1.4: Matrices de rotación y matrices ortogonales
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Ver Matrices Ortogonales en YouTube
Considere la matriz de rotación de dos por dos que gira un vector a través de un ángulo\(θ\) en el\(y\) plano\(x\) -, que se muestra arriba. La trigonometría y la fórmula de adición para coseno y seno da como resultado
\[\begin{aligned} x'&=r\cos(\theta+\psi) \\ &=r(\cos\theta\cos\psi -\sin\theta\sin\psi )\\&=x\cos\theta-y\sin\theta \\ y'&=r\sin(\theta+\psi)\\&=r(\sin\theta\cos\psi+\cos\theta\sin\psi) \\ &=x\sin\theta+y\cos\theta.\end{aligned} \nonumber \]
Escribiendo las ecuaciones para\(x'\) y\(y'\) en forma de matriz, tenemos
\[\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}\cos\theta&-\sin\theta \\ \sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right).\nonumber \]
La matriz de dos por dos anterior se llama matriz de rotación y viene dada por
\[\text{R}_\theta =\left(\begin{array}{rr}\cos\theta&-\sin\theta \\ \sin\theta&\cos\theta\end{array}\right).\nonumber \]
Encuentra la inversa de la matriz de rotación\(\text{R}_\theta\).
Solución
El inverso de\(\text{R}_θ\) gira un vector en sentido horario por\(θ\). Para encontrar\(\text{R}^{−1}_θ\), solo necesitamos cambiar\(θ → −θ\):
\[\text{R}_\theta^{-1}=\text{R}_{-\theta}=\left(\begin{array}{rr}\cos\theta&\sin\theta \\ -\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right).\nonumber \]
Este resultado concuerda con (1.4.4) ya que\(\det\text{ R}_\theta =1\).
Fíjese en eso\(\text{R}^{−1}_θ = \text{R}^{\text{T}}_θ\). En general, una\(n\) matriz cuadrada\(n\) -by-\(\text{Q}\) con entradas reales que satisfaga
\[\text{Q}^{-1}=\text{Q}^{\text{T}}\nonumber \]
se llama una matriz ortogonal. Desde\(\text{QQ}^{\text{T}} = \text{I}\) y\(\text{Q}^{\text{T}}\text{Q} = \text{I}\), y desde\(\text{QQ}^{\text{T}}\) multiplica las filas de\(\text{Q}\) contra sí mismas, y\(\text{Q}^{\text{T}}\text{Q}\) multiplica las columnas de\(\text{Q}\) contra sí mismas, tanto las filas de\(\text{Q}\) como las columnas de\(\text{Q}\) deben formar un conjunto ortonormal de vectores (normalizados y mutuamente ortogonal). Por ejemplo, los vectores de columna de\(\text{R}\), dados por
\[\left(\begin{array}{c}\cos\theta \\ \sin\theta\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{r}-\sin\theta \\ \cos\theta\end{array}\right),\nonumber \]
son ortonormales.
Es claro que rotar un vector alrededor del origen no cambia su longitud. Más generalmente, las matrices ortogonales preservan los productos internos. Para probarlo, deja\(\text{Q}\) ser una matriz ortogonal y\(x\) un vector de columna. Entonces
\[(\text{Qx})^{\text{T}}(\text{Qx})=\text{x}^{\text{T}}\text{Q}^{\text{T}}\text{Qx}=\text{x}^{\text{T}}\text{x}.\nonumber \]
El análogo de matriz compleja de una matriz ortogonal es una matriz unitaria\(\text{U}\). Aquí, la relación es
\[\text{U}^{-1}=\text{U}^\dagger .\nonumber \]
Al igual que las matrices hermitianas, las matrices unitarias también juegan un papel fundamental en la física cuántica.