2.1: Eliminación gaussiana
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El algoritmo estándar para resolver un sistema de ecuaciones lineales se llama eliminación gaussiana. Es más fácil ilustrar este algoritmo con el ejemplo.
Considere el sistema lineal de ecuaciones dado por
\[\begin{align}-3x_1+2x_2-x_3&=-1, \\[4pt] 6x_1-6x_2+7x_3&=-7\label{eq:1} \\[4pt] 3x_1-4x_2+4x_3&=-6,\end{align} \]
que se puede reescribir en forma de matriz como
\[\left(\begin{array}{rrr}-3&2&-1\\6&-6&7\\3&-4&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-1\\-7\\-6\end{array}\right).\nonumber \]
Para realizar la eliminación gaussiana, formamos lo que se llama una matriz aumentada combinando la matriz\(\text{A}\) con el vector de columna\(\text{b}\):
\[\left(\begin{array}{rrrr}-3&2&-1&-1\\6&-6&7&-7\\3&-4&4&-6\end{array}\right).\nonumber \]
Luego se realiza la reducción de filas en esta matriz. Las operaciones permitidas son
- multiplicar cualquier fila por una constante,
- agregar un múltiplo de una fila a otra fila,
- intercambiar el orden de las filas.
Es fácil confirmar que estas operaciones no cambian la solución de las ecuaciones originales. El objetivo aquí es convertir la matriz\(\text{A}\) en una matriz con todos los ceros por debajo de la diagonal. A esto se le llama matriz triangular superior, a partir de la cual se puede resolver rápidamente para las incógnitas\(\text{x}\).
Comenzamos con la primera fila de la matriz y trabajamos nuestro camino hacia abajo de la siguiente manera. El elemento clave se llama el pivote, que es el elemento diagonal que usamos para poner a cero todos los elementos por debajo de él. El pivote en la primera fila es la entrada diagonal\(−3\). Para poner a cero el\(6\) en la segunda fila por debajo del pivote, multiplicamos la primera fila por\(2\) y la agregamos a la segunda fila. Para poner a cero el\(3\) en la tercera fila debajo del pivote, agregamos la primera fila a la tercera fila:
\[\left(\begin{array}{rrrr}-3&2&-1&-1\\6&-6&7&-7\\3&-4&4&-6\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}-3&2&-1&-1\\0&-2&5&-9\\0&-2&3&-7\end{array}\right).\nonumber \]
Después vamos a la segunda fila. El nuevo pivote es el número\(−2\) en la diagonal de la segunda fila. Para poner a cero el\(−2\) debajo del pivote, multiplicamos la segunda fila por\(−1\) y la agregamos a la tercera fila:
\[\left(\begin{array}{rrrr}-3&2&-1&-1\\0&-2&5&-9\\0&-2&3&-7\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}-3&2&-1&-1\\0&-2&5&-9\\0&0&-2&2\end{array}\right).\nonumber \]
La matriz original\(\text{A}\) es ahora triangular superior, y las ecuaciones transformadas se pueden determinar a partir de la matriz aumentada como
\[\begin{aligned}-3x_1+2x_2-x_3&=-1,\\ -2x_2+5x_3&=-9,\\ -2x_3&=2.\end{aligned} \nonumber \]
Estas ecuaciones se pueden resolver mediante la sustitución posterior, partiendo de la última ecuación y trabajando hacia atrás. Tenemos
\[\begin{aligned}x_3&=-\frac{1}{2}(2)=-1 \\ x_2&=-\frac{1}{2}(-9-5x_3)=2, \\ x_1&=-\frac{1}{3}(-1-2x_2+x_3)=2.\end{aligned} \nonumber \]
Por lo tanto,
\[\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\2\\-1\end{array}\right).\nonumber \]