1.6: Representación Matricial de Números Complejos
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En consecuencia, comenzamos por representar\(e^{iθ}\) como la matriz de rotación, es decir,
\[\begin{aligned}e^{i\theta}&=\left(\begin{array}{rr}\cos\theta&-\sin\theta \\ \sin\theta&\cos\theta\end{array}\right) \\ &=\cos\theta\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)+\sin\theta\left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\end{array}\right).\end{aligned} \nonumber \]
Ya que\(e^{iθ} = \cos θ + i \sin θ\), nos llevan a las representaciones matriciales de los números de unidad como
\[1=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right),\quad i=\left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\end{array}\right).\nonumber \]
Un número complejo general\(z = x + iy\) se representa entonces como
\[z=\left(\begin{array}{rr}x&-y\\y&x\end{array}\right).\nonumber \]
La compleja operación conjugada, donde\(i → −i\), se ve como solo la transposición matricial.
Demostrar eso\(i^2=-1\) en la representación matricial.
Solución
Tenemos
\[i^2=\left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-1&0\\0&-1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)=-1.\nonumber \]
Demostrar eso\(z\overline{z}=x^2+y^2\) en la representación matricial.
Solución
Tenemos
\[z\overline{z}=\left(\begin{array}{rr}x&-y\\y&x\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}x&y\\-y&x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x^2+y^2&0\\0&x^2+y^2\end{array}\right)=(x^2+y^2)\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)=(x^2+y^2).\nonumber \]
Ahora podemos ver que existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de números complejos y el conjunto de todas las matrices de dos por dos con elementos diagonales iguales y elementos opuestos firmados fuera de la diagonal. Si no te gusta la idea de\(\sqrt{-1}\), ¡entonces imagínate la aritmética de estas matrices de dos por dos!