1: Capítulos
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- En pocas palabras, la teoría de números se ocupa de preguntas sobre y propiedades de los enteros..., −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,... y números estrechamente relacionados. Ya que llevas casi toda tu vida tratando con números enteros de un tipo u otro, algo de lo que veremos en el texto te resultará familiar, y mucho puede parecer simple y fácil a primera vista. Aún así, la teoría de números es un tema sorprendentemente profundo, y este texto solo profundiza en lo que se conoce como teoría elemental de números.
- 1.5: El algoritmo de división
- El objetivo de este capítulo es introducir y probar el siguiente resultado importante.
- 1.6: La Base b Representación de n
- En este capítulo mostramos cómo el Algoritmo de División se relaciona con un concepto tocado desde las matemáticas de primaria.
- 1.7: Divisor común más grande y múltiplo mínimo común
- En los últimos capítulos hemos discutido la divisibilidad y el Algoritmo de División cuando un solo número se divide por otro. En este capítulo comenzamos a observar divisores y múltiplos que dos números tienen en común.
- 1.8: El Algoritmo Euclidiana
- El Algoritmo Euclides lleva el nombre de Euclides de Alejandría, quien vivió alrededor del 300 a.C. El algoritmo 1 descrito en este capítulo fue registrado y demostró ser exitoso en Elementos de Euclides, por lo que este algoritmo tiene más de dos mil años de antigüedad. Proporciona un método sencillo para calcular gcd (a, b), aunque no sepamos mucho sobre los divisores de a y b.
- 1.10: Coeficientes de cómputos para el lema de Bezout
- Aunque la prueba del Lema de Bezout en el último capítulo simplemente mostró que, dados los enteros a y b, los coeficientes s y t existen de tal manera que gcd (a, b) =sa+tb, modificaciones adecuadas del Algoritmo Euclideano nos dan formas de computar estos coeficientes. En este capítulo discutimos dos de esas formas, conocidas como el Algoritmo Euclideano Extendido y el Método de Blankinship.
- 1.12: Factorización Única
- Nuestro objetivo en este capítulo es probar el Teorema Fundamental de la Aritmética.
- 1.13: Los enteros gaussianos
- En esta sección estudiamos un subconjunto especial de los números complejos conocidos como los enteros gaussianos.
- 1.14: Fermat Primes y Mersenne Primes
- Encontrar primos grandes y demostrar que efectivamente son primos no es fácil. Durante mucho tiempo, la gente ha buscado fórmulas para producir números primos, con diversos grados de éxito. En este capítulo aprenderemos sobre preguntas y respuestas relacionadas aportadas por muchas personas a lo largo de los últimos siglos, e incluso en el actual.
- 1.15: Funciones teóricas numéricas
- La función de recuento de primos π (x) que aparece en el Teorema de Números Primos y las funciones generadoras de primos no son de ninguna manera las únicas funciones estudiadas en la teoría de números. Los matemáticos a través de la historia han mirado de manera rentable varias funciones adicionales ligadas a nuestras preguntas clave sobre los enteros. En este capítulo presentamos tres de estos.
- 1.20: Más propiedades de congruencias
- En este capítulo introducimos una idea importante en el trabajo con congruencias. Tendrá consecuencias útiles e ilustrará otra razón por la que el Lema de Bezout es importante.
- 1.23: Teorema del resto chino
- El teorema del resto chino es un teorema importante que aparece quizás por primera vez en Sunzi Suanjing, un texto matemático chino escrito en algún momento durante los siglos III al V d.C.
- 1.24: Teoremas de Wilson, Euler y Fermat
- Como lo ilustró el Teorema del resto chino en el último capítulo, algunos resultados útiles e interesantes de la teoría numérica tratan de congruencias. En este capítulo presentamos algunos teoremas más conocidos que involucran congruencias.
- 1.25: Pruebas de Primalidad
- Dos teoremas del capítulo anterior, el teorema de Wilson y el pequeño teorema de Fermat, conectan números primos y congruencias de maneras quizás sorprendentes. En este capítulo nos fijamos en cómo estos teoremas pueden convertirse en técnicas para probar si un número n es primo.