2.4: Computación inversa
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El cálculo de la forma de escalón de fila reducida de una matriz\(n\) -by-\(n\) invertible se\(\text{A}\) puede usar para calcular la matriz inversa\(\text{A}^{−1}\).
Por ejemplo, recordemos cómo encontramos el inverso general de una matriz de dos por dos escribiendo\(\text{AA}^{−1} = \text{I}\), es decir,
\[\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right).\nonumber \]
Esta ecuación de matriz única equivale a dos conjuntos de dos ecuaciones y dos incógnitas, a saber
\[\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_2\\y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right).\nonumber \]
Podemos resolver estas dos ecuaciones llevando\(\text{A}\) a la forma de escalón de fila reducida. No tiene sentido hacer esto dos veces, así que en su lugar formamos una matriz doblemente aumentada y nos vamos a trabajar en eso:
\[\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cccc}a&b&1&0\\c&d&0&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}1&b/a&1/a&0\\c&d&0&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}1&b/a&1/a&0\\0&\frac{ad-bc}{a}&-c/a&1\end{array}\right)\to \\ \left(\begin{array}{cccc}1&b/a&1/a&0\\0&1&-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}1&0&\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc} \\ 0&1&-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{array}\right).\end{array}\nonumber \]
La tercera columna de la matriz reducida corresponde a la primera columna de la matriz inversa, y la cuarta columna de la matriz reducida se corresponde con la segunda columna de la matriz inversa. Por lo tanto, hemos rederivado
\[\text{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{rr}d&-b\\-c&a\end{array}\right).\nonumber \]
En otras palabras, al pasar\(\text{A}\) a una forma de escalón de fila reducida mientras realizamos simultáneamente las mismas operaciones en la matriz de identidad\(\text{I}\), logramos la siguiente transformación:
\[\left(\begin{array}{cc}\text{A}&\text{I}\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc}\text{I}&\text{A}^{-1}\end{array}\right).\nonumber \]
Para ilustrar más este algoritmo, encontramos la inversa de la matriz de tres por tres utilizada en nuestro primer ejemplo. Tenemos
\[\begin{array}{l}\left(\begin{array}{rrrrrr}-3&2&-1&1&0&0\\6&-6&7&0&1&0\\3&-4&4&0&0&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrrrr}-3&2&-1&1&0&0\\0&-2&5&2&1&0\\0&-2&3&1&0&1\end{array}\right)\to \\ \left(\begin{array}{rrrrrr}-3&2&-1&1&0&0\\0&-2&5&2&1&0\\0&0&-2&-1&-1&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrrrr}-3&0&4&3&1&0\\0&-2&5&2&1&0\\0&0&-2&-1&-1&1\end{array}\right)\to \\ \left(\begin{array}{rrrrrr}-3&0&0&1&-1&2\\0&-2&0&-1/2&-3/2&5/2\\0&0&-2&-1&-1&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrrrr}1&0&0&-1/3&1/3&-2/3 \\ 0&1&0&1/4&3/4&-5/4 \\ 0&0&1&1/2&1/2&-1/2\end{array}\right)\end{array}\nonumber \]
y uno puede comprobar que
\[\left(\begin{array}{rrr}-3&2&-1\\6&-6&7\\3&-4&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}-1/3&1/3&-2/3 \\ 1/4&3/4&-5/4 \\ 1/2&1/2&-1/2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right).\nonumber \]
También es interesante comprobar que la solución a la ecuación\(\text{Ax} = \text{b}\) es\(\text{x} = \text{A}^{−1}\text{b}\). Usando el\(\text{b}\) de nuestro primer ejemplo, tenemos
\[\text{x}=\left(\begin{array}{rrr}-1/3&1/3&-2/3 \\ 1/4&3/4&-5/4 \\ 1/2&1/2&-1/2\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-1\\-7\\-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\2\\-1\end{array}\right),\nonumber \]
como se obtuvo previamente.