1.2: Adición y Multiplicación de Matrices
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Las matrices se pueden agregar y multiplicar. Las matrices solo se pueden agregar si tienen la misma dimensión, y la suma procede elemento por elemento. Por ejemplo,
\[\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}e&f\\g&h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+e&b+f\\c+g&d+h\end{array}\right).\nonumber \]
La multiplicación de una matriz por un escalar también es fácil. La regla es simplemente multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar. El\(2\) caso\(2\) -por- se ilustra a
\[k\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ka&kb\\kc&kd\end{array}\right).\nonumber \]
La multiplicación matricial, sin embargo, es más complicada. Las matrices (excluyendo el escalar) solo se pueden multiplicar si el número de columnas de la matriz izquierda es igual al número de filas de la matriz derecha. En otras palabras, una\(n\) matriz\(m\) -by- a la izquierda se puede multiplicar por una\(k\) matriz\(n\) -by- a la derecha. La matriz resultante será\(m\) -by-\(k\). Podemos ilustrar la multiplicación matricial usando dos\(2\) matrices\(2\) -by-, escribiendo
\[\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}e&f\\g&h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{array}\right).\nonumber \]
La forma estándar de multiplicar matrices es la siguiente. La primera fila de la matriz izquierda se multiplica contra y se suma con la primera columna de la matriz derecha para obtener el elemento en la primera fila y primera columna de la matriz del producto. A continuación, la primera fila se multiplica contra y se suma con la segunda columna; luego la segunda fila se multiplica contra y se suma con la primera columna; y finalmente la segunda fila se multiplica contra y se suma con la segunda columna.
En general, un elemento particular en la matriz de producto resultante, digamos en fila\(k\) y columna\(l\), se obtiene multiplicando y sumando los elementos en fila\(k\) de la matriz izquierda con los elementos en columna\(l\) de la matriz derecha.
Considere la\(\text{Q}\) matriz de Fibonacci dada por
\[\text{Q}=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right)\nonumber \]
Determinar\(\text{Q}^n\) en términos de los números de Fibonacci.
Solución
La famosa secuencia de Fibonacci es\(1,\: 1,\: 2,\: 3,\: 5,\: 8,\: 13,\ldots\), donde cada número de la secuencia es la suma de los dos números anteriores, y los dos primeros números se establecen iguales a uno. Con\(F_n\) el\(n\) número de Fibonacci, la definición matemática es
\[F_{n+1}=F_n+F_{n-1},\quad F_1=F_2=1,\nonumber \]
y podemos definir\(F_0=0\) para que\(F_0+F_1=F_2\).
Observe lo que sucede cuando una matriz se multiplica por\(\text{Q}\) a la izquierda:
\[\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+c&b+d\\a&c\end{array}\right).\nonumber \]
La primera fila es reemplazada por la suma de la primera y segunda fila, y la segunda fila es reemplazada por la primera fila. Usando los números de Fibonacci, podemos escribir inteligentemente la\(\text{Q}\) matriz de Fibonacci como
\[\text{Q}=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}F_2&F_1\\F_1&F_0\end{array}\right);\nonumber \]
y luego usando la relación de recursión de Fibonacci tenemos
\[\text{Q}^2=\left(\begin{array}{cc}F_3&F_2\\F_2&F_1\end{array}\right),\quad\text{Q}^3=\left(\begin{array}{cc}F_4&F_3\\F_3&F_2\end{array}\right).\nonumber \]
De manera más general,
\[\text{Q}^n=\left(\begin{array}{cc}F_{n+1}&F_n \\ F_n&F_{n-1}\end{array}\right).\nonumber \]