo Común Múltiple
Podemos usar la factorización prima para encontrar el múltiplo común más pequeño de dos enteros positivos.
2.5: Ecuaciones Diofantinas Lineales
En esta sección, discutimos ecuaciones en dos variables llamadas ecuaciones diofantinas. Este tipo de ecuaciones requieren soluciones enteras. El objetivo de esta sección es presentar el conjunto de puntos que determinan la solución a este tipo de ecuaciones. Geométricamente hablando, la ecuación diofantina representa la ecuación de una línea recta. Necesitamos encontrar los puntos cuyas coordenadas son números enteros y por los cuales pasa la línea recta.
2.6: La función [x]. los símbolos “O”, “o” y “∼”
Iniciamos esta sección introduciendo una importante función teórica de números. Se procede a definir algunos símbolos convenientes que se utilizarán en relación con el crecimiento y comportamiento de algunas funciones que se definirán en capítulos posteriores.
2.7: Teoremas y Conjeturas que involucran números primos
Hemos demostrado que hay infinitamente muchos primos. También hemos demostrado que existen grandes brechas arbitrarias entre primos. La pregunta que surge naturalmente aquí es la siguiente: ¿Podemos estimar cuántos primos hay menos que un número dado? El teorema que responde a esta pregunta es el teorema del número primo.

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