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    Problemas clásicos sin resolver

    1. ¿Cada número par > 2 es la suma de dos primos? (Goldbach)
    2. ¿Cada número de la forma\(4n + 2\) (\(n > 1\)) es la suma de dos primos de la forma\(4n + 1\)? (Euler)
    3. Obtener una fórmula asintótica para el número de representaciones de\(2n\) como la suma de dos primos.
    4. ¿Se puede expresar cada número par como la diferencia de dos primos?
    5. ¿Se puede expresar cada número par como la diferencia de dos primos de infinitamente muchas maneras?
    6. En particular, ¿hay infinitamente muchos pares primos?
    7. Encuentra una fórmula asintótica para el número de pares primos\(\le x\).
    8. ¿Existen infinitamente muchos primos de la forma\(x^2 + 1\)?
    9. ¿Algún polinomio de grado > 1 representa infinitamente muchos primos?
    10. ¿Hay infinitamente muchos primos de Fermat?
    11. ¿Hay infinitamente muchos primos de Mersenne (primos de la forma\(2^p − 1\))?
    12. ¿Hay infinitamente muchos primos de la forma\(2p + 1\), dónde\(p\) está un primo?
    13. ¿Hay al menos un primo entre cada par de cuadrados consecutivos?
    14. ¿Hay números impares perfectos?
    15. ¿Hay infinitamente muchos multiplicar números perfectos?
    16. ¿Hay infinitamente muchos pares de números amistosos?
    17. Vamos\(f(n) = \sigma (n) - n\). ¿La secuencia\(f_0 (n) = n\),\(f_{k + 1} (n) = f(f_k(n))\),\(k = 1, 2, 3, ...\) permanece delimitada para cada uno\(n\)? (Poulet)
    18. ¿Hay infinitamente muchos primos\(p\) por los que\(2^{p−1} − 1\) es divisible por\(p^2\)?
    19. ¿Hay infinitamente muchos primos\(p\) por los que\((p − 1)! + 1\) es divisible por\(p^2\)?
    20. ¿Es\(x^n + y^n = z^n\) solucionable para todos\(n > 2\)? (Fermat)
    21. ¿Es\(x_1^n + x_2^n + \cdot\cdot\cdot + x_{n - 1}^n = x_n^n\) solucionable para alguno\(n > 2\)? (Euler)
    22. ¿Es 2 una raíz primitiva de infinitamente muchos primos? (Artin conjetura que 2 es una raíz primitiva de aproximadamente un tercio de todos los primos).
    23. ¿Es la constante\(\gamma\) irracional de Euler?
    24. ¿Es\(\pi^{e}\) irracional?
    25. ¿Son 8 y 9 los únicos poderes (superiores a 1) de los enteros que difieren en 1? (Catalán.)
    26. ¿Para qué valores de\(k\) es\(x^2 + k = y^3\)?

    Problemas Misceláneos

    1. \(\sum_{d = 1}^n (2d - 1) \lfloor \dfrac{n}{d} \rfloor = \sum_{d = 1}^{n} \lfloor \dfrac{n}{d} \rfloor^2\)Demuéstralo.
    2. \(\sum_{d\ |\ n} \tau(d)^3 = (\sum_{d\ |\ n} \tau (d))^2\)Demuéstralo.
    3. \(\sum_{(a, b) = 1} \dfrac{1}{(ab)^2} = \dfrac{5}{2}\)Demuéstralo.
    4. \(\prod \dfrac{p^2 + 1}{p^2 - 1} = \dfrac{5}{2}\)Demuéstralo. (El producto se extiende sobre todos los primos.)
    5. Generalizar los resultados de los Problemas 3 y 4 anteriores.
    6. \(\text{lim}_{n \to \infty} \sum_{d\ |\ (n! + 1)} \dfrac{1}{d} = 1\)Demuéstralo.
    7. \(\text{lim}_{n \to \infty} \sum_{d\ |\ F_n} \dfrac{1}{d} = 1\)Demuéstralo, dónde\(F_n = 2^{2^n} + 1\).
    8. \(\pi(x) = \sum_{n = 1}^x \sum_{j = 1}^n e^{2\pi i ((n - 1)! + 1)j / n}\)Demuéstralo.
    9. \((a, b) = \sum_{m = 0}^{a - 1} \sum_{n = 1}^{a - 1} \dfrac{1}{a} e^{2\pi i bmn /a}\)Demuéstralo.
    10. Mostrar que el resto menos absoluto de\(a\) (mod\(b\)) es\(a - b \lfloor \dfrac{2a}{b} \rfloor + b \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor.\)
    11. Demostrar que\(\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\varphi (n)}{n!}\) es irracional.
    12. Demostrar que\(\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\sigma (n)}{n!}\) es irracional.
    13. Demostrar que\(\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\sigma_2 (n)}{n!}\) es irracional.
    14. \(\sum_{n = 1}^x \dfrac{n}{\sigma(n)} \ge x + 1\)Demuéstralo.
    15. \(\sum_{d^2\ |\ n} \mu (d) = |\mu(n)|\)Demuéstralo.
    16. Demuestre que para no\(g \ne 3, 1 + g + g^2 + g^3 + g^4\) es un cuadrado.
    17. Para\(n\) un entero y\(a \ge 0\) probarlo\(\sum_{k = 1}^{n - 1} \lfloor a + \dfrac{k}{n} \rfloor = \lfloor na \rfloor\).
    18. \(\dfrac{1}{\phi (n)} = \dfrac{1}{n} \sum_{d\ |\ n} \dfrac{\mu^2 (d)}{\phi (d)}\)Demuéstralo.
    19. \(\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\mu(n) x^n}{1 + x^n} = x - 2x^2\)Demuéstralo.
    20. Demostrar que\(\dfrac{\lambda (n) x^n}{1 - x^n} = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n^2}.\)
    21. Demostrar que\(F(n) = \prod_{d\ |\ n} f(d)\) si y sólo si\(f(n) = \prod_{d\ |\ n} F(\dfrac{n}{d})^{\mu(d)}\).
    22. Mostrar que la suma de los divisores impares de\(n\) es\(-\sum_{d\ |\ n} (-1)^{(\dfrac{n}{d})} d.\)
    23. Demostrar que el producto de los enteros\(\ge n\) y relativamente primo a\(n\) es\(n^{\varphi(n)} \prod_{d\ |\ n} (\dfrac{d!}{d^d})^{\mu(\dfrac{n}{d})}\).
    24. Demostrar que cada entero tiene un múltiplo de la forma 11... 1100... 00.
    25. Demostrar que hay infinitamente muchos números libres de cuadrados de la forma\(n^2 + 1\).
    26. Demuestra que\ ({m\ elige 0} + {m\ elige 3} + {m\ elige 6} +\ cdot\ cdot\ cdot\ cdot\ not\ equiv 0) (mod 3).
    27. Mostrar que el número de representaciones de\(n\) como la suma de uno o más enteros positivos consecutivos es\(\tau(n_1)\) donde n1 es el mayor divisor impar de\(n\).
    28. Demostrar que\(\varphi (x) = n!\) es solucionable para cada\(n\).
    29. Demostrar que no\(\varphi(x) = 2 \cdot 7^n\) es solucionable para ningún positivo\(n\).
    30. Demostrar que 30 es el entero más grande de tal manera que cada entero menor que él y relativamente primo a él es 1 o un primo.
    31. Dejar\(a, b, x\) ser enteros y dejar\(x_0 = x\),\(x_{n + 1} = ax_n + b\)\(n > 0\). Demostrar que no todos los\(x\)'s son primos.
    32. Demostrar que las únicas soluciones de\(\varphi(n) = \tau(n)\) son\(n = 2, 3, 4, 8, 14, 20, 90\).
    33. Espectáculo que\(\varphi (n + 1) = p_{n + 1} - p_n\) es válido solo para\(1 \le n \le 5\).
    34. Mostrar que\(\dfrac{(2a)! (2b)!}{a! b!(a+ b)!}\) es un entero.
    35. mostrar que si\((a, b) = 1\) entonces\(\dfrac{(a + b - 1)!}{a! b!}\) es un entero.
    36. Demostrar que un polinomio integral de al menos el primer grado no puede representar sólo primos.
    37. Mostrar que si\(f(x)\) es un polinomio integral de grado > 0, entonces\(f(x)\) para\(x = 1, 2, ...\) tiene un número infinito de divisores primos distintos.
    38. Encuentra el número de números enteros primos a\(m\) en el conjunto\({1 \cdot 2, 2 \cdot 3, ..., m \cdot (m + 1)}\).
    39. Demostrar que los números de Fermat son relativamente primos en pares.
    40. Vamos\(T_1 = 2\),\(T_{n + 1} = T_n^2 - T_{n - 1}\). \(T_i, T_j) = 1, i \ne j\)Demuéstralo.
    41. Demostrar que\(2 \zeta (3) = \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} (1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{n}).\)
    42. Demostrar que la densidad de números para la cual\((n, \varphi(n)) = 1\) es cero.
    43. Demostrar que para algunos\(n\),\(2^n\) tiene 1000 7's consecutivos en su representación digital.
    44. Demostrar que infinitamente muchos cuadrados no contienen el dígito 0.
    45. Demostrar que para algunos\(n\),\(p_n\) contiene 1000 7's consecutivos en su representación digital.
    46. Mostrar que la densidad de los números\(n\) para los que\(\varphi(x) = n\) es solucionable es cero.
    47. Demostrar que si\(\varphi(x) = n\) tiene exactamente una solución entonces\(n > 10^{100}\).
    48. \(e_p(n) = \dfrac{n - s_p(n)}{p - 1}\)Demuéstralo.
    49. Dejar\(a_1\),\(a_2\),...,\(a_{p - 1}\) ser ordenado por clases de residuos no necesariamente distintas de cero (mod\(p\)). Demostrar que existe\(1 \le i \le j \le p- 1\) tal que\(a_i \cdot a_{i + 1} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot a_j \equiv 1\) (mod\(p\)).
    50. Demostrar que el\(n^{\text{th}}\) primo es el límite de la secuencia.
      \(n_0 = n, n_{k + 1} = n_0 + \pi(n_0 + n_1 + \cdot\cdot \cdot + n_k).\)
    51. Mostrar que el\(n^{\text{th}}\) nonprime es el límite de la secuencia
      \(n, n + \pi(n), n + \pi(n + \pi (n)), ... .\)
    52. Demostrar que cada entero positivo es ya sea de la forma\(n + \pi(n − 1)\) o de la forma\(n + p_n\), pero no de ambas.
    53. Demostrar que\((3 + 2 \sqrt{2})^{2n - 1} + (3 - 2\sqrt{2})^{2n - 1} - 2\) es cuadrado para cada\(n \ge 1\).
    54. Demostrar que por cada real\(\epsilon > 0\) existe un real\(\alpha\) tal que la parte fraccionaria de\(\alpha^n\) es mayor que\(1 − \epsilon\) para cada entero\(n > 0\).
    55. Mostrar que si\(p\) y\(q\) son enteros\(\le n\), entonces es posible disponer\(n\) o menos resistencias unitarias para dar una resistencia combinada de\(\dfrac{p}{q}\).
    56. \(x = a - 12 \sum_{k \ge 1} k [\dfrac{ka}{n}]\)Demuéstralo\((a, n) = 1\) e implica\(ax \equiv 1\) (mod\(n\)).
    57. Si\((a, b) = d\) probarlo\(\sum_{x = 1}^{a - 1} [\dfrac{bx}{a}] = \dfrac{(a - 1)(b - 1)}{2} + \dfrac{d - 1}{2}\).
    58. Mostrar que la suma de reciprocales de enteros representables como sumas de dos cuadrados es divergente.
    59. Mostrar que la suma de reciprocales de enteros cuya representación digital no incluye 1000 7's consecutivos es convergente.
    60. Demostrar que cada uno\(n > 1\) puede expresarse como la suma de dos números deficientes.
    61. Demostrar que cada uno\(n > 10^5\) puede expresarse como la suma de dos números abundantes.
    62. Demostrar que cada suficientemente grande\(n\) puede expresarse como la suma\(k\) de dos números abundantes.
    63. Demostrar que el\(n^{\text{th}}\) no cuadrado es\(n + {\sqrt{n}}\). {\(x\)} denota el número entero más cercano a\(x\).)
    64. Demostrar que el número\(n^{\text{th}}\) no triangular es\(n + {\sqrt{2n}}\).
    65. Demostrar que el\(n^{\text{th}}\) no\(k^{\text{th}}\) poder es
      \(n + \lfloor \sqrt[k]{n + \lfloor \sqrt[k]{n} \rfloor} \rfloor.\)
    66. Mostrar que la operación binaria\(\circ\) definida en enteros no negativos por
      \(m \circ n = m + n + 2 \lfloor \sqrt{m} \rfloor \lfloor \sqrt{n} \rfloor\)
      es asociativa.
    67. Demostrar lo mismo para la operación\(m \times n = m + n + 2 {\sqrt{m} } {\sqrt{n} }.\)
    68. Demostrar que para\(p > 5\),\((p - 1)! + 1\) contiene un factor primo\(\ne p\).
    69. Demostrar que las únicas soluciones de\((n - 1)! = n^k - 1\) son\((n, k) = (2, 1), (3, 1)\) y (5, 2).
    70. Demuestre que\(x^{2^{\alpha}} \equiv 2^{2^{\alpha - 1}}\) (mod\(p\)) tiene una solución para cada prime\(p\) if\(\alpha \ge 3\).
    71. Mostrar que si\(f(x)\) es un polinomio con coeficientes enteros y\(f(a)\) es un cuadrado para cada uno\(a\), entonces\(f(x) = (g(x))^2\), donde\(g(x)\) es un polinomio con coeficientes enteros.
    72. Dados enteros\(a_1 < a_2 \cdot\cdot\cdot < a_k \le n\) con\(k \ge \lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor\), demostrar que para algunos\(i \le j \le k\),\(a_i \ |\ a_j\).
    73. Demuestre que dos de los\(a_i\)'s del Problema 72 son relativamente primos.
    74. Con los\(a\)'s del Problema 72, muestra que\(a_i + a_j = a_k\) es solucionable.
    75. Mostrar que el número de soluciones de\(x + 2y + 3z = n\) en enteros no negativos es
      \({\dfrac{(n + 3)^2}{12}}.\)
    76. Mostrar que el número de soluciones de\(x + 2y + 4z = n\) en enteros no negativos es\({\dfrac{(n + 2)(n + 5)}{16} + (-1)^n \dfrac{n}{16}}\).
    77. Mostrar que n y n + 2 son primos simultáneamente si y solo si
      \(\sum_{m \ge 1} {\lfloor \dfrac{n + 2}{m} \rfloor + \lfloor \dfrac{n}{m} \rfloor - \lfloor \dfrac{n + 1}{m} \rfloor - \lfloor \dfrac{n - 1}{m} \rfloor} = 4.\)
    78. Demostrar eso\(n\) y\(n + 2\) son simultáneamente primos si y solo si
      \(4(n - 1)! + 1 + n \equiv 0\) (mod\(n(n + 2)\)),\((n > 1).\)
    79. Demuestre que para cada\(n\)\(6 \cdot 10^{n+2}\),, y\(1125 \cdot 10^{2n+1} \pm 8\) son triples pitagóricos.
    80. Demostrar que el número de pares ordenados de enteros cuyo l.c.m.\(n\) es\(\tau(n^2)\).
    81. Mostrar que nunca\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{n}\) es un entero.
    82. Demostrar que\(\dfrac{x^2 + 2y^2}{2x^2 + y^2}\) es un cuadrado si y solo si\(x = y\).
    83. Demostrar que
      \(\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\varphi(n) x^n}{1 + x^n} = \dfrac{x(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2}.\)
    84. muestran que el número de\(n\) -gones regulares del borde de la unidad es\(\dfrac{\varphi(n)}{2}\).
    85. Demostrar que el determinante de\(n^{\text{th}}\) orden con\(a_{ij} = (i, j)\) tiene valor\(\prod_{i = 1}^{n} \varphi(i)\).
    86. Demostrar que
      \(\sum_{i = 1}^{n} {\sqrt{i}} = {\sqrt{n}} \dfrac{3n + 1 - {\sqrt{n}}^2}{3}.\)
    87. Demostrar que si\(p = 4n + 3\) y\(q = 8n + 7\) son ambos primos entonces\(q\ |\ 2^p − 1\).
    88. Mostrar cómo dividir los enteros positivos en dos clases para que ninguna clase contenga todos los términos positivos de cualquier progresión aritmética con diferencia común superior a 1.
    89. Mostrar que el recíproco de cada entero\(n > 1\) puede expresarse como la suma de un número finito de términos consecutivos de la forma\(\dfrac{1}{j(j + 1)}\)
    90. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? (Respuesta:\(\dfrac{1}{2}(\tau(n^2) - 1)\).)
    91. Mostrar que cada racional puede expresarse como una suma de un número finito de distintos recíprocos de enteros.
    92. Mostrar que la densidad de enteros para los cuales (\(n\),\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)) = 1 es\(\dfrac{1}{\pi^2}\).
    93. Demostrar que el valor esperado de (\(n\),\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)) es\(\dfrac{\pi^2}{6}\).
    94. Demostrar que\(x^2 \equiv a\) (mod\(p\)) para cada prime\(p\) implica que\(a\) es un cuadrado.
    95. Demostrar que\(f(a, b) = f(a) f(b)\) para\((a, b) = 1\) y\(f(a + 1) \ge f(a)\) para cada\(a\) implica eso\(f(a) = a^k\).
    96. Encuentra todos los primos en la secuencia 101, 10101, 1010101,.
    97. Encuentra todos los primos en la secuencia 1001, 1001001, 1001001001,..
    98. Mostrar que si\(f(x) > 0\) para todos\(x\) y\(f(x) \to 0\) como\(x \to \infty\) entonces existe a lo sumo un número finito de soluciones en enteros de\(f(m) + f(n) + f(p) = 1\).
    99. Demostrar que el menor no residuo de cada primo\(p > 23\) es menor que\(\sqrt{p}\).
    100. Demostrar la existencia de secuencias infinitas de 1's, 2's y 3's, ninguna parte finita de las cuales se repite inmediatamente.
    101. Dejar\(d^{*}(n)\) denotar el número de divisores cuadrados de\(n\).
      \(\text{lim}_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{m = 1}^{n} d^{*} (m) = \dfrac{\pi^2}{6}\)Demuéstralo.
    102. Encuentra todos\(r\) esos que\(n!\) no puedan terminar en\(r\) ceros.
    103. Dejar\(a_1, a_2, ..., a_n\) ser enteros con\(a_1 = 1\) y\(a_i < a_{i + 1} \le 2a_i\). Demostrar que existe una secuencia\({\epsilon_i}\) de\(\pm 1\)'s tal que\(\sum_{i = 1}^{n} \epsilon_i a_i = 0\) o 1.
    104. Mostrar que para\(p\) un prime,\(p \equiv 1\) (mod 4)
      \(\lfloor \sqrt{p} \rfloor + \lfloor \sqrt{2p} \rfloor + \cdot\cdot\cdot + \lfloor \sqrt{\dfrac{p - 1}{4} \cdot p} \rfloor = \dfrac{p^2 - 1}{12}.\)
    105. Demostrar que\(\pi^2\) es irracional.
    106. Demostrar que\(\cos \dfrac{p}{q}\) es irracional.
    107. Si\(\dfrac{n_i}{n_1 n_2 ... n_{i - 1}} \to \infty\) probar eso\(\sum \dfrac{1}{n_i}\) es irracional.
    108. Demostrar que\(ae^2 + be + c \ne 0\) si\(a, b, c\) son enteros.
    109. Demostrar que
      \(\tau(n) = \lfloor \sqrt{n} \rfloor - \lfloor \sqrt{n - 1} \rfloor + 2 \sum_{d = 1}^{\lfloor \sqrt{n - 1} \rfloor} (\lfloor \dfrac{n}{d} \rfloor - \lfloor \dfrac{n - 1}{d} \rfloor).\)
    110. Vamos\(n= a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \cdot \cdot \cdot + a_k p^k\) donde\(p\) es un primo y\(0 \le a_i <p\). Mostrar que el número de coeficientes binomiales de orden\(n\) que son relativamente primos a\(p\) es\(\prod (a_i + 1)\).
    111. Demostrar que si\(r_1, r_2, ..., r_{p - 1}\) forman un sistema completo de residuos (mod\(p\)) entonces\(1r_1, 2r_2, ..., (p - 1)r_{p - 1}\) no.
    112. Demostrar que 3 es una raíz primitiva de cada primo de Fermat.
    113. Demostrar que es el número de formas en las que se\(n\) puede representar como producto de dos factores relativamente primos\(2^{\omega(n) - 1}\).
    114. Demostrar que cada número incluso perfecto es de la forma\(2^{p - 1} (2^p - 1)\).
    115. Mostrar que si\(f(x)\) es un polinomio con coeficientes integrales y hay\(\psi(m)\) números enteros relativamente primos a m en el conjunto\({f(1), f(2), ..., f(m)}\) entonces\(\psi\) es una función débilmente multiplicativa.
    116. Si\(p = 4n + 1\) es un prime,\((2n)!^2 + 1 \equiv 0\) muéstralo (mod\(p\)).
    117. Mostrar que 128 es el entero más grande no representable como la suma de cuadrados distintos.
    118. Demostrar que\(x^3 + y^4 = z^5\) tiene infinitamente muchas soluciones.
    119. Demostrar que\(x^n + y^n = x^{n+1}\) tiene infinitamente muchas soluciones.
    120. Mostrar que para cada\(k > 0\) existe un punto de celosía (\(x_1, y_1\)) tal que por cada punto de celosía (\(x, y\)) cuya distancia de (\(x_1, y_1\)) no exceda\(k\), el g.c.d\((x, y) > 1\).
    121. Demostrar que no hay cuatro cuadrados distintos en progresión aritmética.
    122. Demostrar que para\(n\) compuesto,\(\pi(n) < \dfrac{n}{\log n}\).
    123. \(2^n\ |\ {(n + \sqrt{5})^n}\)Demuéstralo.
    124. Demostrar que un impar\(p\) es primo si y solo si no\(p + k^2\) es un cuadrado para\(k = 1, 2, ..., \dfrac{p - 3}{2}.\)

    Problemas y conjeturas sin resolver

    1. ¿\(\varphi (n) = \varphi (n + 1)\)Tiene infinitamente muchas soluciones?
    2. ¿\(\sigma(n) = \sigma (n + 1)\)Tiene infinitamente muchas soluciones?
    3. ¿\(\varphi (n) = \varphi (n + 1) = \cdot\cdot\cdot = \varphi (n + k)\)Tiene soluciones para cada uno\(k\)? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    4. Conjetura: No hay\(n\) para lo cual\(\varphi (x) = n\) tiene una solución única. (Carmichael)
    5. Conjetura: Por cada entero positivo\(k > 1\) existen infinitamente muchos\(n\) para los cuales\(\varphi (x) = n\) tiene exactamente\(k\) soluciones.
    6. ¿Existen soluciones de\(\sigma (n) = 2n + 1\)?
    7. ¿Es\(\varphi (x) = \varphi (y) = 2n\) solucionable para todos\(n\)? (Moser)
    8. ¿Hay infinitamente muchas soluciones de\(\tau (n) = \tau (n + 1)\)?
    9. ¿Hay infinitamente muchos números no de la forma\(\phi (n) + n\)? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    10. ¿Hay infinitamente muchos números no de la forma\(\sigma (n) + n\)? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    11. ¿Existen soluciones de\(\sigma (x) = m\sigma (y)\) para cada entero\(m\)? (Sierpinski)
    12. ¿Son 1, 2, 4, 8 y 128 los únicos poderes de 2, todos cuyos dígitos son potencias de 2? (Starke)
    13. ¿Existe para todos\(n\), enteros\(n\) distintos, todas cuyas sumas en pares son cuadrados? (Esto es cierto para\(n \le 5\).)
    14. ¿Existe una secuencia de\({\epsilon_i}\) de\(\pm 1\) tales que\(\sum_{i = 1}^{n} \epsilon_{i \cdot k}\) esté delimitada para cada uno\(k\)? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    15. Si\(f(n)\) es una función aritmética de período\(k\) y no idénticamente 0, ¿es cierto que\(\sum \dfrac{f(n)}{n} \ne 0\)? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    16. Conjetura: Para\(n\) suficientemente grande, se\(n\) puede particionar\(n = a + b + c + d = d + e + f\) con\(abc = def\). (Motzkin)
    17. ¿Es\(\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\sigma_k (n)}{n!}\) irracional para cada uno\(k\)? (Erd\(\ddot{o}\) s y Kac)
    18. ¿Es\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{4}{n}\) sovable para cada uno\(n\)? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    19. \(n! + 1 = x^2\)¿Tiene alguna solución con\(n > 7\)? (Brochard)
    20. ¿Es\(\dfrac{(2n)!}{(n + 2)!^2}\) un número entero para infinitamente muchos\(n\)? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    21. ¿Es\(\dfrac{(2n)!}{n! (n + k)!}\) un entero para cada\(k\) e infinitamente muchos\(n\)? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    22. ¿Existe\(A\) tal que\(\lfloor A^n \rfloor\) sea primo para cada uno\(n\)? (Molinos)
    23. ¿\(\lfloor e^n \rfloor\)Representa infinitamente muchos primos?
    24. ¿\(\lfloor e^n \rfloor\)Representa infinitamente muchos números compuestos? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    25. El número 105 tiene la propiedad que\(105 − 2^n\) es prime siempre que es positivo. ¿Es 105 el número más grande de esta propiedad?
    26. ¿Es 968 el mayor número de\(n\) tal manera que para todos\(k\) con\((n, k) = 1\) y\(n > k^2\),\(n - k^2\) es primo? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    27. ¿Existe un primo\(p > 41\) tal que\(x^2 − x + p\) sea primo para\(1 \le x \le p−1\)?
    28. Vamos a\(\alpha (n)\) denotar el número de 1's en la representación binaria de\(n\). ¿Existe\(k\) tal que para infinitamente muchos primos\(p\),\(\alpha (p) < k\)? (Bellman)
    29. Si\(f(x)\) es un polinomio con coeficientes enteros,\(f_0 (a) = a\), y\(f_{n+1} (a) = f ( f_n (a))\), ¿puede una secuencia\(f_n (a)\),\(n = 1, 2, ...\) consistir enteramente en primos?
    30. Para\(p\) suficientemente grandes y\(ab \ne 0\),\(n > 2\), ¿el polinomio\(x^n + ax + b\) asume más que\(\dfrac{p}{2}\) valores (mod\(p\))? (Chowla)
    31. Encontrar pares de números enteros\(m\),\(n\) tales que\(m\),\(n\) tengan los mismos factores primos y\(m + 1\),\(n + 1\) tengan los mismos factores primos; e.g.,\(m = 2^k - 2\) y\(n = 2^k (2^k - 2)\). ¿Son estos los únicos casos? (Strauss)
    32. ¿Cuál es el número entero más grande no representable como la suma de cubos distintos?
    33. Dejar\(1 < u_1 < u_2 < \cdot\cdot\cdot\) ser la secuencia de enteros de la forma\(x^2 + y^2\). Conjetura:
      \(\text{lim}_{n \to \infty} \dfrac{u_{n + 1} - u_n}{u_n^{1/4}} = 0.\) (Chowla y Davenport)
    34. Conjetura:\(|\sum_{n \le x} (-1)^{n - 1} p_n| \thicksim \dfrac{p_x}{2}.\) (Pillai)
    35. ¿Se puede escribir cada primo\(p \equiv 3\) (mod 8)\(p > 163\), como la suma de tres cuadrados distintos? (Chowla)
    36. ¿Es\(\zeta (3)\) irracional? ¿Es\(\zeta (2s + 1)\) irracional?
    37. Conjetura: La única solución de\(1^n + 2^n + \cdot\cdot\cdot + m^n = (m + 1)^n\) es 1 + 2 = 3. (Bowen)
    38. Conjetura: las únicas soluciones de\(a^n + (a + 1)^n + \cdot\cdot\cdot + (a + b)^n = (a + b + 1)^n\) son\(1 + 2 = 3\),\(3^2 + 4^2 = 5^2\), y\(3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3\). (Erd\(\ddot{o}\) s)
    39. ¿La ecuación\(1^2 + 2^2 + \cdot\cdot\cdot + m^2 = (m + 1)^2 + \cdot\cdot\cdot + n^2\) tiene soluciones? (Kelly)?
    40. El producto de enteros\(n > 1\) consecutivos no es una\(k^{\text{th}}\) potencia.
    41. Conjetura: Si no\(\alpha > 0\) es un entero entonces la densidad de soluciones de\((n, n^{\alpha}\) = 1\) es\(6/ \pi^2\). (Lambek y Moser)
    42. Conjetura: Las únicas soluciones de
      \(\dfrac{1}{x_1} \dfrac{1}{x_2} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{x_n} + \dfrac{1}{x_1 x_2 ... x_n} = 1\)
      son\(^3\)
      \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{42} = 1\) (Erd\(\ddot{o}\) s)
    43. ¿Es cierto que para todos los pares de primos\(p\),\(q\) todos los números suficientemente grandes pueden escribirse como la suma de números distintos de la forma\(p^{\alpha}q^{\beta}\)? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    44. \(a_1, a_2, ...\)Dejen ser enteros que no excedan de\(n\) tal manera que el l.c.m. de cualesquiera dos sea\(> n\). ¿Qué en el máximo de\(\sum \dfrac{1}{a_i}\)? Conjetura: 31/30. (Erd\(\ddot{o}\) s)
    45. \(0 < a_1 < a_2 < \cdot\cdot\cdot < a_k \le n\)Sea tal que las sumas de los distintos\(a_i\) sean distintas. conjetura:\(k - \log_2 n\) está acotada. (Erd\(\ddot{o}\) s)
    46. Dar una prueba relativamente simple del teorema de Van der Waerden para el caso de dos clases.
    47. Dar una prueba relativamente simple del teorema de Roth: Cualquier secuencia que no contenga una progresión aritmética tiene densidad cero.
    48. Dar una prueba elemental del teorema de Dirichlet sobre los residuos cuadráticos:
      \(\sum (\dfrac{n}{p}) > 0\) for\(p \equiv 3\) (mod 4).
    49. Dejar\(a_1 < a_2 < ...\) ser una secuencia de enteros positivos y dejar\(f(n)\) denotar el número de soluciones de\(a_i + a_j = n\). Conjetura: Si\(f(n) > 0\) por cada\(n\) entonces\(f(n)\) es ilimitado. (Erd\(\ddot{o}\) s y Turan)
    50. Si el\(f(n)\) del Problema 49 es > 0 para cada\(n\) entonces cada suficientemente grande\(n\) puede escribirse como la suma\(a\) de tres distintos.
    51. Construir una secuencia de a's para la que el\(f(n)\) del Problema 49 sea > 0 y para la cual\(f(n) < \log n\) para cada\(n\). (Erd\(\ddot{o}\) s ha demostrado que tales secuencias existen.)
    52. ¿Existe una secuencia\(A\) con función de conteo\(A(n) < cn/ \log n\) tal que cada entero pueda ser representado en la forma\(a + 2^{i}, a \in A\)?
    53. Mejorar el límite\([n!e]\) en el teorema de Schur en la teoría combinatoria de números.
    54. Conjetura. Si\(a_1 < a_2 < \cdot\cdot\cdot\) es una secuencia de enteros con\(a_n/a_{n+1} \to 1\) y si para cada\(d\), cada residuo (mod\(d\)) es representable como la suma\(a\) de distintos, entonces a lo sumo un número finito de enteros no son representables como la suma\(a\) de distintos. (Erd\(\ddot{o}\) s)
    55. ¿Es divergente la suma de los recíprocos de aquellos enteros que son representables como la suma de\(k\)\(k^{\text{th}}\) poderes? (Klamkin y Newman)
    56. Conjetura: Por cada\(\epsilon > 0\) hay sale un\(N = N(\epsilon)\) tal que para\(n > N\) el juego\(n\) -dimensional de tic-tac-toe jugado en un\(3 \times 3 \times \cdot\cdot\cdot \times 3\) tablero debe terminar antes de que\(\epsilon 3^n\) se hayan jugado movimientos. (Moser)
    57. Igual que el Problema 56 con 3 reemplazado por\(k\).
    58. Cada entero pertenece a una de las progresiones aritméticas {\(2n\)}, {\(3n\)}, {\(4n + 1\)}, {\(6n + 5\)}, {\(12n + 7\)},\(n = 1, 2, ...\). Este es el ejemplo más simple de un conjunto finito de progresiones aritméticas, cada una con diferente diferencia común, todas cuyas diferencias comunes son mayores que uno, que contienen todos los enteros. ¿Existe para cada uno de\(c > 0\) esos conjuntos de progresiones, siendo cada diferencia común\(> c\)? (Erd\(\ddot{o}\) s)
    59. Dar una representación explícita de\(n\) como la suma de cuatro cuadrados.
    60. ¿Existen para cada uno\(n\),\(n\) primos que son términos consecutivos de una progresión aritmética?
    61. Vamos\(\dfrac{1}{1 + x + 2x^2} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_n x^n\). Conjetura:\(|a_n| > c \log \log n\).
    62. ¿Hay infinitamente primos de la forma\(11 \cdot\cdot\cdot 11\)?
    63. ¿Hay infinitamente muchos primos Euclides\(2 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot p_n +1\)?
    64. Conjetura: El menor no residuo de un primo\(p\) es\(< c \log p\).
    65. Conjetura: La raíz menos primitiva de un primo\(p\) es\(< p^{\epsilon}\),\(p > p_0 (\epsilon)\).
    66. Conjetura: El número de números perfectos\(\le n\) es\(< c \log n\).
    67. Encuentra buenos límites para la densidad de los números abundantes.
    68. Demostrar que la relación de residuos a no residuos en el rango\((1, [\sqrt{p}])\) se aproxima a 1 como\(p \to \infty\).
    69. Dar una prueba elemental de\(\prod_{p \le n} p < 3^n\).
    70. Conjetura:\(\text{lim}_{n \to \infty} (a_{n + 1} - a_{n}) = \infty\) implica\(\sum_{n = 1} \dfrac{a_n}{2^{a_n}}\) irracional. (Erd\(\ddot{o}\) s)
    71. Encuentra todas las soluciones de\(x^4 + y^4 = z^4 + t^4\).
    72. Encuentra todas las soluciones de\(x^4 + y^4 + z^4 = t^4\).
    73. Encuentra todas las soluciones de\(x^xy^y = z^z\).
    74. \(\ell (n)\)Sea el menor\(r\) para el que existe una cadena de enteros
      \(a_0 = 1 < a_1 < a_2 < \cdot\cdot\cdot < a_r = n\),
      donde para cada uno\(i > 0\),\(a_i = a_j + a_k\) para algunos\(j\),\(k < i\) (\(j = k\)permitido). Conjetura:\(\ell (2^q - 1) \le q + \ell (q) - 1\). (Scholz)
    75. Conjetura:\(\ell (n) < \ell (2n)\) para todos\(n > 0\). (Utz)
    76. Vamos a\(S(n)\) denotar el número de soluciones de\(\ell (x) = n\). ¿Es cierto eso\(S(n) < S(n + 1)\) para todos\(n > 0\)? (Utz)
    77. Conjetura de Polya:\(\sum_{n = 1}^x \lambda (n) \le 0\),\(x > 1\). (Comprobado para\(x < 800000.\))
    78. Conjetura de Turan:\(\sum_{n = 1}^{x} \dfrac{\lambda (n)}{n} > 0\). (Comprobado para\(x < 50000.\))
    79. La conjetura de Pillai:\(|x^m - y^n| < N\),\(m, n > 1\) tiene por cada\(N\) solo un número finito de soluciones.
    80. \(2^e\)es irracional.
    81. Encuentre una estimación razonable para el número de soluciones en enteros positivos de
      \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{x_n} = 1.\)

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