6.4: Funciones sobre

Las funciones uno a uno se centran en los elementos del dominio. No queremos que ninguno de ellos comparta una imagen común. Sobre las funciones se centran en el codominio. Queremos saber si contiene elementos no asociados a ningún elemento del dominio.

Definición: sobrejección

Una función\(f :{A}\to{B}\) es on si, por cada elemento\(b\in B\), existe un elemento\(a\in A\) tal que\[f(a) = b. \nonumber\] An onto función también se llama una suryección, y decimos que es surjectiva.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:ontofcn-01}\)

La gráfica de las funciones definidas por partes\(h :{[1,3]}\to{[2,5]}\) definidas por

\[h(x) = \cases{ 3x- 1 & if $1\leq x\leq 2$, \cr -3x+11 & if $2 < x\leq 3$, \cr} \nonumber\]

se muestra a la izquierda en la Figura\(\PageIndex{1}\). Está claramente sobre, porque, dada alguna\(y\in[2,5]\), podemos encontrar al menos una\(x\in[1,3]\) tal que\(h(x)=y\). Asimismo, la función\(k :{[1,3]}\to{[2,5]}\) definida por

\[k(x) = \cases{ 3x- 1 & if $1\leq x\leq 2$, \cr 5 & if $2 < x\leq 3$, \cr}\nonumber\]

también está en. Su gráfica se muestra a la derecha de la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos sobre funciones de [1,3] a [2,5].

ejercicio\(\PageIndex{1}\label{he:ontofcn-01}\)

Las dos funciones en el Ejemplo 6.4.1 son on pero no una-a-uno. Construir una función uno a uno y sobre\(f\) de\([1,3]\) a\([2,5]\).

ejercicio\(\PageIndex{2}\label{he:ontofcn-02}\)

Construir una función\(g :{[1,3]}\to{[2,5]}\) que sea uno a uno pero no sobre.

ejercicio\(\PageIndex{3}\label{he:ontofcn-03}\)

Encontrar un subconjunto\(B\) de\(\mathbb{R}\) eso haría que la función\(s :{\mathbb{R}}\to{B}\) se definiera por\(s(x) = x^2\) una función onto.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:ontofcn-02}\)

Construir una función\(g :{(5,8)}\to{\mathbb{R}}\) que sea a la vez uno a uno y sobre

Remarcar

Este es un problema desafiante. Dado que el dominio es un intervalo abierto, una gráfica de línea recta no funciona, porque no cubrirá todos los números del codominio.

Solución

La solución se basa en la observación de que la función\(h :{(-\frac{\pi}\to{2},\frac{\pi}{2})}{\mathbb{R}}\) definida por\(h(x)=\tan x\) es uno a uno y sobre. Para que esto funcione en este problema, necesitamos desplazar y escalar el intervalo\((5,8)\) al mismo tamaño que\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\).

Primero, tenemos que desplazar el centro del intervalo\((5,8)\) al centro del intervalo\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\). El punto medio del intervalo\((5,8)\) es\(\frac{5+8}{2}=\frac{13}{2}\), y el punto medio de\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) es 0. De ahí que necesitamos desplazar el intervalo\((5,8)\) a las\(\frac{13}{2}\) unidades de la izquierda. Esto significa que necesitamos usar la transformación\(x-\frac{13}{2}\). Los dos puntos finales 5 y 8 se convierten\(-\frac{3}{2}\) y\(\frac{3}{2}\), respectivamente:

\[\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline x & 5 & \frac{13}{2} & 8 \\ \hline x-\frac{13}{2} &-\frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{2} \\ \hline \end{array} \nonumber\]

Después de la transformación\(x-\frac{13}{2}\), el intervalo original\((5,8)\) se convierte en el intervalo\((-\frac{3}{2},\frac{3}{2})\). A continuación, queremos estirar el intervalo\((-\frac{3}{2},\frac{3}{2})\) en\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\). Esto exige un factor de escalado de\(\frac{\pi}{3}\).

\[\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline x & 5 & \frac{13}{2}& 8 \\ \hline \frac{\pi}{3}\left(x-\frac{13}{2}\right) &-\frac{\pi}{2}& 0 &\frac{\pi}{2}\\ \hline \end{array} \nonumber\]

Armando estas transformaciones, concluimos que\[g(x) = \tan\left[\frac{\pi}{3}\left(x-\frac{13}{2}\right)\right] \nonumber\] da una función uno-a-uno y sobre de\((5,8)\) a\(\mathbb{R}\).

ejercicio\(\PageIndex{4}\label{he:ontofcn-04}\)

Construye una función\(h :{(2,9)}\to{\mathbb{R}}\) que sea tanto uno a uno como sobre.

En general, ¿cómo podemos saber si una función\(f :{A}\to{B}\) está sobre? La pregunta clave es: dado un elemento\(y\) en el codominio, ¿es la imagen de algún elemento\(x\) en el dominio? Si es así, debemos poder encontrar un elemento\(x\) en el dominio tal que\(f(x)=y\). Matemáticamente, si la regla de asignación es en forma de cómputo, entonces necesitamos resolver la ecuación\(y=f(x)\) para\(x\). Si siempre podemos expresar\(x\) en términos de\(y\), y si el\(x\) -valor resultante está en el dominio, la función está on.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:ontofcn-03}\)

¿La función está\(p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) definida por\(p(x)=3x^2-4x+5\) onto?

Solución 1

Vamos\(y=3x^2-4x+5\), queremos saber si siempre podemos expresarnos\(x\) en términos de\(y\). Reordenando la ecuación, encontramos\[3x^2-4x+(5-y) = 0. \nonumber\] Queremos que esta ecuación sea solucionable sobre\(\mathbb{R}\), es decir, queremos que sus soluciones sean reales. Esto requiere que su discriminante sea no negativo. Entonces necesitamos

\[(-4)^2-4\cdot3\cdot(5-y) = 12y-44 \geq 0. \nonumber\]

Tenemos soluciones reales solo cuando\(y\geq\frac{11}{3}\). Esto significa, cuando\(y<\frac{11}{3}\), no podemos encontrar un\(x\) -valor tal que\(p(x)=y\). Por lo tanto, no\(p\) está en.

Solución 2

Al completar la plaza, encontramos

\[p(x) = 3x^2-4x+5 = 3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{3} \geq \frac{11}{3}. \nonumber\]

Ya que\(p(x)\not<\frac{11}{3}\), es claro que no\(p\) está sobre.

ejercicio\(\PageIndex{5}\label{he:ontofcn-05}\)

La función\(g :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) se define como\(g(x)=3x+11\). Demostrar que está sobre.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:ontofcn-04}\)

¿La función está\(p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) definida por

\[p(x) = \cases{ 4x+1 & if $x\leq3$ \cr \frac{1}{2} \,x & if $x>3$ \cr} \nonumber\]

\[p(x) = \cases{ 4x+1 & if $x\leq3$ \cr \frac{1}{2} & if $x > 3$ \cr}\nonumber\]

una función onto?

Solución

Las gráficas\(y=4x+1\) y ambas\(y=\frac{1}{2}\,x\) están aumentando. For\(x\leq3\), los\(y\) valores -cubren el rango\((-\infty,13)\), y for\(x>3\), los\(y\) valores -cubren el rango\(\big(\frac{3}{2},\infty\big)\). Dado que estos dos\(y\) rangos se superponen, todos los\(y\) valores -están siendo cubiertos por las imágenes. Por lo tanto,\(p\) está sobre.

ejercicio\(\PageIndex{6}\label{he:ontofcn-06}\)

Determine si\[f(x) = \cases{ 3x+1 & if $x\leq2$ \cr 4x & if $x > 2$ \cr}\nonumber\] es una función onto.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:ontofcn-05}\)

Considere la función\(g :{\mathbb{Z}_{43}}\to{\mathbb{Z}_{43}}\) definida por

\[g(x) \equiv 11x-5 \pmod{43}.\nonumber\]

Let\[y = g(x) \equiv 11x-5 \pmod{43},\nonumber\]

entonces\[x \equiv 11^{-1}(y+5) \equiv 4(y+5) \pmod{43}.\nonumber\]

Esto demuestra que\(g\) está sobre.

ejercicio\(\PageIndex{7}\label{he:ontofcn-07}\)

Mostrar que la función\(h :{\mathbb{Z}_{23}}\to{\mathbb{Z}_{23}}\) definida por\(h(x) \equiv 5x+8\) (mod 23) es onto.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\label{eg:ontofcn-06}\)

¿La función está\({u}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\) definida por

\[u(n) = \cases{ 2n & if $n\geq0$ \cr -n & if $n < 0$ \cr} \nonumber\]

uno a uno? ¿Está sobre?

Solución

Ya que\(u(-2)=u(1)=2\), la función no\(u\) es uno a uno. Ya que\(u(n)\geq0\) para cualquiera\(n\in\mathbb{Z}\), la función no\(u\) está en.

ejercicio\(\PageIndex{8}\label{he:ontofcn-08}\)

¿La función está\(v:{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}}\) definida por\(v(n)=n+1\) onto? Explique.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\label{eg:oneonefcn-07}\)

La función\(s\) en el Ejemplo 6.4.10 es tanto uno a uno como on. Proporciona una correspondencia uno a uno entre los elementos de\(A\) al hacer coincidir a un individuo casado con su cónyuge.

ejercicio\(\PageIndex{9}\label{he:ontofcn-09}\)

¿Es la función\(h_1\) en Ejercicios 1.2, Problema 6.4.8, una función onto? Explique.

Resumen y revisión

• Una función\(f :{A}\to{B}\) es on si, por cada elemento\(b\in B\), existe un elemento\(a\in A\) tal que\(f(a)=b\).
• Demostrar que\(f\) es una función onto\(y=f(x)\), establecer, y resolver para\(x\), o mostrar que siempre podemos expresar\(x\) en términos de\(y\) para cualquier\(y\in B\).
• Para demostrar que una función no está en, todo lo que necesitamos es encontrar un elemento\(y\in B\), y mostrar que ningún\(x\) -valor de\(A\) satisfaría\(f(x)=y\).

ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:ontofcn-01}\)

¿Cuáles de las siguientes funciones están en funcionamiento? ¡Explique!

1. \(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\),\(f(x)=x^3-2x^2+1\).
2. \(g :{[\,2,\infty)}\to{\mathbb{R}}\),\(g(x)=x^3-2x^2+1\).

ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:ontofcn-02}\)

¿Cuáles de las siguientes funciones están en funcionamiento? ¡Explique!

1. \(p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\),\(p(x)=e^{1-2x}\).
2. \(q :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\),\(q(x)=|1-3x|\).

ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:ontofcn-03}\)

Construye una función uno a uno\(f :{[1,3]}\to{[2,5]}\) que no esté en.

ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:ontofcn-04}\)

Construya una función onto\(g :{[\,2,5)}\to{(1,4\,]}\) que no sea uno a uno.

ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:ontofcn-05}\)

Determinar cuáles de los siguientes están en funciones.

1. \(f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\);\(f(n)=n^3+1\)
2. \(g :{\mathbb{Q}}\to{\mathbb{Q}}\);\(g(x)=n^2\)
3. \(h :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\);\(h(x)=x^3-x\)
4. \(k :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\);\(k(x)=5^x\)

ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:ontofcn-06}\)

Determinar cuáles de los siguientes están en funciones.

1. \(p :{\wp(\{1,2,3,\ldots,n\})}\to{\{0,1,2,\ldots,n\}}\);\(p(S)=|S|\)
2. \(q :{\wp(\{1,2,3,\ldots,n\})}\to{\wp(\{1,2,3,\ldots,n\})}\);\(q(S)=\overline{S}\)

ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:ontofcn-07}\)

Determinar cuáles de las siguientes funciones están en.

1. \({f_1}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d\}}\);\(f_1(1)=b\),\(f_1(2)=c\),\(f_1(3)=a\),\(f_1(4)=a\),\(f_1(5)=c\)
2. \({f_2}:{\{1,2,3,4\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}\);\(f_2(1)=c\),\(f_2(2)=b\),\(f_2(3)=a\),\(f_2(4)=d\)
3. \({f_3}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\);\(f_5(n)=-n\)
4. \({f_4}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\);\(f_4(n) = \cases{ 2n & if $n < 0$, \cr -3n & if $n\geq0$,\cr}\)

ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:ontofcn-08}\)

Determinar cuáles de las siguientes funciones están en.

1. \({g_1}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}\);\(g_1(1)=b\),\(g_1(2)=b\),\(g_1(3)=b\),\(g_1(4)=a\),\(g_1(5)=d\)
2. \({g_2}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}\);\(g_2(1)=d\),\(g_2(2)=b\),\(g_2(3)=e\),\(g_2(4)=a\),\(g_2(5)=c\)
3. \(g_3: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\);\(g_3 (n) = \cases{ \frac{n+1}{2} & if $n$ is odd \cr \frac{n}{2} & if $n$ is even \cr}\)
4. \(g_4: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\);\(g_4 (n) = \cases{ n+1 & if $n$ is odd \cr n-1 & if $n$ is even \cr}\)

ejercicio\(\PageIndex{9}\label{ex:ontofcn-09}\)

¿Es posible que una función de\(\{1,2\}\)\(\{a,b,c,d\}\) a estar en? Explique.

ejercicio\(\PageIndex{10}\label{ex:ontofcn-10}\)

Enumere todas las funciones onto desde\(\{1,2,3,4\}\) hasta\(\{a,b\}\)?

Pista

Enumere las imágenes de cada función.

ejercicio\(\PageIndex{11}\label{ex:ontofcn-11}\)

Determinar cuáles de las siguientes funciones están en.

1. \(f :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}\);\(h(n)\equiv 3n\) (mod 10).
2. \(g :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}\);\(g(n)\equiv 5n\) (mod 10).
3. \(h :{\mathbb{Z}_{36}}\to{\mathbb{Z}_{36}}\);\(h(n)\equiv 3n\) (mod 36).

ejercicio\(\PageIndex{12}\label{ex:ontofcn-12}\)

Determinar cuáles de las siguientes funciones están en.

1. \(r:{\mathbb{Z}_{36}}\to{\mathbb{Z}_{36}}\);\(r(n)\equiv 5n\) (mod 36).
2. \(s :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}\);\(s(n)\equiv n+5\) (mod 10).
3. \(t :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}\);\(t(n)\equiv 3n+5\) (mod 10).

ejercicio\(\PageIndex{13}\label{ex:ontofcn-13}\)

Determinar cuáles de las siguientes funciones están en.

1. \({\alpha}:{\mathbb{Z}_{12}}\to{\mathbb{Z}_{ 7}}\);\(\alpha(n)\equiv 2n\) (mod 7).
2. \({\beta} :{\mathbb{Z}_{ 8}}\to{\mathbb{Z}_{12}}\);\(\beta (n)\equiv 3n\) (mod 12).
3. \({\gamma}:{\mathbb{Z}_{ 6}}\to{\mathbb{Z}_{12}}\);\(\gamma(n)\equiv 2n\) (mod 12).
4. \({\delta}:{\mathbb{Z}_{12}}\to{\mathbb{Z}_{36}}\);\(\delta(n)\equiv 6n\) (mod 36).

ejercicio\(\PageIndex{14}\label{ex:ontofcn-14}\)

Dar un ejemplo de una función\(f :{\mathbb{N}}{\mathbb{N}}\) que es

1. ni uno a uno ni a
2. uno a uno pero no a
3. hacia pero no uno a uno
4. tanto uno a uno como a