6.6: Funciones inversas

Una biyección es una función que es a la vez uno a uno y sobre. Naturalmente, si una función es una biyección, decimos que es biyectiva. Si una función\(f :A \to B\) es una biyección, podemos definir otra función\(g\) que esencialmente revierte la regla de asignación asociada con\(f\). Entonces, aplicando la función\(g\) a cualquier elemento\(y\) del codominio\(B\), somos capaces de obtener un elemento\(x\) del dominio\(A\) tal que\(f(x)=y\). Perfeccionemos esta idea en una definición más concreta.

Definición: función inversa

Dejar\(f :{A}\to{B}\) ser una función biyectiva. Su función inversa es la función\({f^{-1}}:{B}\to{A}\) con la propiedad que\[f^{-1}(b)=a \Leftrightarrow b=f(a).\] La notación\(f^{-1}\) se pronuncia como “\(f\)inversa”. Ver Figura\(\PageIndex{1}\) para una vista pictórica de una función inversa.

Figura\(\PageIndex{1}\): Vista pictórica de una función inversa.

¿Por qué es\(f^{-1}:B \to A\) una función bien definida? Para que esté bien definido, cada elemento\(b\in B\) debe tener una imagen única. Esto significa dado cualquier elemento\(b\in B\), debemos ser capaces de encontrar uno y sólo un elemento\(a\in A\) tal que\(f(a)=b\). Tal\(a\) existe, porque\(f\) está en, y sólo hay uno de esos elementos\(a\) porque\(f\) es uno a uno. Por lo tanto,\(f^{-1}\) es una función bien definida.

Si una función\(f\) es definida por una regla computacional, entonces el valor de entrada\(x\) y el valor de salida\(y\) están relacionados por la ecuación\(y=f(x)\). En una función inversa, se conmuta el papel de la entrada y la salida. Por lo tanto, podemos encontrar la función inversa\(f^{-1}\) siguiendo estos pasos:

1. Intercambiar el papel de\(x\) y\(y\) en la ecuación\(y=f(x)\). Es decir, escribir\(x=f(y)\).
2. Resolver para\(y\). Es decir, expresar\(y\) en términos de\(x\). La expresión resultante es\(f^{-1}(x)\).

Asegúrese de escribir la respuesta final en el formulario\(f^{-1}(x) = \ldots\,\). No olvides incluir el dominio y el codominio, y describirlos adecuadamente.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{invfcn-01}\)

Para encontrar la función inversa de\(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) definido por\(f(x)=2x+1\), comenzamos con la ecuación\(y=2x+1\). A continuación, intercambiar\(x\) con\(y\) para obtener la nueva ecuación\[x = 2y+1. \nonumber\] Resolviendo para\(y\), encontramos\(y=\frac{1}{2}\,(x-1)\). Por lo tanto, la función inversa es\[{f^{-1}}:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}, \qquad f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\,(x-1). \nonumber\] Es importante describir el dominio y el codominio, ya que pueden no ser los mismos que la función original.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:invfcn-02}\)

La función\(s :{\big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big]}\to{[-1,1]}\) definida por\(s(x)=\sin x\) es una biyección. Su función inversa es

\[s^{-1}:[-1,1] \to {\big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big]}, \qquad s^{-1}(x)=\arcsin x. \nonumber\]

La función también\(\arcsin x\) se escribe como\(\sin^{-1}x\), que sigue la misma notación que usamos para las funciones inversas.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:invfcn-01}\)

La función\(f :{[-3,\infty)}\to{[\,0,\infty)}\) se define como\(f(x)=\sqrt{x+3}\). Demostrar que es una biyección, y encontrar su función inversa

Ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:invfcn-02}\)

Encuentra la función inversa de\(g :{\mathbb{R}}\to{(0,\infty)}\) definido por\(g(x) = e^x\).

Obrar

Tenga precaución con la notación. Supongamos que la función\(f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\) es una biyección. La notación\(f^{-1}(3)\) significa la imagen de 3 bajo la función inversa\(f^{-1}\). Si\(f^{-1}(3)=5\), eso lo sabemos\(f(5)=3\). La notación\(f^{-1}(\{3\})\) significa la preimagen del conjunto\(\{3\}\). En este caso, nos encontramos\(f^{-1}(\{3\})=\{5\}\). Los resultados son esencialmente los mismos si la función es biyectiva.

Si una función\(g :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\) es de muchos a uno, entonces no tiene una función inversa. Esto hace que la notación\(g^{-1}(3)\) carezca de sentido. Sin embargo,\(g^{-1}(\{3\})\) está bien definido, porque significa la preimagen de\(\{3\}\). Si\(g^{-1}(\{3\})=\{1,2,5\}\), ya sabemos\(g(1)=g(2)=g(5)=3\).

En general,\(f^{-1}(D)\) significa la preimagen del subconjunto\(D\) bajo la función\(f\). Aquí, la función\(f\) puede ser cualquier función. Si\(f\) es una biyección, entonces también\(f^{-1}(D)\) puede significar la imagen del subconjunto\(D\) bajo la función inversa\(f^{-1}\). Aquí no hay confusión, porque los resultados son los mismos.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:invfcn-03}\)

La función\(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) se define como\[f(x) = \cases{ 3x & if $x\leq 1$, \cr 2x+1 & if $x > 1$. \cr} \nonumber\] Encontrar su función inversa.

Solución

Dado que\(f\) es una función definida por partes, esperamos que su función inversa también se defina por partes. Primero, necesitamos encontrar los dos rangos de valores de entrada en\(f^{-1}\). Las imágenes para\(x\leq1\) son\(y\leq3\), y las imágenes para\(x>1\) son\(y>3\). De ahí que el codominio de\(f\), que se convierte en el dominio de\(f^{-1}\), se divide en dos mitades en 3. La función inversa debería parecerse a\[f^{-1}(x) = \cases{ \mbox{???} & if $x\leq 3$, \cr \mbox{???} & if $x > 3$. \cr} \nonumber\] Next, determinamos las fórmulas en los dos rangos. Nos encontramos

\[f^{-1}(x) = \cases{ \textstyle\frac{1}{3}\,x & if $x\leq 3$, \cr \textstyle\frac{1}{2} (x-1) & if $x > 3$. \cr} \nonumber\]Los detalles se te dejan a ti como ejercicio.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{3}\label{he:invfcn-03}\)

Encuentra la función inversa de\(g :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) definido por\[g(x) = \cases{ 3x+5 & if $x\leq 6$, \cr 5x-7 & if $x > 6$. \cr} \nonumber\] Asegúrese de describir\(g^{-1}\) correctamente.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:mod10fcn}\)

La función\(g :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}\) se define por\(g(x)\equiv 7x+2\) (mod 10). Encuentra su función inversa.

Solución

De\(x=g(y)\equiv7y+2\) (mod 10), obtenemos\[y \equiv 7^{-1}(x-2) \equiv 3(x-2) \pmod{10}. \nonumber\] Por lo tanto, la función inversa\(g^{-1} :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}\) se define por\(g^{-1}(x)\equiv 3(x-2)\) (mod 10).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{4}\label{he:invfcn-04}\)

La función\(h:{\mathbb{Z}_{57}}\to{\mathbb{Z}_{57}}\) definida por\(h(x)\equiv 49x-3\) (mod 57). Encuentra su función inversa.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:invfcn-05}\)

Definir de\(h:{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}\) acuerdo a\(h(x)=2(x+3)\bmod10\). ¿\(h^{-1}\)Existe?

Solución

Como\(2^{-1}\) no existe, sospechamos que la respuesta es no. De hecho, siempre\(h(x)\) es parejo, y es fácil verificarlo\(\text{im}h = \{0,2,4,6,8\}\). Ya que no\(h\) está en,\(h^{-1}\) no existe.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\label{eg:invfcn-06}\)

Encuentra la función inversa de\(f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{N}\cup\{0\}}\) definido por\[f(n) = \cases{ 2n & if $n\geq0$, \cr -2n-1 & if $n < 0$. \cr} \nonumber\]

Solución

En una función inversa, se conmutan el dominio y el codominio, así que tenemos que empezar\(f^{-1}:\mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{Z}\) antes de describir la fórmula que define\(f^{-1}\). Redacción\(n=f(m)\), encontramos\[n = \cases{ 2m & if $m\geq0$, \cr -2m-1 & if $m < 0$. \cr} \nonumber\] Necesitamos considerar dos casos.

1. Si\(n=2m\), entonces\(n\) es par, y\(m=\frac{n}{2}\).
2. Si\(n=-2m-1\), entonces\(n\) es impar, y\(m=-\frac{n+1}{2}\).

Por lo tanto, la función inversa se define\(f^{-1}:\mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{Z}\) por:

\[f^{-1}(n) = \cases{ \frac{2}{n} & if $n$ is even, \cr -\frac{n+1}{2} & if $n$ is odd. \cr} \nonumber\]

Verifica esto con algunos ejemplos numéricos.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{5}\label{he:invfcn-05}\)

La función\(f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{N}}\) se define como\[f(n) = \cases{ -2n & if $n < 0$, \cr 2n+1 & if $n\geq0$. \cr} \nonumber\] Find its inverse.

Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos finitos. Si existe una biyección\(f :{A}{B}\), entonces los elementos de\(A\) y\(B\) están en correspondencia uno a uno vía\(f\). De ahí,\(|A|=|B|\). Esta idea proporciona la base para algunas pruebas interesantes.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\label{eg:invfcn-07}\)

Let\(A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}\) Be an\(n\) -element establece. Recordemos que el conjunto de potencia\(\wp(A)\) contiene todos los subconjuntos de\(A\), y\[\{0,1\}^n = \{(b_1,b_2,\ldots,b_n) \mid b_i\in\{0,1\} \mbox{ for each $i$, where $1\leq i\leq n$} \}. \nonumber\] Definir\(F:{\wp(A)}\to{\{0,1\}^n}\) según\(F(S) = (x_1,x_2,\ldots,x_n)\), donde\[x_i = \cases{ 1 & if $a_i\in S$, \cr 0 & if $a_i\notin S$. \cr} \nonumber\] Simplemente pon,\(F(S)\) es una\(n\) -tuple\(i\) ordenada cuya entrada es 1 o 0, indicando si\(S\) contiene el \(i\)th elemento de\(A\) (1 para sí y 0 para no).

Es claro que\(F\) es una bijección. Para\(n=8\), tenemos, por ejemplo,\[F(\{a_2,a_5,a_8\}) = (0,1,0,0,1,0,0,1), \nonumber\] y\[F^{-1}\big((1,1,0,0,0,1,1,0)\big) = \{a_1,a_2,a_6,a_7\}. \nonumber\] La función\(F\) define una correspondencia uno a uno entre los subconjuntos de\(A\) y las\(n\) -tuplas ordenadas en\(\{0,1\}^n\). Dado que hay dos opciones para cada entrada en estas\(n\) -tuplas ordenadas, tenemos\(2^n\) tales\(n\) -tuplas ordenadas. Esto demuestra que\(|\wp(A)|=2^n\), es decir,\(A\) tiene\(2^n\) subconjuntos.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{6}\label{he:invfcn-06}\)

Considera la función\(F\) definida en el Ejemplo 6.6.7. Asumir\(n=8\). Encontrar\(F(\emptyset)\) y\(F^{-1}\big( (1,0,1,1,1,0,0,0)\big)\).

Resumen y revisión

• Una biyección es una función que es a la vez uno a uno y sobre.
• La inversa de una biyección\(f :{A}{B}\) es la función\({f^{-1}}:{B}\to{A}\) con la propiedad que\[f(x)=y \Leftrightarrow x=f^{-1}(y). \nonumber\]
• En resumen, una función inversa invierte la regla de asignación de\(f\). Se inicia con un elemento\(y\) en el codominio de\(f\), y recupera el elemento\(x\) en el dominio de\(f\) tal que\(f(x)=y\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:invfcn-01}\)

¿Cuáles de las siguientes funciones son biyecciones? ¡Explique!

1. \(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\),\(f(x)=x^3-2x^2+1\).
2. \(g :{[\,2,\infty)}\to{\mathbb{R}}\),\(g(x)=x^3-2x^2+1\).
3. \(h:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\),\(h(x)=e^{1-2x}\).
4. \(p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\),\(p(x)=|1-3x|\).
5. \(q:{[\,2,\infty)}\to{[\,0,\infty)}\),\(q(x)=\sqrt{x-2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:invfcn-02}\)

Para aquellas funciones que no son bijecciones en el último problema, ¿podemos modificar sus codominios para convertirlos en bijecciones?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:invfcn-03}\)

Dejar\(f\) y\(g\) ser las funciones desde\((1,3)\) hasta\((4,7)\) definidas por\[f(x) = \frac{3}{2}\,x+\frac{5}{2}, \qquad\mbox{and}\qquad g(x) = -\frac{3}{2}\,x+\frac{17}{2}. \nonumber\] Encuentra sus funciones inversas. Asegúrese de describir sus dominios y codominios.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:invfcn-04}\)

Encuentra la función inversa\(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) definida por\[f(x) = \cases{ 3x+5 & if $x\leq 6$, \cr 5x-7 & if $x > 6$. \cr} \nonumber\]

Asegúrese de describir\(f^{-1}\) correcta y correctamente.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:invfcn-05}\)

La función\(g :{[\,1,3\,]}\to{[\,4,\,7]}\) se define de acuerdo con\[g(x) = \cases{ x+3 & if $1\leq x< 2$, \cr 11-2x & if $2\leq x\leq 3$. \cr} \nonumber\] Find its función inversa. Asegúrate de describirlo correcta y correctamente.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:invfcn-06}\)

Encuentra la inversa de la función\(r :{(0,\infty)}\to{\mathbb{R}}\) definida por\(r(x)=4+3\ln x\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:invfcn-07}\)

Encuentra la inversa de la función\(s :{\mathbb{R}}\to{(-\infty,-3)}\) definida por\(s(x)=4-7e^{2x}\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:invfcn-08}\)

Encuentra la inversa de cada una de las siguientes bijecciones.

1. \(h:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}\),\(h(1)=e\),\(h(2)=c\),\(h(3)=b\),\(h(4)=a\),\(h(5)=d\).
2. \(k :{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{1,2,3,4,5\}}\),\(k(1)=3\),\(k(2)=1\),\(k(3)=5\),\(k(4)=4\),\(k(5)=2\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\label{ex:invfcn-09}\)

Encuentra la inversa de cada una de las siguientes bijecciones.

1. \(u:{\mathbb{Q}}\to{\mathbb{Q}}\),\(u(x)=3x-2\).
2. \(v:{\mathbb{Q}-\{1\}}\to{\mathbb{Q}-\{2\}}\),\(v(x)=\frac{2x}{x-1}\).
3. \(w:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\),\(w(n)=n+3\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\label{ex:invfcn-10}\)

Encuentra la inversa de cada una de las siguientes bijecciones.

1. \(r :{\mathbb{Z}_{12}}\to{\mathbb{Z}_{12}}\),\(r(n)\equiv 7n\) (mod 12).
2. \(s :{\mathbb{Z}_{33}}\to{\mathbb{Z}_{33}}\),\(s(n)\equiv 7n+5\) (mod 33).
3. \(t :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{N}\cup\{0\}}\),\(t(n) = \cases{ 2n-1 & if $n > 0$, \cr -2n & if $n\leq0$,\cr}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\label{ex:invfcn-11}\)

A continuación se dan las imágenes de la biyección\({\alpha}:{\{1,2,3,4,5,6,7,8\}}\to{\{a,b,c,d,e,f,g,h\}}\). \[\begin{array}{|c||*{8}{c|}} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \alpha(x)& g & a & d & h & b & e & f & c \\ \hline \end{array} \nonumber\]Encuentra su función inversa.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\label{ex:invfcn-12}\)

A continuación se muestra la matriz de incidencia para la biyección\({\beta}: {\{a,b,c,d,e,f\}}\to{\{x,y,z,u,v,w\}}\). \[\begin{array}[t]{cc} & \begin{array}{cccccc} u & v & w & x & y & z \end{array} \\ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \end{array} & \left(\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{array} \nonumber\]Encuentra su función inversa.